Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci"

Transkrypt

1 L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy )(+* może być długością lub kosztem przejazdu tego łuku. W grafie tym wyróżnimy pewien wierzchołek początkowy,. Niech -. /,0!213! !29/!29;:<4=?>", dla każdego# FEG H, będzie drogą od, do węzła >. Długość drogi - (oznaczać ją będziemy przez ) jest sumą długości jej łuków, czyli 9;:<4 M6N O(QP8RTS$(QPU7 4 Zagadnienie najkrótszej drogi (nazywane dalej skrótowo przez VCWYX ) polega na wyznaczeniu najkrótszej drogi od węzła, do każdego innego węzła >C&[Z]\,3^. Zagadnienie to może być również sformułowane 2 jako problem przesłania, od węzła, do każdego węzła zbioru _Z]\,3^, jednostki towaru w możliwie najtańszy sposób. Daje to następujący liniowy model tego zagadnienia: L *6q ` (da*bdcfe ij(+*hz L ` 8(;*hgij(;*0kmlnpo (a*8bdcfe uwv t is*5(y xzy IUHz!< F, *6q`*a(rb/cAe Z{y IUHz! &D[Z}\,A^ ij(;* ~E IUHz!5$#T'& Algorytmy, które zostaną dalej podane wymagają przyjęcia nastpujących założeń: 1. Długości łuków (wartości funkcji ) są liczbami całkowitymi. 2. Graf jest grafem spójnym (istnieje droga od s do każdego innego węzła w grafie).

2 3 3. Sieć nie zawiera konturów, których długość jest liczbą ujemną (o ujemnej długości). 4. Graf jest grafem skierowanym (digrafem). Algorytm Dijkstry długości łuków nieujemne W ZND wyznacza się najkrótsze drogi od pewnego węzła np. s do wszystkich pozostałych xz}y węzłów. Do zapamiętania tych dróg nie trzeba xz}y (dowolna droga może bowiem zawierać co najwyżej xz}y łuków) elementów pamięci, a jedynie Z}y. Wynika to z faktu, że istnieje drzewo skierowane (od węzła, ), w którym jedyna droga od, do danego węzła jest drogą najkrótszą. Drzewo takie nazywa się drzewem najkrótszych dróg. Algorytmy, które dalej zostaną podane wyznaczaja takie drzewo. Jego istnienie wynika z następujących własności: 4 Własność 1. Jeśli droga /,0! ! jest najkrótszą drog do, to dla każdego { % Z}y droga /,! O!) jest również najkrótszą drogą od, do węzła!. Własność 2. Niech współrzędne wektora IJ 7+ reprezentuja długości a od, najkrótszych dróg od węzła, do wszystkich pozostaych węzłów w sieci. Droga - od węzła, do węzła jest najkrótsza droga wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego łuku!5$#t=& - zachodzi IJ #%K Ij!$}O(+* Obecnie podamy Algorytm Dijkstry wyznaczania najkrótszej drogi w sieci zawierającej tylko łuki o nieujemnych długościach (wagach). Algorytm ten wyznacza najkrótsze drogi od węzła, do wszystkich pozostałych wierzchołków w sieci. Każdy węzeł! sieci otrzymuje cechę Ij!$, która jest oszcowaniem z góry długości najkrótszej drogi od, do tego węzła. W każdym kroku algorytmu węzły podzielone są na dwie grupy: węzły o cechach stałych i węzły o cechach tymczasowych. Cecha

3 5 stała węzła reprezentuje długość najkrótszej drogi do tego węzła. Wartość cechy tymczasowej jest oszacowaniem z góry tej długości. Na początku algorytmu tylko węzeł, otrzymuje stałą cechę zero a każdy inny wierzchołek tymczasową cechę. Następne cechy stałe nadawane są węzłom w kolejności ich odległości od,. W każdej iteracji cecha węzła! jest długością najkrótszej drogi, przechodzącej przez węzły o cechach stałych (za wyjątkiem być moźe węzła! ). Zasadniczy element algorytmu polega na wyborze węzła! o minimalnej wartości cechy tymczasowej (w przypadku niejednoznacznego minimum wybór jest arbitralny) i przemianowaniu cechy tego węzła na cechę stałą. Wykorzystując następnie tę cechę dokonuje się aktualizacji cech węzłów sąsiednich do węzła!. Algorytm wyznacza drzewo skierowane (od węzła, ) najkrótszych dróg. W tym celu zapamiętuje się w węźle # oprócz cechy IJ #% indeks węzła poprzedniego jako Ij p#t tj. jeśli!"$#%c& to IJ #%K!. Ponadto dla każdego łuku!5$#t należącego do drzewa spełniony jest 6 warunek Ij p#t IJ!2 }O(+* przez aktualne cechy węzów! oraz #. Zapewnia on (Własność 2), że na końcu algorytmu cechy przedstawiają długości najkrótszych dróg a jest drzewem najkrótszych dróg. Bardziej formalny zapis tego algorytmu podajemy poniżej.

4 7 Algorytm Dijkstra + ; Ij p#t dla każdego węzła! & ; Ij /, E Ij /, E while do Niech! & Ij!$K lnpoj\ IJ p#t 0# & =^ \! ^ ; Z}\! ^ ; będzie węzłem dla którego for każdego!5$#t'&d do if Ij p#t Ij!$]8(;* then IJ p#t + Ij!$}O(+* and Ij p#%! 8 Uzasadnienie algorytmu Dijksrty (indukcyjnie) W każdej iteracji algorytmu węzły sieci dzielone są na dwa rozłączne podzbiory i. Hipotezami indukcyjnymi są: 1. Cecha każdego węzła zbioru jest optymalną. 2. Cecha każdego węzła zbioru jest długością najkrótszej drogi od, do tego węzła, przechodzącej tylko przez węzły (za wyjątkiem, być może ostatniego węzła). Indukcję prowadzimy względem liczebności zbioru. Aby wykazać pierwszą z hipotez przypomnijmy, że w każdej iteracji algorytm przenosi węzeł! & o minimalnej wartości cechy do zbioru. Należy pokazać, że cecha IJ!2 jest optymalną. Zauważmy, że na mocy założenia, jest długością najkrótszej drogi do węzła! o węzłach wewnętrznych nie należących do. Pokażemy, że długość dowolnej drogi od, do!, zawieracącej jako węzły pośrednie węzły zbioru jest co najmniej równa aca Ij!$. Rozważmy dowolną drogę - od źródła do węzła!, przechodz

5 9 przez przynajmniej jeden węzeł należący do (różny od! ). Droga ta składa się z dwóch segmentów: -4 i -. Jeden -C4 kończy się w węźle & i nie zawiera żadnego innego węzła ze zbioru. Z założenia, długość drogi -C4 jest co najmniej równa IJ a ponieważ węzeł! jest węzłem o minimalnej wartości cechy w zbiorze, to Ij C~ Zatem droga -C4 ma długość nie mniejszą niż Ij!$. Ponieważ długości łuków są liczbami nieujemnymi, to długość - jest również nieujemna. Tym samym mamy, że długość drogi - wynosi co najmniej Ij!$, czyli, że Ij!$ jest długością najkrótszej drogi. Aby wykazać drugą część, zauważmy, że po nadaniu cechy stałej węzłowi!, wartości cech pewnych węzłów zbioru Z}\!"^ mogą się zmniejszyć, ponieważ węzeł! może stać się węzłem wewnętrznym na tymczasowo najkrótszych drogach do tych węzłów. Ale po nadaniu cechy stałej węzłowi! sprawdza się każdy łuk!"$#%, gdzie#& :!2 i jeśli Ij p#% Ij!$ }8(;*, to Ij p#tk IJ!2 }8(;* i Ij p#t!. Zatem po operacji aktualizacji cech na podstawie hipotezy indukcyjnej droga do węzla # 10 spełnia Własność 2 i tym samym cecha każdego węzła zbioru Z \!"^ jest długością najkrótszej drogi przechodzącej tylko przez węzły \!"^. Algortm Dijkstry długości łuków dowolne Przypomnijmy, że zagadnienie najkrótszej drogi polega na wyznaczeniu najkrótszej drogi od wierzchołka, do każdego innego węzła # &D[Z}\,A^. Dalej podamy algorytm wyznaczania najkrótszej drogi w sieci dopuszczającej łuki o ujemnych długościach (wagach) ale nadal zakłada się, że sieć nie zawiera konturów o długości ujemnej. Algorytm ten nazywany algorytmem korekcji cech nadaje cechę IJ #% każdemu węzłowi # &D sieci. Na pośrednim etapie algorytmu cecha Ij p#t jest oszacowaniem (z góry) długości najkrótszej drogi od węzła, do węzła # natomiast na końcu algorytmu cecha ta reprezentuje dugość najkrótszej drogi. Zanim formalnie zapiszemy algorytm podamy teraz pewne własności najkrótszych dróg, z których korzysta algorytm. Niech Ij p#t dla

6 11 # F, oznacza długość najkrótszej drogi od, do węzła # (przyjmujemy, że IJ /, K E ). Jeśli cechy węzłów są długościami najkrótszych dróg, to muszą spełniać następujący konieczny warunek optymalności: Ij p#t IJ!2 O(;*A dla każdego!"$#%'&d (1) Powyższy warunek optymalności stwierdza, że dla każdego w sieci długość najkrótszej drogi do węzła # jest nie większa niż dugość najkrótszej drogi do węzła! plus długość łuku!"$#%. Warunki te są również dostateczne dla optymalności w tym sensie, że jeśli Ij p#t jest długością pewnej drogi od źródła do węzła # oraz jest spełniony warunek optymalności, to IJ p#t jest optymalne tj. IJ p#t jest długością najkrótszej drogi do węzła #. Warunki te możemy zapisać w postaci następującego twierdzenia: Twierdzenie 1 (Warunki optymalności dla minimalnej drogi). Niech dla każdego węzła # &, Ij p#t będzie długością pewnej drogi od węzła, do węzła #. Liczby Ij p#t sa długościami najkrótszych dróg wtedy i tylko 12 wtedy, gdy spelniony jest następujacy warunek optymalności dla minimalnych dróg: IJ #% dla każdego łuku!5$#t'&d7 Ij!$}O(+* Zdefiniujemy jeszcze tzw. zredukowany koszt łuku!5$#t - oznaczany dalej przez (;* - względem cech IJ 7 jako: (;* O(+* }Ij!$<Z Ij p#% oraz podamy jego własności. (a) Dla dowolnego konturu, ` (da*8bdc (+* ` (a*b/c 8(;*37 (b) Dla dowolnej drogi P od węzła do węzła H, L ` (da*8bdc (;* L ` (a*8bdc O(+* }IJ Z IJ HdO7 (c) Jeśli IJ 7 reprezentuje długości najkrótszych dróg, to (;* ~ E dla

7 13 każdego łuku!5$#tc&d7 Obecnie podany zostanie algorytm bazowy, nazywany algorytmem korekcji cech, a następnie podamy jego bardziej efektywną obliczeniowo modyfikację tzw. zmodyfikowany algorytm korecji cech. Wersja bazowa algorytmu operuje na każdym etapie cechami węzłów. Wartość cechy Ij p#% jest albo równa, gdy jeszcze nie wyznaczono najkrótszej drogi od, do węzła # albo jest długością pewnej drogi od, do węzła #. W każdym węzle # zapamiętuje się oprócz cechy również indeks węzła poprzedniego - na bieżącej drodze do# o długości IJ #% - jako Ij p#t. Pozwala to po zakończeniu obliczeń wyznaczyć przsebieg najkrótszej drogi do węzła #. Algorytm jest procedurą uaktualniania cech aż do momentu, gdy wszystkie cechy będą spełniać warunek optymalności (1). Bardziej formalny zapis tego algorytmu podajemy poniżej. 14 Algorytm korekcji cech Ij /, E IJ d, + F, ; Ij p#t dla każdego węzła # &D[Z}\,A^ ; while pewien łuk!"$#% spełnia IJ p#t do Ij p#t + Ij!$]O(+* IJ p#t +! ; Z definicji zredukowanych kosztów wynika, że cechy Ij 7+ spełniają warunek optymalności (1), jeśli (+* ~ E dla każdego!"$#%c&d Podany algorytm korekcji cech wybiera łuk!5$#t nie spełniający tego warunku, tj. (+* E i wykorzystuje go do aktualizacji cechy węzła #. Ta operacja zmniejsza wartość cechy węzła # i nadaje zredukowanemu kosztowi na

8 15 łuku!5$#t wartość zero. W algorytmie zapamiętuje się indeks węzła poprzedniego (w tablicy pred(.)) dla każdego węzła o skończonej wartości cechy. Zbiór łuków Ij p#to$#t (za wyjątkiem węzła, ) nazywamy grafem poprzednik w. Jest to drzewo skierowane od węzła, zawierające wszystkie węzły o skończonych wartościach cech. Algorytm zachowuje, w trakcie obliczeń, następującą własność: (;* E dla każdego łu ku!5$#t grafu poprzedników. Aby to wykazać zastosujemy indukcję względem liczby iteracji. Zauważmy, że algorytm dodaje łuk!5$#t do grafu poprzedników w trakcie aktualizacji cechy, co implikuje, e Ij p#tk IJ!2 }(+* lub O(+* }Ij!$ Z Ij p#%k (;* E. W następnych iteracjach cecha Ij!$ może się zmniejszyć i wartość (+* może stać się ujemna. Nasępnie zaobserwujmy, że jeśli Ij p#t zmniejszy się w trakcie algorytmu, wtedy dla pewnego łuku!5$#t grafu poprzedników (+* może stać się dodatnie, co przeczy własności, której zachodzenie założyliśmy. Ale w tym przypadku, natychmiast usuwamy łuk!5$#t z grafu poprzedników i tym 16 samym zakładana własność zachodzi. W sytuacji, gdy nie ma konturów o ujemnej długości graf poprzedników jest zawsze drzewem. Graf ten zawiera jedyną drogę od węzła, do każdego węzła o długości co najwyżej IJ. Gdy algorytm kończy pracę, każdy łuk grafu poprzedników ma zerowy koszt zredukowany, co implikuje, że długość drogi od węzła, do każdego węzła wynosi Ij i tym samym graf poprzednik w jest drzewem najkrótszych dróg. Podany algorytm korekcji cech nie określa sposobu sprawdzania warunku optymalności. Jednym ze sposobów może być przeglądnięcie kolejno listy łuków i idetyfikacja łuku nie spełniającego tego warunku. Procedura ta nie jest jednak efektywna. Opiszemy teraz podejście, które jest bardziej efektywne. Załóżmy teraz, że mamy listę łuków, które mogą nie spełniać warunku optymalności i listę tę oznaczymy przez LISTA. Jeśli LISTA jest pusta, to mamy rozwiązanie optymalne. W przeciwnym przypadku sprawdzamy tę listę i wybieramy łuk!5$#t nie spełniający warunku optymalności. Usuwamy ten łuk z LISTY i jeśli nie spełnia on warunku

9 17 optymalności, to wykorzystujemy go do aktualizacji cechy węzła #. Zauważmy, że zmniejszenie wartości cechy węzła # zmniejsza koszt zredukowany wszystkich łuków wychodzących z węzła # co może spowodować, że pewne łuki mogą przestać spełniać warunek optymalności. Takie zmniejszenie wartości cechy węzła # zachowuje warunek optymalności wszystkich łuków wchodzących do węzła #. Zatem jeśli zmniejszymy wartość cechy Ij p#t, to musimy dodać łuki należące do : p#t do LISTA. Następnie zaobserwujmy, że dodając łuk do LISTA dodajemy wszystkie Łuki wychodzące z pojedyńczego węzła. To rozważanie sugeruje, że zamiast pamiętać listę wszystkich łuków, które mogą nie spełniać warunku optymalności możemy pamiętać listę węzów spełniających następującą własność: jeśli łuk!"$#% nie spełnia warunku optymalności, to LISTA musi zawierać węzeł!. Zapamiętywanie listy węzłów wymaga mniej pracy i prowadzi do szybszych algorytmów w praktyce. To jest istotą zmodyfikowanego 18 algorytmu korekcji cech, który podany jest poniżej. Poprawność jego wynika z własności, że zbiór LISTA zawiera każdy węzeł! incydentny z łukiem!"$#% nie spełniającym warunku optymalności. Indukcją po liczbie iteracji można wykazać, że ta własność zachowana jest w algorytmie.

10 19 Zmodyfikowany algorytm korekcji cech IJ /, + E Ij /, F, ; IJ p#t + dla każdego węzła # & _Z}\,3^ ; +.\,3^ while do usuń element (i) z listy LISTA; for każdego łuku!5$#t'& :!$ do if IJ p#t }O(+* then Ij p#% IJ!2 O(;* Ij p#t! ; if # & then dodaj węzeł # do ; 20 Dotąd zakładaliśmy, że sieć nie zawierała konturów o długości ujemnej. Podamy teraz modyfikację, wymaganą w algorytmach, która pozwala wykryć obecność konturu o ujemnej długości, o ile istnieje. W algorytmie podstawowym zauważmy, że jeśli sieć zawiera kontur ujemny, to nie istnieją cechy węzłów spełniające warunek optymalności. Zatem algorytm korekcji cech będzie stale zmniejszał wartości cech i nigdy się nie skończy. Jeśli przez C oznaczymy długość najdłuższego łuku w sieci, to wartość Zh będzie oszacowaniem z dołu wartości cechy, gdy sieć nie zawiera konturu ujemnego. Zatem jeśli cecha pewnego węzła otrzyma wartość niższą ni Zh, to kończymy obliczenia. Kontur ujemny otrzymujemy wykorzystując poprzedniki węzłów zaczynajac od wę zła.

Zagadnienia optymalizacji na grafach

Zagadnienia optymalizacji na grafach dr inż. Adam Kasperski, dr M. Kulej BO- Optymalizacja na sieciach 1 Zagadnienia optymalizacji na grafach Podstawowe pojęcia z teorii grafów i sieci Graf nieskierowany(symetryczny) G = (V, E) składa się

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

5. Najkrótsze ścieżki

5. Najkrótsze ścieżki p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko

Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Zakład systemów Informacyjnych Wrocław 10.01.2008 Agenda prezentacji Cechy sieci Algorytmy grafowe Badanie centralności Algorytmy wyznaczania centralności

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4 Wykład Drzewa zbalansowane AVL i -3-4 Drzewa AVL Wprowadzenie Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Drzewa -3-4 Definicja drzewa -3-4 Operacje wstawiania

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001 Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów Przepływy w sieciach.

Algorytmiczna teoria grafów Przepływy w sieciach. Algorytmiczna teoria grafów Sieć przepływowa Siecią przepływową S = (V, E, c) nazywamy graf zorientowany G = (V,E), w którym każdy łuk (u, v) E ma określoną przepustowość c(u, v) 0. Wyróżniamy dwa wierzchołki:

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie wyjścia z labiryntu

Znajdowanie wyjścia z labiryntu Znajdowanie wyjścia z labiryntu Zadanie to wraz z problemem pakowania najcenniejszego plecaka należy do problemów optymalizacji, które dotyczą znajdowania najlepszego rozwiązania wśród wielu możliwych

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinające

Minimalne drzewa rozpinające KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14

Logika i teoria mnogości Wykład 14 Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Data Mining Wykład 5. Indukcja drzew decyzyjnych - Indeks Gini & Zysk informacyjny. Indeks Gini. Indeks Gini - Przykład

Data Mining Wykład 5. Indukcja drzew decyzyjnych - Indeks Gini & Zysk informacyjny. Indeks Gini. Indeks Gini - Przykład Data Mining Wykład 5 Indukcja drzew decyzyjnych - Indeks Gini & Zysk informacyjny Indeks Gini Popularnym kryterium podziału, stosowanym w wielu produktach komercyjnych, jest indeks Gini Algorytm SPRINT

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1 Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości

Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu Data Mining Wykład 9 Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster Plan wykładu Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne Sformułowanie problemu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)

Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo