Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków"

Transkrypt

1 Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 1 Joanna Jaszuńska

2 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska

3 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska

4 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Twierdzenie Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska

5 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Leonhard Euler ( ) matematyk szwajcarski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 3 Joanna Jaszuńska

6 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska

7 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska

8 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... krawędzie mogą być skierowane Np. kto kogo lubi, wyniki turnieju... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska

9 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... krawędzie mogą być skierowane Np. kto kogo lubi, wyniki turnieju... stopień wierzchołka = liczba krawędzi przy nim Tw. Suma stopni wierzchołków grafu = 2 liczba krawędzi w grafie. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska

10 Drogi i cykle Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska

11 Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska

12 Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa... Paul Erdős ( ) matematyk węgierski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska

13 Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa... Paul Erdős ( ) matematyk węgierski Droga (cykl) Eulera przechodzi przez każdą krawędź dokładnie raz. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska

14 Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska

15 Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska

16 Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska

17 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska

18 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska

19 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska

20 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska

21 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. Tw. W grafie skierowanym istnieje cykl Eulera w każdym wierzchołku tyle samo krawędzi wychodzących i wchodzących. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska

22 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

23 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

24 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

25 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

26 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

27 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

28 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11) Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

29 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11): Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska

30 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 9 Joanna Jaszuńska

31 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 10 Joanna Jaszuńska

32 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 11 Joanna Jaszuńska

33 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 12 Joanna Jaszuńska

34 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 13 Joanna Jaszuńska

35 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 14 Joanna Jaszuńska

36 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 15 Joanna Jaszuńska

37 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 16 Joanna Jaszuńska

38 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 17 Joanna Jaszuńska

39 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 18 Joanna Jaszuńska

40 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Ten ciąg ma 10 = cyfr. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 18 Joanna Jaszuńska

41 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

42 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

43 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

44 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

45 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

46 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Wybór wierzchołka początkowego dodatkowe 3 cyfry. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

47 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Wybór wierzchołka początkowego dodatkowe 3 cyfry. Pierwsze i ostatnie 3 cyfry ciągu są takie same cykl de Bruijna. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska

48 Cykl dla 3-cyfrowych kodów Ciąg ma 10 = cyfr, cykl ma 8. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 20 Joanna Jaszuńska

49 Cykl dla 3-cyfrowych kodów Ciąg ma 10 = cyfr, cykl ma 8. graf i ciąg de Bruijna dla 4-cyfrowych kodów 0-1 i dla 2-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 20 Joanna Jaszuńska

50 Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska

51 Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... sprawdzanie po kolei ( = cyfr) może zająć > 5,5 godziny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska

52 Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... sprawdzanie po kolei ( = cyfr) może zająć > 5,5 godziny sprawdzenie ciągu de Bruijna (10003 cyfr) zajmuje < 1,5 godziny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska

53 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska

54 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska

55 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Graf planarny da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska

56 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Graf planarny da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały. Nie wszystkie grafy są planarne. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska

57 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska

58 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska

59 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska

60 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska

61 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian, przy czym każdą krawędź liczymy dwa razy. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska

62 Graf K 5 nie jest planarny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska

63 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska

64 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska

65 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, 3s 2k Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska

66 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, 3s 2k Domki i studnie (graf K 3 3 nie jest planarny) dowód analogiczny. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska

67 Grafy nieplanarne Twierdzenie Graf zawiera coś typu K 5 lub K 3 3 nie jest planarny. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 25 Joanna Jaszuńska

68 Grafy nieplanarne Twierdzenie Graf zawiera coś typu K 5 lub K3 3 nie jest planarny. Twierdzenie Kuratowskiego (wersja niezbyt formalna) Graf zawiera coś typu K 5 lub K3 3 nie jest planarny. Kazimierz Kuratowski ( ) matematyk polski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 25 Joanna Jaszuńska

69 Graf Petersena nie jest planarny Julius Peter Christian Petersen ( ) matematyk duński Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 26 Joanna Jaszuńska

70 Graf Petersena nie jest planarny Julius Peter Christian Petersen ( ) matematyk duński The end Ten i niektóre inne rysunki: Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 26 Joanna Jaszuńska

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Graf to nie tylko tytuł szlachecki

Graf to nie tylko tytuł szlachecki Kàcik olimpijski Grafy Graf to nie tylko tytuł szlachecki karta pracy Graf to nie tylko tytuł szlachecki Graf co to takiego? Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leonhard Euler (707 783). Grafem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko

Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko Bartłomiej Zemlik Klasa IVa Szkoła Podstawowa im. Bohaterów Monte Cassino w Kętach ul. Wyspiańskiego 1 32-650 Kęty Opiekun dr Katarzyna Wadoń-Kasprzak 1 Spis Treści

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni

Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Konferencja SEM Formalizmy tak czy nie? Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Joanna Jaszuńska Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz Instytut Matematyczny PAN Krzywe... 1 21 X 2017 Joanna

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania Poniższy dokument zawiera przykładowe rozwiązania zadań z I etapu I edycji konkursu (2014 r.). Rozwiązania w formie takiej jak przedstawiona niżej uzyskałyby pełną liczbę punktów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 30.09.2015 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.

Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. 1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Cała prawda o powierzchniach

Cała prawda o powierzchniach Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...

O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 23.05.2016 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów

Teoria grafów dla małolatów Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Przecięcia odcinków. Wykład /07

Przecięcia odcinków. Wykład /07 Przecięcia odcinków Wykład 2 2006/07 Problem Dane: zbiór S={s 1,...,s n } odcinków na płaszczyźnie Wynik: zbiór punktów przecięć wszystkich odcinków z S, wraz z informacją które odcinki przecinają się

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria

Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria Spis treści Wyrażenia wymierne Przekształcanie wielomianów... 8 Równania wymierne... 12 Hiperbola. Przesuwanie hiperboli... 19 Powtórzenie... 26 Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola... 28 Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1. O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew

Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski, UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl, syslo@mat.uni.torun.pl http://mmsyslo.pl/ < 250 > Informatyka

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które

Bardziej szczegółowo

WIELOKĄTY FOREMNE I ICH PRZEKĄTNE

WIELOKĄTY FOREMNE I ICH PRZEKĄTNE WIELOKĄTY FOREMNE I ICH PRZEKĄTNE Krzysztof Lisiecki Kl. V a SP nr 6 im. Unii Europejskiej w Kłodzku Praca pod kierunkiem: mgr Moniki Chosińskiej Spis treści Lp. Tytuł Str. 1. Wstęp. 2 2. Pojęcia używane

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer

Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie Barbara Doncer opiekun: mgr Wiesława Kałużny Kraków, 2014r. Wstęp Jak rozstrzygnąć, kto ma większe szanse na zwycięstwo w grach losowych, jak zaplanować spacer po rynku,

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania 6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii

Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii Leonhard Euler Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii Dzieciństwo i młodość przeprowadzka

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił.

Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. Scenariusz lekcji Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. W roku 1962 chioski matematyk Mei-Ko Kwan zaproponował następujący problem: Listonosz roznosząc

Bardziej szczegółowo

Kim był Erdős? Węgierski matematyk Jeden z najbardziej płodnych i oryginalnych matematyków Matematyk to taka maszyna do zamieniania kawy w teorie

Kim był Erdős? Węgierski matematyk Jeden z najbardziej płodnych i oryginalnych matematyków Matematyk to taka maszyna do zamieniania kawy w teorie Paul Erdős AUTORZY: ALEKSANDRA STRĄCZYŃSKA PRZEMYSŁAW SZCZECIŃSKI ARTUR SŁABUSZEWSKI TOMASZ DĘBIEC UCZELNIA: POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ: MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH PRZEDMIOT: KRÓTKI KURS HISTORII

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016 Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo