Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków
|
|
|
- Mikołaj Witek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 1 Joanna Jaszuńska
2 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska
3 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska
4 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Twierdzenie Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 2 Joanna Jaszuńska
5 Zagadka przedszkolna nr 1 rysowanie kopert Czy otwartą kopertę można narysować bez odrywania ołówka od kartki? Czy można tak narysować zamkniętą kopertę? Kiedy obrazek można narysować i wrócić do punktu wyjścia? Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Leonhard Euler ( ) matematyk szwajcarski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 3 Joanna Jaszuńska
6 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
7 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
8 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... krawędzie mogą być skierowane Np. kto kogo lubi, wyniki turnieju... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
9 Graf = wierzchołki + krawędzie rozważamy tylko grafy spójne Np. ludzie i znajomości, miasta i połączenia kolejowe... krawędzie mogą być skierowane Np. kto kogo lubi, wyniki turnieju... stopień wierzchołka = liczba krawędzi przy nim Tw. Suma stopni wierzchołków grafu = 2 liczba krawędzi w grafie. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 4 Joanna Jaszuńska
10 Drogi i cykle Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
11 Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
12 Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa... Paul Erdős ( ) matematyk węgierski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
13 Drogi i cykle Np. wyprawa dookoła świata, portale społecznościowe, liczba Erdősa... Paul Erdős ( ) matematyk węgierski Droga (cykl) Eulera przechodzi przez każdą krawędź dokładnie raz. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 5 Joanna Jaszuńska
14 Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska
15 Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska
16 Mosty w Królewcu Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 6 Joanna Jaszuńska
17 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
18 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
19 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
20 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
21 Twierdzenie Eulera (wersja mniej formalna) Obrazek da się narysować bez odrywania ołówka i wrócić do punktu wyjścia w każdym wierzchołku jest parzysta liczba krawędzi. Twierdzenie Eulera (wersja bardziej formalna) W grafie istnieje cykl Eulera każdy wierzchołek ma stopień parzysty. Dowód części. Wn. W grafie istnieje droga Eulera, która nie jest cyklem są dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego. Tw. W grafie skierowanym istnieje cykl Eulera w każdym wierzchołku tyle samo krawędzi wychodzących i wchodzących. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 7 Joanna Jaszuńska
22 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
23 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
24 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
25 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
26 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
27 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
28 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11) Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
29 Ciągi de Bruijna Nicolaas Govert de Bruijn (ur. 1918) matematyk holenderski Jak złamać kod? sprawdzać losowo sprawdzać po kolei 0000, 0001,..., 9999, razem = cyfr szybciej? Ciąg musi mieć co najmniej cyfry, taki najkrótszy możliwy ciąg nazywamy ciągiem de Bruijna. Twierdzenie Ciąg de Bruijna zawsze istnieje. Ciąg dla 2-cyfrowych kodów 0-1 (00, 01, 10, 11): Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 8 Joanna Jaszuńska
30 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 9 Joanna Jaszuńska
31 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 10 Joanna Jaszuńska
32 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 11 Joanna Jaszuńska
33 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 12 Joanna Jaszuńska
34 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 13 Joanna Jaszuńska
35 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 14 Joanna Jaszuńska
36 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 15 Joanna Jaszuńska
37 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 16 Joanna Jaszuńska
38 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 17 Joanna Jaszuńska
39 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 18 Joanna Jaszuńska
40 Ciąg dla 3-cyfrowych kodów Ten ciąg ma 10 = cyfr. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 18 Joanna Jaszuńska
41 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
42 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
43 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
44 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
45 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
46 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Wybór wierzchołka początkowego dodatkowe 3 cyfry. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
47 Ciąg de Bruijna dla kodów 4-cyfrowych (i ogólnie) Tw. Istnieje najkrótszy możliwy ciąg (długości 10003). Dowód. Budujemy graf wierzchołki = trójki cyfr (pamięć), jest ich 1000 skierowane krawędzie = pojedyncze cyfry (kody), jest ich = W każdym wierzchołku 10 krawędzi wychodzących i 10 wchodzących. Istnieje cykl Eulera, przechodzący przez każdą krawędź (kod) dokładnie raz. Wybór wierzchołka początkowego dodatkowe 3 cyfry. Pierwsze i ostatnie 3 cyfry ciągu są takie same cykl de Bruijna. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 19 Joanna Jaszuńska
48 Cykl dla 3-cyfrowych kodów Ciąg ma 10 = cyfr, cykl ma 8. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 20 Joanna Jaszuńska
49 Cykl dla 3-cyfrowych kodów Ciąg ma 10 = cyfr, cykl ma 8. graf i ciąg de Bruijna dla 4-cyfrowych kodów 0-1 i dla 2-cyfrowych kodów Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 20 Joanna Jaszuńska
50 Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska
51 Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... sprawdzanie po kolei ( = cyfr) może zająć > 5,5 godziny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska
52 Ciągi de Bruijna szybciej? Z zaproponowanych metod łamania kodu: sprawdzanie losowo może trwać dowolnie długo... sprawdzanie po kolei ( = cyfr) może zająć > 5,5 godziny sprawdzenie ciągu de Bruijna (10003 cyfr) zajmuje < 1,5 godziny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 21 Joanna Jaszuńska
53 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
54 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
55 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Graf planarny da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
56 Zagadka przedszkolna nr 2 domki i studnie Graf planarny da się narysować na płaszczyźnie tak, aby krawędzie się nie przecinały. Nie wszystkie grafy są planarne. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 22 Joanna Jaszuńska
57 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
58 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
59 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
60 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
61 Wzór Eulera Dla grafów planarnych (a także np. dla wielościanów wypukłych) w k + s = 2 Tw. Dla grafów planarnych bez cykli i wielokrotnych krawędzi 3s 2k. Liczba krawędzi to co najmniej trzykrotna liczba ścian, przy czym każdą krawędź liczymy dwa razy. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 23 Joanna Jaszuńska
62 Graf K 5 nie jest planarny Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
63 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
64 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
65 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, 3s 2k Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
66 Graf K 5 nie jest planarny w = 5, k = 10, w k + s = 2 s = 7 3s = 21, 2k = 20, 3s 2k Domki i studnie (graf K 3 3 nie jest planarny) dowód analogiczny. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 24 Joanna Jaszuńska
67 Grafy nieplanarne Twierdzenie Graf zawiera coś typu K 5 lub K 3 3 nie jest planarny. Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 25 Joanna Jaszuńska
68 Grafy nieplanarne Twierdzenie Graf zawiera coś typu K 5 lub K3 3 nie jest planarny. Twierdzenie Kuratowskiego (wersja niezbyt formalna) Graf zawiera coś typu K 5 lub K3 3 nie jest planarny. Kazimierz Kuratowski ( ) matematyk polski Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 25 Joanna Jaszuńska
69 Graf Petersena nie jest planarny Julius Peter Christian Petersen ( ) matematyk duński Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 26 Joanna Jaszuńska
70 Graf Petersena nie jest planarny Julius Peter Christian Petersen ( ) matematyk duński The end Ten i niektóre inne rysunki: Grafy Wykłady popularne z matematyki, PW, 6.V.2010, 26 Joanna Jaszuńska
MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Graf to nie tylko tytuł szlachecki
Kàcik olimpijski Grafy Graf to nie tylko tytuł szlachecki karta pracy Graf to nie tylko tytuł szlachecki Graf co to takiego? Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leonhard Euler (707 783). Grafem
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Opracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Algorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko
Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko Bartłomiej Zemlik Klasa IVa Szkoła Podstawowa im. Bohaterów Monte Cassino w Kętach ul. Wyspiańskiego 1 32-650 Kęty Opiekun dr Katarzyna Wadoń-Kasprzak 1 Spis Treści
Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Graf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Digraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni
Konferencja SEM Formalizmy tak czy nie? Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Joanna Jaszuńska Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz Instytut Matematyczny PAN Krzywe... 1 21 X 2017 Joanna
Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Przykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania Poniższy dokument zawiera przykładowe rozwiązania zadań z I etapu I edycji konkursu (2014 r.). Rozwiązania w formie takiej jak przedstawiona niżej uzyskałyby pełną liczbę punktów
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 30.09.2015 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW
Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje
Wojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii
Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów
Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).
6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Cała prawda o powierzchniach
Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać
Algorytmy z powracaniem
Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 23.05.2016 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Teoria grafów dla małolatów
Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko
6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n
i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany
G. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów
17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Wykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
TEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Przecięcia odcinków. Wykład /07
Przecięcia odcinków Wykład 2 2006/07 Problem Dane: zbiór S={s 1,...,s n } odcinków na płaszczyźnie Wynik: zbiór punktów przecięć wszystkich odcinków z S, wraz z informacją które odcinki przecinają się
1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Kolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria
Spis treści Wyrażenia wymierne Przekształcanie wielomianów... 8 Równania wymierne... 12 Hiperbola. Przesuwanie hiperboli... 19 Powtórzenie... 26 Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola... 28 Prawdopodobieństwo
0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.
O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie
Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Zagadki Lilavati. grafy. Dla klas II V Czas trwania: 45 minut
Zagadki Lilavati grafy Dla klas II V Czas trwania: 45 minut Zagadki Lilavati to seria scenariuszy lekcji matematycznych. Powstały one dzięki działaniom fundacji Kosmos dla Dziewczynek. Projekt dofinansowała
SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
WIELOKĄTY FOREMNE I ICH PRZEKĄTNE
WIELOKĄTY FOREMNE I ICH PRZEKĄTNE Krzysztof Lisiecki Kl. V a SP nr 6 im. Unii Europejskiej w Kłodzku Praca pod kierunkiem: mgr Moniki Chosińskiej Spis treści Lp. Tytuł Str. 1. Wstęp. 2 2. Pojęcia używane
Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie. Barbara Doncer
Szkoła Podstawowa nr 151 w Krakowie Barbara Doncer opiekun: mgr Wiesława Kałużny Kraków, 2014r. Wstęp Jak rozstrzygnąć, kto ma większe szanse na zwycięstwo w grach losowych, jak zaplanować spacer po rynku,
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu
Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew
Znajdowanie najkrótszych dróg oraz najniższych i najkrótszych drzew Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski, UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl, syslo@mat.uni.torun.pl http://mmsyslo.pl/ < 250 > Informatyka
SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii
Leonhard Euler Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii Dzieciństwo i młodość przeprowadzka
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5 Zadanie domowe Kolokwium: przeczytaj z [U] o błędach w stosowaniu zasady poglądowości w nauczaniu matematyki
Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi
Algorytm chińskiego listonosza Katarzyna Ignaszewska SPI51. Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił.
Scenariusz lekcji Temat: Problem chińskiego listonosza, czyli jak obejść miasto najmniejszym nakładem sił. W roku 1962 chioski matematyk Mei-Ko Kwan zaproponował następujący problem: Listonosz roznosząc
Kim był Erdős? Węgierski matematyk Jeden z najbardziej płodnych i oryginalnych matematyków Matematyk to taka maszyna do zamieniania kawy w teorie
Paul Erdős AUTORZY: ALEKSANDRA STRĄCZYŃSKA PRZEMYSŁAW SZCZECIŃSKI ARTUR SŁABUSZEWSKI TOMASZ DĘBIEC UCZELNIA: POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ: MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH PRZEDMIOT: KRÓTKI KURS HISTORII
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna
Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej
Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej Geometria w starożytnym świecie Część A. Sprawdź, czy rozumiesz film. 1. Skreśl w tekście niewłaściwe słowa i sformułowania. Bryły platońskie
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0