Teoria grafów. Magdalena Lemańska

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria grafów. Magdalena Lemańska"

Transkrypt

1 Teoria grafów Magdalena Lemańska

2 Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater

3 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu.

4 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E.

5 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E. Sąsiedztwo Otwartym sąsiedztwem wierzchołka v V w grafie G nazywamy zbiór N G = {u V : uv E}. Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v V to zbiór N G (v) {v}.

6 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E. Sąsiedztwo Otwartym sąsiedztwem wierzchołka v V w grafie G nazywamy zbiór N G = {u V : uv E}. Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v V to zbiór N G (v) {v}. Stopień wierzchołka Stopień wierzchołka v V w grafie G oznaczamy przez d G (v) i definiujemy jako ilość elementów w otwartym sąsiedztwie wierzchołka v; d G (v) = N G (v).

7 Wstęp Graf Grafem nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest niepustym zbiorem punktów (wierzchołków), a E to zbiór dwuelementowych podzbiorow zbioru V (krawędzi). Moc zbioru V oznaczamy przez n i nazywamy rzędem grafu, a moc zbioru E przez m i nazywamy rozmiarem grafu. Jeżeli u, v V, to uv E. Piszemy też e E. Sąsiedztwo Otwartym sąsiedztwem wierzchołka v V w grafie G nazywamy zbiór N G = {u V : uv E}. Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v V to zbiór N G (v) {v}. Stopień wierzchołka Stopień wierzchołka v V w grafie G oznaczamy przez d G (v) i definiujemy jako ilość elementów w otwartym sąsiedztwie wierzchołka v; d G (v) = N G (v). Graf prosty Graf prosty jest to graf nieskierowany, bez pętli i krawędzi wielokrotnych.

8 Typy grafów Graf pełny Graf pełny jest to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy symbolem K n. Łatwo zauważyć, że E(K n) = n(n 1) 2.

9 Typy grafów Graf pełny Graf pełny jest to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy symbolem K n. Łatwo zauważyć, że E(K n) = n(n 1) 2. Dopełnienie grafu Dopełnienie grafu G = (V, E) to graf G = (V, E), przy czym e E, jeśli e / E.

10 Typy grafów Graf pełny Graf pełny jest to graf, w którym każde dwa wierzchołki połączone są krawędzią. Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy symbolem K n. Łatwo zauważyć, że E(K n) = n(n 1) 2. Dopełnienie grafu Dopełnienie grafu G = (V, E) to graf G = (V, E), przy czym e E, jeśli e / E. Graf dwudzielny Graf G nazywamy grafem dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa zbiory V 1, V 2 w taki sposób, że każda krawędź z grafu G łączy wierzchołek ze zbioru V 1 z wierzchołkiem ze zbioru V 2. Jeśli V 1 = r, V 2 = s, to graf pełny dwudzielny oznaczamy przez K r,s. Graf K 1,n 1 nazywamy gwiazdą.

11 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ).

12 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ). Uwaga Dwa grafy o tej samej ilości wierzchołków i krawędzi oraz o tych samych ciągach stopni nie muszą być izomorficzne.

13 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ). Uwaga Dwa grafy o tej samej ilości wierzchołków i krawędzi oraz o tych samych ciągach stopni nie muszą być izomorficzne. Podgraf Podgrafem danego grafu G nazywamy graf G = (V, E ) taki, że V V oraz E E.

14 Izomorfizm grafów Grafy izomorficzne Mówimy, że grafy G 1, G 2 są izomorficzne, jeśli istnieje funkcja f : V (G 1 ) V (G 2 ), która odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór V 1 na zbiór V 2 oraz dla każdych dwóch wierzchołków u, v V (G 1 ), uv E(G 1 ) f (u)f (v) E(G 2 ). Uwaga Dwa grafy o tej samej ilości wierzchołków i krawędzi oraz o tych samych ciągach stopni nie muszą być izomorficzne. Podgraf Podgrafem danego grafu G nazywamy graf G = (V, E ) taki, że V V oraz E E. Podgraf indukowany Podgrafem danego grafu G nazywamy graf powstały przez usunięcie z grafu G pewnej liczby wierzchołków oraz krawędzi incydentnych z tymi wierzchołkami.

15 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie.

16 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie. Ścieżka Ścieżka jest to szlak, w którym nie są dozwolone powtórzenia wierzchołków. Szlak postaci (v 1, v 2,..., v k, v 1 ), gdzie (v 1, v 2,..., v k ) jest ścieżką, nazywamy cyklem.

17 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie. Ścieżka Ścieżka jest to szlak, w którym nie są dozwolone powtórzenia wierzchołków. Szlak postaci (v 1, v 2,..., v k, v 1 ), gdzie (v 1, v 2,..., v k ) jest ścieżką, nazywamy cyklem. Graf spójny Graf G jest grafem spójnym, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków tego grafu istnieje w G ścieżka pomiędzy nimi.

18 Szlak, ścieżka, cykl Szlak Szlakiem w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków (v 1, v 2,..., v k ) (w którym dozwolone są powtórzenia) taki, że v 1 v 2, v 2 v 3,..., v k 1 v k są różnymi krawędziami w grafie. Ścieżka Ścieżka jest to szlak, w którym nie są dozwolone powtórzenia wierzchołków. Szlak postaci (v 1, v 2,..., v k, v 1 ), gdzie (v 1, v 2,..., v k ) jest ścieżką, nazywamy cyklem. Graf spójny Graf G jest grafem spójnym, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków tego grafu istnieje w G ścieżka pomiędzy nimi. Lemat o uściskach dłoni Dla każdego grafu G, v V d G (v) = 2 E.

19 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem.

20 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1.

21 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne:

22 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem

23 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi

24 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi

25 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv, graf T uv jest niespójny

26 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv, graf T uv jest niespójny dowolne dwa wierzchołki grafu T są połączone dokładnie jedną ścieżką

27 Drzewo Drzewem T nazywamy graf spójny nie zawierający cykli. Jeśli v V (T ) i d T (v) = 1, to v nazywamy wierzchołkiem końcowym lub liściem. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to E(T ) = n 1. Twierdzenie Jeśli T jest drzewem o n wierzchołkach, to następujące warunki są równoważne: T jest drzewem T nie zawiera cykli i ma n 1 krawędzi T jest spójny i ma n 1 krawędzi T jest spójny i dla każdej jego krawędzi uv, graf T uv jest niespójny dowolne dwa wierzchołki grafu T są połączone dokładnie jedną ścieżką T nie posiada cykli, ale dla każdej pary niesąsiednich wierzchołków u, v graf T + uv zawiera dokładnie jeden cykl.

28 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2.

29 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać).

30 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy:

31 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy: 1 znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v;

32 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy: 1 znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v; 2 zapisać w oraz usunąć wierzchołek v wraz z krawędzią wv;

33 Zliczanie drzew Ile jest wszystkich drzew o n wierzchołkach?- tw. Cayleya Dla każdego drzewa T o n 2 wierzchołkach, ilość drzew n- wierzchołkowych wynosi T n = n n 2. Kody Prufera Prufer pokazał, że wszystkich drzew o n wierzchołkach jest dokładnie tyle, ile jest ciągów długości n 2, których elementy wybierane są ze zbioru n-elementowego (elementy mogą się powtarzać). Algorytm wyznaczania kodu Prufera Aby wyznaczyć kod Prufera danego drzewa T na zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n}, należy: 1 znaleźć najmniejszy wierzchołek stopnia jeden, powiedzmy v. Niech w będzie wierzchołkiem połączonym z v; 2 zapisać w oraz usunąć wierzchołek v wraz z krawędzią wv; 3 Jeśli w drzewie pozostała więcej niż jedna krawędź, to przejść do pierwszego kroku. Jeśli nie- zakończyć algorytm. Otrzymany ciąg jest ciągiem Prufera dla drzewa T.

34 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy:

35 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy: zapisać dwie listy: a 1, a 2,..., a n 2 oraz 1, 2,..., n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1, 2,..., n} i pustym zbiorem krawędzi;

36 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy: zapisać dwie listy: a 1, a 2,..., a n 2 oraz 1, 2,..., n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1, 2,..., n} i pustym zbiorem krawędzi; wyznaczyć z drugiej listy najmniejszą liczbę, powiedzmy i, która nie występuje na pierwszej liście. Usunąć pierwszy element z pierwszej listy, powiedzmy j, usunąć i z drugiej listy i dodać do zbioru krawędzi ji.

37 Otrzymywanie drzewa z kodu Dla zadanego ciągu liczb (a 1, a 2,..., a n 2 ) wybranych w dowolny sposób ze zbioru {1, 2,..., n}, aby wyznaczyć drzewo T, dla którego ten ciąg jest kodem Prufera, należy: zapisać dwie listy: a 1, a 2,..., a n 2 oraz 1, 2,..., n i rozpocząć ze zbiorem wierzchołków {1, 2,..., n} i pustym zbiorem krawędzi; wyznaczyć z drugiej listy najmniejszą liczbę, powiedzmy i, która nie występuje na pierwszej liście. Usunąć pierwszy element z pierwszej listy, powiedzmy j, usunąć i z drugiej listy i dodać do zbioru krawędzi ji. jeśli pierwsza lista zawiera co najmniej jedną liczbę, to przejść do poprzedniego punktu. Jeśli pierwsza lista jest pusta, to druga będzie się składać z dokładnie dwóch liczb. Dodać do zbioru krawędzi ostatnią, której wierzchołkami są właśnie te liczby i zakończyć algorytm.

38 Leonard Euler

39 Leonard Euler Leonard Euler

40 Leonard Euler

41 Leonard Euler Leonard Euler:

42 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię;

43 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne;

44 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga;

45 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU;

46 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki;

47 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości;

48 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości; jest autorem hipotezy, że ziemia jest wewnątrz pusta, w centrum ma słońce, na dodatek ta przestrzeń jest zamieszkana (UFO- forum top secret);

49 Leonard Euler Leonard Euler: w wieku 13 lat zaczął studiować teologię; w wieku lat 16 ukończył studia matematyczne; znalazł matematyczny dowód na istnienie Boga; wymyślił popularną teraz łamigłówkę SUDOKU; opublikował ponad 900 prac z różnych dziedzin, był wielkim popularyzatorem matematyki; 77 miejsce na 100 postaci, które miały największy wpływ na dzieje ludzkości; jest autorem hipotezy, że ziemia jest wewnątrz pusta, w centrum ma słońce, na dodatek ta przestrzeń jest zamieszkana (UFO- forum top secret); słynny "wzór Eulera"wymyślił, mając dokładnie roczek.

50 Mosty królewieckie

51 Mosty królewieckie Mosty królewieckie- siedem mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736).

52 Mosty królewieckie Mosty królewieckie- siedem mostów łączących brzegi rzeki Pregoły (1736). Pytanie Eulera- czy można przejść przez miasto przechodząc przez każdy most dokładnie raz?

53

54 Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami, a mosty krawędziami.

55 Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami, a mosty krawędziami. Czy można przejść przez graf, używając każdej krawędzi dokładnie raz? (czy graf jest eulerowski?)

56 Zastępujemy obszary lądu wierzchołkami, a mosty krawędziami. Czy można przejść przez graf, używając każdej krawędzi dokładnie raz? (czy graf jest eulerowski?) Hymn teorii grafów (refren) Eulera graf, to fakt oczywisty, wszystkie wierzchołki ma stopni parzystych. To doskonale znana jest W teorii grafów pierwsza z tez.

57 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia.

58 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu.

59 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera.

60 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne:

61 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty,

62 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty, istnieje p cykli c 1,..., c p takich, że każda krawędź grafu G należy do dokładnie jednego cyklu (G można przedstawić jako sumę rozłącznych krawędziowo cykli)

63 Grafy eulerowskie Szlak domknięty Szlak domknięty- taki, który kończy się w swoim punkcie wyjścia. Szlak Eulera Szlak Eulera- szlak domknięty, przechodzący przez wszystkie krawędzie grafu. Graf eulerowski Graf Eulerowski- graf zawierający szlak Eulera. Twierdzenie Eulera- Hierholtza- warunek konieczny i dostateczny Niech G będzie grafem spójnym. Następujące trzy własności są równoważne: każdy wierzchołek w G ma stopień parzysty, istnieje p cykli c 1,..., c p takich, że każda krawędź grafu G należy do dokładnie jednego cyklu (G można przedstawić jako sumę rozłącznych krawędziowo cykli) G jest eulerowski.

64 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz?

65 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ;

66 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ; Wszystkie krawędzie C oznaczamy cechą 0;

67 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ; Wszystkie krawędzie C oznaczamy cechą 0; Wybieramy cykl C, sąsiedni z cyklem już wybranym i jego krawędziom przypisujemy cechę c + 1, gdzie c jest cechą poprzednio wybraną- tak do wyczerpania krawędzi grafu G;

68 Algorytmy znajdowania zamkniętego szlaku Eulera Algorytm- jak przejść graf eulerowski, używając każdej krawędzi dokładnie raz? Wybieramy dowolny wierzchołek v 0 V (G) i cykl C zawiera v 0 ; Wszystkie krawędzie C oznaczamy cechą 0; Wybieramy cykl C, sąsiedni z cyklem już wybranym i jego krawędziom przypisujemy cechę c + 1, gdzie c jest cechą poprzednio wybraną- tak do wyczerpania krawędzi grafu G; Startujemy z v 0 i idziemy wzdłuż cyklu oznaczonego symbolem 0 aż do spotkania wierzchołka v i incydentnego z znieodwiedzaną jeszcze krawędzią oznaczoną wyższym symbolem. Wybieramy krawędź z najwyższą cechą aż do wyczerpania wszystkich krawędzi.

69 Algorytm Fleury ego

70 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu.

71 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G :

72 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G : Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad:

73 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G : Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad: 1. Usuwaj z grafu przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane powstałe w wyniku usuwania tych krawędzi.

74 Algorytm Fleury ego Most Krawędź w grafie nazywamy mostem, jeżeli jej usunięcie powoduje utratę spójności grafu. Algorytm Fleury ego Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest wykonalna i daje w wyniku cykl (zamknięty szlak) Eulera w grafie G : Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie zasad: 1. Usuwaj z grafu przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane powstałe w wyniku usuwania tych krawędzi. 2. W każdym momencie przechodź przez most tylko wtedy, gdy nie masz innej możliwości.

75 Twierdzenie Halla- wersja małżeńska

76 Twierdzenie Halla- wersja małżeńska Twierdzenie o małżeństwach- przykład Kasia zna Maćka, Adama i Kubę. Monika- Adama i Kubę. Jola zna Kubę, Łukasza i Tomka. Marta- Adama i Maćka. Renia zna Kubę, Adama i Maćka; Magda- Michała, Łukasza i Bartka.

77 Twierdzenie Halla- wersja małżeńska Twierdzenie o małżeństwach- przykład Kasia zna Maćka, Adama i Kubę. Monika- Adama i Kubę. Jola zna Kubę, Łukasza i Tomka. Marta- Adama i Maćka. Renia zna Kubę, Adama i Maćka; Magda- Michała, Łukasza i Bartka. Pytanie: Czy jest możliwe znalezienie męża dla każdej z tych dziewcząt? (to znaczy, dla każdej innego chłopca spośród tych, których zna)

78

79 Rysunek

80 Twierdzenie o małżeństwach Twierdzenie Halla (wersja małżeńska) W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców.

81 Twierdzenie o małżeństwach Twierdzenie Halla (wersja małżeńska) W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Przykład 2 Agata zna Janka i Zbyszka; Asia- Pawła i Janka; Aga zna Janka, Zbyszka, Piotrka i Michała; Amelia- Pawła, Piotrka, Wojtka i Jurka; Ala zna Janka i Michała; Ania- Pawła i Janka.

82 Twierdzenie o małżeństwach Twierdzenie Halla (wersja małżeńska) W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich), dziewczyny te znają co najmniej r chłopców. Przykład 2 Agata zna Janka i Zbyszka; Asia- Pawła i Janka; Aga zna Janka, Zbyszka, Piotrka i Michała; Amelia- Pawła, Piotrka, Wojtka i Jurka; Ala zna Janka i Michała; Ania- Pawła i Janka. W tym przypadku każdy pozdbiór r dziewcząt zna co najmniej r chłopców. Wybieramy dziewczynom mężów.

83 Co poradzimy Ani???

84 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania:

85 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania:

86 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia

87 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak.

88 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga

89 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga Michał + Ala

90 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga Michał + Ala Piotrek + Amelia

91 Ania urządza przyjęcie Ania urządza przyjęcie- zaprasza na nie wszystkich chłopców, których zna. Chłopcy przychodzą ze swoimi dziewczynami. Ania: Paweł + Asia Janek + Agata Dziewczyny zapraszają chłopców, których znają, a których nie ma jeszcze na przyjęciu. Oni przychodzą z dziewczynami itp. Łańcuch zaproszeń trwa do chwili, gdy na przyjęciu pojawi się wolny chłopak. Zbyszek + Aga Michał + Ala Piotrek + Amelia WOJTEK

92 Wojtek + Amelia Wojtek tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła.

93 Wojtek + Amelia Wojtek tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła. Piotrek + Aga Chłopak Amelii, Piotrek, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła.

94 Zbyszek + Agata Zbyszek, chłopak Agi, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła.

95 Zbyszek + Agata Zbyszek, chłopak Agi, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła. Janek + ANIA Chłopak Agaty, Piotrek, tańczy z dziewczyną, która go zaprosiła, czyli z ANIĄ

96 Tańczące pary tworzą związki małżeńskie Ania znalazła męża.

97 Tańczące pary tworzą związki małżeńskie Ania znalazła męża. Paweł + Asia, Michał + Ala Pozostałe pary pozostają bez zmian

98 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów.

99 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy:

100 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy: X = n, X = {a 1, a 2,..., a n};

101 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy: X = n, X = {a 1, a 2,..., a n}; a i A i dla i = 1..., n, czyli a i reprezentuje zbiór A i dla każdego i.

102 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Transwersala Transwersala- jest to zbiór różnych reprezentantów. Definicja transwersali Dana jest uporządkowana rodzina zbiorów R = {A 1, A 2,..., A n}. Zbiór X n i=1 A i jest transwersalą rodziny R, gdy: X = n, X = {a 1, a 2,..., a n}; a i A i dla i = 1..., n, czyli a i reprezentuje zbiór A i dla każdego i. Przykład A 1 = {1, 3}; A 2 = {2, 3}; A 3 = {1, 3, 4}; A 4 = {2, 4, 6, 7}; A 5 = {1, 5}; A 6 = {1, 2}.

103 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Rodzina R = {A 1,..., A n} posiada transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru I {1,..., n} I = {i 1,..., i r } zachodzi warunek A i1 A i2... A ir r = I.

104 Twierdzenie Halla- wersja transwersalowa Rodzina R = {A 1,..., A n} posiada transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru I {1,..., n} I = {i 1,..., i r } zachodzi warunek A i1 A i2... A ir r = I. Odniesienie do wersji małżeńskiej A i1 - zbiór chłopców znanych dziewczynie 1; A ir - zbiór chłopców znanych dziewczynie r; r = I - moc podzbioru dziewcząt.

105 Twierdzenie Halla- wersja grafowa Skojarzenie Skojarzenie (matching) w grafie dwudzielnym G = (V 1, V 2, E) zbioru V 1 w zbiór V 2 jest to zbiór krawędzi E E taki, że każdy wierzchołek z V 1 należy do krawędzi z E i krawędzie te są wierzchołkowo rozłączne.

106

107 Twierdzenie Halla- wersja grafowa Jeżeli G = (V 1, V 2, E) jest grafem dwudzielnym, to istnieje skojarzenie zbioru V 1 w V 2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego X V 1 jest N G (X ) X.

108 Twierdzenie Halla- wersja grafowa Jeżeli G = (V 1, V 2, E) jest grafem dwudzielnym, to istnieje skojarzenie zbioru V 1 w V 2 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego X V 1 jest N G (X ) X. Odniesienia do wersji małżeńskiej Skojarzenia- zawarte związki małżeńskie; Ilość sąsiadów- ilość znajomych chłopców; Graf ma skojarzenie wtedy i tylko wtedy, gdy każda dziewczyna znajdzie męża spośród chłopców, których zna.

109 Grafy hamiltonowskie

110 Grafy hamiltonowskie Firma kurierska Problem dotyczy kuriera, mającego rozwieźć przesyłki do odbiorców w ten sposób, by odwiedzić każdego klienta jedynie raz, a na końcu wrócić do siedziby firmy.

111 Grafy hamiltonowskie Firma kurierska Problem dotyczy kuriera, mającego rozwieźć przesyłki do odbiorców w ten sposób, by odwiedzić każdego klienta jedynie raz, a na końcu wrócić do siedziby firmy. Załóżmy, że na przesyłki czeka następujący zbiór osób: Henryk, Elżbieta, Maciej, Jan, Ula, Izabela, Gabriela oraz Maria. Niestety, jak widać na rysunku, nie ma połączeń umożliwiających przejazd między dowolnymi dwoma klientami.

112 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona.

113 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz).

114 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz). Ścieżka Hamiltona Ścieżka Hamiltona to ścieżka przechodząca przez wszystkie wierzchołki grafu, każdy odwiedzając jedynie raz.

115 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz). Ścieżka Hamiltona Ścieżka Hamiltona to ścieżka przechodząca przez wszystkie wierzchołki grafu, każdy odwiedzając jedynie raz. Grafy Hamiltonowskie (posiadające cykl Hamiltona) W odróżnieniu od grafów eulerowskich, grafy hamiltonowskie nie posiadają prostej i szybkiej w użyciu charakteryzacji. Nie jest znana metoda pozwalająca szybko (tzn. w czasie wielomianowym) stwierdzić, czy dany graf jest hamiltonowski. Są jednak pewne warunki wystarczające na to, by graf był hamiltonowski.

116 Zachodzi pytanie, czy kurier mimo to może wykonać to zadanie. Jeśli prześledzimy warunki nałożone na trasę wędrówki, to okaże się, że szukamy tzw. cyklu Hamiltona. Cykl Hamiltona Cykl Hamiltona to cykl przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (czyli szlak zamknięty, odwiedzający każdy wierzchołek dokładnie raz). Ścieżka Hamiltona Ścieżka Hamiltona to ścieżka przechodząca przez wszystkie wierzchołki grafu, każdy odwiedzając jedynie raz. Grafy Hamiltonowskie (posiadające cykl Hamiltona) W odróżnieniu od grafów eulerowskich, grafy hamiltonowskie nie posiadają prostej i szybkiej w użyciu charakteryzacji. Nie jest znana metoda pozwalająca szybko (tzn. w czasie wielomianowym) stwierdzić, czy dany graf jest hamiltonowski. Są jednak pewne warunki wystarczające na to, by graf był hamiltonowski. Twierdzenie Orego rok Jeśli w grafie prostym G = (V, E) o co najmniej trzech wierzchołkach, dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki u, v spełniają d G (u) + d G (v) V, to graf G jest hamiltonowski.

117 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka.

118 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g).

119 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). Jeżeli największy stopień wierzchołka w grafie G wynosi (G), to χ e(g) (G).

120 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). Jeżeli największy stopień wierzchołka w grafie G wynosi (G), to χ e(g) (G). Twierdzenie Koniga Jeśli G jest grafem dwudzielnym, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień, to χ e(g) =.

121 Kolorowanie krawędzi Kolorowanie krawędzi Mając dany graf, chcemy pokolorować jego krawędzie tak, by żadne krawędzie tego samego koloru nie miały wspólnego wierzchołka. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). Jeżeli największy stopień wierzchołka w grafie G wynosi (G), to χ e(g) (G). Twierdzenie Koniga Jeśli G jest grafem dwudzielnym, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień, to χ e(g) =. Twierdzenie Vizinga Jeśli G jest grafem, gdzie wierzchołek o największym stopniu ma stopień, to χ e(g) + 1.

122 Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Dany jest graf G = (V, E). Będziemy rozważać funkcję f : V N. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u, v V takich, że uv E jest f (u) f (v).

123 Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Dany jest graf G = (V, E). Będziemy rozważać funkcję f : V N. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u, v V takich, że uv E jest f (u) f (v). Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g).

124 Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Dany jest graf G = (V, E). Będziemy rozważać funkcję f : V N. Jest ona poprawnym kolorowaniem wierzchołków grafu G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków u, v V takich, że uv E jest f (u) f (v). Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). χ(g) = min{ f (v) } (minimum po wszystkich możliwych kolorowaniach) - jest to liczba chromatyczna grafu G.

125 Wielomian chromatyczny Wielomian chromatyczny Jeśli G = (V, E) jest grafem, a k N, to przez P G (k) oznaczmy liczbę różnych kolorowań prawidłowych grafu G w dokładnie k kolorów.

126 Wielomian chromatyczny Wielomian chromatyczny Jeśli G = (V, E) jest grafem, a k N, to przez P G (k) oznaczmy liczbę różnych kolorowań prawidłowych grafu G w dokładnie k kolorów. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g).

127 Wielomian chromatyczny Wielomian chromatyczny Jeśli G = (V, E) jest grafem, a k N, to przez P G (k) oznaczmy liczbę różnych kolorowań prawidłowych grafu G w dokładnie k kolorów. Indeks chromatyczny Najmniejszą liczbę kolorów potrzebną do pokolorowania w taki sposób krawędzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy χ e(g). χ(g) = min{ f (v) } (minimum po wszystkich możliwych kolorowaniach) - jest to liczba chromatyczna grafu G.

128 Przykład P K3 (k) = k(k 1)(k 2). Ogólnie, P Kn (k) = k(k 1)... (k (n 1)).

129 Przykład P K3 (k) = k(k 1)(k 2). Ogólnie, P Kn (k) = k(k 1)... (k (n 1)). P K5 (6) = P K5 (4) = To znaczy, że nie da się prawidłowo pokolorować w cztery kolory graru pełnego o pięciu wierzchołkach.

130 Przykład P K3 (k) = k(k 1)(k 2). Ogólnie, P Kn (k) = k(k 1)... (k (n 1)). P K5 (6) = P K5 (4) = To znaczy, że nie da się prawidłowo pokolorować w cztery kolory graru pełnego o pięciu wierzchołkach. χ(g)- najmniejsze k N takie, że P G (k) > 0.

131 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv.

132 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Oznaczenie G(u = v) Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u = v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v.

133 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Oznaczenie G(u = v) Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u = v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v. Twierdzenie Jeśli u, v są niesąsiednimi wierzchołkami grafu G, to P G (k) = P G+uv + P G(u=v).

134 Oznaczenie G + uv Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G i nie są połączone krawędzią, to przez G + uv oznaczmy graf powstały z G przez dodanie krawędzi uv. Oznaczenie G(u = v) Jeśli u, v są wierzchołkami grafu G, to przez G(u = v) oznaczmy graf powstały z G przez ściągnięcie wierzchołka u do v. Twierdzenie Jeśli u, v są niesąsiednimi wierzchołkami grafu G, to P G (k) = P G+uv + P G(u=v). Zadanie Dla grafu G = C 4 znaleźć P G (k) oraz χ(g).

135 Grafy planarne Definicja Graf G = (V, E) jest planarny, jeżeli może być narysowany na płaszczyźnie tak, że dowolne jego krawędzie spotykają się co najwyżej we wspólnym wierzchołku końcowym. Każdy rysunek takiego grafu jest jego planarną reprezentacją.

136 Grafy planarne Definicja Graf G = (V, E) jest planarny, jeżeli może być narysowany na płaszczyźnie tak, że dowolne jego krawędzie spotykają się co najwyżej we wspólnym wierzchołku końcowym. Każdy rysunek takiego grafu jest jego planarną reprezentacją. Regiony Mając daną planarną reprezentację grafu, można rozpatrywać zbiór punktów na płaszczyźnie, którenie należą do tej reprezentacji; zbiór ten w naturalny sposób dzieli się na kawałki zwane regionami.

137 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2.

138 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G = (V, E) mamy i k(o i ) = 2 E, gdzie k(o i ) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar O i.

139 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G = (V, E) mamy i k(o i ) = 2 E, gdzie k(o i ) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar O i. Twierdzenie Jeśli G = (V, E) jest grafem spójnym planarnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to E 3 V 6.

140 Wzór Eulera Twierdzenie (wzór Eulera) Jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, to w dowolnej jego planarnej reprezentacji liczba refionów f jest równa E V + 2. Twierdzenie Dla każdego grafu planarnego G = (V, E) mamy i k(o i ) = 2 E, gdzie k(o i ) oznacza ilość krawędzi ograniczających obszar O i. Twierdzenie Jeśli G = (V, E) jest grafem spójnym planarnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to E 3 V 6. Twierdzenie Jeśli G = (V, E) jest grafem spójnym planarnym dwudzielnym o co najmniej trzech wierzchołkach, to E 2 V 4.

141 Kolorowanie map W 1852 roku Francis Guthrie kolorując mapę Anglii zauważył, że cztery kolory wystarczą, by każde dwa sąsiadujące hrabstwa różniły się barwą.

142 Pomyślał: Czy cztery barwy wystarczą do pokolorowania dowolnej, nawet najbardziej skomplikowanej mapy?

143 Pomyślał: Czy cztery barwy wystarczą do pokolorowania dowolnej, nawet najbardziej skomplikowanej mapy? Kolorowanie mapy jest równoważne z kolorowaniem wierzchołków grafu planarnego.

144 Wierzchołki to obszary państw, a krawędź między wierzchołkami jest wtedy, gdy mają jedną lub więcej wspólnych granic.

145 Wierzchołki to obszary państw, a krawędź między wierzchołkami jest wtedy, gdy mają jedną lub więcej wspólnych granic. Pierwszy dowód pojawił się dopiero w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Był to zapewne najsłynniejszy fałszywy dowód w całej historii matematyki.

146 Rok 1976, dowód komputerowy, Keneth Appel, Wolfgang Hakeh, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Jana Kocha

147 Rok 1976, dowód komputerowy, Keneth Appel, Wolfgang Hakeh, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Jana Kocha Lata 90-te dwudziestego wieku- Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas- dowód bardziej strukturalny.

148 Rok 1976, dowód komputerowy, Keneth Appel, Wolfgang Hakeh, wspomagani w sprawach komputerowych przez studenta Jana Kocha Lata 90-te dwudziestego wieku- Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymour, Robin Thomas- dowód bardziej strukturalny. Twierdzenie Każda mapa może być pokolorowana pięcioma kolorami.

149 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}.

150 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}. W zbiorze R określamy dodawanie, przyjmując dla dowolnych (V, E ), (V, E ) R, (V, E ) (V, E ) = (V, E E ), gdzie E E jest różnicą symetryczną zbiorów E oraz E.

151 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}. W zbiorze R określamy dodawanie, przyjmując dla dowolnych (V, E ), (V, E ) R, (V, E ) (V, E ) = (V, E E ), gdzie E E jest różnicą symetryczną zbiorów E oraz E. Zbiór R z dodawaniem jest przestrzenią wektorową nad ciałem {0, 1}.

152 Oznaczenia Niech R oznacza zbiór wszystkich podgrafów spinających grafu G, tzn. R = {(V, E ) : E E}. W zbiorze R określamy dodawanie, przyjmując dla dowolnych (V, E ), (V, E ) R, (V, E ) (V, E ) = (V, E E ), gdzie E E jest różnicą symetryczną zbiorów E oraz E. Zbiór R z dodawaniem jest przestrzenią wektorową nad ciałem {0, 1}. W zbiorze R określamy mnożenie przez liczby z {0, 1} : dla dowolnego G = (V, E ) R mamy: 1 G = G 0 G = (V, ).

153 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G.

154 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G. Niech R oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru R są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające.

155 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G. Niech R oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru R są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające. Obserwacja R jest podprzestrzenią przestrzeni R.

156 Wektorem zerowym jest graf (V, ), a wektorem przeciwnym do G jest G. Niech R oznacza zbiór tych podgrafów spinających grafu G, w których stopień każdego wierzchołka jest parzysty. Zauważmy, że elementami zbioru R są cykle i sumy krawędziowo rozłącznych cykli grafu G rozumiane jako jego podgrafy spinające. Obserwacja R jest podprzestrzenią przestrzeni R. Przestrzeń cykli Podprzestrzeń R nazywamy przestrzenią cykli grafu G. Bazę C przestrzeni R złożoną jedynie z cykli nazywamy bazą cykli grafu G.

157 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1.

158 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1. Dodanie krawędzi e i = uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl c i złożony z krawędzi e i i jedynej ścieżki T (u, v).

159 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1. Dodanie krawędzi e i = uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl c i złożony z krawędzi e i i jedynej ścieżki T (u, v). Tak więc zbiór C = {c 1,..., c m} jest bazą cykli grafu G, nazywamy ją fundamentalną bazą cykli wyznaczoną przez drzewo spinające T.

160 Weźmy pod uwagę graf G = (V, E) i jego drzewo spinające T = (V, E ) oraz wszystkie krawędzie {e 1,..., e m} E E, których liczba jest równa E V + 1. Dodanie krawędzi e i = uv do drzewa T tworzy dokładnie jeden cykl c i złożony z krawędzi e i i jedynej ścieżki T (u, v). Tak więc zbiór C = {c 1,..., c m} jest bazą cykli grafu G, nazywamy ją fundamentalną bazą cykli wyznaczoną przez drzewo spinające T. Dowolny cykl w G można wyrazić jako różnicę symetryczną pewnych cykli bazowych w odniesieniu do drzewa T.

161 Problem pięciu królowych (1850 r) Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej?

162 Problem pięciu królowych (1850 r) Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych można sprowadzić do problemu znalezienia zbioru dominującego mocy 5.

163 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów.

164 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów. Zbiór dominujący Zbiór D V (G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek z V (G) D jest dominowany przez jakiś wierzchołek ze zbioru D.

165 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów. Zbiór dominujący Zbiór D V (G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek z V (G) D jest dominowany przez jakiś wierzchołek ze zbioru D. Obserwacja Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D D jest dominujący w G.

166 Dominowanie Dla danych wierzchołków x, y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x = y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkich swoich sąsiadów. Zbiór dominujący Zbiór D V (G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek z V (G) D jest dominowany przez jakiś wierzchołek ze zbioru D. Obserwacja Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D D też jest dominujący. Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D D jest dominujący w G. Zbiór minimalny dominujący Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D D nie jest dominujący.

167 Przykład- zbiory minimalne dominujące o różnej mocy

168 Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w G[D], podgrafie indukowanym przez zbiór D; b) istnieje v V D taki, dla którego N G (v) D = {u}.

169 Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w G[D], podgrafie indukowanym przez zbiór D; b) istnieje v V D taki, dla którego N G (v) D = {u}. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy γ(g).

170 Twierdzenie Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w G[D], podgrafie indukowanym przez zbiór D; b) istnieje v V D taki, dla którego N G (v) D = {u}. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy γ(g). Moc największego minimalnego zbioru dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania i oznaczamy Γ(G).

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania 6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 6.Grafy

Matematyka dyskretna - 6.Grafy Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna

Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk Warszawa, ul. Newelska 6, tel.

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk Warszawa, ul. Newelska 6, tel. WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk 01-447 Warszawa, ul. Newelska 6, tel. 22 3486544 Wydział Informatyki Kierunek studiów Profil Stopień studiów Forma

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa

TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV Drzewa Drzewem lub drzewem wolnym nazywamy dowolny graf spójny i acykliczny. Drzewa Ćwiczenie 1. Narysować wszystkie, z dokłado sci a do izomorfizmu, drzewa o 1, 2, 3,

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia)

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia 1. Pewien pan ma 5 garniturów, 7 krawatów i 10 koszul. Ile różnych zestawów może skompletować? 2. W zawodach

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n

Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinające

Minimalne drzewa rozpinające KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo