Modele i metody automatyki. Układy automatycznej regulacji UAR

Transkrypt

1 Modele i metody automatyki Układy automatycznej regulacji UAR

2 Możliwości i problemy jakie stwarzają zamknięte układy automatycznej regulacji powodują, że stały się one głównym obiektem zainteresowań automatyków. Opracowano pewne klasyczne algorytmy regulacji, które znalazły szerokie zastosowanie. Do doboru regulatora i jego dostrojenia potrzebna jest znajomość cech statycznych i dynamicznych obiektu, oraz kryterium pozwalające oceniać i porównywać uzyskane wyniki. Istotny jest również charakter działających na układ zakłóceń. Błąd regulacji powstaje w wyniku działania zakłóceń wpływających na obiekt, lub zmian wielkości wzorcowej. Reakcja układu zależy od miejsca ingerencji zaburzenia i dla optymalnego zwalczania błędu w poszczególnych przypadkach regulator powinien być inaczej dostrojony.

3 Uwzględniając ten fakt rozróżniamy trzy typy układów: 1. Układ stabilizacyjny, w którym wielkość x(t) = x0 jest stała. Głównym zadaniem układu jest zwalczanie wpływu zakłóceń działających na obiekt. 2. Układ nadążny (śledzący) x(t) - jest zmienna. Głównym zadaniem układu jest wymuszanie nadążania wielkości wyjściowej za nieznanymi wcześniej zmianami wzorca. 3 Układ programowy, w którym błędy regulacji mogą wynikać ze zmienności x(t) i z(t), ale zmienność x(t) jest znaną funkcją czasu i fakt ten można wykorzystać do poprawy jakości regulacji. (Można wprowadzić do regulatora zmodyfikowany sygnał wzorcowy, uwzględniający wynikające z dynamiki układu opóźnienie w formowaniu pożądanej wielkości wyjściowej.).

4 Istnieją układy regulacji nie objęte powyższym podziałem. Realizują one inaczej postawione zadania, co wynika z niemożności przyjęcia przytoczonych założeń, nazywamy je układami specjalnymi (niekonwencjonalnymi, ekstremalnymi, adaptacyjnymi). Nawet przy spełnieniu omówionych założeń w przypadku wysokich wymagań jakościowych i obiektów zbyt trudnych do regulacji, ze względu na dynamikę, popularne algorytmy regulacji mogą nie dać zadawalających wyników. Stosowane są wówczas, na ogół realizowane cyfrowo, algorytmy specjalne. W układach ze sprzężeniem zwrotnym bardzo istotne jest opóźnienie występujące w dopływie do regulatora informacji o reakcji obiektu na zmiany sterowania. Opóźnienia te powodują, że regulator wypracowuje korektę sterowania na podstawie zdezaktualizowanej informacji. Prowadzi to do wolnego zaniku błędu regulacji, a w skrajnym przypadku do teoretycznie nieograniczonego wzrostu błędu, co określamy jako utratę stabilności przez układ regulacji.

5 Cechy statyczne elementów UAR. Linearyzacja. Względy praktyczne (możliwość korzystania z zasady superpozycji) powodują, że jeżeli jest to tylko możliwe posługujemy się modelami liniowymi. Założenie liniowości zawsze obowiązuje z pewnymi ograniczeniami. Opis cech statycznych (związków niezależnych od czasu) obiektów, czyli matematyczny model ujmujący związki pomiędzy interesującymi nas wielkościami w stanach ustalonych prowadzi się z większą dokładnością niż cech dynamicznych. Statyczne błędy regulacji nie przekraczają kilku procent, natomiast błędy dynamiczne sięgają 100% ale mają charakter przejściowy. Przy opisie cech dynamicznych możemy sobie pozwolić na większa tolerancję i staramy się zlinearyzować występujące zależności. Technologia wymaga aby na etapie doboru nominalnego punktu pracy obiektu uwzględniać nieliniowy charakter zależności statycznych y = f (u), które ewentualnie później będzie można zlinearyzować.

6 Rozróżniamy wiele typów nieliniowości charakterystyk statycznych i często nie będzie ich można zlinearyzować. Dotyczy to wystąpienia w interesującym nas zakresie charakterystyki nieciągłości funkcji, niejednoznaczności, nieciągłości pierwszej pochodnej. Znacznie lepiej nadają się do linearyzacji funkcje gładkie.

7

8

9 Stosowane są dwie metody linearyzacji. Jeżeli tak jak w układzie stabilizacyjnym, istnieje punkt pracy od którego stan nie powinien się znacznie oddalać to stosujemy metodę stycznej. Jeżeli natomiast przewidujemy pracę w pewnym przedziale zmienności zmiennej niezależnej to stosujemy metodę siecznej.

10 Metoda stycznej polega na przybliżeniu funkcji nieliniowej linią prostą styczną do niej w przyjętym punkcie nominalnym. Jeżeli zależność nieliniowa podana jest w formie analitycznej to stosujemy rozwinięcie funkcji w szereg Taylora wokół przyjętego punktu pracy i uwzględniamy tylko dwa pierwsze wyrazy.: Następnym krokiem w zadaniach automatyki jest przesunięcie początku Następnym krokiem w zadaniach automatyki jest przesunięcie początku układu współrzędnych do punktu styczności (y 0, u 0 ), przez podstawienie: y=y 0 +y*;u=u 0 +u*.pozbędziemysięwtensposóbwyrazuwolnego:

11 Metoda stycznej interpretacja graficzna

12 Metoda siecznej polega na zastąpieniu krzywej w zadanym przedziale prostą przecinającą krzywą w wybranych dwóch punktach (lepsze przybliżenie można uzyskać stosując metodę minimum całki z kwadratu odchyłki między krzywą, a przyjętą prostą). Przy funkcji podanej analitycznie mamy: Po przesunięciu układu współrzędnych do punktu ( y 1, u 1 ), przez podstawienie: y = y 1 + y*; u = u 1 + u* pozbędziemy się wyrazu wolnego:

13 Metoda siecznej interpretacja graficzna

14 Linearyzacja elementów UAR. Jeżeli w UAR występują człony nieliniowe to chcąc je zlinearyzować musimy na wstępie określić punkty (przedziały) ich nominalnej pracy. Wymaga to określenia nieliniowych zależności pomiędzy zmiennymi układu. W układzie mogą wystąpić trzy podstawowe sytuacje połączenia bloków nieliniowych: szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym. Nieliniowe zależności statyczne między sygnałami najczęściej podane są w formie graficznej i wypadkowe charakterystyki zastępcze wyznacza się graficznie. Połączenie szeregowe. W połączeniu przykładowym dysponujemy charakterystykami a = f 1 (u) i y = f 2 (a). Charakterystyki te możemy umieścić na wspólnym wykresie i kolejno dla poszczególnych wartości u wyznaczać punkty charakterystyki wypadkowej jak na rysunku przykładowym zgodnie z relacją:

15

16 Połączenie równoległe. Wspólny sygnał po przejściu przez dwa bloki jest w zależności od znaków stojących przy sumatorze dodawany lub odejmowany. Operację tę ilustruje rysunek poniżej, zgodnie z relacją:

17

18 Połączenie bloków ze sprzężeniem zwrotnym. Szukamy funkcji y = f(u). Wielość sygnałów po stronie u powoduje, że łatwiej jest wyznaczyć funkcje odwrotną u = f -1 (y). W ten sposób możemy przyjmując kolejne wartości y wyznaczyć odpowiadające im wartości po czym uzyskaną zależność trzeba znów odwrócić. Zamiast dwukrotnego odwracania funkcji wystarczy na czas operacji zmienić role osi odciętych i rzędnych i przyjmując kolejne wartości y odczytać każdorazowo wartość a z funkcji y = f 1 (a) i b z krzywej y = f -1 2 (b). Czyli tylko funkcję f 2 trzeba odwrócić. Zauważmy, że ze względu na typ i jednostki sygnału b i y, w podanym układzie współrzędnych możemy narysować tą zależność tylko jako odwróconą. Aby układ mógł działać poprawnie uzyskane zależności muszą być jednoznaczne. Mając w układzie zadaną konkretną wartość wejściową, korzystając z przytoczonych przekształceń, wyznaczamy odpowiadającą jej wartość wielkości wyjściowej i punkty pracy wszystkich bloków. Następnie charakterystyki poszczególnych bloków linearyzujemy metodą stycznych wokół punktów pracy. W przypadku przewidywanej zmienności wielkości wejściowej w pewnym przedziale, stosujemy metodę siecznych.

19

20

21 Modele dynamiki. Potrzeba szybkiej minimalizacji pojawiających się na skutek działania zakłóceń błędów regulacji wymaga odpowiedniego dobrania i dostrojenia pod kątem dynamicznym elementów automatyki. W tym celu musimy przede wszystkim określić dynamikę obiektu. Istnieją dwa czynniki opóźniające stabilizację sygnału wyjściowego na nowym poziomie równowagi, po zmianie wartości wielkości wejściowej: opóźnienie transportowe(czas martwy) i bezwładność obiektów. Opóźnienie transportowe spowodowane jest skończoną prędkością nośników informacji. Przy szybkim nośniku informacji i krótkich trasach jej transportu opóźnienie transportowe może być niezauważalnie małe, ale nawet tak szybki nośnik informacji jakim jest światło w skali kosmicznej daje równie kosmiczne opóźnienia. W zadaniach technologicznych opóźnienia o charakterze transportowym mogą być na tyle duże, że uniemożliwią sprawne działanie UAR.

22 Duże opóźnienia mają miejsce gdy dotyczą transportu masy (np. ciecz o zmienianym składzie chemicznym transportowana jest na znaczną odległość). Opóźnienia utrudniające, lub uniemożliwiające działanie UAR wynikają często z trudności w szybkim pozyskaniu informacji o zmianach wielkości regulowanej. Opóźnienie transportowe wywołuje przesunięcie sygnału w czasie, które zapisujemy: f (t - τ) i wynosi ; gdzie: l jest długością drogi jaką pokonuje sygnał z prędkością v. Bezwładność wynika z faktu, że nowy stan równowagi wymaga zmiany poziomu napełnienia znajdujących się w obiekcie magazynów energii. Prędkość przepływu energii pomiędzy magazynami jest ograniczana przez opory i zależy na ogół od różnicy stanu ich napełnienia, więc w trakcie wyrównywania poziomów prędkość ta ulega zwolnieniu.

23 Jeżeli w obiekcie występują tylko skupione magazyny energii i obowiązują wcześniej przyjęte założenia liniowości i stacjonarności obiektu to zależność wielkości wyjściowej od sterowania możemy opisać jednym równaniem różniczkowym n-tego rzędu. Gdzie n jest równe ilości uwzględnianych w obiekcie magazynów energii.: Znak = rozdziela skutki od przyczyny. Z tego faktu wynika, że w realnym Znak = rozdziela skutki od przyczyny. Z tego faktu wynika, że w realnym układzie n>m. Opis układu w którym n = m choć często przyjmowany, jest już tylko modelowym przybliżeniem rzeczywistości bo zakłada równoczesność reakcji z pobudzeniem. Postać lewej strony równania wynika z budowy obiektu, a prawej zależy od miejsca i sposobu sterowania obiektem i przyjęcia zgodnie z naszymi zainteresowaniami określonego sygnału wyjściowego.

24 W układach automatyki występuje z reguły większa ilość członów dynamicznych w połączeniach: szeregowych, równoległych i w pętlach sprzężenia zwrotnego. Poszczególne sygnały podlegają w nich obróbce, z tego względu bardzo istotną jest możliwość algebraizacji równań różniczkowych jakie daje przekształcenie Laplace a. Równanie, przy założeniu zerowych warunków początkowych, (co w większości zadań rozwiązywanych w badaniu UAR nie jest istotnym ograniczeniem), po zastosowaniu przekształcenia Laplace`a przyjmie postać:

25 Wprowadzimy się pojęcie transmitancji, która w dziedzinie zmiennej s opisuje obróbkę sygnału w danym obiekcie. czyli Transmitancja obiektu reprezentującego tylko opóźnienie transportowe f (t - τ)ma postać:

26 W układach liniowych można dokonywać zmian konfiguracji układu blokowego, przestrzegając jedynie aby sygnał na swojej drodze pomiędzy wejściem, a interesującym nas wyjściem był tak samo obrobiony. Z tego punktu widzenia nieistotna jest kolejność usytuowania poszczególnych bloków oraz to czy przez dany blok przechodzą równocześnie inne sygnały. W UAR mogą wystąpić trzy elementarne połączenia członów: szeregowe, równoległe i z pętlą sprzężenia zwrotnego. Odpowiednie transmitancje zastępcze można łatwo wyznaczyć.

27 Szeregowe połączenie członów: Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku powyżej wyliczmy transmitancję wypadkową: Zastępcza transmitancja szeregowo połączonych członów, równa jest iloczynowi transmitancji.

28 Równoległe połączenie członów: Zastępcza transmitancja równolegle połączonych członów, równa jest sumie transmitancji.

29 Połączenie członów w układzie ze sprzężeniem zwrotnym: Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku, z sumatora wynika związek:

30 Ostatecznie otrzymujemy wzór na transmitancję zastępczą: Każde przekształcenie schematu blokowego liniowego UAR da się sprowadzić do powyższych trzech przypadków elementarnych.

31 Korzystając z powyższych przekształceń UAR możemy przedstawić w zwięzłej formie, jak na rysunku poniżej, wyróżniając tylko dwa bloki. Obiekt reprezentuje część technologiczną układu, a regulator elementy automatyki. Zwraca się tu uwagę na dwa sygnały wejściowe w i z ingerującewpracęukładuidwawyjściayiε. Sygnał y ma istotne znaczenie technologiczne, a sygnał błędu ε wykorzystywany jest do oceny jakościowej pracy układu.

32