XI International PhD Workshop OWD 2009, October 2009 MACHINES

Transkrypt

1 XI Iteratioal PhD Workhop OWD 009, 17 0 October 009 ZASTOSOWANIE PREDYKCYJNYCH HYBRYDOWYCH UKŁADÓW STEROWANIA DO CELÓW STEROWANIA ZESPOŁEM SERWONAPĘDÓW W OBRABIARKACH NUMERYCZNYCH CNC USING THE HYBRID PREDICTIVE CONTROL SYSTEMS TO CONTROL A GROUP OF SERVO DRIVES USED IN CNC MACHINES Grzegorz Mikołajczyk, Ititute o Cotrol Egieerig, Wet Poeraia Uiverity o Techology, Szczeci Abtract Over the pat everal year egieer have bee carryig out reearch o dieret ethod o eective cotrol o coplicated oliear ad tievariat yte. Mot o the oliear yte odel paraeter ay have igiicat ucertaity ad their iput are coied to predeied aplitude liit. They reveal eature o cotiuou a well a dicrete yte aely they have aalog ad biary igal. Solutio baed o the theory o hybrid predictive cotrol ued i deigig o cotrol yte ay prove very ueul. The hybrid predictive cotrol yte ea that the yte iclude both aalog proce igal ad biary deciive igal, which are geerated by cotroller o the itelliget uperior cotrol yte. Techology baed o hybrid predictive cotrol yte could be helpul i a lot o practical ipleetatio. The paper preet a hybrid predictive cotrol trategy or cotrol ad tabilizatio o cotraied oliear yte with ucertaity ad deotrate oe o it beeit i ter o providig a ae olutio or the practical ipleetatio o MPC. It i how how the hybrid predictive cotrol trategy ca be ued to cotrol the group o ervo drive i a CNC achie. The cetral idea i to ue a aily o local liear cotroller, each with a explicitly characterized tability regio, a all-back cotroller ad ebed the operatio o MPC withi the uio o thee regio. The eectivee o the propoed approach i deotrated through exaple o iulatio carried out i Matlab/Siulik. Strezczeie IŜyierowie od kilkuatu lat prowadzą badaia ad róŝyi etodai kuteczej regulacji złoŝoych proceów ieliiowych (ag. oliear NL) oraz zieych w czaie (ag. tie-variat TV). Bardzo częto procey takie wykazują właściwości zarówo układów ciągłych jak i dykretych, to zaczy wytępują w ich ygały aalogowe oraz zerojedykowe. W projektowaiu układów regulacji dla tak złoŝoych proceów pooce ogą ię okazać rozwiązaia bazujące a teorii hybrydowych predykcyjych układów terowaia rozuiaych jako układy, w których wytępować ogą rówocześie aalogowe I biare (zerojedykowe) ygały obiektowe I decyzyje, które ą geerowae w adrzędy iteligety układzie terujący. Techika wykorzytująca regulację proceów opartą a hybrydowych układach terowaia oŝe ię okazać poocą w wielu praktyczych przypadkach autoatyzacji. Wyika to.i. z opiywaej w literaturze duŝej kuteczości takich regulatorów oraz aktu łatwej ich realizacji przy poocy układów prograowalych. W artykule przedtawioo podtawy teorii hybrydowych układów terowaia obiektai ieliiowyi i/lub ietacjoaryi (NLTV) oraz poób tworzeia układów regulacji hybrydowej dla potrzeb terowaia zepołe erwoapędów odpowiadających za pracę obrabiarek ueryczych typu CNC. W układach hybrydowych korzytających z teorii regulacji predykcyjej MPC wykorzytuje ię oŝliwość odelowaia ieliiowego obiektu zepołe lokalych odeli liiowych (ag. Liear Tie-Ivariat LTI) przełączaych w ukcji wektora tau, dla których projektuje ię lokale regulatory tau. Spooby i kuteczość działaia hybrydowych układów terowaia prawdzoo a drodze badań yulacyjych zaipleetowaych w arzędziu Matlak/Siulik przy poocy Hybrid Toolbox. Opiao podtawowe właściwości terowaego obiektu, zapropoowao poób ytezy terowaia układe wykorzytujący etodykę właściwą dla układów hybrydowych oraz przedtawioo przykładowe wyiki badań. 43

2 1. Hybrydowe predykcyje ytey terowaia Jedy z podtawowych waruków braych pod uwagę w trakcie projektowaia regulatora jet wyóg zachowaia tabilości układu regulacji. Staje ię to zczególie waŝe jeśli obiekt wykazuje właściwości ieliiowe. W przypadku hybrydowych układów regulacji typu MPC (Model Predictive Cotrol) touje ię róŝe etody liiowego terowaia optyalego p. terowaie predykcyje z odele proceu/obiektu, przełączae w ukcji wektora tau [3]. Główą zaletą takiego podejścia jet oŝliwość wykorzytaia zaej etodyki ytezy liiowych układów predykcyjych w projektowaiu ieliiowego układu regulacji oraz łatwość ipleetacji docelowego regulatora. Syteza układu wyaga wyzaczeia hybrydowego odelu proceu/obiektu, a atępie doboru paraetrów regulatora horyzotów predykcji i terowaia, wpółczyików wagowych kryteriu optyalości oraz ewetualych ograiczeń ygałów dla pozczególych obzarów odelu hybrydowego. Regulator hybrydowy rozwiązując ciągło-dykrety proble optyalizacyjy wypracowuje w ogólości wielowyiarowy ygał terujący oddziaływujący a eleety ciągłe i dykrete wchodzące w kład całego regulowaego proceu. W hybrydowych yteach terowaia dla obiektów ieliiowych z ograiczoyi ygałai wejściowyi i poiadającego róŝego rodzaju iepewości pooce ogą ię okazać truktury zawierające regulator predykcyjy oraz odpory ograiczoy regulator oparty a teorii Lapuowa. Ry.1. Scheat logiczy odporego hybrydowego predykcyjego yteu terowaia [1]. Fig.1. A logic diagra o the robut hybrid predictive cotrol tructure [1].. Projektowaie odporych hybrydowych predykcyjych yteów terowaia Deiicja opiująca hybrydowe ytey terowaia oŝe być wyraŝoa w atępujący poób: Hybrydowy układ regulacji H jet złoŝeie w potaci H = (Q, X,, Ii Iv, E, G, R) gdzie Q = {q 1,,q }- jet kończoą wartością taów dykretych, X = R - odwzorowuje tay ciągłe obiektu/układu, : Q x X X - jet pole wektorowy, Iit: Q x X - określa tay początkowe obiektu/układu, Iv: Q P(X) - opiuje tay iezieicze, E: Q x Q - określa tay przejść w układzie, G: E P(X) - jet warukie zadziałaia regulacji, R: E P(X x X) - jet tzw. apą reetującą, określającą powiązaie bieŝących taów ciągłych ze taai, które iały iejce w przezłości. Otrzyujey wyraŝeie (q, x) Q X jako ta hybrydowego układu regulacji H. W dalzej części artykułu pod uwagę będą wzięte ytey ieliiowe charakteryzujące ię ograiczeiai wejść i iepewościai zieych, a atępie podjęta zotaie próba zdeiiowaia i zaprojektowaia odporego hybrydowego predykcyjego yteu terowaia zapewiającego kuteczą regulację proceu w oparciu o ogólie orułowaą regulację predykcyją typu MPC z uwzględieie dowolych iepewości proceu [1, ]. Główą ideą jet wykorzytaie w trukturze yteu terowaia odporego regulatora opartego a teorii Lapuowa, dla którego oŝliwe jet oiągięcie tabilości proceu regulacji w pętli zwrotej układu, zapewiające ty ay prawidłowe regulowaie całego proceu, za który odpowiedzialy jet podtawowy regulator predykcyjy. Jet to oiągięte poprzez wypracowaie odpowiedio zdeiiowaych praw przełączaia poiędzy regulatore predykcyjy i odpory ograiczoy regulatore Lapuowa, w taki poób aby peraetie wykorzytywać regulator predykcyjy w kaŝdy przypadku kiedy jet to oŝliwe, a więc kiedy jakość regulacji jet atyakcjoująca, a jedyie przełączać układ regulacji a działaie regulatora zajdującego ię w pętli zwrotej układu tylko wtedy, gdy kolejo wypracowae ygały terujące z regulatora predykcyjego ie zapewiają utrzyaia odpowiedio wyokiej tabilości układu. 44

3 .1 Wprowadzeie teoretycze Niech będzie rozwaŝoy ieliiowy yte zawierający iepewości zieych i ograiczeia ygałów wejściowych, który oŝe być przedtawioy jako acierz w przetrzei tau [1]: x& u = ( x) + G( x) u + W ( x) θ U (1) gdzie x R ozacza wektor tau, [ ] = u u 1 u jet wektore terujący dla ograiczoych wejść, uwzględiając ieputy zbiór U = u R u < u, jet U R, gdzie { : ax } wektore Euklideowy, u ax>0 jet wartością bezwzględą ograiczeń ygałów wejściowych, a 1 q q θ = [ θ θ ] Θ R określa wektor iepewości (rówieŝ tych zieych w czaie), ale ograiczoych wartościai zawierającyi ię w podzbiorze R q. Wektor iepewości, θ(t) oŝe opiywać ziee w czaie róŝe paraetry iepewości i/lub zewętrze zakłóceia. W rozwaŝaiach załoŝoo, Ŝe wartość początkowa jet dla t) = θ(t) 0 ZałoŜoo, Ŝe wektor ukcji (x), acierze G( x) = [ g ( x) g ( x) ] 1 1 q i W ( x) = [ w ( x) w ( x) ], gdzie g1 ( x) R, i = 1... i w1 ( x) R, i = 1... q ą ukcjai gładkii.. Ograiczoy odpory regulator Lapuowa Niech będzie rozpatrzoy ieliiowy yte (1), w który wytępują ziee w czaie iepewości W(x)θ, dla którego opracowao odporą ukcję terującą Lapuowa V (RCLF Robut Cotrol Lyapuov uctio) [1, 4]. PoiewaŜ wytępujące iepewości ie zaikają w czaie, zbieŝość ayptotycza dla wartości początkowej ie oŝe być oiągięta w pętli zwrotej układu. Ale tay yteu w pętli zwrotej ogą być terowae, w kończoy czaie, dla dowolie ałych przedziałów czaowych w taki poób aby zapewić tabilość układu poprzez odpowiedi wybór regulatora [1]. ZałoŜoo itieie zaych obzarów obejujących wzytkie iepewości wytępujące w czaie. ZałoŜeie to jet powiązae z obzarowością wytępowaia trajektorii taów w pętli zwrotej układu i zapewia dowoly topień ołabieia eektu pojawiaia ię iepewości w wektorze tau. JeŜeli zotaie uŝyta ukcja RCLF, V to taie ię oŝliwe zaprojektowaie odpowiedio dobrze działającego odporego regulatora Lapuowa, działającego w pętli zwrotej układu zgodie z rówaie [1, 4]: k ( ) ( x, u )( L ) u = k,θ V () b ax G + ( u ax ( LGV ) ) ( u ( L V ) ) * ** L V + ( L V ) = ( L ) 1 + GV ax G 0, ( L V ) G = 0 * L V = L V + ( ρ x + χθ L V ) ** L V = L V + ρ x + χθ L gdzie LGV [ L V L V ] Ŝe ( ) 1 g g b b W W V 4, ( L GV ) 0 (3) x x φ + (4) = 1 jet wektore wierzowy, θb jet dodatią liczba rzeczywitą taką, θ t θ, dla kaŝdego t 0, a ρ, χ i φ ą regulowayi paraetrai, które pełiają waruki: ρ > 0, χ > 1 i φ > 0. Niech Π będzie zdeiiowae jako: ( ) ** Π θ u = x R L V u ( L V) b, ax : ax G (5) oraz załóŝy, Ŝe ta początkowy układu jet zawarty wew. Π. RówieŜ iech Ω będzie podzbiore zbioru Π zdeiioway jako: ax Ω = { x R : V ( x) c } (6) wtedy dając dowolą dodatią liczbę rzeczywitą d, taką Ŝe D : = x R : x d (7) { } Ω i dla dowolego waruku początkowego x 0 Ω, oŝe to wyraŝeie być przedtawioe jako dodatia * * liczba rzeczywita ε, taka Ŝe jeśli φ ( χ 1) < ε, to tay yteu w pętli zwrotej układu pełiają waruki: x t Ω t oraz li up x d. ( ) 0 t.3 Regulator predykcyjy MPC W ty podrozdziale przedtawioo podtawowe orułowaia pojawiające ię w teorii regulacji predykcyjej dla jej ajczęściej wytępujących przypadków. Wykorzytao te ogóle orułowaia cele zapropoowaia ajbardziej eektywej etody tworzeia odporych hybrydowych predykcyjych układów regulacji ogących łączyć w obie dowole właściwości dla typowej regulacji predykcyjej [1, 4, 5]. W regulacji predykcyjej MPC, terowaie w czaie t jet uowie uzykae poprzez rozwiązaie w czaie rzeczywity probleu optyalej regulacji uzykaej w kończoy horyzocie czaowy. Najczęściej propoowaą orą rozwiązaia probleu optyalizacyjego jet wyraŝeie: 45

4 J t+ T ) ) = ( x ( ) Q ) ) t ) = arg i{ A}: = M A = a J t.. & t) = t + T) (8) + u ( ) R )) d+ F( t + T)) ( x), )) θ ( ) Θ} ) S) ( t)) + G( t)) t) + W( t)) θ( t), 0) = x Ω MPC θ) 0 (9) (10) gdzie S = S( T ) jet grupą okreowych ukcji ciągłych, z okree, odwzorowaie [ t, t + T] wew. dopuzczalych ygałów terujących, T jet długością horyzotu, a θ określa obzar iepewości aleŝących do obzaru Θ. Sygał terujący u ( ) w S jet charakteryzoway przez wyraŝeie { u[ k] } gdzie u [ k] : = k ) i pełiające waruek u = u[ k] dla kaŝdego t [ k,( k + 1) ). J jet wkaźikie jakościowy, R iq ą całkowicie dodatii acierzai yetryczyi, a ukcja F ( t + T)) reprezetuje karę dla taów układu a końcu horyzotu predykcji. Wykraczaie poza wartość θ ie ui być uŝywae i rozwaŝae, jeśli regulacja predykcyja MPC ie jet orułowaa jako typu i-ax. Fukcja Q MPC θ ) oŝe być zieiaa, utawiaa bądź oŝe reprezetować ograiczeia ierówościowe. Te ograiczeia ogą bądź teŝ ie zawierać iepewości. Stabilość zagwaratowaa w regulacji predykcyjej jet zaleŝa od załoŝeń waruków początkowych. Oiągięcie bezpośrediej tabilości układu w pętli zwrotej yteu zawierającego iepewości i ograiczeia a wejściach układu jet podtawowy problee projektowy. 3. Odpory hybrydowy regulator predykcyjy badaia i yulacje 3.1 Przykład W ty podrozdziale pokazae zotaą wyiki zatoowaia propoowaego odporego hybrydowego predykcyjego regulatora do terowaia apędu obrabiarki pozwalającego a rozwiązaie/oiągięcie dwóch podtawowych zagadień: odpowiedio zodyikować pętlę prędkości, zczególie kiedy paraetry echaicze apędu ą porówywale z elektroechaiczyi i drugi waruek: - zapewić ztywość paraetrów pracy erwoapędu DC zczególie przy ałej prędkości obrotowej i ziey oecie obrotowy wału. Zaprezetowaa poiŝej etoda zoptyalizowaia paraetrów regulacji zapewia wyoką jakość adąŝaia za wartością zadaą (główie dla prędkości) i zaczący wzrot ztywości charakterytyki erwoapędu przy ziey przypiezeiu i ziey obciąŝeiu wału. Właściwości elektroechaicze apędu DC (wykorzytaego w badaiach jako uprozczoy odel działaia erwoapędu) ogą być przedtawioe za poocą rówań [5, 6, 8]: di Te + i = u ω dt dω T = i Tload dt (11) gdzie: T = T + T e e e T = T + T (1) gdzie Te, T ą zieyi elektryczyi (elektroagetyczyi) i echaiczyi (elektroechaiczyi) ającyi tałą wartość w czaie. Dla odelu oialego przyjęto T = 0, T = 0, T = 0. Natoiat ziee load e Te oraz T ogą ię zieiać w czaie i ogą być obarczoe róŝyi iepewościai. Układ rówań (11) oŝe być przekztałcoy do wyraŝeia: d ω dω TeT + T ( ) + ω t = dt dt dtload (13) = u Tload Te dt Zakładając zerowe obciąŝeie i wykoując przekztałceia traoraty Laplace a z uwzględieie zerowych waruków początkowych, rówaie (1) przyjuje potać: TeT + T + 1 ω( ) = ) (14) Jeśli wzięte zotaą pod uwagę izycze prawa odpowiadające za dyaikę przeyłowego yteu terowaia oŝa dojść do wioku, Ŝe te prawa ą bardzo złoŝoyi i trudyi zagadieiai [9]. Bardzo trudy zadaie jet zaprojektowaie i yteza praw rządzących układe terowaia dla obiektów ieliiowych. Wpólie przyjętyi i zaakceptowayi praktykai jet podejście liearyzacji rówań ieliiowych względe puktu pracy układu. W ty celu oŝa korzytać z teorii regulacji typu: PID, MPC czy wielu iych dających oŝliwość wykorzytaia przybliŝoych odeli 46

5 liiowych. Ale więkzość proceów przeyłowych zazwyczaj przedtawiaa jet jako złoŝeie części proceów wykazujących właściwości liiowe [10]. NiŜej zaprezetowae wykrey przedtawiają wyiki yulacyjych badań porówawczych w poobie działaia układów terowaia zepołai erwoapędów w obrabiarce ueryczej CNC. W ty celu do badań wykorzytao trzy etodologie: oawiaą w artykule hybrydową regulację predykcyją (RHPC), regulację typu PID i regulację typu MFC-V (Model-Followig Cotrol yte or velocity cotrol) [9, 11]. łuzość zatoowaia. Zatoowaie oawiaych truktur pozwoliło a zachowaie więkzej ztywości charakterytyki echaiczej działaia erwoapędów w porówaiu do klayczych etod regulacji, jak chociaŝby typu PID czy MFC-V [9, 11]. W rezultacie zatoowaia w odporych hybrydowych predykcyjych yteach terowaia odporego regulatora Lapuowa działającego w pętli zwrotej układu pozwoliło a pracę całego układu terującego w obzarze tabilości, a poprzez wykorzytaie zaad przełączaia poiędzy obydwoa regulatorai otrzyao wyoki wkaźik jakościowy dobrze zachowaej tabilości, awet w ytuacjach gdy regulacja predykcyja ie pozwalała a oiągięcie optyalych wyików. Cocluio I thi paper a robut hybrid predictive cotrol yte that provide greater tie o the echaical characteritic o a DC otor ervo-drive copared to the claic igle-loop PID cotrol yte or aother cotrol tructure i how (or exaple MFC-V ethod [9, 11]). The reultig robut hybrid predictive cotrol trategy ivolved uig a bouded robut cotroller, with a well characterized regio o robut tability, a a all back echai ad deviig a et o witchig rule that take the ucertaity ito accout ad orchetrate, accordigly, the traitio ro MPC to bouded cotrol to aitai robut cloed loop tability i the evet that the predictive cotroller wa uable to aitai it [1]. Ry.. Wyiki badań yulacyjych w poobie działaia hybrydowego odporego predykcyjego yteu terowaia Fig.. Robut Hybryd Predictive Cotroller - iulatio Warukie zadziałaia lokalego odelu regulatora taowiącego część złoŝoego odelu proceu, tj. warukie jego zadziałaia/przełączeia jet rówaie: Di = i ω ω. Do badań yulacyjych wykorzytao i zatoowao dziewięć odeli lokalych obiektu. Wioki Przedtawioe w iiejzy artykule zagadieia dotyczące odporych hybrydowych predykcyjych yteów terowaia i ich wykorzytaia do celów tabilej regulacji zepołai erwoapędów w obrabiarkach ueryczych CNC pozwalają wyuć wioek, Ŝe zapropoowaa etodologia a p Literatura 1. Chritoide P.D., El-Farra N.H.: Cotrol o Noliear ad Hybrid Proce Syte, LNCIS 34, (005). Lygero J.: Lecture Note o Hybrid Syte, Rio, Patra, Eieta -6// Mikołajczyk G.: Hybrydowy układ terowaia tłuieie drgań otela kierowcy pojazdu aochodowego, Kraków, Projektowaie echatroicze, zagadieia wybrae. Praca zbiorowa pod red. Tadeuza Uhla Khalil H.K.: Noliear Syte Third Editio, Pretice Hall Upper Saddle River, New Jerey Caacho E.F., Bordo C.: Model Predictive Cotrol, Spriger-Verlag 6. Metz J.: Motio Cotrol Theory Needed i the Ipleetatio o Practical Robotic Syte, Virgiia Blackburg April Kool J.: Servo drive o the uerical cotrol achie tool, Wydawictwa Naukowe Techicze Nakaura M., Goto S., Kyura N.: Mechatroic Servo Syte Cotrol. Proble i idutrie ad their theoretical olutio, Spriger-Verlag 47

6 9. Skoczowki S., Pietruewicz K.: New ethod o ipliied idetiicatio or PID-OVR deig, 1t It. Coerece o Modelig, Siulatio ad Applied Optiizatio, Sharjah, U.A.E. 10. Dworak P., Pietruewicz K.: A uzzy-logic baed tuig or a velocity cotroller o the DC ervo drive Solid State Pheoea, Vol , pp , Pietruewicz K., Dworak P., Broel-Plater B.: Robut Model-Followig Cotrol or the DC ervo drive, Advace i Mauacturig Sciece ad Techology 007, Vol. 31, No. 3, pp Adre łuŝbowy: Mgr iŝ. Grzegorz Mikołajczyk Wydział Elektryczy, Zachodiopoorki Uiwerytet Techologiczy w Szczeciie ul. Sikorkiego Szczeci tel. (091) eail: grzegorz.ikolajczyk@zut.edu.pl 48