MODELE LOSOWE REZYSTANCJI I INDUKCYJNOŚCI

Transkrypt

1 POZNAN NIVE SITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JONALS No 73 Electricl Engineering 03 Jnusz WALCZAK* Seweryn MAZKIEWICZ* MODELE LOSOWE EZYSTANCJI I INDKCYJNOŚCI W rtykule wyprowdzono równni oentów pierwszego i drugiego rzędu losowych odeli rezystncji i indukcyjności. Anlizę przeprowdzono dl dwóch przypdków. Pierwszy z nich dotyczył sytucji, gdy wyuszenie w postci stochstycznego sygnłu prądowego yło niezleżne względe losowych pretrów eleentów. W drugi przypdku uwzględniono zleżność procesu prądowego orz losowych pretrów, L. zyskne wyniki zilustrowno przykłdi.. WPOWADZENIE Anliz zjwisk losowych w ukłdch elektrycznych i elektronicznych poświęcono wiele prc, w ty onogrfie [7]. Prce te często dotyczą wyznczni różnych chrkterystyk proilistycznych procesów stochstycznych występujących w ukłdch. Jedny z ożliwych sposoów klsyfikcji prc poświęconych nlizie ukłdów stochstycznych jest ich podził n dwie grupy tetyczne. Pierwsz z nich oejuje prce dotyczące ukłdów deterinistycznych w których występują źródł sygnłów stochstycznych [3]. Anlizę tkich ukłdów przeprowdz się njczęściej z wykorzystnie stochstycznych równń różniczkowych lu cłkowych [3], [4]. Drug, dotyczy ukłdów których źródł i eleenty podstwowe (, L, M, C wygją opisu losowego [5], [6]. Dl tej grupy prc istotn jest uiejętność konstrukcji losowych odeli eleentów skupionych, L, M, C [], [5], [6]. Modele tkie ożn tworzyć iedzy innyi z wykorzystnie oentów procesów [8]. Artykuł dotyczy wyznczni oentów pierwszego i drugiego rzędu prądowych i npięciowych procesów stochstycznych występujących w losowych eleentch, L. Stnowi on kontynucję prc [], [] z których pierwsz poświęcon ył wyznczniu oentów procesów w deterinistycznych eleentch, C przy stochstyczny wyuszeniu prądowy. Drug z cytownych prc dotyczył wyznczni oentów procesów w nieliniowych ezinercyjnych ukłdch, opisywnych wieloini losowyi. * Politechnik Śląsk.

2 58 Jnusz Wlczk, Seweryn Mzurkiewicz. MODEL LOSOWY EZYSTOA Zleżność poiędzy procesi stochstycznyi npięci i prądu rezystor, ędącego zienną losową, określ wzór: (t I(t ( gdzie: zienn losow o znny rozkłdzie, (t proces stochstyczny npięci n rezystorze, I(t proces stochstyczny prądu płynącego przez rezystor. Zkłdjąc, że znny jest prąd płynący przez rezystor orz stosując opertor wrtości oczekiwnej [0] do równni ( ożn rozptrzyć dw przypdki: prąd jest niezleżny od ziennej losowej, prąd jest zleżny od ziennej losowej. W pierwszy przypdku ożn uzyskć jwne wzory n oenty do drugiego rzędu npięci n rezystorze: (t E[( t ] E[ ]E[ I( t ] I ( t ( ( t E[ ( t ] ( E[( t ] E[ ]E[ I ( t ] ( ( t ( t,t E[( t ( t ] E[ ]I ( t,t (3 (4 gdzie: (t wrtość oczekiwn procesu (t, σ (t wrincj procesu (t, (t,t funkcj utokorelcji procesu (t, I (t,t funkcj utokorelcji procesu I(t, E[ ] oent średniokwdrtowy ziennej losowej. Z wzorów (, (3, (4 wynik, że do opisu rezystor, w przypdku gdy wyuszenie jest niezleżne z zienną losową, wystrcz znjoość dwóch pierwszych oentów ziennej losowej orz dwóch pierwszych oentów wyuszeni. W drugi rozwżny przypdku równość ( nie jest spełnion i ożn tylko npisć: (t E[( t ] E[ I(t ] (5 Istnieje kilk etod rozwikłni zleżności typu (5 [9]. Njprostsz etod poleg n wykorzystniu definicji opertor wrtości oczekiwnej: E[ g( X (t,y( t ] g( x, y f XY ( x, y,t,t dxdy (6 gdzie: f XY (x,y,t,t łączn funkcj gęstości rozkłdu procesów X(t i X(t. g (x,y funkcj deterinistyczn dwóch ziennych. Stosując wzór (6 do opisu oentów rezystor w przypdku skorelowni ziennej losowej i wyuszeni otrzyuje się równni oentów odpowiedzi: (t rif ( r,i,t drdi (7 I

3 Modele losowe rezystncji i indukcyjności 59 ( t r i f I ( r,i,t drdi ( ( t,t r ir f I ( r,i,i,t,t drdidi (t (8 (9 gdzie: f I (r,i,t łączn funkcj gęstości rozkłdu procesu stochstycznego I(t i ziennej losowej. Nleży zuwżyć, że w ty przypdku do opisu oentów odpowiedzi nie wystrcz już znjoość oentów wyuszeni i ziennej losowej. Nleży znć wielowyirowe łączne funkcje gęstości rozkłdu. Przykłd Dny jest owód pokzny n poniższy rysunku: ys.. Przykłdowy owód rezystncyjny przy czy: (t = exp(-t npięcie zsilni (funkcj deterinistyczn, = licz rzeczywist, (t npięcie n rezystorze (proces stochstyczny, I(t prąd owodu (proces stochstyczny, zienn losow o rozkłdzie równoierny ( = 0.5, =.0. Prąd owodu określ zleżność: exp( t I( t (0 Z wzoru (0 wynik, że prąd jest zleżny od ziennej losowej. Podstwijąc wzór (0 orz wzór n funkcję gęstości rozkłdu równoiernego do wzoru (7, (8 i (9 otrzyuje się: exp( t (t r dr ( ln ln exp( t 3 4 r (

4 60 Jnusz Wlczk, Seweryn Mzurkiewicz exp( t ( t r ( dr ( ( t r ( (ln 3 3 ( t,t 48 ln 3ln 48(ln r exp( t ( t r ( 3ln 3 6 ln exp( t 3 dr t exp( t ( (3 3. MODEL LOSOWY CEWKI INDKCYJNEJ Zleżność poiędzy npięcie i prąde induktor o indukcyjności L ędącej zienną losową określ wzór: di( t (t L (4 gdzie: L zienn losow o znny rozkłdzie, (t proces stochstyczny npięci n induktorze, I(t proces stochstyczny prądu płynącego przez induktor. Zkłdjąc, że znny jest prąd płynący przez induktor orz wykorzystując opertor wrtości oczekiwnej [0] do równni (4 ożn rozptrzyć dw przypdki: prąd jest niezleżny od ziennej losowej L, prąd jest zleżny od ziennej losowej L. W pierwszy przypdku ożn uzyskć jwne wzory n oenty do drugiego rzędu npięci n induktorze: de[ I(t ] di ( t (t E[( t ] E[ L] L I ( t (5 d E[ I ( t ] ( t E[ (t ] ( E[( t ] E[ L ] ( (t (6 I ( t,t ( t,t E[( t ( t ] E[ L ] tt (7 Z wzorów (5, (6, (7 wynik, że do opisu odpowiedzi drugiego rzędu induktor, w przypdku nieskorelowni wyuszeni z zienną losową L, wystrcz znjoość dwóch pierwszych oentów ziennej losowej L orz dwóch pierwszych oentów wyuszeni.

5 Modele losowe rezystncji i indukcyjności 6 W przypdku skorelowni prądu induktor z zienną losową L nleży postąpić podonie jk w poprzedni rozdzile. Stosując wzór (6 do opisu oentów induktor w przypdku skorelowni ziennej losowej L i wyuszeni otrzyuje się równni oentów odpowiedzi: di (t l f LI (l,i,t dldi (8 di ( t l ( f LI (l,i,t dldi ( di di ( t,t l f LI ( l,i,i,t,t dldidi ( t (9 (0 gdzie: f LI (l,i,t łączn funkcj gęstości rozkłdu procesu stochstycznego I(t i ziennej losowej L. Nleży zuwżyć, że w ty przypdku do opisu oentów odpowiedzi nie wystrcz już znjoość oentów wyuszeni i ziennej losowej. Nleży znć wielowyirowe łączne funkcje gęstości rozkłdu. Przykłd Dny jest owód pokzny n poniższy rysunku: ys. 4. Przykłdowy owód z losową indukcyjnością przy czy: I(t = Xexp(-t prąd owodu (proces stochstyczny, (t npięcie n induktorze (proces stochstyczny, L = X indukcyjność cewki (zienn losow, X zienn losow o rozkłdzie równoierny ( = 0.5, =.0. Z wzoru n prąd owodu i indukcyjność cewki wynik, że prąd jest zleżny od ziennej losowej L. Podstwijąc wzór (0 orz wzór n funkcję gęstości rozkłdu równoiernego do wzoru (8, (9 i (0 otrzyuje się: (t 7 x exp( t dx exp( t (

6 6 Jnusz Wlczk, Seweryn Mzurkiewicz 4 7 ( t x exp( t dx ( t exp( t ( 360 ( t,t 4 3 x exp( t t dx exp( t t ( Wrincj Wrtość oczekiwn 0.5 ys. 5. Wrtość oczekiwn i wrincj procesu (t 4. PODSMOWANIE W rtykule opisno etodę wyznczni wrtości oczekiwnych, wrincji orz funkcji korelcji procesów w eleentch losowych, L. W pierwszy z rozwżnych przypdków, gdy zienn losow ędąc pretre równni jest nieskorelown z procese wyuszeni, oenty odpowiedzi ożn wyznczyć znjąc jedynie oenty wyuszeni orz oenty pretru. W przypdku, gdy zienn losow ędąc pretre równni jest skorelown z wyuszenie do wyznczeni oentów odpowiedzi potrzen jest znjoość wielowyirowych funkcji gęstości rozkłdu. LITEATA [] Bnchuin., Chisrichroen: Stochstic Inductnce Model of On Chip Active Inductor, nd Int. Conf. on Eduction Technology nd Coputer, June 00, Vol. 5, pp. V5- V5-5. [] Growski D.: Moents of Stochstic Power Processes for Bsic Liner Eleents, Int. Conf. of Fundentls of Electrotechnics nd Circuit Theory, IC-SPETO 009, pp

7 Modele losowe rezystncji i indukcyjności 63 [3] Kdlecov E., Kusek., Kolrov E.: L Circuits Modeling with Noisy Preters, Conf. on Applied Electronics, Pilsen 6-7 Sept. 006, pp [4] Kolrov E.: An Appliction of Stochstic Integrl Equtions to Electricl Networks, Act Electrotechnic et Infortic, Vol. 8, No. 3, 008, pp [5] Kolrov E.: Modeling L Electricl Circuits y Stochstic Differentil Equtions, Int. Conf. EOCON, Noveer 4, Belgrde, Seri 005, pp [6] Kolrov E.: Sttisticl Estites of Stochstic Solutions of L Electricl Circuit, IEEE Int. Conf. of Industril Technology, ICIT 006, pp [7] Skowronek K.: Owody elektryczne w ujęciu stochstyczny, Monogrfi. Wyd. Pol. Pozn., Poznń 0. [8] Soch L.: ównni oentów w stochstycznych ukłdch dynicznych, PWN, Wrszw 993. [9] Soong T. T.: ndo Differentil Equtions in Science nd Engineering, Mth. in Science nd Eng., Vol. 03, Acdeic Press, New York 973. [0] Swiesznikow A. A.: Podstwowe etody funkcji losowych, WNT, Wrszw 965. [] Wlczk J., Mzurkiewicz S.: Trnsforcje oentów sygnłów stochstycznych w losowych ukłdch nieliniowych, Kwrtlnik Elektryk Pol. Śl., nr. 3, 0. ANDOM MODELS OF ESISTANCE AND INDCTANCE In this rticle the first nd the second order oents for rndo odels of resistnce nd inductnce were deterined. The nlysis ws perfored for two cses. In the first cse the stochstic current input signl ws ssued to e uncorrelted with rndo preters of the eleents. In the second cse correltion etween the current process nd the preters nd L ws tken into ccount. The results hve een illustrted y exples.