Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 7 ( ) Plan wykładu nr 7. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny

Transkrypt

1 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Plan wyładu nr 7 Mtody oszuiwania mijsc zrowych irwiastów uncji niliniowj: mtoda biscji ołowinia mtoda rgula alsi mtoda sicznych mtoda stycznych Nwtona Politchnia Białostoca - Wydział Eltryczny Eltrotchnia, smstr II, studia stacjonarn o aadmici /7 Wyład nr Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Poszuiwani mijsc zrowych uncji Poszuiwani mijsc zrowych uncji mijsca zrow uncji są to wartości argumntu, dla tórych uncja rzyjmuj wartość zro: wartości słniając owyŝszy warun nazywan są irwiastami uncji gomtryczni irwiast moŝna intrrtować jao unt na osi OX, w tórym wyrs uncji ją rzcina: oszuiwani mijsca zrowgo uncji odbywa się w dwóch taach: wybór rzybliŝongo rozwiązania, czyli rzdziału [, ], na tórgo ońcach uncja ma róŝn znai. Przy wyborz rzdziału oiramy się na analizi rzbigu uncji zastosowani algorytmu itracyjngo do wyznacznia rozwiązania rzybliŝongo wystęowani irwiasta w rzdzial [, ] wymaga słninia nastęujących warunów: uncja musi być ciągła w całym rzdzial [, ] uncja ma róŝn znai na ońcach rzdziału [, ] irwsza ochodna uncji istnij i ni zminia znau w całym rzdzial [, ], tj. uncja jst głada i monotoniczna druga ochodna ma stały zna w całym rzdzial [, ], tj. ni ma untów rzgięcia, wyrs jst albo wlęsły albo wyuły

2 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda biscji ołowinia owinia Mtoda biscji ołowinia owinia mtoda biscji jst najrostszą i jdnoczśni najwolnij zbiŝną mtodą rozwiązywania równań niliniowych oszuiwania mijsc zrowych uncji: rozwiązani oszuiwan jst orzz odział irwotngo rzdziału [, ] na dwi równ części i wybrani tj części, na ońcach tórj uncja ma róŝn znai jśli uncja jst ciągła to w wybranym rzdzial musi istnić unt, dla tórgo otrzymany rzdział onowni dzilimy na równ części i ostęujmy w tn sam sosób ja owyŝj oszuiwania ończymy, gdy: wartość uncji w środowym unci rzdziału jst mnijsza od załoŝonj doładności długość rzdziału jst mnijsza od załoŝonj doładności rzroczono masymalną liczbę roów douszczoną rzz uŝytownia dla zbiŝności mtody biscji wymagan jst słnini tylo dwóch warunów: uncja musi być ciągła w całym rzdzial [, ] uncja ma róŝn znai na ońcach rzdziału [, ] Podstawy inormatyi Wyład nr 7 7/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 8/9 Mtoda biscji ołowinia owinia Lista roów: Kro : Czytaj:,, s Kro :, Kro : Jśli, to < w rzciwnym rzyadu Kro : Jśli s, to wracamy do rou Kro : Pisz - irwiast Mtoda biscji ołowinia owinia - uncja w języu j C loat Biscjaloat, loat, loat s loat,,; do /; ; ; i *< ; ls ; whil abs>s; rturn ; Uwaga: w owyŝszym algorytmi zastosowano tylo jdn warun stou

3 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 9/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda biscji ołowinia owinia - uwagi Waruni stou w mtodzi biscji, zamiast: / lij jst naisać: / uwaga: lij jst obliczać nową wartość dodając do orzdnij małą orawę w mtodzi biscji, zamiast srawdzać: < lij jst badać nirówność: sgn sgn uwaga: uniamy w tn sosób zbędngo mnoŝnia W mtodach oszuiwania mijsc zrowych uncji niliniowych oblicznia zatrzymuj się, gdy: znalziono irwiast:, co ratyczni srowadza się do znalzinia jgo rzybliŝnia słniającgo warun: gdzi ε jst załoŝoną doładnością odowiadającą wartościom rzyjmowanym rzz uncję długość rzdziału [, ] jst mnijsza od załoŝonj wartości δ: < ε < δ owyŝszy warun moŝna uznać za równowaŝny osiągnięciu zbiŝności itracji: tzn. n n < δ 9 n n 7 8 czyli, gdy wartość n ni zminia się to ni ma snsu ontynuować obliczń Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Waruni stou Uwaga: itracja trwa zbyt długo lub wynii ni mają snsu: rzroczono, orśloną rzz uŝytownia, masymalną liczbę roów oljn rzybliŝni n znalazło się oza oczątowym rzdziałm [, ] n. na sut błędów obliczń wartości uncji oddalają się od zra, zamiast zbliŝać się - oznacza to, Ŝ wybrana mtoda ni jst zbiŝna lub oczątow rzybliŝni było za mało doładn rozatrzmy nastęujący rzbig uncji: < ε δ - warun słniony - warun ni słniony Waruni stou Wnios: najbzicznij jst stosować trzy rytria stou jdnoczśni ε < δ - warun ni słniony - warun słniony

4 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda biscji ołowinia owinia - rzyład Przyład: znalźć irwiast uncji: w rzdzial: [, ] z doładnością: rozwiązani doładn: srawdzamy, czy w odanym rzdzial uncja zminia zna: ε wyznaczamy rzybliŝni i wartość uncji :...87, > ε Mtoda biscji ołowinia owinia - rzyład Przyład c.d.: do dalszych obliczń wybiramy tn z rzdziałów: [, ] [, ] na rańcach tórgo uncja zminia zna: [, ] [,.] [, ] [., ] wybiramy rzdział: [., ]., wyznaczamy rzybliŝni i wartość uncji : , > ε [, ] [.,.7] [, ] [.7, ] wybiramy rzdział: [.,.7].,.7 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda biscji ołowinia owinia - rzyład Mtoda rgula alsi Przyład c.d.: > ε > ε > ε > ε > ε 7 > ε 8 > ε 9 > ε > ε > ε < ε ε nazwa mtody, rgula alsi, ochodzi od załoŝnia ałszywj liniowości uncji odobni ja w mtodzi biscji oszuujmy mijsca zrowgo w rzdzial [, ], al w inny sosób orślamy oljn rzybliŝnia załadając liniową introlację uncji rowadzimy rostą rzchodzącą rzz unty i unt rzcięcia rostj z osią OX jst oljnym rzybliŝnim dalj ostęujmy ta samo ja w mtodzi biscji dla zbiŝności mtody rgula alsi wymagan jst słnini tylo dwóch warunów: uncja musi być ciągła w całym rzdzial [, ] uncja ma róŝn znai na ońcach rzdziału [, ]

5 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 7/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 8/9 Mtoda rgula alsi Lista roów: Kro : Czytaj: Kro :,,, s Kro : Jśli <, to w rzciwnym rzyadu Kro : Jśli s, to wracamy do rou Kro : Pisz - irwiast Mtoda rgula alsi - uncja w języu j C loat gulafalsiloat, loat, loat s loat,,; Uwaga: do * - */-; ; ; i *< ; ls ; whil abs>s; rturn ; w owyŝszym algorytmi zastosowano tylo jdn warun stou Podstawy inormatyi Wyład nr 7 9/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda rgula alsi - rzyład Mtoda rgula alsi - rzyład Przyład: znalźć irwiast uncji: w rzdzial: z doładnością: rozwiązani doładn: srawdzamy, czy w odanym rzdzial uncja zminia zna: wyznaczamy rzybliŝni i wartość uncji : , ε > ε [,] Przyład c.d.: do dalszych obliczń wybiramy tn z rzdziałów: [, ] [, ] na rańcach tórgo uncja zminia zna: [, ] [,.787] [, ] [.787, ] wybiramy rzdział: [.787, ].787, wyznaczamy rzybliŝni i wartość uncji : , > ε

6 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda rgula alsi - rzyład Mtoda sicznych Przyład c.d.: do dalszych obliczń wybiramy tn z rzdziałów: na rańcach tórgo uncja zminia zna: [, ] [.787,.797] [, ] [.797, ] wybiramy rzdział: oljn rzybliŝnia: , ] [, ] [ [.787, ].787, > ε > ε < ε ε algorytm mtody sicznych jst tai sam ja mtody rgula alsi, z tą róŝnicą, Ŝ introlacji doonujmy na odstawi dwóch oljnych rzybliŝń rzygnujmy w taim rzyadu z Ŝądania, aby uncja miała róŝn znai w dwóch untach orślających unt nastęny wzór ogólny mtody: oniwaŝ n wyraŝa się rzz n i n-, więc otrzbn są dwa unty oczątow - zazwyczaj rzyjmuj się: n-, n w ratyc, zalca się orzystani z wzoru zamiast z wzoru : n n n n n n n n n n n n n n Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda sicznych Lista roów: Kro : Czytaj: Kro : Kro : Kro :,, s, Kro : Jśli s, to wracamy do rou Kro : Pisz - irwiast,,, Mtoda sicznych - rogram w języu j C loat Sicznychloat, loat, loat s loat,,,; ; ; do * - */-; ; ; ; ; ; whil abs>s; rturn ; Uwaga: w owyŝszym algorytmi zastosowano tylo jdn warun stou

7 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda sicznych - rzyład Przyład: znalźć irwiast uncji: w rzdzial: [,] z doładnością: rozwiązani doładn: srawdzamy, czy w odanym rzdzial uncja zminia zna: rzyjmując jao irwsz rzybliŝni, a jao drugi rzybliŝni wyznaczamy oljn rzybliŝni i wartość uncji : , ε > ε Mtoda sicznych - rzyład Przyład c.d.: do oblicznia stosujmy rzybliŝnia i : , > ε do oblicznia stosujmy rzybliŝnia i :.9, do oblicznia stosujmy rzybliŝnia i : , > ε.7997 < ε ε Podstawy inormatyi Wyład nr 7 7/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 8/9 Mtoda biscji, rgula alsi,, sicznych - orównani Przyład: równani: rozwiązani: aramtry obliczń:.,., s Mtoda biscji, rgula alsi,, sicznych - orównani Przyład: równani: rozwiązani: aramtry obliczń:.,., s Mtoda biscji: Mtoda rgula alsi: Mtoda sicznych: Mtoda biscji: Mtoda rgula alsi: Mtoda sicznych: Sts Sts Sts Sts Sts Sts

8 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 9/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda biscji, rgula alsi,, sicznych - orównani Mtoda Nwtona stycznych Przyład: równani: rozwiązani: aramtry obliczń: Mtoda biscji: Sts 8.,., s Mtoda rgula alsi: Sts 8 Mtoda sicznych: Sts analizowan zagadnini dotyczy rozwiązania równania niliniowgo jdnj zminnj: mtoda Nwtona jst mtodą itracyjną, w tórj oljn roi algorytmu są nastęując: o załoŝniu zrowgo rozwiązania untu startowgo oblicza się irwsz rozwiązani jśli irwsz rozwiązani ni jst właściwym rozwiązanim, to rozwiązani to tratuj się jao nowy unt startowy obliczamy drugi rozwiązani, itd. aŝ do osiągnięcia rozwiązania z odowidnio małym błędm mtoda Nwtona stosowana jst w wilu róŝnych sytuacjach szczgólny wariant mtody odnoszący się do loalizacji irwiastów uncji niliniowych jst tŝ nazywany mtodą Nwtona-ahsona 9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda Nwtona stycznych algorytm Nwtona oarty jst na rozwinięciu uncji w unci rzybliŝona wartość rozwiązania w szrg Taylora: odrzucamy wszysti wyrazy rozwinięcia rzędu wyŝszgo niŝ :......!!!! z równania wyznaczamy, tóry jst irwszym rzybliŝnim: rzybliŝni będzi orślon wzorm ogólnym: oblicznia rzrywamy, gdy róŝnic omiędzy oljnymi wartościami zmirzają do zra Mtoda Nwtona stycznych Intrrtacja graiczna: mtoda Nwtona oira się na linaryzacji uncji, to jst zastąiniu uncji uncją liniową w wystęującą w wyraŝniu: ochodną intrrtuj się jao nachylni stycznj do rzywj w unci uncję zastęujmy uncją liniową: w uncja w rzybliŝa dobrz w obliŝu untu

9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda Nwtona stycznych Mtoda Nwtona stycznych Intrrtacja graiczna: uncja w rzyjmuj w unci tę samą wartość co uncja, a jdnoczśni ochodna uncji w w unci ma tę samą wartość, co ochodna uncji : doładn rozwiązani równania w jst rzybliŝonym rozwiązanim równania w w Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda Nwtona stycznych Mtoda Nwtona stycznych - rzy rzyład ad Przyład nr : rozwiązujmy równani: rzdstawiamy równani w ostaci: ochodna uncji: mtoda Nwtona: w naszym rzyadu: Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda Nwtona stycznych Mtoda Nwtona stycznych - rzy rzyład ad Przyład nr c.d.: załadamy unt startowy: oljn rzybliŝnia: Podstawy inormatyi Wyład nr 7 /9 Mtoda Nwtona stycznych Mtoda Nwtona stycznych - rzy rzyład ad Przyład nr : wzór Nwtona moŝna zastosować do obliczania irwiasta wadratowgo jśli: i, to jst irwiastim równania: stosując wzór mtody Nwtona: do uncji: otrzymamy: > '

10 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 7/9 Podstawy inormatyi Wyład nr 7 8/9 Mtoda Nwtona stycznych - rzyład Mtoda Nwtona stycznych - roblmy z zbiŝno nością Przyład nr c.d.: idy mtoda Nwtona zawidzi? obliczmy irwiast wadratowy z liczby 7 załadając rzybliŝni rocs itracyjny rozbiga się do nisończoności rocs itracji oscyluj w ętli i rozwiązani nigdy ni zostani osiągnięt Podstawy inormatyi Wyład nr 7 9/9 Mtoda Nwtona stycznych - uwagi Uwagi: jśli w mtodzi Nwtona-ahsona wartość oczątowa jst dala od właściwgo rozwiązania, to algorytm moŝ w ogóln ni być zbiŝny dobry rogram owinin wyrywać wszysti rzyadi rozbiŝności i wybirać now wartości oczątow, aŝ zostani zawniona zbiŝność rogram omutrowy ralizujący algorytm Nwtona musi zawirać uncj słuŝąc do obliczania oraz wadą mtody Nwtona jst oniczność obliczania ochodnj - oniczności tj ozbawiona jst n. mtoda Stnsna: n n n g [ ]/ g n n 7