Optymalizacja decyzji

Transkrypt

1 Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 Materiały do zajęć będa dostępne na stronie Forma zaliczenia wykładu: test pisemny (ostatni wykład).

2 Problem decyzyjny Wprowadzenie W problemie decyzyjnym występuje zbiór A decyzji (zwanych również alternatywami, rozwiazaniami, strategiami), np: 1 A = {zainwestuj x zł : 0 x 1000} 2 A = {idź do kina, zostań w domu} 3 A = {p : p jest droga od miasta X do miasta Y} Wybór decyzji z A prowadzi do dokładnie jednego wyniku z pewnego zbioru O, np: 1 O = { 100zł, 0zł, 100zł, 1000zł} 2 O = {wygrana, remis, przegrana} 3 O = {życie, śmierć} Teoria decyzji mówi nam, która decyzję ze zbioru A należy wybrać.

3 Klasyfikacja problemów deyzyjnych 1 Decyzje w warunkach pewności. Wynik dla każdej decyzji jest dokładnie znany w momencie podejmowania decyzji. 2 Decyzje w warunkach ryzyka. Wynik dla decyzji może nie być dokładnie znany w momencie podejmowania decyzji ale znamy rozkład prawdopodobieństwa dla zbioru wyników. 3 Decyzje w warunkach niepewności. Wynik dla decyzji może nie być dokładnie znany w momencie podejmowania decyzji i wiemy jedynie, że wystapi jeden z pewnego podzbioru wyników.

4 Klasyfikacja problemów decyzyjnych 1 Indywidualne podejmowanie decyzji. Decyzja jest podejmowana przez jednego decydenta, który chce zmaksymalizować swoja wypłatę lub użyteczność. 2 Gry n-osobowe. W sytuacji decyzyjnej występuje n > 1 decydentów (graczy) i każdy z nich che zmaksymalizować swoja wypłatę lub użyteczność. Cele graczy sa przeważnie konfliktowe. 1 Gry niekooperacyjne. Każdy gracz podejmuje decyzję niezależnie od innych graczy. 2 Gry kooperacyjne. Gracze moga się komunikować i współpracować podczas podejmowania decyzji.

5 Indywidualne decyzje w warunkach pewności Zadany jest graf skierowany G = (N, A) z kosztami c ij dla każdego łuku (i, j) A. Decydent chce wyznaczyć najkrótsza ścieżkę od wierzchołka s do t w G. Większość klasycznych modeli optymalizacyjnych (np. programowanie liniowe) należy do tej klasy problemów.

6 Indywidualne decyzje w warunkach ryzyka Decydent ma do wyboru jedna z trzech inwestycji A 1, A 2, A 3. Każda z inwestycji prowadzi do następujacych wyników: 1 A 1 : strata 100$ z prawd. 0.4 i zysk 1000$ z prawd A 2 : 0$ z prawd. 0.2 i 100$ z prawd A 3 : zysk 10$ z prawd. 1 Która inwestycję należy wybrać? Rozwiazania dostarcza teoria użyteczności von Neumana i Morgensterna.

7 Indywidualne decyzje w warunkach niepewności [Luce and Raiffa 1957] Przypuśćmy, że wbiłeś właśnie 5 jaj na patelnię i zamierzasz wbić szóste. Szóste jajko może być dobre albo zepsute i nie masz pojęcia która z tych możliwości jest prawdziwa. Możesz podjać jedna z trzech decyzji: A 1 - wbić jajko na patelnię, A 2 - wbić jajko najpierw do miski, A 3 - wyrzucić jajko. Problem można przedstawić w tabeli: Dobre jajko Zepsute jajko A 1 Omlet z 6 jaj Brak omletu i 5 jaj zepsutych A 2 Omlet z 6 jaj Omlet z 5 jaj i i miska do umycia miska do umycia A 3 Omlet z 5 jaj i Omlet z 5 jaj 1 dobre jajko zepsute Jaka decyzję podejmiesz?

8 2-osobowa gra niekooperayjna o sumie zero [Bitwa na morzu Bismarcka] Japoński generał Imamura ma wysłać transport piechoty przez Morze Bismarcka do Nowej Gwinei. Amerykański generał Kenney chce zbombardować transport. Imamura ma do wyboru dwie trasy: krótsza północna, trwajac a 2 dni lub dłuższa południowa, trwajac a 3 dni. Kenney musi postanowić na która z tych tras wysłać bombowce. Jeżeli wybierze zła trasę, to musi odwołać bombwowce i wysłać je na właściwa trasę. Wówczas liczba dni na bombardowanie zmniejsza się o 1. Liczba dni podczas których bombowce bombarduja transport jest podana w poniższej tabeli: Imamura N Imamura S Kenney N 2 2 Kenney S 1 3 Jakie decyzje powinni podjać Kenney i Imamura? Jest to przykład gry o sumie 0 ponieważ cele obu graczy sa dokładnie przeciwne.

9 2-osobowe gry niekooperacyjne [Dylemat więźnia]. Pana X i pana Y oskarżono o popełnienie tego samego przestępstwa i osadzono ich w osobnych celach więzienia bez możliwości komunikacji. Każdy z nich może podjać jedna z dwóch decyzji: przyznać się do winy lub nie. Jeżeli obaj się nie przyznaja, to otrzymaja po dwa lata więzienia. Jeżeli tylko jeden z nich się przyzna, to otrzyma jeden rok więzienia a drugi pięć lat. Jeżeli obaj się przyznaja, to ich kara wyniesie po cztery lata więzienia. Przyznaj się Nie przyznawaj się Przyznaj się 4,4 1,5 Nie przyznawaj się 5,1 2,2 Co powinni zrobić panowie X i Y?

10 2-osobowe gry kooperacyjne [Walka płci]. Mężczyzna X i kobieta Y chca podjać decyzję w jaki sposób spędzić wieczór. Każde z nich może wybrać balet albo mecz bokserski. Mężczyzna preferuje mecz bokserski a kobieta balet. Jednak obu bardzo zależy aby spędzić wieczór razem. Sytuacja ta jest pokazana w poniższej tabeli. Dla każdej kombinacji decyzji pokazana jest użyteczność X i Y: Y wybiera mecz Y wybiera balet X wybiera mecz 2,1-1,-1 X wybiera balet -1,-1 1,2 Co powinni zrobić X i Y? Rozpatrz sytuację w której moga podjać decyzję razem i sytuację w której każde z nich musi podjać decyzję samodzielnie.

11 n-osobowa gra kooperacyjna Miasta 1, 2 i 3 chca się podłaczyć do pobliskiej elektrowni. Możliwe połacze- nia oraz ich koszty sa pokazane na poniższym rysunku. Każde miasto może zbudować swoje własne połaczenie lub wybudować je we współpracy z innym miastem. Jakie będzie rozwiazanie w przypadku, gdy miasta moga ze soba współpracować?