Przykłady problemów optymalizacyjnych
|
|
- Ludwik Sobczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przykłady problemów optymalizacyjnych NAJKRÓTSZA ŚCIEŻKA W zadanym grafie G = (V, A) wyznacz najkrótsza ścieżkę od wierzchołka s do wierzchołka t s t
2 Przykłady problemów optymalizacyjnych PROBLEM KOMIWOJAŻERA Dla zadanego zbioru miast i znanych odległości między nimi wyznacz najkrótsza trasę rozpoczynajac a się i kończac a w mieście 1 i odwiedzajac a wszystkie pozostałe miasta dokładnie raz
3 Przykłady problemów optymalizacyjnych PROGRAMOWANIE LINIOWE (PL) max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1,..., x n 0 Przykład: max z = 3x 1 + 5x 2 4x 3 2x 1 + x x 1 x 2 + x x 1, x 2, x 3 0
4 Przykłady problemów optymalizacyjnych PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1,..., x n całkowite Przykład (problem plecakowy): max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n w 1 x 1 + w 2 x w n x n W x 1,..., x n {0, 1}
5 Przykłady problemów optymalizacyjnych ZADANIE PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO max z = f (x 1,..., x n ) g 1 (x 1,..., x n )(, =)b 1... g m (x 1,..., x 2 )(, =)b m Zadanie: Pewien element konstrukcyjny ma kształt trapezu równoramiennego. Pole przekroju elementu musi wynosić co najmniej S. Górne i boczne powierzchnie pokrywa się kosztownym materiałem. Należy określić parametry przekroju elementu aby ilość zużytego materiału była najmniejsza.
6 Przykłady problemów optymalizacyjnych PROBLEM SZEREGOWANIA Znajdź najkrótszy dopuszczalny harmonogram wykonywania n prac na m jednakowych maszynach, gdzie praca i musi być wykonywana przez p i jednostek czasu. Przykład: 9 prac z czasami trwania odpowiednio 1, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 6 ma być wykonanych na 3 maszynach. Częściowy porza- dek w zbiorze prac określa graf po lewej stronie M1 M M
7 Definicja problemu optymalizacyjnego Każdy problem optymalizacyjny P składa się z: Zbioru danych wejściowych (instancji) D P. Zbioru dopuszczalnych rozwiazań sol(i) dla każdej I D P. Funkcji celu f określajacej koszt (zysk) dla każdego dopuszczalnego rozwiazania x sol(i). Dla zadanej instancji I D P należy znaleźć dopuszczalne rozwiazanie x sol(i), takie że: f (x ) = min f (x) x sol(i) lub f (x ) = max x sol(i) f (x)
8 Algorytmy Problemy optymalizacyjne Problemy optymalizacyjne rozwiazujemy za pomoca algorytmów. ALGORYTM A WE: Opis danych wejściowych WY: Opis wyniku 1: Krok elementarny 2: Krok elementarny... k: Wywołanie innego algorytmu...
9 Rozmiar danych wejściowych Rozmiarem danych wejściowych nazywamy liczbę bitów potrzebnych do ich zakodowania. W praktyce rozmiar ten określamy podajac liczbę elementów prostego typu występujac a w danych wejściowych. Rozmiarem wektora liczb A = [a 1,..., a n ] jest n. Rozmiar grafu G = (V, A) określamy podajac liczbę wierzchołków V i liczbę łuków A w G
10 Czas działania algorytmu Czasem działania algorytmu nazywamy funkcję, która przyporzadkowuje każdemu rozmiarowi danych wejściowych maksymalna liczbę kroków elementarnych wykonywanych na danych o tym rozmiarze.
11 Przykład algorytmu Problemy optymalizacyjne PROBLEM MAX Znajdź największa liczbę w tablicy A = [a 1,..., a n ]. MAX WE: Tablica A = [a 1,..., a n ] WY: Maksymalny element w A 1: max := a 1 2: for i := 2 to n 3: if a i > max then max := a i 4: next i 5: return max Rozmiar danych wejściowych opisuje parametr n. Dla tablicy o rozmiarze n algorytm wykonuje 3(n 1) + 2 kroki elementarne. Oszacowanie to jest zbyt dokładne ponieważ zależy od sposobu zapisu algorytmu.
12 Notacja asymptotyczna O Niech f (n) i g(n), n N, będa danymi funkcjami. Mówimy, że f (n) jest rzędu O(g(n)) jeżeli istnieja liczby c > 0 i n 0 N takie, że: n n0 f (n) cg(n).
13 Notacja asymptotyczna O Fakty: Wielomian a k n k +a k 1 n k a 1 n+a 0 jest rzędu O(n k ). Funkcja wykładnicza 2 n nie jest rzędu O(n k ) dla żadnego k > 1. Funkcja n! nie jest rzędu k n dla żadnego k > 1. Ciag funkcji rosnacych coraz szybciej z dokładnościa do stałego współczynnika i składników niższych rzędów: 1, log n, n, n 2, n 3,..., n k, 2 n, 3 n,..., k n, n!, n n
14 Przykład algorytmu Problemy optymalizacyjne Algorytm MAX działa w czasie O(n) niezależnie od implementacji i sposobu zapisu algorytmu. Zatem PROBLEM MAX może być rozwia- zany w czasie O(n) MAX WE: Tablica A = [a 1,..., a n ] WY: Maksymalny element w A 1: max := a 1 2: for i := 2 to n 3: if a i > max then max := a i 4: next i 5: return max
15 Problem najkrótszej ścieżki Algorytm Dijkstry WE: Graf G = (V, A), c ij, (i, j) A, s WY: Drzewo najkrótszych ścieżek z s 1: S :=, S := N 2: for all i V d(i) := 4: d(s) := 0, pred(s) := 0 3: while S < n 4: Let i S be a node for which d(i) = min{d(j) : j S} 5: S := S {i}, S := S \ {i} 6: for all j such that (i, j) A 7: if d(j) > d(i) + c ij then d(j) := d(i) + c ij, pred(j) := i 8: end for 9: end while Algorytm Dijkstry działa w czasie O(n 2 ). Zatem problem najkrótszej ścieżki może być rozwiazany w czasie O(n 2 )
16 Problem komiwojażera Problem komiwojażera można rozwiazać za pomoca pełnego przegladu (metoda brute force). Niech Π oznacza zbiór wszystkich możliwych tras. Brute force WE: zbiór n miast, odległości między miastami WY: Najkrótsza trasa komiwojażera π 1: π := π 1, f := f (π 1 ) 2: for all π Π {Dla wszystkich tras} 2: if f (π) < f then π := π, f := f (π) 3: next π 4: return π Algorytm musi sprawdzić O(n!) tras, zatem czas działania tego algorytmu wynosi co najmniej O(n!)
17 Problem komiwojażera Załóżmy, że krok elementarny wykonujemy w czasie 10 6 s. n Czas działania Brute force s min godz lata lat Wniosek: Algorytm jest bezużyteczny dla n > 15!
18 Czas działania algorytmu Załóżmy, że krok elementarny wykonujemy w czasie 10 6 s. Oszacowanie czasu działania algorytmów: Algorytm n = 10 n = 20 n = 50 n = 100 O(n) s s s s. O(n 2 ) s s s s. O(n 3 ) s s s. 1 s. O(2 n ) s s. ok lat ok lat O(n!) 3.6 s lat ok lat!! Wniosek: Tylko algorytmy O(n), O(n 2 ) i O(n 3 ) sa efektywne!
19 Algorytmy wielomianowe Algorytm nazywamy wielomianowym jeżeli jego czas działania jest rzędu O(n k ) dla pewnej stałej k, gdzie n oznacza rozmiar problemu. Algorytmy wielomianowe, dla których k jest niewielkie (w praktyce k = 1, 2, 3), sa algorytmami efektywnymi. Działaja szybko dla danych o dużym rozmiarze. Algorytmy ponadwielomianowe (wykładnicze) moga być nieefektywne nawet dla danych o bardzo małym rozmiarze.
20 Problemy łatwe i trudne Problem optymalizacyjny nazywamy łatwym obliczeniowo jeżeli może być rozwiazany za pomoca algorytmu wielomianowego. Problem jest trudny obliczeniowo jeżeli algorytm wielomianowy dla niego nie istnieje lub nie jest znany.
21 Programowanie liniowe Najważniejszym problemem optymalizacyjnym, który jest łatwy obliczeniowo, jest programowanie liniowe: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1,..., x n 0 Każdy problem, który można efektywnie zapisać jako powyższy model liniowy jest również łatwy obliczeniowo. Uwaga: algorytm sympleksowy, nie jest algorytmem wielomianowym.
22 Programowanie matematyczne Efektywne algorytmy istnieja dla szczególnej klasy programowania wypukłego, tj. dla problemów w których funkcja celu jest wypukła i zbiór rozwiazań dopuszczalnych jest zbiorem wypukłym (szczególnym przypadkiem jest programowanie liniowe).
23 Model Markowitza Problemy optymalizacyjne Inwestor chce skonstruować portfel składajacy się z akcji n spółek. Znana jest oczekiwana stopa zwrotu µ i z akcji i-tej spółki oraz współczynnik kowariancji σ ij pomiędzy stopami zwrotów dla każdej pary spółek i oraz j (jest to miara liniowej zależności liniowej między stopami zwrotu i oraz j). Inwestor chce skonstruować portfel o najmniejszym ryzyku, zapewniajacy oczekiwany zwrot L.
24 Model Markowitza Problemy optymalizacyjne min z = n n i=1 i=1 σ ijx i x j n µ i x i L i=1 n x i = 1 i=1 x i 0 i [n] Jest to nieliniowe zadanie programowania wypukłego, które można efektywne rozwiazać.
25 Problemy NP-trudne Problemy dla których algorytm wielomianowy nie jest znany (podejrzewa się, że nie istnieje) tworza klasę problemów NPtrudnych. Problemami NP-trudnymi sa, między innymi: 1 Problem komiwojażera. 2 Problem plecakowy. 3 Zadanie programowania liniowego całkowitoliczbowego. 4 Ogólne (niewypukłe) zadanie programowania kwadratowego.
26 Rozwiazywanie problemów NP-trudnych 1 Algorytmy dokładne Model matematyczny + solver. Algorytm podziału i ograniczeń Programowanie dynamiczne (literatura) 2 Algorytmy aproksymacyjne 3 Metaheurystyki Algorytmy ewolucyjne (literatura) Inne (literatura)
27 Model matematyczny dla problemu komiwojażera x ij {0, 1}, gdzie x ij = 1 jeżeli komiwojażer wybiera połaczenie od i j. Funkcja celu: min z = n n c ij x ij i=1 j=1 Komiwojażer odwiedza każde miasto dokładnie raz. n x ij = 1, j = 1,..., n i=1 n x ij = 1, i = 1,..., n j=1 Czy te ograniczenia wystarcza?
28 Model matematyczny dla problemu komiwojażera W wyniku możemy otrzymać rozłaczne cykle (podcykle): 7 3 x 13 = 1 x 34 = 1 x 57 = 1 x 76 = 1 1 x 21 = 1 x 42 = x 65 = Należy dodać ograniczenia eliminujace podcykle
29 Model matematyczny dla problemu komiwojażera Sposób 1: x ij S 1, S V, S, i S j S gdzie V = {1,..., n} jest zbiorem miast. Liczba dodatkowych ograniczeń jest wykładnicza.
30 Model matematyczny dla problemu komiwojażera Sposób 2 (sformułowanie Millera-Zemlina-Tuckera): u 1 = 1 u i u j + 1 (n 1)(1 x ij ) i, j = 2,..., n 2 u i n i = 2,..., n gdzie u i oznacza, pozycje miasta i na trasie. 3 x 13 = 1 x 34 = 1 x 57 = 1 7 u 7 x 76 = 1 1 x 21 = 1 x 42 = u 5 x 65 = 1 u u 5 u 7+1 0, u 7 u , u 6 u Dodajac stronami te nierówności otrzymujemy sprzeczność. Pokaż, że cykl Hamiltona spełnia warunki MZT.
31 Model matematyczny dla problemu komiwojażera Sposób 3 (model przepływowy): j V y ij j V y ji = y ij (n 1)x ij, i, j V { n 1 jeżeli i = 1 1 jeżeli i 1, i V 7 3 x 13 = 1 x 34 = 1 x 57 = 1 x 76 = 1 1 x 21 = 1 x 42 = x 65 = Nie można wysłać towaru z wierzchołka 1 do 5, 6 i 7 ponieważ sieć określona przez x ij = 1 nie jest spójna.
32 Heurystyka dla problemu komiwojażera Heurystyka najbliższego sasiada: zaczynajac od miasta 1 wybierz jako kolejne miasto najbliższe z nieodwiedzonych miast Trasa heurystyczna:
33 Heurystyka dla problemu komiwojażera Heurystyka może zwrócić dowolnie zła trasę: K Trasa heurystyczna: ma koszt K. Optymalna trasa ma koszt nie większy niż 5. Liczba K może być dowolnie duża.
34 Algorytm podziału i ograniczeń 1 Algorytm sukcesywnie dzieli zbiór dopuszczalnych rozwiazań S 0 = sol(i) na rozłaczne podzbiory S 1, S 2, S 3, Dla każdego podzbioru S i efektywnie oblicza: Dolne ograniczenie B(S i ) na koszt rozwiazania w S i. Dopuszczalne rozwiazanie x i S i. 3 Niech x będzie najlepszym znalezionym rozwiazaniem dopuszczalnym. Jeżeli B(S i ) f (x ), to S i nie może zawierać lepszego rozwiazania niż x i można S i odciać. 4 Algorytm kończy pracę jeżeli nie istnieje podzbiór S i, taki że B(S i ) < f (x ). Wówczas x jest rozwiazaniem optymalnym.
35 Algorytm Algorytm podziału podziału i ograniczeń i ograniczeń (problem min) S 0 x 0 podziel S 1 S 3 S 2 x 1 x 2 x 3 odetnij B(S 1 ) f (x ) S S 5 4 x x 5 4 podziel B(S 2 ) < f (x )......
36 Problem komiwojażera Problem dla 5 miast z macierza odległości: M - bardzo duża liczba M M M M M
37 Problem komiwojażera Każda trasa komiwojażera jest pewnym przyporzadkowaniem: Ale nie każde przyporzadkowanie jest trasa komiwojażera:
38 Problem komiwojażera Koszt optymalnego przyporzadkowania jest niewiększy od kosztu optymalnej trasy komiwojażera. Rozwiazuj ac problem minimalnego przyporzadkowania otrzymujemy dolne ograniczenie na koszt optymalnej trasy komiwojażera. Minimalne przyporzadkowanie można efektywnie wyznaczyć algorytmem Węgierskim w czasie O(n 3 ). Dopuszczalna trasę można wyznaczyć za pomoca heurystyki najbliższego sasiada.
39 Problem komiwojażera B(S 0 )=652 π 0 =(1, 5, 2, 4, 3) f (π 0 )=855 Koszt minimalnego przyporzadkowania wynosi 652. Koszt minimalnego przyporzadkowania wynosi 652. Heurystyka najbliższego sasiada daje trasę Heurystyka najbliższego sasiada daje trasę π π 0 =(1, 5, 2, 4, 3) o koszcie 855. Koszt π 0 jest co najwyżej 0 = (1, 5, 2, 4, 3) o koszcie 855. Koszt π ( )/ % =31.1% 0 jest co najwyżej ( )/652 większy od optimum. 100% = 31.1% większy od optimum. Minimalne przyporzadkowanie (rysunek) nie jest trasa więc musimy Minimalne dokonaćprzyporz podziałuadkowanie rozrywaj ac np: (rysunek) cykl nie jest trasa więc musimy dokonać podziału rozrywajac np: cykl Adam Kasperski Optymalizacja 2009/2010
40 Problem komiwojażera Problem komiwojażera B(S 0 )=652 π 0 =(1, 5, 2, 4, 3) f (π 0 )=855 c 25 = M c 52 = M B(S 1 )=682 π 1 =(1, 5, 2, 4, 3) f (π 1 )=855 B(S 2 )=668 π 2 =(1, 3, 4, 2, 5) f (π 2 )=668 OPTIMUM
41 Algorytm podziału i ograniczeń - podsumowanie 1 Algorytm może działać w czasie wykładniczym. Może również zużywać dużo pamięci do przechowywania wierzchołków drzewa podziału i ograniczeń. 2 Efektywna implementacja algorytmu wymaga dużej wiedzy i doświadczenia programistycznego. 3 Algorytm można przerwać w dowolnym momencie. Wówczas najlepsze znalezione rozwiazanie jest rozwiazaniem przybliżonym. Zazwyczaj potrafimy oszacować jak daleko od optimum to rozwiazanie się znajduje.
42 Sasiedztwo i ruch Problemy optymalizacyjne Sasiedztwem rozwiazania x nazywamy funkcję N, która przypisuje każdemu rozwiazaniu x pewien podzbiór dopuszczalnych rozwiazań N(x). Ruchem nazywamy przejście od rozwiazania x do innego rozwiazania z N(x). Rozwiazanie x jest minimum lokalnym względem sasiedztwa N jeżeli f (x ) f (x) dla każdego x N(x).
43 Sasiedztwo i ruch Problemy optymalizacyjne 1 Definicja sasiedztwa zależy od problemu i reprezentacji rozwia- zań w problemie. 2 Rozwiazania z N(x) powinny być lekko zmodyfikowanymi wersjami rozwiazania x. 3 Dla każdych dwóch rozwiazań x i y powinien istnieć ciag ruchów prowadzacych od x do y. 4 Ruch powinien być łatwy do zaimplementowania. 5 Rozmiar sasiedztwa nie powinien być wykładniczy względem rozmiaru x. 6 Lokalne minimum może być bardzo odległe od minimum globalnego.
44 Problem komiwojażera Rozwiazania kodujemy jako zbiory krawędzi tworzacych cykl Hamiltona. Sasiedztwo 2-opt N(π) = {π : π \ π = 2} Sasiedztwo to składa się z tras różniacych się od trasy π dokładnie dwoma krawędziami. Ruch polega na usunięciu dwóch krawędzi z trasy π i dodaniu dwóch nowych krawędzi. π = {(1, 4), (4, 6), (6, 5), (5, 2), (2, 3), (3, 1)}, π = {(1, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 6), (6, 3), (3, 1)}
45 Algorytm największego spadku Algorytm NS 1: Wygeneruj rozwiązanie początkowe x 2: stop := false 3: while stop = false 4: Znajdź y N(x) o najmniejszej wartości f (y) 5: if f (y) < f (x) then x := y {Wykonaj ruch} 6: else stop := true 6: end while 7: return x Algorytm zwraca lokalne minimum względem zadanego sasiedztwa.
46 Zalety i wady algorytmu NS 1 Algorytm jest przeważnie szybki i prosty w implementacji. W wielu przypadkach daje dobre rozwiazania. 2 Algorytm zawsze zwraca lokalne minimum, które może być odległe od globalnego. 3 Jakość zwróconego rozwiazania silnie zależy od rozwiazania poczatkowego. Możliwe ulepszenie: uruchom algorytm wiele razy dla różnych (losowych) rozwiazań poczatkowych. 4 Algorytm przeszukuje mała część przestrzeni rozwiazań. 5 W pewnych przypadkach pełny przeglad sasiedztwa jest nieefektywny.
47 Symulowane wyżarzanie (problem min) 1 Rezygnuje się z przegladania całego sasiedztwa N(x) bieżacego rozwiazania x. Zamiast tego kolejne rozwiazanie y N(x) jest wybierane w sposób losowy. 2 Ruch z x do y N(x) jest wykonywany z prawdopodobieństwem: } f (x) f (y) P(x, y) = min {1, e T. Parametr T > 0 nazywamy temperatura. Jeżeli f (y) f (x), to P(x, y) = 1 i ruch z x do y jest wykonywany automatycznie. Jeżeli f (y) > f (x), to P(x, y) (0, 1). Algorytm może wiêc przejść do gorszego rozwiazania y z prawdopod. tym większym im lepsze jest rozwiazanie y i im większa jest temperatura.
48 Symulowane wyżarzanie (problem min) Symulowane wyżarzanie 1: Wygeneruj rozwiązanie początkowe x 2: x best := x, T := T max 3: while T T min 4: i 1 5: for i := 1 to max_iter 6: Wybierz losowo y N(x) 7: l rand[0, 1] {Wylosuj liczbę z [0,1]} 8: if l P(x, y) then x := y {Wykonaj ruch} 9: if f (x) < f (x best ) then x best := x 10: end for 11: T := T T /(T + βt ) {Obniż temperaturę} 12: end while 11: return x best Parametry T min, T max, max_iter, β należy ustalić eksperymentalnie.
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoWykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ
Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ dr hab. Krzysztof SZKATUŁA, prof. PAN Instytut Badań Systemowych PAN Uniwersytet
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Wybrane algorytmy
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B),(A, D),(A, C),(B, C),...,} Ścieżki i cykle Ciag wierzchołków
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Przeszukiwanie lokalne
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Idea sąsiedztwa Definicja sąsiedztwa x S zbiór N(x) S rozwiązań, które leżą blisko rozwiązania x
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowoMetody przeszukiwania
Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania
Bardziej szczegółowoModele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP)
& Zagadnienie komowojażera 1 Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) Danych jest miast oraz macierz odległości pomiędzy każdą parą miast. Komiwojażer wyjeżdża z miasta o numerze 1 chce
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne cz. 2
Programowanie dynamiczne cz. 2 Wykład 7 16 kwietnia 2019 (Wykład 7) Programowanie dynamiczne cz. 2 16 kwietnia 2019 1 / 19 Outline 1 Mnożenie ciągu macierzy Konstruowanie optymalnego rozwiązania 2 Podstawy
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Dokładne algorytmy optymalizacji Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem minimalizacji
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Bardziej szczegółowoProblem komiwojażera ACO. Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym.
Problem komiwojażera ACO Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym. -Wikipedia Problem do rozwiązania zazwyczaj jest przedstawiany jako
Bardziej szczegółowoMetody przeszukiwania lokalnego
Metody przeszukiwania lokalnego Literatura [1] F. Glover, T. Laguna, Tabu search, Kluwer Academic Publishers, 1997. [2] R. Ahuja, O. Ergun, J. Orlin, A. Punnen, A survey of very large-scale neighborhood
Bardziej szczegółowoPorównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)
Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoetody programowania całkowitoliczboweg
etody programowania całkowitoliczboweg Wyróżnia się trzy podejścia do rozwiazywania zagadnień programowania całkowitoliczbowego metody przegladu pośredniego (niebezpośredniego), m.in. metody podziału i
Bardziej szczegółowoRównoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami
Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoDroga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowoPrzykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoMetody Programowania
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy metaheurystyczne podsumowanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Bardziej szczegółowoAlgorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne)
Algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne) 1 2 Wstęp Termin zaproponowany przez Pablo Moscato (1989). Kombinacja algorytmu ewolucyjnego z algorytmem poszukiwań lokalnych, tak że algorytm poszukiwań
Bardziej szczegółowoAlgorytmy stochastyczne laboratorium 03
Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Jarosław Piersa 10 marca 2014 1 Projekty 1.1 Problem plecakowy (1p) Oznaczenia: dany zbiór przedmiotów x 1,.., x N, każdy przedmiot ma określoną wagę w(x i ) i wartość
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Bardziej szczegółowoWyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera
Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoTomasz M. Gwizdałła 2012/13
METODY METODY OPTYMALIZACJI OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.523b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Bardziej szczegółowoZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW RELACJE MIEDZY KLASAMI ZŁOŻONOŚCI Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 KLASY ZŁOŻONOŚCI KLASE ZŁOŻONOŚCI OPISUJE SIE PODAJAC: Model
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji dyskretnej. Metody przybliżone
Metody optymalizacji dyskretnej Metody przybliżone Metody optymalizacji dyskretnej Większość problemów optymalizacji dyskretnej pochodzących z praktyki (szeregowanie, harmonogramowanie, transport, plany
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu
Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: wtorek
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowoZaawansowane programowanie
Zaawansowane programowanie wykład 3: inne heurystyki prof. dr hab. inż. Marta Kasprzak Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska Heurystyką nazywamy algorytm (metodę) zwracający rozwiązanie przybliżone.
Bardziej szczegółowozadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w
Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne
Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii
Bardziej szczegółowoMETODY OPTYMALIZACJI. Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
METODY OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2018/19 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.524b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych.
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowo[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.
Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe. H. Bednarz. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne
Algorytmy mrówkowe H. Bednarz Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne 13 kwietnia 2015 1 2 3 4 Przestrzeń poszukiwań Ograniczenia
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. IX Jesień 2014 1 / 26 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb
Bardziej szczegółowoWykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo9. Schematy aproksymacyjne
9. Schematy aproksymacyjne T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, WNT (2004) O.H. Ibarra, C.E. Kim Fast approximation algorithms for the knapsack and sum of subset
Bardziej szczegółowoAlgorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Bardziej szczegółowoKombinatoryczne problemy optymalizacyjne to problemy wyboru najlepszego rozwiązania z pewnego zbioru rozwiązań
Kombinatoryczne problemy optymalizacyjne to problemy wyboru najlepszego rozwiązania z pewnego zbioru rozwiązań dopuszczalnych. NP-optymalizacyjny problem Π składa się: zbioru instancji D Π rozpoznawalnego
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 5 i 6. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie
Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 5 i 6 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoAlgorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Bardziej szczegółowoWykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problem
Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problemie marszrutyzacji Promotor: dr inż. Aneta Poniszewska-Marańda Współpromotor: mgr inż. Łukasz Chomątek 14 czerwca 2013 Przedmiot i cele pracy dyplomowej
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko
Algorytmy wyznaczania centralności w sieci Szymon Szylko Zakład systemów Informacyjnych Wrocław 10.01.2008 Agenda prezentacji Cechy sieci Algorytmy grafowe Badanie centralności Algorytmy wyznaczania centralności
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowoProblem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n
i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Organizacja wykładu. Problem Sortowania. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoEfektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe. P. Oleksyk. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne
y mrówkowe P. Oleksyk Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne 14 kwietnia 2015 1 Geneza algorytmu - biologia 2 3 4 5 6 7 8 Geneza
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoAlgorytmy aproksymacyjne i parametryzowane
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Podniesienie poziomu wiedzy studentów z zagadnień dotyczących analizy i syntezy algorytmów z uwzględnieniem efektywności
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, algoritme Dijkstry Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XI Jesień 2013 1 / 25 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca na
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowoWykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problem
Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problemie marszrutyzacji Promotor: dr inż. Aneta Poniszewska-Marańda Współpromotor: mgr inż. Łukasz Chomątek 18 stycznia 2013 Przedmiot i cele pracy dyplomowej
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoAlgorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych
Algorytmy aproksymacyjne dla problemów stochastycznych Marcin Mucha Uniwersytet Warszawski Warszawa 29.04.2011 - p. 1/44 Plan - Wykład II Boosted sampling: drzewo Steinera, problemy addytywne: lokalizacja
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. Podstawy C# Przykłady algorytmów
Podstawy programowania Podstawy C# Przykłady algorytmów Proces tworzenia programu Sformułowanie problemu funkcje programu zakres i postać danych postać i dokładność wyników Wybór / opracowanie metody rozwiązania
Bardziej szczegółowoPlan. Zakres badań teorii optymalizacji. Teoria optymalizacji. Teoria optymalizacji a badania operacyjne. Badania operacyjne i teoria optymalizacji
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Instytut Informatyki Poznań, 2011/2012 1 2 3 Teoria optymalizacji Teoria optymalizacji a badania operacyjne Teoria optymalizacji zajmuje się badaniem metod optymalizacji
Bardziej szczegółowo