Projekt dyplomowy in»ynierski
|
|
- Henryka Sikorska
- 10 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek: Matematyka Specjalno± : Matematyka Finansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Aleksandra Kantowska Nr albumu: Projekt dyplomowy in»ynierski Temat projektu: Analiza ryzyka portfela: inwestycje w srebro i zªoto. Zakres projektu: Przedstawienie miar ryzyka Value-at-Risk oraz expected shortfall. Przedstawienie podstawowych poj dotycz cych teorii kopuª. Wykorzystanie teorii kopuª do analizy ryzyka portfela inwestycyjnego zªo»onego z inwestycji w srebro i w zªoto przy pomocy programu R. Potwierdzenie przyj cia projektu: Opiekun projektu: Kierownik Katedry: dr hab. Karol Dziedziul dr hab. Karol Dziedziul Gdansk,
2 Spis tre±ci Wst p 3 1 Miary ryzyka Koherentne miary ryzyka Uogólniona funkcja odwrotna Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Surowce Podstawowe informacje Notowania Analiza rozkªadu Value at Risk Expeted Shortfall Ryzyko portfela z wykorzystaniem funkcji kopuªa Funkcja kopuªa Kopuªy dla portfela Value at Risk Expected Shortfall Podsumowanie 42 Zaª czniki 43 Zaª cznik Zaª cznik Zaª cznik Bibliograa 51 1
3 Wst p Ryzyko, jest poj ciem nie obcym»adnemu czªowiekowi. Mo»emy si z nim spotka w ró»nych sytuacjach, zarówno w»yciu codziennym jak i w nansach. W zwi zku z tym,»e istnieje ryzyko, istniej tak»e sposoby jego obliczania i zabezpieczania si przed nim. W pracy tej postaram si przybli»y metody jego wyliczania. W pracy skupi si na wyznaczeniu ryzyka inwestycji za pomoc dwóch miar: warto- ±ci zagro»onej oraz expected shortfall. Pierwsza z nich jest jedn z najpopularniejszych miar ryzyka. Jest stosowana przez banki, instytucje nansowe czy towarzystwa ubezpieczeniowe. Od roku 2012, zgodnie z dyrektyw Unii Europejskiej Solvency II (pol. Wypªacalno± II), wszystkie rmy ubezpieczeniowe b d musiaªy oblicza ryzyko oraz poziom rezerw za pomoc warto±ci zagro»onej. W pracy zajm si analiz ryzyka straty, jak mo»e ponie± inwestor w przypadku, gdy zainwestuje 1 mln dolarów na okres jednego miesi ca. Dokonam porównania ryzyka trzech ró»nych inwestycji. Pierwsz z nich b dzie zainwestowanie 1 miliona dolarów w srebro, drug b dzie inwestycja 1 miliona dolarów w zªoto, a trzeci zainwestowanie w portfel zªo»ony z inwestycji dolarów w srebro i dolarów w zªoto. We wszystkich trzech przypadkach za poziom ufno±ci przyjm α = 0, 95. Praca skªada si z trzech rozdziaªów, a ka»dy z nich zostaª podzielony na podrozdziaªy. W rozdziale pierwszym wprowadzone zostanie poj cie koherentnej miary ryzyka, oraz przykªady miar: Valu-at-Risk (V ar α ) oraz expected shortfall (ES α ). Zostanie równie» wprowadzona denicja uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno±ci. W drugim rozdziale zostan przedstawione podstawowe informacje o dwóch surowcach - srebrze i zªocie. Nast pnie na postawie historycznych notowa«z ostatniego dnia miesi ca na przestrzeni 5 lat i warto±ci stóp strat obliczonych z tych danych zostanie sprawdzone, czy stopy strat maj rozkªad normalny. Po sprawdzeniu rozkªadów i wyznaczeniu kwantyla rozkªadu zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci miar V ar oraz ES dla dwóch inwestycji, w zªoto i srebro. Ka»da z tych inwestycji b dzie to inwestycja 1 miliona dolarów na okres 1 miesi ca. W rozdziale trzecim zostanie wprowadzona teoria dotycz ca funkji kopuªy. Nast pnie wykorzystuj c funkcj kopuªy zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci V ar i ES w przypadku inwestycji w zdywersykowany portfel inwestycyjny, skªadaj cy si z inwestycji 500 2
4 000 dolarów w srebro oraz inwestycji dolarów w zªoto. W pracy potrzebne obliczenia zostaªy wykonane przy wykorzystaniu programu R, a kody u»yte do tych wylicze«znajduj si w zª cznikach do tej pracy. 3
5 Rozdziaª 1 Miary ryzyka Zacznijmy od okre±lenia czym jest ryzyko. Najpro±ciej mówi c ryzyko jest to prawdopodobie«stwo poniesienia straty, mo»liwo± niepowodzenia inwestycji czy dziaªa«. Ryzyko jest obecne w ka»dej dziedzinie, jest to zarówno nieodª czny element»ycia ka»dego czªowieka, dziaªalno±ci podmiotów gospodarczych, jak i dziaªalno±ci na rynkach nansowych. Skupiaj c si na nansach mo»emy wyró»ni wiele rodzajów ryzyka. Jednym z nich jest ryzyko rynkowe, które mo»emy podzieli na interesuj ce nas ryzyko cen towarów, a tak»e ryzyko kursu walut, ryzyko stopy procentowej czy ryzyko cen akcji. Innymi przykªadami ryzyka s ryzyko kredytowe, operacyjne czy ryzyko prawne. W zwi zku z istnieniem ryzyka istnieje tak»e potrzeba zabezpieczenia si przed nim. Aby móc uchroni si przed potencjaln strat, trzeba pozna jej mo»liw wielko±. Wªa- ±nie ta warto± jest jedn z wa»niejszych rzeczy, które chc pozna osoby oraz instytucje dziaªaj ce na rynkach nansowych. Jednym ze sposobów obliczania ryzyka jest stosownie miar ryzyka, w szczególno±ci koherentnych miar ryzyka, które przedstawi w tym rozdziale. Rozdziaª ten opracowaªam gªównie na podstawie ksi»ki [6]. 1.1 Koherentne miary ryzyka Aby okre±li co t s koherentne miary ryzyka musimy zacz od okre±lenia czym jest miara ryzyka. Zacznijmy od tego,»e (Ω, F, P ) jest przestrzeni probabilistyczn a poprzez oznaczymy horyzont czasowy inwestycji. Wprowad¹my tak»e zbiór wszystkich zmiennych losowych zdeniowanych na (Ω, F), oznaczmy go poprzez L 0 (Ω, F, P ). Przez zbiór zmiennych losowych M L 0 (Ω, F, P ) oznaczmy reprezentacj ryzyka nansowego, które interpretujemy jako strat portfela na zadanym horyzoncie czasu, gdzie M jest sto»kiem wypukªym zdeniowanym nast puj co: Denicja 1. (Sto»ek wypukªy M)[6] 4
6 Sto»ek wypukªy jest to niepusty podzbiór przestrzeni liniowej M L 0 (Ω, F, P ) o nast puj cych wªasno±ciach: λ>0 L M λl M L 1, L 2 M L 1 + L 2 M R M. W naszym przypadku rozpatrujemy wszystko z punktu widzenia strat dlatego poprzez L i oznaczmy strat z i-tej inwestycji. Mo»emy teraz wprowadzi denicj miary ryzyka. Denicja 2. (Miara ryzyka)[6] Miar ryzyka nazywamy pewn funkcj rzeczywist dziaªaj c ze zbioru zmiennych losowych okre±lonych na sto»ku wypukªym na zbiór liczb rzeczywistych ρ : M R. Znaj c ju» denicj miary ryzyka mo»emy pozna jej interpretacj. Ogólnie ujmuj c, miar ryzyka ρ(l) interpretujemy jako kwot kapitaªu (rezerw ), któr powinni±my doda do pozycji w portfelu o mo»liwej stracie L. Gdy rezerwy zostan wyliczone i zabezpieczone to taka pozycja mo»e zosta zaakceptowana przez osoby sprawuj ce kontrol nad ryzykiem. W przypadku, gdy wyliczona warto± miary ryzyka jest mniejsza lub równa zeru (ρ(l) 0) to mo»emy stwierdzi,»e nie mamy potrzeby tworzenia dodatkowych rezerw, poniewa» ujemna strata to jest zysk. W sytuacji, gdy otrzymamy miar ryzyka mniejsz od zera ρ(l) < 0 to nie tylko nie ma potrzeby tworzenia rezerw, mo»liwe jest nawet wycofanie cz ±ci kapitaªu. Natomiast w przypadku, gdy wyliczona miara ryzyka b dzie wi ksza od zera ρ(l) > 0 to aby inwestycja zostaªa zaakceptowana przez kontrolerów ryzyka potrzebne jest stworzenie rezerw. Znaj c ju» denicje sto»ka wypukªego oraz miary ryzyka mo»emy przej± do wprowadzenia denicji koherentnej miary ryzyka. Denicja 3. (Koherentna miara ryzyka)[6] Miar ryzyka ρ, której dziedzina zawiera sto»ek wypukªy M (ρ : M R), nazywamy koherentn miar ryzyka, je»eli miara ta speªnia aksjomaty 1-4. Aksjomaty, które s wymagane przez denicj koherentnej miary ryzyka, zostaªy wprowadzone w 1999 prze Artzner'a i s one nast puj cej postaci: 5
7 Aksjomat 1. (Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj ) L M l R ρ(l + l) = ρ(l) + l Aksjomat ten oznacza,»e je»eli do pozycji o mo»liwej stracie L dodamy b d¹ odejmiemy wielko± l, zmienimy w ten sposób nasze wymagania odno±nie kapitaªu o dokªadnie t kwot l. Aksjomat 2. (Subaddytywno± ) L1,L 2 M ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) Miara ryzyka jest subaddytywna, je»eli dla dowolnych inwestycji A (o stracie L 1 ) i B (o stracie L 2 ), ryzyko poniesienia straty dla portfela A + B jest niewi ksze ni» suma ryzyka straty inwestycji A i ryzyka straty z inwestycji B. Ryzyko portfela zªo»onego z dwóch skªadników jest mniejsze lub równe sumie ich indywidualnych ryzyk. Aksjomat 3. (Dodatnia jednorodno± ) L M λ>0 ρ(λl) = λρ(l) Je»eli powi kszymy λ-krotnie rozmiar ka»dej pozycji w portfelu, ryzyko portfela wzro- ±nie λ-krotnie. Aksjomat 4. (Monotoniczno± ) L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ρ(l 1 ) ρ(l 2 ) Je»eli strata L 1 (dla inwestycji A) jest wi ksza ni» strata L 2 (dla inwestycji B) dla wszystkich mo»liwych scenariuszy straty, wtedy ryzyko straty z inwestycji A jest wi ksze, ni» ryzyko straty z inwestycji B. 1.2 Uogólniona funkcja odwrotna Aby przej± do przykªadów miar ryzyka jakimi s Value-at-Risk oraz Expected Shortfall musimy najpierw wprowadzi denicj uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno- ±ci. Denicja 4. (Uogólniona funkcja odwrotna)[6] Niech funkcja niemalej ca T b dzie okre±lona nast puj co T : R R, uogólniona funkcja odwrotna do funkcji T jest zdeniowana nast puj co T (y) := inf {x R : T (x) y}, (1.1) u»ywamy konwencji,»e kres dolny zbioru pustego jest równy niesko«czono±ci (inf{ } = ). 6
8 Wprowad¹my tak»e denicj kwantyla funkcji. Denicja 5. (Kwantyl funkcji)[6] Niech F b dzie dystrybuant funkcji, uogólnion funkcj odwrotn F nazywamy kwantylem funkcji F. Dla α (0, 1) α - kwantyl funkcji F jest postaci q α (F ) := F (α) = inf {x R : F (x) α}. (1.2) Dla przypadku, gdy F jest dystrybuant zmiennej losowej X mo»na u»y oznaczenia q α (X) := q α (F ). Gdy funkcja F jest ci gªa i ±ci±le rosn ca a jej funkcj odwrotn jest F 1, wtedy zachodzi q α (F ) = F 1 (α). Do przedstawienia wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej potrzebne s nast puj ce lematy. Lemat 1. [6] Je»eli X jest zmienn losow oraz funkcja T jest niemalej ca, wtedy {X x} {T (X) T (x)} oraz P (T (X) T (x)) = P (X x) + P (T (X) = T (x), X > x). Lemat 2. [6] Je»eli F jest dystrybuant zmiennej losowej X, wtedy P (F (X) F (x)) = P (X x). Znaj c denicj oraz podstawowe lematy dotycz ce uogólnionej funkcji odwrotnej mo-»emy przej± do okre±lenia jej wªasno±ci. Wªasno± 1. (Wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej)[6] Dla niemalej cej funkcji T zachodzi: 1. T jest niemalej ca, lewostronnie ci gª funkcj 2. T jest ci gªa T jest ±ci±le rosn ca 3. T jest ±ci±le rosn ca T jest ci gªa Dla pozostaªych wªasno±ci dodatkowo zaªó»my,»e T (y) < 4. Je»eli T jest prawostronnie ci gªa oraz T (x) y T (y) x 5. T T (x) x 6. T T (y) y 7
9 7. T jest ±ci±le rosn ca T T (x) = x 8. T jest ci gªa T T (y) = y. Wªasno± 2. [6] Je»eli X jest zmienn losow o dystrybuancie F, wtedy P (F F (X) = X) = Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Najpopularniejsz miar ryzyka stosowan mi dzy innymi przez instytucje nansowe jest miara ryzyka nazywana warto±ci zagro»on lub warto±ci nara»on na ryzyko, w skrócie VaR (ang. Value-at-Risk). Wywodzi si ona z koncepcji kwantyla rozkªadu. Najpro±ciej mówi c, VaR okre±la jak najwi ksz strat mo»emy ponie± na danej inwestycji przy okre±lonym prawdopodobie«stwie α, oraz przy zadanym horyzoncie czasowym. Rozwa»my portfel ryzykownych inwestycji oraz ustalony horyzont czasu, oznaczmy przez F L (l) = P (L l) dystrybuant zmiennej losowej oznaczaj cej strat. Denicja 6. (Value-at-Risk)[6] Niech α (0, 1) b dzie ustalonym poziomem ufno±ci. Warto± zagro»ona portfela na poziomie ufno±ci α jest okre±lona przez najmniejsz liczb l tak,»e prawdopodobie«stwo,»e strata L osi gnie warto± l jest nie wi ksze ni» (1 α). Formalnie, V ar α (L) = inf {l R : P (L > l) 1 α} = inf {l R : F L (l) α}. (1.3) W uj ciu probabilistycznym, VaR jest kwantylem dystrybuanty funkcji straty. Poziom ufno±ci α mo»e by dowolnie ustalony, jednak najcz ±ciej okre±la si go na poziomie α = 0, 95 lub α = 0, 99. Tak jak α równie» horyzont czasowy dla którego badamy ryzyko mo»e by dowolnie ustalony. Najcz ±ciej za horyzont czasu przyjmuje si 1 rok w przypadku wyliczania ryzyka operacyjnego lub kredytowego, oraz w przypadku wyliczania ryzyka rynkowego jest to zazwyczaj 1 lub 10 dni. Z dowolno±ci tych dwóch parametrów mo»na stwierdzi,»e warto± VaR b dzie wi ksza im dªu»szy b dzie rozpatrywany horyzont czasowy oraz im wi kszy b dzie poziom ufno±ci. VaR nie jest doskonaª miar ryzyka, poniewa» nie s speªnione wszystkie aksjomaty, które powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Nie jest speªniony aksjomat 2, czyli 8
10 VaR nie jest subaddytywna. Pozostaªe trzy aksjomaty s speªnione: Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R V ar α (L + l) = V ar α (L) + l Dowód. V ar α (L + l) = inf{t R : P (L + l > t) 1 α} = inf{t R : F L+l (t) α} = = inf{t R : P (L + l t) α} = inf{t R : P (L t l) α} = = inf{t l + l R : F L (t l) α} = = l + inf{t l R : F L (t l) α} = = l + V ar α (L) Dodatnia jednorodno± : Dowód. Zaª.»e λ > 0 L M λ>0 V ar α (λl) = λv ar α (L) V ar α (λl) = F λl(α) = inf{x R : F λl (x) α} = = inf{x R : P (λl x) α} = inf{x R : P { = inf λ x (L λ R : P x ) } α = { λ x ( = λ inf λ R : P L x ) } α = λ = λfl (α) = λv ar α (L) ( L x ) α} = λ Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ) Dowód. Mamy V ar α (L 1 ) = FL 1 (α) = inf {x R : F L1 (x) α} V ar α (L 2 ) = FL 2 (α) = inf {x R : F L2 (x) α}. Korzystaj c z tego,»e {L 2 x} {L 1 x} 9
11 otrzymujemy P (L 1 x) = F L1 (x) F L2 (x) = P (L 2 x). Z tego wynika,»e inf {x R : F L1 (x) α} inf {x R : F L2 (x) α} V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ). Value-at-Risk nie mówi tak»e jak du»a mo»e by strata, gdy warto± VaR zostanie przekroczona (nie rozpatruje jak du»a b dzie strata dla przypadków znajduj cych si w ogonie 1 α procentowym). Value-at-Risk nie jest koherentn miar ryzyka, poniewa» nie jest speªniony aksjomat o sybaddytywno±ci. 1.4 Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Kolejn miar ryzyka, któr si zajmiemy jest Expected Shortfall. Jest to miara ryzyka ±ci±le zwi zana z przedstawion wcze±niej miar VaR. Aby zdeniowa expected shortfall potrzebna jest denicja warto±ci oczekiwanej. Denicja 7. (Warto± oczekiwana)[2] Powiemy,»e zmienna losowa X o warto±ciach w R ma warto± oczekiwan, je»eli jest caªkowalna, czyli zachodzi X dp <, wtedy warto±ci oczekiwan zmiennej losowej X nazwiemy liczb EX = XdP. Ω Denicja 8. (Expected Shortfall)[6] Dla straty L ze sko«czon warto±ci oczekiwan E ( L ) < oraz z dystrybuant F L expected shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1) jest zdeniowana nast puj co ES α = 1 1 α Ω 1 gdzie q u jest kwantylem funkcji F L, (q u (F L ) = F L 10 α q u (F L ) du, (1.4) (u)).
12 Jak ju» zostaªo powiedziane expected shortfall jest miar ryzyka powi zan z miar VaR, zwi zek pomi dzy tymi miarami ryzyka wygl da nast puj co ES α = 1 1 α 1 α V ar u (L) du. W przypadku expected shorfall patrzymy na warto± wi ksz od warto±ci VaR, gdy» zamiast ustala jaki± inny szczególny poziom ufno±ci α korzystamy z u±rednienia warto±ci VaR dla wszystkich poziomów u α. Warto± ES α zale»y tylko od rozkªadu straty L, zatem ES α V ar α. W sytuacji, gdy straty maj rozkªad ci gªy expected shortfall mo»emy interpretowa jako warunkow warto± oczekiwan straty pod warunkiem,»e warto± VaR zostaªa przekroczona. Denicja 9. (Warunkowa warto± oczekiwana) [2] Niech P (A) > 0 i niech X b dzie zmienn losow o sko«czonej warto±ci oczekiwanej, wtedy warunkow warto± oczekiwan okre±lamy E(X A) = 1 P (A) A XdP. Lemat 3. [6] Dla caªkowalnej straty L o ci gªej dystrybuancie F L oraz o dowolnym poziomie ufno±ci α (0, 1) mamy ES α = E(L; L q α(l)) = E(L L V ar α ), (1.5) 1 α gdzie u»ywamy notacji E(X; A) := E(XI A ) dla ogólnej caªkowalnej zmiennej losowej X oraz ogólnego zbioru A F. Dowód. Dowód lematu mo»na znale¹ w ksi»ce [6]. Denicja 10. (Expected shortfall dla rozkªadu normalnego)[6] W przypadku, gdy α (0, 1) oraz dystrybuanta straty F L ma rozkªad normalny o ±redniej µ oraz o wariancji σ 2, czyli F L N (µ, σ 2 ), mo»emy zapisa gdzie φ jest g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. ES α = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α, (1.6) Denicja 11. (Statystyka pozycyjna)[5] Niech X 1,..., X n b dzie prób z rozkªadu o dystrybuancie F. Je»eli warto±ci tych zmiennych losowych uporz dkujemy w porz dku rosn cym (malej - cym), to otrzymamy nowy zbiór zmiennych losowych X 1,n X 2,n... X n,n 11
13 (X 1,n X 2,n... X n,n ). Zmienn X k,n, 1 k n, nazywamy k-t statystyk pozycyjn. W szczególno±ci (dla porz dku rosn cego) X 1,n = min(x 1, X 2,..., X n ), X n,n = max(x 1, X 2,..., X n ). Lemat 4. [6] Dla ci gu niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie (L i ) i N oraz o dystrybuancie F l mamy n(1 α) i=1 L i,n lim n = ES α, n(1 α) gdzie L 1,n... L n,n s statystykami pozycyjnymi oraz n(1 α) oznacza najwi ksz liczb caªkowit nie osi gaj c n(1 α). Expexted shortfall jest koherentn miar ryzyka, speªnione s wszystkie cztery aksjomaty jakie powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Aksjomaty niezmienniczo± ze wzgl du na translacj, dodatnia jednorodno± oraz monotoniczno± wynikaj bezpo±rednio z denicji Value-at-Risk. Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R ES α (L + l) = ES α (L) + l Dowód. Korzystamy z niezmienniczo±ci ze wzgl du na translacj dla VaR. Zatem 1 1 ES α (L + l) = V ar u (L + l)du = 1 1 α α 1 α 1 1 = V ar u (L)du α α 1 α α = ES α (L) + l. 1 α ldu = (V ar u (L) + l)du = Dodatnia jednorodno± : L M λ>0 ES α (λl) = λes α (L) Dowód. Korzystamy z tego,»e dla VaR zachodzi dodatnia jednorodno±. Zatem ES α = = 1 1 α λ 1 α 1 α 1 α V ar u (λ L)du = 1 1 α V ar u (L)du = λ ES α. 1 α λ V ar u (L)du = 12
14 Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ES α (L 1 ) ES α (L 2 ) Dowód. Korzystaj c z tego,»e VaR jest monotoniczne otrzymujemy ES α (L 1 ) = 1 1 α 1 α V ar u (L 1 )du 1 1 α 1 α V ar u (L 2 )du = ES α (L 2 ). Subaddytywno± : L1,L 2 M ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 ) + ES α (L 2 ) Dowód. [6] Rozwa»my ci g zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym rozkªadzie, niech X 1,n... X n,n b d jego statystykami pozycyjnymi. Zauwa»my,»e dla dowolnie ustalonego m speªniaj cego nierówno± 1 m n mamy m X i,n = sup{x i X im : 1 i 1 <... < i m m}. i=1 Teraz rozwa»my dwie zmienne losowe X i X o ª cznej dystrybuancie F(X, X) = F oraz ci g niezale»nych wektorów losowych (X 1, X 1 ),..., (X n, X n ) o jednakowym rozkªadzie F. Oznaczmy (X + X) i := X i + X i, a tak»e (X + X) i,n dla uporz dkowanych wektorów. (X + X) 1,..., (X + X) n. Wtedy otrzymamy m (X + X) i,n = sup{(x + X) i (X + X) im : 1 i 1 <... < i m m} i=1 sup{x i1 + X i X i,m : 1 i 1 <... < i m m} + + sup{ X i1 + X i X i,m : 1 i 1 <... < i m m} = = m m X i,n + X i,n. i=1 i=1 Gdy za m przyjmiemy m = n(1 α) oraz zaªo»ymy,»e n mo»emy skorzysta z lematu 4. Otrzymamy wtedy ES α (L + L) ES α (L) + ES α ( L), czyli expected shortfall speªnia warunek subaddytywno±ci. Miara ryzyka expected shortfall jest koherentn miar ryzyka. 13
15 Rozdziaª 2 Surowce 2.1 Podstawowe informacje W pracy analizuj c ryzyko portfela skupimy si na dwóch surowcach srebrze oraz zªocie. Zacznijmy od krótkiego opisu obu surowców oraz ich rynków. Opis srebra i zªota opracowaªam na podstawie ksi»ki [7]. Srebro Srebro (Ag) jest to metal nale» cy do grupy metali szlachetnych. Czyste srebro jest to l±ni cy, srebrzystobiaªy metal o najwy»szej przewodno±ci cieplnej oraz elektrycznej, charakteryzuje si wysok kowalno±ci, ci gliwo±ci, jest odporne na dziaªanie wielu czynników korozyjnych. Posiada wªa±ciwo±ci bakteriobójcze, jednak srebro wyst puj ce w odpadach i ±ciekach z zakªadów galwanicznych jest toksyczne. Historia u»ytkowania srebra si ga co najmniej 6000 lat wstecz. Pierwotnie srebro byªo wykorzystywane gªównie jako pieni dz oraz do produkcji przedmiotów ozdobnych, z czasem znalazªo zastosowanie w wyrobach przemysªowych. Obecnie srebro stosuje si gªównie w wyrobach jubilerskich i zastawie stoªowej, jest u»ywane równie» w fotograi. Ze srebra wykonywane s równie» instrumenty muzyczne (np. ety), wykorzystuje si je w wyrobach elektronicznych, elektrycznych, w br zach i stopach lutowniczych, lustrach, katalizatorach. Wyrabia si z niego tak»e monety i medale pami tkowe. Srebro wyst puje w postaci pierwotnej w rudach srebra w postaci mineraªów wªasnych, jak równie» jako domieszka w rudach innych metali. Wtórnie metal ten otrzymuje si z wyrobów ze srebra oraz z jego stopów, ze zªomu monet oraz w maªym stopniu z odpadów przetwórczych. Zªo»a srebra wyst puj przewa»nie ze zªo»ami innych metali. O zªo»u rudy srebra mo»emy mówi, gdy wyst puje w nim mniej ni» 3,5% innych metali (np. oªowiu, cynku), oraz gdy nie mniej ni» 60% ogólnej warto±ci rudy dostarczanej przetwórcom jest to war- 14
16 to± srebra. Gªówne zªo»a srebra wyst puj w stree wokóªpacycznej, w Europie gªówne zªo»a wyst puj w Polsce. Krajami, w których wyst puj zªo»a srebra s Meksyk, Kanada, USA, Peru, Australia. W Polsce srebro uzyskuje si gªównie ze zªó» rud miedzi. W handlu u»ywa si srebra ranowanego (oczyszczonego) o czysto±ci 99,9% 99,99% Ag. Rynek srebra jest do± niestabilny i podatny na spekulacje. Gªównym o±rodkiem handlu srebrem jest nowojorska gieªda COMEX. W Europie transakcji srebrem gªównie dokonuje s na Londy«skiej Gieªdzie Metali (LME-London Metal Exchange), codziennie i o staªych porach, po tym jak dwa razy dziennie nast puje xing, czyli ustalenie ceny sprzeda»y. Ceny srebra s niepewne, ewolucja cen srebra ksztaªtowaªa si wedªug praw popytu i poda»y. Gªówne zapasy tego metalu znajduj si w r kach prywatnych, w postaci sztabek, a tak»e w bi»uterii. Cz ± ±wiatowych zapasów znajduje si jako depozyty w bankach. Na gieªdach cena srebra podawana jest w dolarach za uncj jubilersk (USD/tr.oz), gdzie 1 tr.oz.= 31,105g. Zªoto Zªoto (Au) tak jak srebro nale»y do grupy metali szlachetnych. Jest to metal o jasno»óªtej barwie i wyra¹nym poªysku, jest mi kki, plastyczny i kowalny. Charakteryzuje si wysok odporno±ci na korozj, posiada du»a przewodno± ciepln i elektryczn, nie podlega dziaªaniu kwasów. W celu utwardzenia zªota dodaje si do niego dodatki stopowe ligatury. Wyst puje w ziarnach o na ogóª nieregularnym ksztaªcie, ró»nej wielko±ci, zazwyczaj wi ksze ziarna maj porowat powierzchni. Jest to pierwiastek o najmniejszym wyst powaniu w skorupie ziemskiej. Zªoto posiada dªug histori. Wiadomo,»e wydobywa si je i u»ytkuje od co najmniej 6000 lat. Zarówno kiedy±, jak i dzi± zªoto jest traktowane jako ozdoba, no±nik bogactwa, od zawsze byªo ±rodkiem obiegowym. Od I w. p.n.e. wykorzystywane byªo jako ±rodek pªatniczy. Poszukiwania i ch posiadania jak najwi kszych ilo±ci tego kruszcu nap dzaªo odkrycia geograczne, pozwoliªo to po odkryciu Ameryki na dostarczenie du»ych ilo±ci tego metalu do Europy. Zªoto jest specycznym surowcem ze wzgl du na jego ograniczon warto± u»ytkow w codziennym»yciu. Jest to spowodowane tym,»e wi kszo± wydobytego kruszcu tra- a do skarbców, b d¹ jako zabezpieczenie przy niektórych dªugookresowych transakcjach handlowych. Gªównym i jednocze±nie najwa»niejszym mineraªem zªota jest zªoto rodzime. Wyst puje w zªo»ach samodzielnych (okoªo 80-85% zasobów), tak»e w rudach innych metali, najwi cej zªota wyst puje w mineraªach miedzi. Gªówne zªo»a zªota wyst puj w RPA, USA, Australii, Uzbekistanie, Kanadzie. W Polsce zªoto pozyskuje si jako produkt uboczny przy oczyszczaniu miedzi. W przypadku, gdy zªo»e zawiera ponad 500t kruszcu to mo»emy uzna,»e jest to du»e zªo»e, gdy poni»ej 50t jest to zªo»e maªe. Jest kilka 15
17 czynników wpªywaj cych na jako± rud, m.in.: skªad mineralny no±nika zªota, typ chemiczny rud, wielko± i ksztaªt ziaren, domieszki korzystnie i szkodliwe. Poza przemysªem górniczym, istnieje kilka innych sposobów uzyskiwania zªota. Najstarsz technik stosowan przez poszukiwaczy zªota jest pªukanie w panwiach. Nakªady inwestycyjne w sektorze wydobywczym zªota s bardzo du»e. Mo»emy powiedzie,»e inwestycja jest opªacalna, gdy koszty pozyskania zªota s ni»sze ni» cena sprzeda»y. W celu uzyskania nakªadów nansowych na wydobycie stosuje si po»yczki w zªocie a tak»e przedsprzeda» zªota. Zªoto uzyskuje si tak»e z wtórnych surowców, gªównie ze zªomu bi»uterii, a tak»e ze sztabek z rezerw bankowych. W handlu zªoto najcz ±ciej wyst puje w stopach z innymi metalami, czysto± stopów okre±la si prób zªota lub ilo±ci karatów. Surowiec ten dostarczany jest i magazynowany gªównie w oznakowanych sztabkach o próbie i ci»arze okoªo 402 uncji. W jubilerstwie stosuje si stopy zªota zwane ligatur, dzi ki domieszkom stopy te uzyskuj twardo± oraz obni»aj cen produktu. Transakcje zªotem, tak jak srebrem dokonywane s w USD/tr.oz., gªównymi o±rodkami handlu zªotem s Londy«ska Gieªda Zªota (London Gold Market) i gieªda w Zurychu (Goldpool). Na gieªdzie w Londynie tak jak w przypadku srebra dwa razy dziennie nast puje xing, na którym ustalana jest cena równowagi pomi dzy poda» a popytem. Notowane s ceny zªota w postaci sztabek o ci»arze okoªo 12,5kg i czysto±ci Wi kszo± zapasów zªota znajduje si jako zapasy banków narodowych oraz znajduj si w r kach prywatnych. 2.2 Notowania W tabelach 2.1 oraz 2.2 zostaªo przedstawionych 61 warto±ci notowa«odpowiednio dla srebra i zªota z ostatniego dnia roboczego ka»dego miesi ca z okresu , na podstawie których zostaªy obliczone historyczne stopy strat. Mówi one o tym jakie straty zostaªy poniesione na przestrzeni kolejnych miesi cy. Stopy strat zostaªy obliczone za pomoc nast puj cego wzoru: gdzie: i = 1,..., n 1, n - liczba notowa«, v i jest to warto± i-tego notowania, v i+1 jest to warto± notowania nast pnego. S = v i v i+1 v i, Korzystaj c z powy»szego wzoru otrzymali±my 60 stóp strat (warto±ci w tabelach). 16
18 Tablica 2.1: Notowania oraz stopy strat srebra ( ) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty , ,760 0, ,695 0, ,960 0, ,755-0, ,280 0, ,555-0, ,120-0, ,900-0, ,790-0, ,700 0, ,510-0, ,340-0, ,210-0, ,600-0, ,110 0, ,550 0, ,630 0, ,080-0, ,520-0, ,680-0, ,940 0, ,900 0, ,630 0, ,360-0, ,540-0, ,310-0, ,450-0, ,350 0, ,570-0, ,500-0, ,140-0, ,250 0, ,990 0, ,540 0, ,290 0, ,930-0, ,120 0, ,950 0, ,500-0, ,650-0, ,620-0, ,320-0, ,530 0, ,230 0, ,740-0, ,760-0, ,660 0, ,740-0, ,870-0, ,620-0, ,070-0, ,990 0, ,960-0, ,470 0, ,130-0, ,850-0, ,630-0, ,650-0, ,750 0, ,480 0,
19 Tablica 2.2: Notowania oraz stopy strat zªota ( ) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty , ,00 0, ,00 0, ,50-0, ,00-0, ,75 0, ,00-0, ,50-0, ,50-0, ,75-0, ,50 0, ,50-0, ,10-0, ,00-0, ,50 0, ,50 0, ,25 0, ,25 0, ,75-0, ,50-0, ,70-0, ,50 0, ,00 0, ,00-0, ,50-0, ,50-0, ,20-0, ,75-0, ,75 0, ,00-0, ,00-0, ,75-0, ,10 0, ,50 0, ,50 0, ,50 0, ,50-0, ,25-0, ,00-0, ,50-0, ,00-0, ,25-0, ,50-0, ,50-0, ,50 0, ,00-0, ,75-0, ,00 0, ,25-0, ,00-0, ,50-0, ,00-0, ,50 0, ,75-0, ,00 0, ,50-0, ,75-0, ,50-0, ,25-0, ,00 0, ,00 0, Wykresy 2.1 i 2.2 pokazuj jak zmieniaªy si warto±ci notowa«srebra i zªota na przestrzeni badanych 5 lat. W obu przypadkach widzimy,»e ceny surowców wykazywaªy trendy rosn ce w badanym okresie. 18
20 Rysunek 2.1: Wykres notowa«srebra w dniach (wykonany w programie MSOce Excel) Rysunek 2.2: Wykres notowa«zªota w dniach (wykonany w programie MSOce Excel) 2.3 Analiza rozkªadu Przeprowadzimy teraz analiz rozkªadów dla stóp strat srebra i stóp strat zªota. Korzystaj c z programu R sprawdzimy, czy warto±ci te dla obu surowców posiadaj empiryczny rozkªad normalny. Mo»emy postawi hipotez zerowa o dopasowaniu danych do rozkªadu normalnego, wobec hipotezy alternatywnej,»e dane nie maj rozkªadu normalnego. Formalnie mo»na 19
Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010
Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj
Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj 22 czerwca 2015 Spis tre±ci Wst p 4 1 Analiza danych 5 1.1 Informacje o surowcach................................
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Strategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Metody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Stacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
1 Lista 6 1. LISTA Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%.
1. LISTA 6 1 1 Lista 6 1.1 Obliczy JSN renty z doªu dla (30)-latka na 3 lata w wysoko±ci 3000. Obliczenia zrobi dla TT -PL97m oraz i = 4%. 1.2 Obliczy JSN dla nast puj cej renty dla (30)-latka: je±li»yje
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Rozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa
STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Matematyka z elementami statystyki
Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Statystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Lekcja 3 Banki i nowe przedmioty
Lekcja 3 Banki i nowe przedmioty Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Banki przedmiotów Co ju» wiemy? co to s banki przedmiotów w Baltie potramy korzysta z banków przedmiotów mo»emy tworzy nowe przedmioty
Proste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Elementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo
Rozdziaª 10: Portfel inwestycyjny
Rozdziaª 10: Portfel inwestycyjny MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 10) Portfel inwestycyjny 1 / 31 Wprowadzenie Wkªad Markowitza, laureata nagrody Nobla z ekonomii w 1990 r., do teorii
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Liniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej
Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez
Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.
Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj
Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej
Funkcje powi za«, miary zale»no±ci i grube ogony, czyli kilka sªów o zale»no±ci w statystyce i matematyce nansowej Uniwersytet Jagiello«ski 9 maja 2012 Kilka wst pnych sªów: Kowariancja i korelacja Grube
Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie R to rata miesi czna, odsetki w k-tej racie to ods k = R( v 8 k ), a spªata kapitaªu wyra»a si wzorem kap k = Rv 8 k, gdzie v = (, 5) /6. Dany jest ukªad nierówno±ci z którego wynika Rv 8 N R(
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Lekcja 12 - POMOCNICY
Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia