Projekt dyplomowy in»ynierski

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek: Matematyka Specjalno± : Matematyka Finansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Aleksandra Kantowska Nr albumu: Projekt dyplomowy in»ynierski Temat projektu: Analiza ryzyka portfela: inwestycje w srebro i zªoto. Zakres projektu: Przedstawienie miar ryzyka Value-at-Risk oraz expected shortfall. Przedstawienie podstawowych poj dotycz cych teorii kopuª. Wykorzystanie teorii kopuª do analizy ryzyka portfela inwestycyjnego zªo»onego z inwestycji w srebro i w zªoto przy pomocy programu R. Potwierdzenie przyj cia projektu: Opiekun projektu: Kierownik Katedry: dr hab. Karol Dziedziul dr hab. Karol Dziedziul Gdansk,

2 Spis tre±ci Wst p 3 1 Miary ryzyka Koherentne miary ryzyka Uogólniona funkcja odwrotna Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Surowce Podstawowe informacje Notowania Analiza rozkªadu Value at Risk Expeted Shortfall Ryzyko portfela z wykorzystaniem funkcji kopuªa Funkcja kopuªa Kopuªy dla portfela Value at Risk Expected Shortfall Podsumowanie 42 Zaª czniki 43 Zaª cznik Zaª cznik Zaª cznik Bibliograa 51 1

3 Wst p Ryzyko, jest poj ciem nie obcym»adnemu czªowiekowi. Mo»emy si z nim spotka w ró»nych sytuacjach, zarówno w»yciu codziennym jak i w nansach. W zwi zku z tym,»e istnieje ryzyko, istniej tak»e sposoby jego obliczania i zabezpieczania si przed nim. W pracy tej postaram si przybli»y metody jego wyliczania. W pracy skupi si na wyznaczeniu ryzyka inwestycji za pomoc dwóch miar: warto- ±ci zagro»onej oraz expected shortfall. Pierwsza z nich jest jedn z najpopularniejszych miar ryzyka. Jest stosowana przez banki, instytucje nansowe czy towarzystwa ubezpieczeniowe. Od roku 2012, zgodnie z dyrektyw Unii Europejskiej Solvency II (pol. Wypªacalno± II), wszystkie rmy ubezpieczeniowe b d musiaªy oblicza ryzyko oraz poziom rezerw za pomoc warto±ci zagro»onej. W pracy zajm si analiz ryzyka straty, jak mo»e ponie± inwestor w przypadku, gdy zainwestuje 1 mln dolarów na okres jednego miesi ca. Dokonam porównania ryzyka trzech ró»nych inwestycji. Pierwsz z nich b dzie zainwestowanie 1 miliona dolarów w srebro, drug b dzie inwestycja 1 miliona dolarów w zªoto, a trzeci zainwestowanie w portfel zªo»ony z inwestycji dolarów w srebro i dolarów w zªoto. We wszystkich trzech przypadkach za poziom ufno±ci przyjm α = 0, 95. Praca skªada si z trzech rozdziaªów, a ka»dy z nich zostaª podzielony na podrozdziaªy. W rozdziale pierwszym wprowadzone zostanie poj cie koherentnej miary ryzyka, oraz przykªady miar: Valu-at-Risk (V ar α ) oraz expected shortfall (ES α ). Zostanie równie» wprowadzona denicja uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno±ci. W drugim rozdziale zostan przedstawione podstawowe informacje o dwóch surowcach - srebrze i zªocie. Nast pnie na postawie historycznych notowa«z ostatniego dnia miesi ca na przestrzeni 5 lat i warto±ci stóp strat obliczonych z tych danych zostanie sprawdzone, czy stopy strat maj rozkªad normalny. Po sprawdzeniu rozkªadów i wyznaczeniu kwantyla rozkªadu zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci miar V ar oraz ES dla dwóch inwestycji, w zªoto i srebro. Ka»da z tych inwestycji b dzie to inwestycja 1 miliona dolarów na okres 1 miesi ca. W rozdziale trzecim zostanie wprowadzona teoria dotycz ca funkji kopuªy. Nast pnie wykorzystuj c funkcj kopuªy zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci V ar i ES w przypadku inwestycji w zdywersykowany portfel inwestycyjny, skªadaj cy si z inwestycji 500 2

4 000 dolarów w srebro oraz inwestycji dolarów w zªoto. W pracy potrzebne obliczenia zostaªy wykonane przy wykorzystaniu programu R, a kody u»yte do tych wylicze«znajduj si w zª cznikach do tej pracy. 3

5 Rozdziaª 1 Miary ryzyka Zacznijmy od okre±lenia czym jest ryzyko. Najpro±ciej mówi c ryzyko jest to prawdopodobie«stwo poniesienia straty, mo»liwo± niepowodzenia inwestycji czy dziaªa«. Ryzyko jest obecne w ka»dej dziedzinie, jest to zarówno nieodª czny element»ycia ka»dego czªowieka, dziaªalno±ci podmiotów gospodarczych, jak i dziaªalno±ci na rynkach nansowych. Skupiaj c si na nansach mo»emy wyró»ni wiele rodzajów ryzyka. Jednym z nich jest ryzyko rynkowe, które mo»emy podzieli na interesuj ce nas ryzyko cen towarów, a tak»e ryzyko kursu walut, ryzyko stopy procentowej czy ryzyko cen akcji. Innymi przykªadami ryzyka s ryzyko kredytowe, operacyjne czy ryzyko prawne. W zwi zku z istnieniem ryzyka istnieje tak»e potrzeba zabezpieczenia si przed nim. Aby móc uchroni si przed potencjaln strat, trzeba pozna jej mo»liw wielko±. Wªa- ±nie ta warto± jest jedn z wa»niejszych rzeczy, które chc pozna osoby oraz instytucje dziaªaj ce na rynkach nansowych. Jednym ze sposobów obliczania ryzyka jest stosownie miar ryzyka, w szczególno±ci koherentnych miar ryzyka, które przedstawi w tym rozdziale. Rozdziaª ten opracowaªam gªównie na podstawie ksi»ki [6]. 1.1 Koherentne miary ryzyka Aby okre±li co t s koherentne miary ryzyka musimy zacz od okre±lenia czym jest miara ryzyka. Zacznijmy od tego,»e (Ω, F, P ) jest przestrzeni probabilistyczn a poprzez oznaczymy horyzont czasowy inwestycji. Wprowad¹my tak»e zbiór wszystkich zmiennych losowych zdeniowanych na (Ω, F), oznaczmy go poprzez L 0 (Ω, F, P ). Przez zbiór zmiennych losowych M L 0 (Ω, F, P ) oznaczmy reprezentacj ryzyka nansowego, które interpretujemy jako strat portfela na zadanym horyzoncie czasu, gdzie M jest sto»kiem wypukªym zdeniowanym nast puj co: Denicja 1. (Sto»ek wypukªy M)[6] 4

6 Sto»ek wypukªy jest to niepusty podzbiór przestrzeni liniowej M L 0 (Ω, F, P ) o nast puj cych wªasno±ciach: λ>0 L M λl M L 1, L 2 M L 1 + L 2 M R M. W naszym przypadku rozpatrujemy wszystko z punktu widzenia strat dlatego poprzez L i oznaczmy strat z i-tej inwestycji. Mo»emy teraz wprowadzi denicj miary ryzyka. Denicja 2. (Miara ryzyka)[6] Miar ryzyka nazywamy pewn funkcj rzeczywist dziaªaj c ze zbioru zmiennych losowych okre±lonych na sto»ku wypukªym na zbiór liczb rzeczywistych ρ : M R. Znaj c ju» denicj miary ryzyka mo»emy pozna jej interpretacj. Ogólnie ujmuj c, miar ryzyka ρ(l) interpretujemy jako kwot kapitaªu (rezerw ), któr powinni±my doda do pozycji w portfelu o mo»liwej stracie L. Gdy rezerwy zostan wyliczone i zabezpieczone to taka pozycja mo»e zosta zaakceptowana przez osoby sprawuj ce kontrol nad ryzykiem. W przypadku, gdy wyliczona warto± miary ryzyka jest mniejsza lub równa zeru (ρ(l) 0) to mo»emy stwierdzi,»e nie mamy potrzeby tworzenia dodatkowych rezerw, poniewa» ujemna strata to jest zysk. W sytuacji, gdy otrzymamy miar ryzyka mniejsz od zera ρ(l) < 0 to nie tylko nie ma potrzeby tworzenia rezerw, mo»liwe jest nawet wycofanie cz ±ci kapitaªu. Natomiast w przypadku, gdy wyliczona miara ryzyka b dzie wi ksza od zera ρ(l) > 0 to aby inwestycja zostaªa zaakceptowana przez kontrolerów ryzyka potrzebne jest stworzenie rezerw. Znaj c ju» denicje sto»ka wypukªego oraz miary ryzyka mo»emy przej± do wprowadzenia denicji koherentnej miary ryzyka. Denicja 3. (Koherentna miara ryzyka)[6] Miar ryzyka ρ, której dziedzina zawiera sto»ek wypukªy M (ρ : M R), nazywamy koherentn miar ryzyka, je»eli miara ta speªnia aksjomaty 1-4. Aksjomaty, które s wymagane przez denicj koherentnej miary ryzyka, zostaªy wprowadzone w 1999 prze Artzner'a i s one nast puj cej postaci: 5

7 Aksjomat 1. (Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj ) L M l R ρ(l + l) = ρ(l) + l Aksjomat ten oznacza,»e je»eli do pozycji o mo»liwej stracie L dodamy b d¹ odejmiemy wielko± l, zmienimy w ten sposób nasze wymagania odno±nie kapitaªu o dokªadnie t kwot l. Aksjomat 2. (Subaddytywno± ) L1,L 2 M ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) Miara ryzyka jest subaddytywna, je»eli dla dowolnych inwestycji A (o stracie L 1 ) i B (o stracie L 2 ), ryzyko poniesienia straty dla portfela A + B jest niewi ksze ni» suma ryzyka straty inwestycji A i ryzyka straty z inwestycji B. Ryzyko portfela zªo»onego z dwóch skªadników jest mniejsze lub równe sumie ich indywidualnych ryzyk. Aksjomat 3. (Dodatnia jednorodno± ) L M λ>0 ρ(λl) = λρ(l) Je»eli powi kszymy λ-krotnie rozmiar ka»dej pozycji w portfelu, ryzyko portfela wzro- ±nie λ-krotnie. Aksjomat 4. (Monotoniczno± ) L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ρ(l 1 ) ρ(l 2 ) Je»eli strata L 1 (dla inwestycji A) jest wi ksza ni» strata L 2 (dla inwestycji B) dla wszystkich mo»liwych scenariuszy straty, wtedy ryzyko straty z inwestycji A jest wi ksze, ni» ryzyko straty z inwestycji B. 1.2 Uogólniona funkcja odwrotna Aby przej± do przykªadów miar ryzyka jakimi s Value-at-Risk oraz Expected Shortfall musimy najpierw wprowadzi denicj uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno- ±ci. Denicja 4. (Uogólniona funkcja odwrotna)[6] Niech funkcja niemalej ca T b dzie okre±lona nast puj co T : R R, uogólniona funkcja odwrotna do funkcji T jest zdeniowana nast puj co T (y) := inf {x R : T (x) y}, (1.1) u»ywamy konwencji,»e kres dolny zbioru pustego jest równy niesko«czono±ci (inf{ } = ). 6

8 Wprowad¹my tak»e denicj kwantyla funkcji. Denicja 5. (Kwantyl funkcji)[6] Niech F b dzie dystrybuant funkcji, uogólnion funkcj odwrotn F nazywamy kwantylem funkcji F. Dla α (0, 1) α - kwantyl funkcji F jest postaci q α (F ) := F (α) = inf {x R : F (x) α}. (1.2) Dla przypadku, gdy F jest dystrybuant zmiennej losowej X mo»na u»y oznaczenia q α (X) := q α (F ). Gdy funkcja F jest ci gªa i ±ci±le rosn ca a jej funkcj odwrotn jest F 1, wtedy zachodzi q α (F ) = F 1 (α). Do przedstawienia wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej potrzebne s nast puj ce lematy. Lemat 1. [6] Je»eli X jest zmienn losow oraz funkcja T jest niemalej ca, wtedy {X x} {T (X) T (x)} oraz P (T (X) T (x)) = P (X x) + P (T (X) = T (x), X > x). Lemat 2. [6] Je»eli F jest dystrybuant zmiennej losowej X, wtedy P (F (X) F (x)) = P (X x). Znaj c denicj oraz podstawowe lematy dotycz ce uogólnionej funkcji odwrotnej mo-»emy przej± do okre±lenia jej wªasno±ci. Wªasno± 1. (Wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej)[6] Dla niemalej cej funkcji T zachodzi: 1. T jest niemalej ca, lewostronnie ci gª funkcj 2. T jest ci gªa T jest ±ci±le rosn ca 3. T jest ±ci±le rosn ca T jest ci gªa Dla pozostaªych wªasno±ci dodatkowo zaªó»my,»e T (y) < 4. Je»eli T jest prawostronnie ci gªa oraz T (x) y T (y) x 5. T T (x) x 6. T T (y) y 7

9 7. T jest ±ci±le rosn ca T T (x) = x 8. T jest ci gªa T T (y) = y. Wªasno± 2. [6] Je»eli X jest zmienn losow o dystrybuancie F, wtedy P (F F (X) = X) = Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Najpopularniejsz miar ryzyka stosowan mi dzy innymi przez instytucje nansowe jest miara ryzyka nazywana warto±ci zagro»on lub warto±ci nara»on na ryzyko, w skrócie VaR (ang. Value-at-Risk). Wywodzi si ona z koncepcji kwantyla rozkªadu. Najpro±ciej mówi c, VaR okre±la jak najwi ksz strat mo»emy ponie± na danej inwestycji przy okre±lonym prawdopodobie«stwie α, oraz przy zadanym horyzoncie czasowym. Rozwa»my portfel ryzykownych inwestycji oraz ustalony horyzont czasu, oznaczmy przez F L (l) = P (L l) dystrybuant zmiennej losowej oznaczaj cej strat. Denicja 6. (Value-at-Risk)[6] Niech α (0, 1) b dzie ustalonym poziomem ufno±ci. Warto± zagro»ona portfela na poziomie ufno±ci α jest okre±lona przez najmniejsz liczb l tak,»e prawdopodobie«stwo,»e strata L osi gnie warto± l jest nie wi ksze ni» (1 α). Formalnie, V ar α (L) = inf {l R : P (L > l) 1 α} = inf {l R : F L (l) α}. (1.3) W uj ciu probabilistycznym, VaR jest kwantylem dystrybuanty funkcji straty. Poziom ufno±ci α mo»e by dowolnie ustalony, jednak najcz ±ciej okre±la si go na poziomie α = 0, 95 lub α = 0, 99. Tak jak α równie» horyzont czasowy dla którego badamy ryzyko mo»e by dowolnie ustalony. Najcz ±ciej za horyzont czasu przyjmuje si 1 rok w przypadku wyliczania ryzyka operacyjnego lub kredytowego, oraz w przypadku wyliczania ryzyka rynkowego jest to zazwyczaj 1 lub 10 dni. Z dowolno±ci tych dwóch parametrów mo»na stwierdzi,»e warto± VaR b dzie wi ksza im dªu»szy b dzie rozpatrywany horyzont czasowy oraz im wi kszy b dzie poziom ufno±ci. VaR nie jest doskonaª miar ryzyka, poniewa» nie s speªnione wszystkie aksjomaty, które powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Nie jest speªniony aksjomat 2, czyli 8

10 VaR nie jest subaddytywna. Pozostaªe trzy aksjomaty s speªnione: Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R V ar α (L + l) = V ar α (L) + l Dowód. V ar α (L + l) = inf{t R : P (L + l > t) 1 α} = inf{t R : F L+l (t) α} = = inf{t R : P (L + l t) α} = inf{t R : P (L t l) α} = = inf{t l + l R : F L (t l) α} = = l + inf{t l R : F L (t l) α} = = l + V ar α (L) Dodatnia jednorodno± : Dowód. Zaª.»e λ > 0 L M λ>0 V ar α (λl) = λv ar α (L) V ar α (λl) = F λl(α) = inf{x R : F λl (x) α} = = inf{x R : P (λl x) α} = inf{x R : P { = inf λ x (L λ R : P x ) } α = { λ x ( = λ inf λ R : P L x ) } α = λ = λfl (α) = λv ar α (L) ( L x ) α} = λ Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ) Dowód. Mamy V ar α (L 1 ) = FL 1 (α) = inf {x R : F L1 (x) α} V ar α (L 2 ) = FL 2 (α) = inf {x R : F L2 (x) α}. Korzystaj c z tego,»e {L 2 x} {L 1 x} 9

11 otrzymujemy P (L 1 x) = F L1 (x) F L2 (x) = P (L 2 x). Z tego wynika,»e inf {x R : F L1 (x) α} inf {x R : F L2 (x) α} V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ). Value-at-Risk nie mówi tak»e jak du»a mo»e by strata, gdy warto± VaR zostanie przekroczona (nie rozpatruje jak du»a b dzie strata dla przypadków znajduj cych si w ogonie 1 α procentowym). Value-at-Risk nie jest koherentn miar ryzyka, poniewa» nie jest speªniony aksjomat o sybaddytywno±ci. 1.4 Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Kolejn miar ryzyka, któr si zajmiemy jest Expected Shortfall. Jest to miara ryzyka ±ci±le zwi zana z przedstawion wcze±niej miar VaR. Aby zdeniowa expected shortfall potrzebna jest denicja warto±ci oczekiwanej. Denicja 7. (Warto± oczekiwana)[2] Powiemy,»e zmienna losowa X o warto±ciach w R ma warto± oczekiwan, je»eli jest caªkowalna, czyli zachodzi X dp <, wtedy warto±ci oczekiwan zmiennej losowej X nazwiemy liczb EX = XdP. Ω Denicja 8. (Expected Shortfall)[6] Dla straty L ze sko«czon warto±ci oczekiwan E ( L ) < oraz z dystrybuant F L expected shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1) jest zdeniowana nast puj co ES α = 1 1 α Ω 1 gdzie q u jest kwantylem funkcji F L, (q u (F L ) = F L 10 α q u (F L ) du, (1.4) (u)).

12 Jak ju» zostaªo powiedziane expected shortfall jest miar ryzyka powi zan z miar VaR, zwi zek pomi dzy tymi miarami ryzyka wygl da nast puj co ES α = 1 1 α 1 α V ar u (L) du. W przypadku expected shorfall patrzymy na warto± wi ksz od warto±ci VaR, gdy» zamiast ustala jaki± inny szczególny poziom ufno±ci α korzystamy z u±rednienia warto±ci VaR dla wszystkich poziomów u α. Warto± ES α zale»y tylko od rozkªadu straty L, zatem ES α V ar α. W sytuacji, gdy straty maj rozkªad ci gªy expected shortfall mo»emy interpretowa jako warunkow warto± oczekiwan straty pod warunkiem,»e warto± VaR zostaªa przekroczona. Denicja 9. (Warunkowa warto± oczekiwana) [2] Niech P (A) > 0 i niech X b dzie zmienn losow o sko«czonej warto±ci oczekiwanej, wtedy warunkow warto± oczekiwan okre±lamy E(X A) = 1 P (A) A XdP. Lemat 3. [6] Dla caªkowalnej straty L o ci gªej dystrybuancie F L oraz o dowolnym poziomie ufno±ci α (0, 1) mamy ES α = E(L; L q α(l)) = E(L L V ar α ), (1.5) 1 α gdzie u»ywamy notacji E(X; A) := E(XI A ) dla ogólnej caªkowalnej zmiennej losowej X oraz ogólnego zbioru A F. Dowód. Dowód lematu mo»na znale¹ w ksi»ce [6]. Denicja 10. (Expected shortfall dla rozkªadu normalnego)[6] W przypadku, gdy α (0, 1) oraz dystrybuanta straty F L ma rozkªad normalny o ±redniej µ oraz o wariancji σ 2, czyli F L N (µ, σ 2 ), mo»emy zapisa gdzie φ jest g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. ES α = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α, (1.6) Denicja 11. (Statystyka pozycyjna)[5] Niech X 1,..., X n b dzie prób z rozkªadu o dystrybuancie F. Je»eli warto±ci tych zmiennych losowych uporz dkujemy w porz dku rosn cym (malej - cym), to otrzymamy nowy zbiór zmiennych losowych X 1,n X 2,n... X n,n 11

13 (X 1,n X 2,n... X n,n ). Zmienn X k,n, 1 k n, nazywamy k-t statystyk pozycyjn. W szczególno±ci (dla porz dku rosn cego) X 1,n = min(x 1, X 2,..., X n ), X n,n = max(x 1, X 2,..., X n ). Lemat 4. [6] Dla ci gu niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie (L i ) i N oraz o dystrybuancie F l mamy n(1 α) i=1 L i,n lim n = ES α, n(1 α) gdzie L 1,n... L n,n s statystykami pozycyjnymi oraz n(1 α) oznacza najwi ksz liczb caªkowit nie osi gaj c n(1 α). Expexted shortfall jest koherentn miar ryzyka, speªnione s wszystkie cztery aksjomaty jakie powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Aksjomaty niezmienniczo± ze wzgl du na translacj, dodatnia jednorodno± oraz monotoniczno± wynikaj bezpo±rednio z denicji Value-at-Risk. Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R ES α (L + l) = ES α (L) + l Dowód. Korzystamy z niezmienniczo±ci ze wzgl du na translacj dla VaR. Zatem 1 1 ES α (L + l) = V ar u (L + l)du = 1 1 α α 1 α 1 1 = V ar u (L)du α α 1 α α = ES α (L) + l. 1 α ldu = (V ar u (L) + l)du = Dodatnia jednorodno± : L M λ>0 ES α (λl) = λes α (L) Dowód. Korzystamy z tego,»e dla VaR zachodzi dodatnia jednorodno±. Zatem ES α = = 1 1 α λ 1 α 1 α 1 α V ar u (λ L)du = 1 1 α V ar u (L)du = λ ES α. 1 α λ V ar u (L)du = 12

14 Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ES α (L 1 ) ES α (L 2 ) Dowód. Korzystaj c z tego,»e VaR jest monotoniczne otrzymujemy ES α (L 1 ) = 1 1 α 1 α V ar u (L 1 )du 1 1 α 1 α V ar u (L 2 )du = ES α (L 2 ). Subaddytywno± : L1,L 2 M ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 ) + ES α (L 2 ) Dowód. [6] Rozwa»my ci g zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym rozkªadzie, niech X 1,n... X n,n b d jego statystykami pozycyjnymi. Zauwa»my,»e dla dowolnie ustalonego m speªniaj cego nierówno± 1 m n mamy m X i,n = sup{x i X im : 1 i 1 <... < i m m}. i=1 Teraz rozwa»my dwie zmienne losowe X i X o ª cznej dystrybuancie F(X, X) = F oraz ci g niezale»nych wektorów losowych (X 1, X 1 ),..., (X n, X n ) o jednakowym rozkªadzie F. Oznaczmy (X + X) i := X i + X i, a tak»e (X + X) i,n dla uporz dkowanych wektorów. (X + X) 1,..., (X + X) n. Wtedy otrzymamy m (X + X) i,n = sup{(x + X) i (X + X) im : 1 i 1 <... < i m m} i=1 sup{x i1 + X i X i,m : 1 i 1 <... < i m m} + + sup{ X i1 + X i X i,m : 1 i 1 <... < i m m} = = m m X i,n + X i,n. i=1 i=1 Gdy za m przyjmiemy m = n(1 α) oraz zaªo»ymy,»e n mo»emy skorzysta z lematu 4. Otrzymamy wtedy ES α (L + L) ES α (L) + ES α ( L), czyli expected shortfall speªnia warunek subaddytywno±ci. Miara ryzyka expected shortfall jest koherentn miar ryzyka. 13

15 Rozdziaª 2 Surowce 2.1 Podstawowe informacje W pracy analizuj c ryzyko portfela skupimy si na dwóch surowcach srebrze oraz zªocie. Zacznijmy od krótkiego opisu obu surowców oraz ich rynków. Opis srebra i zªota opracowaªam na podstawie ksi»ki [7]. Srebro Srebro (Ag) jest to metal nale» cy do grupy metali szlachetnych. Czyste srebro jest to l±ni cy, srebrzystobiaªy metal o najwy»szej przewodno±ci cieplnej oraz elektrycznej, charakteryzuje si wysok kowalno±ci, ci gliwo±ci, jest odporne na dziaªanie wielu czynników korozyjnych. Posiada wªa±ciwo±ci bakteriobójcze, jednak srebro wyst puj ce w odpadach i ±ciekach z zakªadów galwanicznych jest toksyczne. Historia u»ytkowania srebra si ga co najmniej 6000 lat wstecz. Pierwotnie srebro byªo wykorzystywane gªównie jako pieni dz oraz do produkcji przedmiotów ozdobnych, z czasem znalazªo zastosowanie w wyrobach przemysªowych. Obecnie srebro stosuje si gªównie w wyrobach jubilerskich i zastawie stoªowej, jest u»ywane równie» w fotograi. Ze srebra wykonywane s równie» instrumenty muzyczne (np. ety), wykorzystuje si je w wyrobach elektronicznych, elektrycznych, w br zach i stopach lutowniczych, lustrach, katalizatorach. Wyrabia si z niego tak»e monety i medale pami tkowe. Srebro wyst puje w postaci pierwotnej w rudach srebra w postaci mineraªów wªasnych, jak równie» jako domieszka w rudach innych metali. Wtórnie metal ten otrzymuje si z wyrobów ze srebra oraz z jego stopów, ze zªomu monet oraz w maªym stopniu z odpadów przetwórczych. Zªo»a srebra wyst puj przewa»nie ze zªo»ami innych metali. O zªo»u rudy srebra mo»emy mówi, gdy wyst puje w nim mniej ni» 3,5% innych metali (np. oªowiu, cynku), oraz gdy nie mniej ni» 60% ogólnej warto±ci rudy dostarczanej przetwórcom jest to war- 14

16 to± srebra. Gªówne zªo»a srebra wyst puj w stree wokóªpacycznej, w Europie gªówne zªo»a wyst puj w Polsce. Krajami, w których wyst puj zªo»a srebra s Meksyk, Kanada, USA, Peru, Australia. W Polsce srebro uzyskuje si gªównie ze zªó» rud miedzi. W handlu u»ywa si srebra ranowanego (oczyszczonego) o czysto±ci 99,9% 99,99% Ag. Rynek srebra jest do± niestabilny i podatny na spekulacje. Gªównym o±rodkiem handlu srebrem jest nowojorska gieªda COMEX. W Europie transakcji srebrem gªównie dokonuje s na Londy«skiej Gieªdzie Metali (LME-London Metal Exchange), codziennie i o staªych porach, po tym jak dwa razy dziennie nast puje xing, czyli ustalenie ceny sprzeda»y. Ceny srebra s niepewne, ewolucja cen srebra ksztaªtowaªa si wedªug praw popytu i poda»y. Gªówne zapasy tego metalu znajduj si w r kach prywatnych, w postaci sztabek, a tak»e w bi»uterii. Cz ± ±wiatowych zapasów znajduje si jako depozyty w bankach. Na gieªdach cena srebra podawana jest w dolarach za uncj jubilersk (USD/tr.oz), gdzie 1 tr.oz.= 31,105g. Zªoto Zªoto (Au) tak jak srebro nale»y do grupy metali szlachetnych. Jest to metal o jasno»óªtej barwie i wyra¹nym poªysku, jest mi kki, plastyczny i kowalny. Charakteryzuje si wysok odporno±ci na korozj, posiada du»a przewodno± ciepln i elektryczn, nie podlega dziaªaniu kwasów. W celu utwardzenia zªota dodaje si do niego dodatki stopowe ligatury. Wyst puje w ziarnach o na ogóª nieregularnym ksztaªcie, ró»nej wielko±ci, zazwyczaj wi ksze ziarna maj porowat powierzchni. Jest to pierwiastek o najmniejszym wyst powaniu w skorupie ziemskiej. Zªoto posiada dªug histori. Wiadomo,»e wydobywa si je i u»ytkuje od co najmniej 6000 lat. Zarówno kiedy±, jak i dzi± zªoto jest traktowane jako ozdoba, no±nik bogactwa, od zawsze byªo ±rodkiem obiegowym. Od I w. p.n.e. wykorzystywane byªo jako ±rodek pªatniczy. Poszukiwania i ch posiadania jak najwi kszych ilo±ci tego kruszcu nap dzaªo odkrycia geograczne, pozwoliªo to po odkryciu Ameryki na dostarczenie du»ych ilo±ci tego metalu do Europy. Zªoto jest specycznym surowcem ze wzgl du na jego ograniczon warto± u»ytkow w codziennym»yciu. Jest to spowodowane tym,»e wi kszo± wydobytego kruszcu tra- a do skarbców, b d¹ jako zabezpieczenie przy niektórych dªugookresowych transakcjach handlowych. Gªównym i jednocze±nie najwa»niejszym mineraªem zªota jest zªoto rodzime. Wyst puje w zªo»ach samodzielnych (okoªo 80-85% zasobów), tak»e w rudach innych metali, najwi cej zªota wyst puje w mineraªach miedzi. Gªówne zªo»a zªota wyst puj w RPA, USA, Australii, Uzbekistanie, Kanadzie. W Polsce zªoto pozyskuje si jako produkt uboczny przy oczyszczaniu miedzi. W przypadku, gdy zªo»e zawiera ponad 500t kruszcu to mo»emy uzna,»e jest to du»e zªo»e, gdy poni»ej 50t jest to zªo»e maªe. Jest kilka 15

17 czynników wpªywaj cych na jako± rud, m.in.: skªad mineralny no±nika zªota, typ chemiczny rud, wielko± i ksztaªt ziaren, domieszki korzystnie i szkodliwe. Poza przemysªem górniczym, istnieje kilka innych sposobów uzyskiwania zªota. Najstarsz technik stosowan przez poszukiwaczy zªota jest pªukanie w panwiach. Nakªady inwestycyjne w sektorze wydobywczym zªota s bardzo du»e. Mo»emy powiedzie,»e inwestycja jest opªacalna, gdy koszty pozyskania zªota s ni»sze ni» cena sprzeda»y. W celu uzyskania nakªadów nansowych na wydobycie stosuje si po»yczki w zªocie a tak»e przedsprzeda» zªota. Zªoto uzyskuje si tak»e z wtórnych surowców, gªównie ze zªomu bi»uterii, a tak»e ze sztabek z rezerw bankowych. W handlu zªoto najcz ±ciej wyst puje w stopach z innymi metalami, czysto± stopów okre±la si prób zªota lub ilo±ci karatów. Surowiec ten dostarczany jest i magazynowany gªównie w oznakowanych sztabkach o próbie i ci»arze okoªo 402 uncji. W jubilerstwie stosuje si stopy zªota zwane ligatur, dzi ki domieszkom stopy te uzyskuj twardo± oraz obni»aj cen produktu. Transakcje zªotem, tak jak srebrem dokonywane s w USD/tr.oz., gªównymi o±rodkami handlu zªotem s Londy«ska Gieªda Zªota (London Gold Market) i gieªda w Zurychu (Goldpool). Na gieªdzie w Londynie tak jak w przypadku srebra dwa razy dziennie nast puje xing, na którym ustalana jest cena równowagi pomi dzy poda» a popytem. Notowane s ceny zªota w postaci sztabek o ci»arze okoªo 12,5kg i czysto±ci Wi kszo± zapasów zªota znajduje si jako zapasy banków narodowych oraz znajduj si w r kach prywatnych. 2.2 Notowania W tabelach 2.1 oraz 2.2 zostaªo przedstawionych 61 warto±ci notowa«odpowiednio dla srebra i zªota z ostatniego dnia roboczego ka»dego miesi ca z okresu , na podstawie których zostaªy obliczone historyczne stopy strat. Mówi one o tym jakie straty zostaªy poniesione na przestrzeni kolejnych miesi cy. Stopy strat zostaªy obliczone za pomoc nast puj cego wzoru: gdzie: i = 1,..., n 1, n - liczba notowa«, v i jest to warto± i-tego notowania, v i+1 jest to warto± notowania nast pnego. S = v i v i+1 v i, Korzystaj c z powy»szego wzoru otrzymali±my 60 stóp strat (warto±ci w tabelach). 16

18 Tablica 2.1: Notowania oraz stopy strat srebra ( ) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty , ,760 0, ,695 0, ,960 0, ,755-0, ,280 0, ,555-0, ,120-0, ,900-0, ,790-0, ,700 0, ,510-0, ,340-0, ,210-0, ,600-0, ,110 0, ,550 0, ,630 0, ,080-0, ,520-0, ,680-0, ,940 0, ,900 0, ,630 0, ,360-0, ,540-0, ,310-0, ,450-0, ,350 0, ,570-0, ,500-0, ,140-0, ,250 0, ,990 0, ,540 0, ,290 0, ,930-0, ,120 0, ,950 0, ,500-0, ,650-0, ,620-0, ,320-0, ,530 0, ,230 0, ,740-0, ,760-0, ,660 0, ,740-0, ,870-0, ,620-0, ,070-0, ,990 0, ,960-0, ,470 0, ,130-0, ,850-0, ,630-0, ,650-0, ,750 0, ,480 0,

19 Tablica 2.2: Notowania oraz stopy strat zªota ( ) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty , ,00 0, ,00 0, ,50-0, ,00-0, ,75 0, ,00-0, ,50-0, ,50-0, ,75-0, ,50 0, ,50-0, ,10-0, ,00-0, ,50 0, ,50 0, ,25 0, ,25 0, ,75-0, ,50-0, ,70-0, ,50 0, ,00 0, ,00-0, ,50-0, ,50-0, ,20-0, ,75-0, ,75 0, ,00-0, ,00-0, ,75-0, ,10 0, ,50 0, ,50 0, ,50 0, ,50-0, ,25-0, ,00-0, ,50-0, ,00-0, ,25-0, ,50-0, ,50-0, ,50 0, ,00-0, ,75-0, ,00 0, ,25-0, ,00-0, ,50-0, ,00-0, ,50 0, ,75-0, ,00 0, ,50-0, ,75-0, ,50-0, ,25-0, ,00 0, ,00 0, Wykresy 2.1 i 2.2 pokazuj jak zmieniaªy si warto±ci notowa«srebra i zªota na przestrzeni badanych 5 lat. W obu przypadkach widzimy,»e ceny surowców wykazywaªy trendy rosn ce w badanym okresie. 18

20 Rysunek 2.1: Wykres notowa«srebra w dniach (wykonany w programie MSOce Excel) Rysunek 2.2: Wykres notowa«zªota w dniach (wykonany w programie MSOce Excel) 2.3 Analiza rozkªadu Przeprowadzimy teraz analiz rozkªadów dla stóp strat srebra i stóp strat zªota. Korzystaj c z programu R sprawdzimy, czy warto±ci te dla obu surowców posiadaj empiryczny rozkªad normalny. Mo»emy postawi hipotez zerowa o dopasowaniu danych do rozkªadu normalnego, wobec hipotezy alternatywnej,»e dane nie maj rozkªadu normalnego. Formalnie mo»na 19