SYNTEZA UKŁADÓW BELKOWYCH ZE WZGLĘDU NA śądane WIDMO CZĘSTOŚCI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X 36, , Gliwie 28 SYNTEZA KŁADÓW BELKOWYCH ZE WZGLĘD NA śądane WIDMO CZĘSTOŚCI ANDRZEJ DYMAREK, TOMASZ DZITKOWSKI, ADRIAN GWÓŹDś Int. Automatyzaji Proe. Tehnologiznyh i Zintegrowanyh Sytemów Wytwarzania, Politehnika Śląka andrzej.dymarek@ poll.p,l tomaz.dzitkowki@poll.pl Strezzenie. W niniejzej pray przedtawiono projektowanie drgająyh układów iągłyh jako podzepołów mazyn o Ŝądanyh włanośiah dynamiznyh. Przedtawiony algorytm projektowania układów iągłyh ze względu na Ŝądane zętośi drgań włanyh polega na pozukiwaniu wymiarów poprzeznyh przyjętej truktury układu. W pray dokonano yntezy układów belkowyh zgodnie z zaproponowanym algorytmem. Poprawność otrzymanyh wyników prawdzono, korzytają z programu ABC Rama.. WSTĘP Projektowanie układów belkowyh o Ŝądanyh wymaganiah w potai harakterytyki dynamiznej, która jet złoŝoną funkją zętotliwośi, jet bardzo praohłonne. W takih przypadkah korzytniej jet toować metody yntezy, polegająe na pozukiwaniu truktury oraz wartośi parametrów układu dykretnego, które pełniałyby Ŝądane wymagania. Stoują znane metody yntezy układów mehaniznyh w połązeniu z odwróoną metodą ił i przemiezzeń ([5], trudno jet otrzymać układy belkowe bez dokonania porównania układu otrzymanego w wyniku yntezy z modelem dykretnym pozukiwanego układu belkowego. Podejśie takie powodowane jet brakiem śiłego opiu doboru zętośi antyrezonanowyh harakterytyki dynamiznej poddanej yntezie oraz otrzymaniem bezpośrednio w wyniku yntezy układów obutronnie utwierdzonyh. Tak wię yntezę trukturalną (pozukiwanie truktury układu dykretnego) i yntezę parametryzną (wyznazenie parametrów ineryjnyh i pręŝytyh) moŝna uznać za jeden z etapów projektowania układów belkowyh o Ŝądanym widmie zętośi [2 7]. W elu dokonania yntezy omawianyh układów opraowano zmodyfikowane, bazująe na itniejąyh metodah, pooby przeprowadzania yntezy, pozwalająe otrzymać dykretne układy drgająe, na które nałoŝone ą utwierdzenia [6]. W literaturze dotyząej yntezy układów mehaniznyh nie zajmowano ię doborem zer oraz ih wpływem na rozpatrywane układy, jak równieŝ projektowaniem układów belkowyh otrzymanyh w wyniku zatoowania bezpośrednio metod yntezy [ 7]. Dlatego teŝ praa dotyzy nie tylko formułowania i rozwiązania problemu yntezy układów belkowyh, ale równieŝ jet propozyją doboru obzarów antyrezonanowyh (zer).

2 56 A. DYMAREK, T. DZITKOWSKI, A. GWÓŹDŹ 2. PROJEKTOWANIE KŁADÓW BELKOWYCH ZE WZGLĘD NA śądane WIDMO CZĘSTOŚCI 2.. Metody yntezy harakterytyki dynamiznej w projektowaniu układów belkowyh W poniŝzym rozdziale omówione zotaną dwie metody yntezy dykretnyh układów drgająyh z utwierdzeniami. Metody te wykorzytano do projektowania układów belkowyh w taki poób, aby pełnić Ŝądane włanośi dynamizne układu. Metoda yntezy, nazwana w pray metodą proporjonalnego rozłoŝenia elementów, dotyzy harakterytyki dynamiznej, która opiuje układy utwierdzone. Jet ona określona mianem powolnośi () i przyjmuje matematyzną formę: gdzie: 2 i - zera, 2 j pozukiwanego układu). n 2 2 ( 2i) i= ( ), n j = () j= - bieguny ( odpowiednio zętośi antyrezonanowe i rezonanowe Funkję harakterytyzną moŝna przedtawić w potai natępująej funkji wymiernej: l l 2 d d... d = l l 2, (2) l l 3 l l 3... gdzie: d l, d l-2,, d l-, l-3,, - lizby rzezywite otrzymane przez rozwinięie funkji (). W wyniku rozkładu powyŝzej funkji na ułamek łańuhowy moŝna wyznazyć wartośi parametrów ineryjnyh i pręŝytyh dykretnyh układów drgająyh w potai: ( = ) V ( ) ( 2 ), (3) V ( 2) M ( k ) ( k V ) ( gdzie: ) ( m ) ( =, ) ( k V = ( ),, ) ( V = ( k ), ) ( ) k k ( ) = m. V V Na ry. przedtawiono trukturę układu dynamiznego odpowiadająą funkji harakterytyznej (3). Ry.. Model dykretny układu otrzymany w wyniku yntezy metodą rozkładu harakterytyki dynamiznej

3 SYNTEZA KŁADÓW BELKOWYCH ZE WZGLĘD NA śądane WIDMO CZĘSTOSCI 57 Otrzymany w wyniku yntezy harakterytyki dynamiznej model układu (ry.) naleŝy poddać modyfikaji, polegająej na proporjonalnym rozłoŝeniu parametrów ineryjnyh i pręŝytyh elementów układu. W rezultaie otrzymuje ię układ z nałoŝonymi dwoma utwierdzeniami (ry.3). Spełnia on Ŝądane wymagania w potai iągu zętośi rezonanowyh, będąyh obzarami antyrezonanowymi i biegunami rozpatrywanej harakterytyki dynamiznej. Tak zmodyfikowany układ moŝe być wykorzytany do projektowania ytemów belkowyh. Ry. 2. Zmodyfikowany model układu dykretnego Druga z metod yntezy (metoda algorytmu wyznazania dwójników typu pręŝytego), wykorzytywana w projektowaniu układów belkowyh, ze względu na Ŝądane widmo zętośi, dotyzy funkji powolnośi w potai (2) [,6]. Dzielą wpółzynnik tojąy przy najniŝzej potędze liznika przez wpółzynnik tojąy przy najniŝzej potędze mianownika funkji (2), otrzymuje ię: d H =, () gdzie: - odpowiada elementowi o harakterze pręŝytym w zbiorze powolnośi. Zapiują mianownik funkji powolnośi (2) w potai: k k (5) ( ) k k po pomnoŝeniu (5) przez () otrzymuje ię: d k k 2 H ( k k... ). (6) Tak otrzymany wielomian, odjęty od liznika funkji powolnośi (2), przyjmuje formę: lub H l d k k 2 ( d d d ) H (... ),... (7) k k l l 2 H( d d l... d ). (8) Otateznie wię po wykonaniu działań ( 8) funkję powolnośi (2) moŝna zapiać w potai: gdzie: d l l 2 ( d l d l... d) k k 2 (... ) = H H k k =, - otrzymana powolność, którą poddaje ię dalzej yntezie metodą jej rozkładu na ułamek łańuhowy lub ułamki prote. (9)

4 58 A. DYMAREK, T. DZITKOWSKI, A. GWÓŹDŹ W przypadku wyznazania p elementów typu naleŝy rozpatrywaną harakterytykę p w potai (2) pomnoŝyć przez. Potępowanie takie powodowane jet konieznośią p uzykania w funkji odwrotnośi powolnośi () lub ruhliwośi dodatkowyh obzarów antyrezonanowyh (dodatkowyh zer), które oznazają lizbę p utwierdzeń zyntezowanego układu. Ponadto naleŝy przyjąć wartośi lizbowe kolejno wyznazanyh p (2) elementów typu pręŝytego, otrzymywanyh w wyniku yntezy funkji powolnośi ( ) d z przedziału, H. Gdy wartość wyznazanej pręŝytośi nie naleŝy do przedziału d, H, wtedy dalze toowanie tej metody jet niemoŝliwe, poniewaŝ elementy typu ineryjnego, otrzymywane w kolejnyh krokah yntezy, przyjmują wartośi ujemne, zyli układ taje ię nietabilny Algorytm projektowania układów belkowyh o Ŝądanym widmie zętośi metodami yntezy układów dykretnyh Nieh dane będą włanośi dynamizne pozukiwanego układu belkowego w potai zętośi rezonanowyh. W przypadku tak przyjętyh włanośi naleŝy wyznazyć L harakterytykę dynamizną w formie funkji powolnośi ( ) = gdzie M L n 2 2 = ( 2i) i=. Mianownik funkji powolnośi (ynteza metodą algorytmu wyznazania dwójników typu pręŝytego) obliza ię na podtawie wzoru: dl ( ) M =, () d gdzie - operator Laplae a. Takie wyznazenie zętośi antyrezonanowyh dotyzy yntezy układów iągłyh. L Wyznazona funkja harakterytyzna ( ) = jet funkją powolnośi opiująą M włanośi dynamizne pozukiwanego układu. W przypadku tak określonyh włanośi dynamiznyh formułowano algorytm yntezy układów belkowyh ze względu na dotoowanie układu do Ŝądanej wartośi widma zętośi. Algorytm ten przedtawiono w formie grafiznej na ry.3 7. = H ( ω2)( ω)( ω6) ( ω )( ω ) 3 5, ( ), Ry. 3.Model obutronnie utwierdzonego układ o trzeh topniah wobody

5 SYNTEZA KŁADÓW BELKOWYCH ZE WZGLĘD NA śądane WIDMO CZĘSTOSCI 59 Ry..Model układ o trzeh maah kupionyh uwzględniająy długość belki Maierz ztywnośi A = Maierz wpółzynników wpływu = Ry. 5. Model belki o długośi l Ry.6. Przekrój poprzezny belki

6 6 A. DYMAREK, T. DZITKOWSKI, A. GWÓŹDŹ 3. PRZYKŁAD LICZBOWY Ry.7. Belka otrzymana w wyniku yntezy Przyjmuje ię, Ŝe pozukiwany układ pełnia wymagania określone w potai iągu rad zętośi rezonanowyh: ω 2 = 32,2, ω = 7,7 rad, 28,6 rad ω. 6 = Stoują yntezę metodą proporjonalnego rozkładu parametrów, otrzymuje ię natępująy układ belkowy: Tabela. Dane wymiarowe przekroju otrzymane w wyniku yntezy metodą proporjonalnego rozkładu parametrów Przekrój Przekrój 2 Przekrój 3 Przekrój -3-3 I = 9.5 [ m ] I 2 =.32[ m ] I 3 =.32[ m ] I = 9.5 [ m ] h [m] 3 h [m] 278 h [m] 278 h [m] 3 h 2 [m] h 2 [m] 258 h 2 [m] 258 h 2 [m] b [m] 6 b [m] 93 b [m] 93 b [m] 6 b 2 [m] 62 b 2 [m] 922 b 2 [m] 922 b 2 [m] 62 Ry. 8. Przekrój otrzymany w wyniku yntezy metodą proporjonalnego rozkładu parametrów Poprawność otrzymanyh rezultatów oblizeń prawdzono, wykorzytują program ABC. Wyniki ilutruje ry.9.

7 SYNTEZA KŁADÓW BELKOWYCH ZE WZGLĘD NA śądane WIDMO CZĘSTOSCI 6 Ry. 9. Sprawdzenie poprawnośi otrzymanyh wyników z wykorzytaniem programu ABC Rezultaty badań otrzymane w wyniku zatoowania yntezy metodą algorytmu wyznazania dwójników typu pręŝytego zamiezzono w tabliy 2. Tabela 2. Dane wymiarowe przekroju otrzymane w wyniku yntezy metodą algorytmu wyznazania dwójników typu pręŝytego Przekrój Przekrój 2 Przekrój 3 Przekrój 3 3 I = [ m ] I 2 =.25[ m ] I 3 =.3[ m ] I = 8.77 [ m ] h [m] 357 h [m] 27 h [m] 2223 h [m] 9 h 2 [m] 337 h 2 [m] 987 h 2 [m] 223 h 2 [m] 399 b [m] 58 b [m] 86 b [m] 953 b [m] 68 b 2 [m] 569 b 2 [m] 88 b 2 [m] 9 b 2 [m] 596 Ry.. Przekrój otrzymany w wyniku yntezy metodą algorytmu wyznazania dwójników typu pręŝytego Ry.. Sprawdzenie poprawnośi wyników yntezy otrzymanyh z wykorzytaniem programu ABC

8 62 A. DYMAREK, T. DZITKOWSKI, A. GWÓŹDŹ. WNIOSKI Niniejzy praa dotyzy formułowania rozwiązania yntezy układów belkowyh. Jet propozyją obzarów antyrezonanowyh (doboru zer) oraz próbą wkazania ih znaząego wpływu na wartośi parametrów pozukiwanego układu. Tak formułowany problem wymagał przeprowadzenia liznyh badań, w któryh wyniku moŝna formułować natępująe wnioki: obzary antyrezonanowe (zera) mają znaząy wpływ na przebieg yntezy, dowolny dobór zętośi antyrezonanowyh prowadzi do błędnyh wyników, dla układów o tałym przekroju obzary antyrezonanowe (zera) powinno dobierać ię na podtawie równania ( ), podza yntezy metodą proporjonalnego rozmiezzenia parametrów układu obzary antyrezonanowe (zera) nie wpływają znaząo na przekroje badanyh układów. Niniejza praa jet równieŝ próbą wkazania nowyh moŝliwośi oraz kierunku badań w projektowaniu podzepołów mazyn o Ŝądanym widmie zętośi. LITERATRA. Bellert S.: Prae wybrane. Warzawa : 98, PWN. 2. Bellert S., Woźniaki H.: Analiza i ynteza układów elektryznyh metodą lizb trukturalnyh. Warzawa: WNT, Buhaz A., Dymarek A., Dzitkowki T.: Synthei of direte, ontinuou and direteontinuou vibrating ytem repreented by graph. W: Sixth International Sientifi and Engineering Conferene - Mahine-Building and Tehnophere on the Border of the XXI Century, 3, Donetk 999, p Buhaz A., Dymarek A., Dzitkowki T.: Projektowanie i badanie wraŝliwośi iągłyh i dykretno-iągłyh układów mehaniznyh o Ŝądanym widmie zętośi w ujęiu grafów i lizb trukturalnyh. Monografia. Gliwie: Wyd. Pol Śl., Cyganek G.: Projektowanie układów mehaniznyh w apekie Ŝądanego widma zętośi. Praa magiterka.gliwie Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionyh mehaniznyh układów drgająyh w ujęiu grafów i lizb trukturalnyh. Praa doktorka. Gliwie : Pol. Śl., Wpomaganie kontruowania układów redukji drgań i hałau mazyn. Warzawa : WNT, 2. Część badań zrealizowano w ramah projektu badawzego N /379 finanowanego przez Komitet Badań Naukowyh w latah THE SYNTHESIS OF BIN SYSTEMS WITH THE REQIRED FREQENCY SPECTRM Summary. The paper i foued on an attempt to deign ontinuou vibrating mehanial ytem a ubytem of the mahine with the required dynamial harateriti. Suh tak may be laified a a problem divere to the dynami and vibration iolation of mahine ubytem. Thi paper preent the ynthei of ontinuou vibrating mehanial ytem with ertain requirement. The method then i onnetion of method of ynthei of direte ytem and ontinuou mehanial ytem analyi. The ynthei of ontinuou mehanial ytem ha been preented. The ynthei reult have been proved orret into ABC Rama.