Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Józef Knapczyk ZARYS ROBOTYKI

Transkrypt

1 Pańtwowa Wyżza Szkoła Zawodowa w Nowym Sązu Józef Knapzyk ZARYS ROBOTYKI Nowy Sąz 5

2 Komitet Redakyjny do. dr Marek Reihel przewodniząy; prof. dr hab. inż. Jaroław Frązek; prof. dr hab. Lezek Rudniki; prof. dr hab. Mariola Wierzbika; dr hab. n. med. Ryzard Gajdoz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilh, prof. nadzw.; dr hab. Zdziława Załona, prof. nadzw.; dr Tamara Bolanowka-Bobrek; mgr Agata Witrylak-Lezyńka Redaktor Nazelny do. dr Marek Reihel Sekretarz Redakji Katarzyna Górowka Korekta Tehnizna Katarzyna Górowka Reenzja prof. dr hab. inż. Antoni Gronowiz Wydano za zgodą JM Rektora PWSZ w Nowym Sązu prof. dra hab. inż. Zbigniewa Ślipka Copyright by Pańtwowa Wyżza Szkoła Zawodowa w Nowym Sązu Nowy Sąz, 5 ISBN Adre Redakji - Nowy Sąz, ul. Stazia tel , ekbriw@pwz-n.edu.pl Wydawa Wydawnitwo Naukowe Pańtwowej Wyżzej Szkoły Zawodowej w Nowym Sązu - Nowy Sąz, ul. Stazia tel , ekbriw@pwz-n.edu.pl Druk Wydawnitwo i drukarnia NOVA SANDEC.. Mariuz Kałyniuk, Roman Kałyniuk - Nowy Sąz, ul. Lwowka tel , biuro@novaande.pl

3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA WPROWADZENIE POJĘCIA PODSTAWOWE, SYSTEMATYZACJA ROBOTÓW I MANIPULATORÓW.... Pojęia podtawowe, określenia.... Sytematyzaja manipulatorów i robotów..... Stopnie wobody i rodzaje połązeń..... Podział robotów przemyłowyh KINEMATYKA MANIPULATORÓW Wprowadzenie Wpółrzędne jednorodne Obroty i przeunięia układów wpółrzędnyh.... Zadanie prote kinematyki ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI MANIPULATORA I PLANOWANIE TRAJEKTORII Zadanie odwrotne kinematyki Metoda maierzowa Zadanie planowania trajektorii manipulatora PRZESTRZEŃ ROBOCZA, WSKAŹNIKI I OSIĄGI FUNKCJONALNE MANIPULATORÓW Wprowadzenie Analiza przetrzeni robozej manipulatora Analiza dokładnośi manipulatora Analiza dokładnośi manipulatora pomiarowego STATYKA, SZTYWNOŚĆ I DYNAMIKA MANIPULATORÓW Statyka manipulatorów Maierze ztywnośi lub podatnośi manipulatora Dynamika manipulatorów Rozkład may złonu Równania Newtona-Eulera NAPĘDY I MECHANIZMY STOSOWANE W ROBOTACH Wprowadzenie Napęd pneumatyzny Siłowniki pneumatyzne liniowe Siłowniki pneumatyzne kątowe Napęd hydraulizny Siłowniki hydraulizne liniowe Silniki hydraulizne obrotowe Rozdzielaze, wzmaniaze i erwozawory hydraulizne Serwomehanizmy elektrohydraulizne... 7

4 7. Napędy elektryzne Znazenie napędów elektryznyh Wymagania tawiane napędom elektryznym Silniki elektryzne prądu tałego Silniki elektryzne toowane w robotah Krokowe ilniki elektryzne Liniowe ilniki elektryzne Silnik elektryzny tanowiąy bezpośredni napęd elektryzny Mehanizmy przekazywania ruhu toowane w robotah Rozmiezzenie iłowników w robotah Przegląd mehanizmów przekazywania ruhu Przekładnie paowe, liniowe i łańuhowe Przekładnie śrubowe i zębatkowe Mehanizmy dźwigniowe w napędah robotów Przekładnie zębate CHWYTAKI MANIPULATORÓW I ROBOTÓW Funkje hwytaka Sytematyzaja hwytaków Metodyka doboru hwytaków robotów przemyłowyh Wybór poobu uhwyenia Wybór typu hwytaka Dobór parametrów hwytaka Przytoowanie końówek hwytnyh do kztałtu powierzhni obiektu Zaady projektowania hwytaków robotów przemyłowyh Określenie parametrów wejśiowyh do projektowania hwytaków Wybór miej uhwyenia obiektu Oblizanie ił i momentów ił działająyh na obiekt Tendenje rozwojowe hwytaków Chwytaki podobne do ręki i dłoni z palami Chwytak jako mehanizna ręka UKŁADY STEROWANIA MANIPULATORÓW Sprzężenie zwrotne i zamknięty układ terowania Sterowanie układem drugiego rzędu Rozdzielenie prawa terowania Sterowanie nadążne Sterowanie robota przemyłowego Nieliniowe układy terowania manipulatora Wielowejśiowe i wielowyjśiowe układy terowania Zadanie terowania manipulatora Rozważania praktyzne....pojęcia PODSTAWOWE... 6.Pojęia z zakreu automatyki i terowania... 6.Pojęia podtawowe z zakreu kinematyki, tatyki i dynamiki... 8 BIBLIOGRAFIA...

5 Przedmowa Kiążka ta zotała napiana przede wzytkim dla tudentów kierunków mehaniznyh (m. in. Zarządzanie i inżynieria produkji, Mehatronika), którzy mogą mieć tylko podtawową wiedzę z zakreu kinematyki i dynamiki układów mehaniznyh, a także z zakreu algebry liniowej i układów terowania. Całość podzielono na dziewięć rozdziałów. Pierwzy rozdział wtępny zawiera wprowadzenie do robotyki, drugi dotyzy ytematyzaji robotów i manipulatorów; trzei dotyzy zadań wymiarowania i kinematyki manipulatorów; zwarty dotyzy zadania odwrotnego kinematyki i planowania trajektorii; piąty harakterytyki manipulatorów i robotów; zóty tatyki, ztywnośi i dynamiki manipulatorów; iódmy obejmuje zagadnienia napędów i mehanizmów przekazywania ruhu; ómy hwytaków; dziewiaty terowania robotów i manipulatorów. Zamiar wydania tej kiążki podjęto ze względu na wyzerpanie nakładu otatniego wydania podręznika pod redakją Adama Morekiego i Józefa Knapzyka pt. Podtawy Robotyki (WNT, Warzawa 999). 5

6 Lizba zaintalowanyh robotów Kozt pray i ena robota. Wprowadzenie Robotyka jet dziedziną nauki i tehniki, która zajmuje ię problematyką mehaniki, terowania, projektowania, pomiarów i ekploataji manipulatorów i robotów, a także zatoowaniem robotów w badaniah naukowyh, zeroko pojętej tehnie, budownitwie, tranporie, rolnitwie, jak również w medyynie, badaniah podwodnyh i w przetrzeni komiznej. Robotyka jet interdyyplinarną dziedziną badań wymagająą wpółdziałania pejalitów z różnyh dziedzin. Roboty przemyłowe znajdują zatoowanie w przemyśle mazynowym zzególnie do pra pawalnizyh, malarkih, montażowyh oraz obługi pra i obróbek wykańzająyh, jak zlifowanie i polerowanie. Głównym elem ih toowania jet podwyżzenie jakośi wykonywanyh pra oraz uwolnienie złowieka od iężkiej fizyznej i monotonnej pray, a zwłazza od pra niebezpieznyh dla zdrowia, a nawet żyia. Lizba produkowanyh obenie i intalowanyh jednotek tale zwiękza ię. W Pole oroznie intaluje ię ok. robotów, natomiat w Korei Południowej o podobnej lizbie ludnośi (ok. mln) intaluje ię razy więej. Lizba zaintalowanyh robotów zależy od koztu pray, który zwiękza ię z biegiem zau, a także zależy od eny robota, która zmniejza ię. Po oiągnięiu tzw. złotego punktu (ry..) lizba robotów zwiękza ię znaznie zybiej. W krajah najbardziej rozwiniętyh (USA, Europa Zahodnia, Japonia, Korea, Taiwan) złoty punkt zotał przekrozony przezło dwadzieśia lat temu. Cena robota Populaja robotów Kozt pray Złoty punkt Cza Ry... Złoty punkt zatoowania robotów. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) 6

7 Rozróżnia ię natępująe działy robotyki: robotykę ogólną (metody, apekty ekonomizne, ojalne, połezne, kztałenie, terminologia, rozwój i trendy przyzłośiowe), robotykę przemyłową (zatoowanie robotów i manipulatorów w przemyśle elektromazynowym, pożywzym, farmaeutyznym, papiernizym, zklarkim, hemiznym, w energetye, górnitwie i in.), robotykę poza przemyłową (zatoowanie robotów do pra podwodnyh, w przetrzeni komiznej i na innyh planetah, do pra naukowyh, do elów wojkowyh, walki z pożarami, katatrofami, w budownitwie oraz w rolnitwie, tranporie, uługah, adminitraji), robotykę metrologizną (roboty do elów pomiarowyh, inpekyjnyh, diagnotyznyh, kontrolnyh), robotykę mazyn lokomoyjnyh (jedno-, dwu-, ztero-, ześio- i wielo-nożnyh, miezanyh kołowo-nożnyh do realizaji funkji hodu, biegu, koku, pełzania po lądzie i w wodzie), robotykę medyzną i rehabilitayjną (manipulatory i roboty do elów hirurgii, terapii, ortotyki, protetyki, rehabilitaji, układy złowiek mazyna (ytem)), robotykę uługową (prae biurowe i domowe, np. myie okien, przątanie), mikrorobotykę (mili-, mikro- i nanoroboty). Robotyka ogólna dotyzy różnyh apektów robotyki, m.in.: ekonomiznyh, ojalnyh, połeznyh, kztałenia, ohrony i bezpiezeńtwa pray. Zaliza ię tutaj prae z dziedziny tandaryzaji terminologii i oznazeń, np. prae prowadzone w ramah Międzynarodowej Organizaji Normalizayjnej (ISO w j. ang. International Organization for Standarization, Tehnial Committee 8/SC) i Międzynarodowej Federaji Robotyki (IFR w j. ang. International Federation of Roboti). Robotyka przemyłowa jet związana z rozwijanymi obenie: elatyznymi ytemami produkyjnymi (FMS - w j.ang. Flexible Manufaturing Sytem), zintegrowanymi ytemami wytwarzania ze terowaniem komputerowym (CIM, w j. ang. Computer Integrated Manufaturing) i fabrykami bezludnymi (AF, w j. ang. Anonymou Fatory). Prognozy na najbliżze lata przewidują, iż w związku z rozwojem tehniki mikroproeorowej pojawią ię nowe generaje bioproeorów, proeorów mehaniznyh, o wywoła lawinowy rozwój nowyh generaji inteligentnyh robotów mająyh możliwośi pray w zmiennym otozeniu znaznie więkze niż obene generaje robotów. Robotyka przemyłowa rozpatruje zagadnienia związane z zatoowaniem robotów i manipulatorów przemyłowyh do elów robotyzaji takih podtawowyh proeów produkyjnyh, jak: odlewnitwo, pawalnitwo, malartwo i lakiernitwo, montaż, obługa pra i wiele innyh proeów przemyłowyh wymagająyh znaznego wyiłku fizyznego, zkodliwyh i niebezpieznyh dla złowieka. 7

8 Zagadnienia zzególnego zaintereowania badazy w otatnih latah ą natępująe: podwyżzenie zętośi działania, dokładnośi pozyjonowania i orientaji, realizaji trajektorii w przetrzeni z przezkodami (unikania kolizji), zynnego terowania iłą, projektowania wpomaganego komputerem, komunikaji głoowej, modelowania elatyznyh manipulatorów. Przy rozwiązywaniu tyh zagadnień korzyta ię z metod matematyki, mehaniki i teorii mazyn, teorii terowania, informatyki, ybernetyki, teorii ytemów, miernitwa, diagnotyki, teorii niezawodnośi. Zagadnienia modelowania elatyznyh manipulatorów, badanie ih włanośi dynamiznyh przy wykorzytaniu metod układów wielo-złonowyh i elementów końzonyh wytępują w analizie manipulatorów typu kręgołup i trąba łonia. Rozwój inżynierii materiałowej umożliwia toowanie do budowy robotów lekkih materiałów kompozytowyh. Rozzerza ię znazenie metod projektowania robotów ze wpomaganiem komputerowym. Oferowane ą zetawy programów, umożliwiająe wybór zarówno amej kontrukji, jak i napędów. Dzięki grafie komputerowej natępuje rozwój metod ymulaji komputerowej w zakreie projektowania robotów i tanowik zrobotyzowanyh w ytemie off-line. Materiały z pamięią kztałtu znajdują zatoowanie w iłownikah i hwytakah robotów. Pojawiają ię nowe odmiany zujników i enorów dotyku, wizji i iły, np. zujniki piezoelektryzne. Dużo uwagi poświęa ię zagadnieniu terowania z uwzględnieniem iły (ang. Fore Control) w układah ze przężeniem zwrotnym. Robotyka metrologizna rozpatruje metody pomiarowe i diagnotyzne, np. pomiary parametrów kinematyznyh, dynamiznyh, dokładnośi i zużyia robotów, które wymagają opraowania pejalnyh przetworników i metod pomiarowyh. Przykładem trudnego pomiaru może być pomiar dokładnośi odtwarzania trajektorii w przetrzeni robozej przy zwiękzonej prędkośi przemiezzania ię końówki robota. Rozpatruje ię zadania wytępująe na pogranizu mazyn lokomoyjnyh i metrologii, np. inpekji i kontroli tanu pawów dużyh zbiorników przy użyiu robotów lokomoyjnyh. Robotyka mazyn kroząyh zajmuje ię mehaniką, projektowaniem i terowaniem ruhu jedno-, dwu-, ztero-, ześio- i wielonożnyh mazyn kroząyh lub miezanyh nożno-kołowyh. Do budowy tyh mazyn wykorzytuje ię różne włanośi budowy i ruhu owadów lub aków palohodnyh, włanośi terownize odnóży lub końzyn, rodzajów hodu, biegu lub koku po różnym podłożu. Wobe różnorodnośi typów lokomoji nożnej, potykanyh w przyrodzie, wybór optymalnego hodu mazyny jet jednym z zadań badawzyh, podobnie jak i wybór modelu mazyny, truktury nogi, lizby nóg, ih konfiguraji oraz układów enorów i terowania ruhem nóg i ałej mazyny. Zagadnienie ukztałtowania terenu, rozpoznawania ytuaji, kwetie tabilnośi mazyny tanowią dodatkowe trudnośi w trakie proeu analizy i projektowania. Stopień trudnośi realizaji 8

9 mazyny kroząej, biegająej lub kaząej wzrata wraz ze zmniejzaniem ię lizby nóg. Mazyny jedno- i dwunożne ą tu właśiwym przykładem. Spejalną klaę tanowią mazyny dwunożne antropomorfizne (złekokztałtne); np. robot-muzyk. Odpowiednio zaprojektowane wielopoziomowe układy terowania wypoażone w elementy inteligenji mazynowej wydają ię niezbędne do dalzego rozwoju tyh mazyn. Umożliwiają one przejśie od powolnego krozenia (zwanego pełzaniem) tyh mazyn do ruhu zybkiego i biegu. Intereująym kierunkiem wydaje ię być tutaj mazyna o ruhu wężowo-podobnym, która w realizaji tehniznej jet mazyną kołowo-nożną. Do najbardziej zaawanowanyh kontrukji tyh mazyn należy 6-nożna mazyna kroząa zbudowana w Stanowym Uniweryteie w Ohio oraz mazyny biegająe i kaząe zbudowane w Uniweryteie Carnegie-Mellon. Robotyka poza przemyłowa rozpatruje manipulatory umiezzane na tatkah podwodnyh do badania i ekploataji zaobów podwodnyh, manipulatory lokowane na tatkah komiznyh, do konerwaji atelitów telekomunikayjnyh lub pobierania próbek na innyh planetah. Rozwijane ą roboty przytoowane do gazenia pożarów lub do pra związanyh z uuwaniem kutków katatrof, gdzie obeność złowieka jet niepożądana. Robotyka medyzna i rehabilitayjna rozpatruje manipulatory i roboty toowane w medyynie, np. laparokopy, roboty hirurgizne, protezy i ortezy, do wpomagania utraonyh funkji końzyn złowieka, a także do obługi pajentów. Intereująym przykładem w dziedzinie hirurgii może być zatoowanie robota do operaji uuwania tkanki w zaze pajenta. Manipulatory rehabilitayjne ą wykorzytywane do ćwizeń układu mięśniowego złowieka po urazie lub operaji ortopedyznej. Ooby niepełnoprawne ruhowo korzytają z wózków inwalidzkih, które tanowią roboty mobilne, terowane głoem lub ruhami głowy, brody, języka, gałki oznej. Robotyka uługowa dotyzy robotów przytoowanyh do pra uługowyh, np. przątanie pomiezzeń, obługa i pielęgnaja oób niepełnoprawnyh, o pejalizowanyh funkjah manipulayjnyh lub lokomoyjnyh i o zwiękzonym poziomie inteligenji mazynowej. 9

10 . Pojęia podtawowe, ytematyzaja robotów i manipulatorów. Pojęia podtawowe, określenia Więkzość mazyn wytwarzanyh w ubiegłym wieku należała do klay mazyn: robozyh, ilnikowyh, tehnologiznyh i tranportowyh. Pojawienie ię nowej grupy mazyn, a mianowiie mazyn ybernetyznyh, do któryh zalizamy układy naśladująe proey biologizne i fizjologizne przebiegająe w przyrodzie ożywionej, w tym u złowieka i u zwierząt, powodowało koniezność rozzerzenia klayznej definiji mazyny zaproponowanej jezze przez F. Reuleaux w 875 r. W roku 96 I. Artobolewki zaproponował natępująe określenie mazyny: mazyna jet to ztuzne urządzenie przeznazone do zęśiowego lub ałkowitego zatępowania funkji energetyznyh, fizjologiznyh i intelektualnyh złowieka. Funkje energetyzne należy tutaj rozumieć jako zatępowanie pray fizyznej, funkje fizjologizne jako zatępowanie organów, np. końzyny górnej lub dolnej, a możliwośi intelektualne jako właśiwośi adaptayjne przy wpółdziałaniu mazyny ybernetyznej z otozeniem. Manipulatorem nazywa ię urządzenie tehnizne przeznazone do realizaji niektóryh funkji końzyny górnej złowieka. Rozróżnia ię dwa rodzaje funkji: manipulayjne (gr. manu ręka) wykonywane przez hwytak i wyięgnikowe realizowane przez ramię manipulatora. Wpółzene manipulatory zawierają zeregowy łańuh kinematyzny otwarty lub równoległy łańuh zamknięty, zepół iłowników (napędy), układ terowania, zujniki i układ zailania. Manipulator antropomorfizny ma układ podobny do ręki złowieka (j. gr. anthropo złowiek, morphe kztałt) pod względem kztałtu (w enie anatomiznym) oraz fizjologiznym (w enie funkji), zyli działania. Robotem nazywa ię urządzenie tehnizne przeznazone do realizaji niektóryh funkji manipulayjnyh i lokomoyjnyh złowieka, mająe określony poziom energetyzny, informayjny i inteligenji mazynowej (autonomii działania w pewnym środowiku). Szzególnym przypadkiem robota jet robot przemyłowy. Robotem przemyłowym wielofunkyjny manipulator przeznazony do przenozenia materiałów, zęśi lub narzędzi i wypejalizowanyh urządzeń poprzez różne programowane ruhy, w elu zrealizowania różnyh zadań. Mazyną kroząą nazywa ię urządzenie tehnizne przeznazone do realizaji wybranyh funkji podobnyh do funkji lokomoyjnyh zwierząt i owadów mająyh końzyny (kręgowe) lub odnóża (owady). Każda lokomoja mazyny

11 kroząej jet typu dykretnego i może być realizowana przy użyiu: jednej, dwóh, ztereh, ześiu, ośmiu i wielu nóg jako hód, bieg i kok po twardym podłożu. Pedipulatorem nazywa ie nogę mazyny kroząej. Pedipulator może być układem jedno-, dwu- lub trójzłonowym. Robot kłada ię z ztereh podtawowyh podzepołów, a mianowiie:. Układ mehanizny, wypoażony w odpowiednie iłowniki, realizuje różne zynnośi manipulayjne i lokomoyjne. Część manipulayjna robota jet zwykle otwartym łańuhem kinematyznym o wielu topniah wobody. Połązenia ruhowe między złonami tego łańuha ą zwykle typu obrotowego lub przeuwnego. Jeżeli wzytkie połązenia ruhowe ą obrotowe, to układ może być podobny do ręli złowieka (antropomorfizny). W elu przenozenia obiektów w przetrzeni jet niezbędna truktura o ześiu topniah wobody. Pierwze trzy topnie wobody wykorzytuje ię do pozyjonowania hwytaka manipulatora w pożądanym mieju, a pozotałe trzy topnie do zapewniania planowanej orientaji hwytaka w przetrzeni. Jako napędy touje ię iłowniki elektryzne, pneumatyzne i hydraulizne (przy bardzo dużyh obiążeniah). Część lokomoyjna robota może być typu kołowego, gąieniowego, nożnego lub miezanego, np. kołowo-nożnego. W przypadku lokomoji nożnej jet to układ złożony z ztereh lub ześiu nóg, z któryh każda ma na ogół trzy topnie wobody.. Otozenie przetrzeni, w której robot jet uytuowany. Dla robotów tajonarnyh otozenie ograniza ię do przetrzeni robozej, w której może poruzać ię hwytak. Należy podkreślić, że otozenie nie jet rozumiane tylko w enie geometryznym, lez również w enie fizyznym włanośi otozenia oraz uwzględnienia wzytkiego, o w tym otozeniu wytępuje, np. przezkód. Tak wię robot powinien być przygotowany do wpółdziałania z otozeniem (tzw. eną tatyzną lub dynamizną).. Zadanie formułuje ię jako przejśie ze tanu pozątkowego do końowego, tzn. zrealizowanie zaprogramowanego elu. Zadanie opiuje ię w odpowiednim języku programowania i realizowania za pomoą komputera.. Układ terowania i układ enoryzny ą złożone z komputera i generatorów ygnałów terująyh, poyłanyh do iłowników poruzająyh manipulator, toownie do informaji zadanej a priori (wiedza o zadaniu, które ma być zrealizowane) i wiedzy a poteriori o aktualnyh i byłyh tanah robota i otozenia. Ponadto w układzie wytępują dwie itotne pętle przężeń zwrotnyh, a mianowiie: wewnętrznej informaji enoryznej i zewnętrznej informaji enoryznej. Wykorzytanie tyh informaji w połązeniu z algorytmem terowania umożliwia realizaję zgłozonyh zadań.

12 . Sytematyzaja manipulatorów i robotów.. Stopnie wobody i rodzaje połązeń Łańuh kinematyzny jet to układ iał (złonów) połązonyh ruhowo parami kinematyznymi. Łańuh jet zamknięty, jeśli każdy złon jet połązony ruhowo o najmniej z dwoma innymi złonami. Łańuh jet otwarty, jeśli przynajmniej jeden złon zawiera tylko jeden element pary kinematyznej. Łańuh kinematyzny proty zawiera tylko złony -łązne, łańuh złożony zawiera ponadto złony -łązne, -łązne, 5-łązne lub 6-łązne (manipulatory równoległe i hybrydowe) Najzęśiej toowany manipulator jet otwartym łańuhem kinematyznym, złożonym z złonów tworząyh pary kinematyzne należąe do odpowiednih kla. W przetrzeni trójwymiarowej złon ztywny wykazuje ześć topni wobody. Trzy topnie wobody ą na ogół wykorzytywane do pozyjonowania końówki robozej manipulatora, tzn. zajęia odpowiedniej pozyji w przetrzeni, a pozotałe trzy ą przeznazone do odpowiedniego zorientowania końówki względem obiektu. W tableli. pokazano potykane rodzaje połązeń, możliwe ruhy względne, lizbę topni wobody i toowane oznazenia. Rozróżnia ię dziewięć możliwyh połązeń, które wykazują od do 5 topni wobody (patrz lp. w tabeli.) realizowanyh w potai ruhów obrotowyh, ruhów potępowyh i ih kombinaji. Do najzęśiej potykanyh połązeń ruhowyh należą obrotowe, przeuwne i śrubowe. Oblizają ruhliwość w przypadku otwartyh łańuhów kinematyznyh korzyta ię z ogólnej zależnośi r 6n (.) n ipi i gdzie: r ruhliwość jako lizba niezależnyh ruhów złonów ruhomyh względem ąiednih, n lizba złonów ruhomyh, p lizba połązeń ruhowyh różnyh rodzajów (poz. w tabl..). Ponieważ w przypadku otwartyh łańuhów lizba złonów ruhomyh równa jet lizbie par kinematyznyh, to zależność (.) przyjmuje potać r p5 p p p 5p (.) o oznaza, że ruhliwość łańuha otwartego równa ię umie lizb topni wobody jego połązeń ruhowyh par kinematyznyh. W zzególnym przypadku, jeżeli wzytkie złony manipulatora wykonują ruh płaki, to zależnośi (.) i (.) przybierają potać

13 r n (.) n ipi i Tab.. Połązenia toowane w łańuhah manipulatora. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Lp. Rodzaj połązenia Ruhy względne Nieruhome obrotów przeunięć Obrotowe obrót przeunięć Przeuwne obrotów przeunięie Śrubowe obrót przeunięie 5 Przeuwnoobrotowe obrót przeunięie 6 Połązenie obrót pow. płakie przeunięia 7 Przegub obroty Kulity przeunięć 8 Połązenie obroty o tyku przeunięia liniowym 9 Połązenie obroty otworowe przeunięie Para o tyku obroty punktowym przeunięia Brak połązenia wobodne obroty przeunięia Lizba topni wobody 5 C Oznazenie C i - złon i C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 6 złony wobodne Łańuhy kinematyzne manipulatorów można podzielić na:. Szeregowy proty, tanowiąy łańuh otwarty (ry..a);. Równoległy proty, tanowiąy łańuh zamknięty (ry..b);. Szeregowy złożony, zawierająy łańuh otwarty z rozgałęzieniami (ry..);. Równoległy złożony, zawierająy kilka łańuhów zamkniętyh (ry..b).

14 a) b) łańuh otwarty łańuh zamknięty złon para kinematyzna ) d) łańuh rozgałęziony łańuh złożony Ry... Łańuhy kinematyzne: a) proty otwarty; b) proty zamknięty; ) złożony otwarty; d) złożony zamknięty. a) b) ) Ry... Manipulator o trukturze zeregowej: a) hemat kinematyzny; b) hemat blokowy; ) widok manipulatora robota przemyłowego.

15 a) b) Ry... Manipulator o trukturze równoległej: a) hemat kinematyzny; b) hemat kontrukyjny manipulatora robota DELTA. Ry... Manipulator o trukturze hybrydowej (równoległo-zeregowej) Na ry..5a pokazano przykład manipulatora praująego w układzie wpółrzędnyh protokątnyh (kartezjańkim). Możliwe ruhy zęśi tranportowej oznazono przez, i, a ruhy hwytaka przez i 5. W tym przypadku wytępują ruhy: i przeuwne, i ylindryzne i 5 obrotowe. Stąd toują wzór (.) otrzymuje ię w = + = 5. Zatem manipulator powinien mieć 5 napędów. 5

16 a) b) ) d) Ry..5. Oznazanie ruhliwośi manipulatora: a) manipulator -złonowy o układzie kartezjańkim, b) manipulator 5-złonowy, ) manipulator 7-złonowy, zawierająy pary przeuwne i 5 obrotowyh; d) manipulator 6-złonowy zawierająy tylko pary obrotowe. Rozważmy niektóre odmiany łańuhów kinematyznyh, zawierająyh wyłąznie połązenia obrotowe O i przeuwne P. Z rahunku kombinatoryznego wynika, że lizbę odmian (wariaji) łańuhów utworzonyh z dwóh elementów, w tym przypadku O i P, można określić z zależnośi L k k (.) gdzie k lizba złonów lub ruhliwość truktury. Gdy k = wytępuje połązenie obrotowe lub przeuwne. Gdy k = wytępują ztery możliwe odmiany pokazane na ry..6a, utworzone z połązeń obrotowyh O i przeuwnyh P, a mianowiie: PO, OO, OP, i PP. Zmieniają uytuowanie oi par (dopuzza ię zmianę uytuowania oi o kąt /) można uzykać dodatkowe odmiany pokazane na ryunku.6b. Gdy k = wytepuje oiem odmian (ry..7a) od PPP do OOO. W przypadkah k =, 5, 6,... lizba niezależnyh odmian jet bardzo duża. Na przykład dla k = otrzymuje ię odmiany, a przez zmianę uytuowania oi ponad tyią. 6

17 a) z *) z z *) z x y x y y x x PPP PPO POP OPP y z *) z z *) z *) b) x y y y y x x x OOP OPO POO OOO Ry..6. Odmiany łańuhów manipulatorów dla k = : a) od PPP do OOO, b) 8 odmian uzykanyh ze truktury OOO. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Ry..7. Najzęśiej potykane odmiany łańuhów manipulatorów. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) 7

18 Roboty przemyłowe ą toowane do robotyzaji takih proeów, jak: odlewnitwo, pawalnitwo, lakiernitwo, pokryia powierzhni, obługa pra, montaż i inne proey, które wymagają dużego wyiłku fizyznego i ą zkodliwe dla zdrowia obługi. Manipulayjny robot przemyłowy jet wielozadaniową mazyną o wielu topniah wobody, automatyznie terowaną, programowaną, tajonarną lub mobilną dla różnyh zatoowań przemyłowyh (ISO/TR 87.). Programowana mazyna oznaza tutaj możliwość zmiany programów, ruhów lub funkji bez zmiany truktury mehaniznej lub układu terowania. Wielozadaniowa mazyna oznaza możliwość przytoowania do różnyh zatoowań przez zmiany truktury mehaniznej lub układu terowania. Fizykalna zmiana (odmiana) oznaza tutaj zmianę truktury mehaniznej lub układu terowania za wyłązeniem zmian programu itp. Rozróżnia ię ztery klay robotów przemyłowyh:. Robot ekwenyjny o ekwenyjnym układzie terowania (ang. equene ontrol, ISO ), np. robot typu non-ervo PTP. Sterowanie ekwenyjne (ISO 86..7), w którym tan ruhu mazyny wynika z określonego porządku. Działanie robota jet binarne, tzn. typu on-off, tart- Na ry..8 pokazano dwa układy manipulatorów: a) kiść zawierająa pary obrotowe o przeinająyh ię oiah; b) układ pozyjonowania, którego oie par obrotowyh i przeinają oś pierwzej pary, pozotałe oie par obrotowyh ą równoległe, tworzą płaki układ pantografu. b) a) Ry..8. Przykłady mehanizmów manipulatora: a) kiść z parami obrotowymi o przeinająyh ię oiah, b) oie par obrotowyh i przeinają oś pierwzej pary, pozotałe oie ą równoległe, tworzą płaki układ pantografu... Podział robotów przemyłowyh 8

19 top itd. a trajektoria między dwoma binarnymi położeniami końowymi jet terowana. Ry..9. Robot ekwenyjny. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999). Robot realizująy zadaną trajektorię (ang. trajetory operated robot) z utaloną proedurą terowanyh ruhów wg intrukji, które peyfikują żądaną pozyję (zwykle uzykiwaną przez interpolaję) oraz żądaną prędkość w danym położeniu. Robot typu Playbak (ISO, TP 87.) może powtarzać zadanie programowe, utalone zdalnie przez nauzanie. Robot typu CNC (ISO 86..), w którym program dedykowany, przehowywany w pamięi komputera, jet wykorzytywany do realizaji wzytkih lub niektóryh podtawowyh numeryznyh funkji terująyh.. Robot adaptayjny (ang. adaptive robot) o enoryznym (ISO/TR ) lub adaptayjnym (ISO/TR ) lub uząym ię układzie terowania (ISO/TR ), o możliwośiah zmiany włanośi dzięki wykorzytaniu informaji enoryznej lub nagromadzonyh doświadzeń, planowaniu zadań przez nauzanie i trening, np. robot wypoażony w enory wizyjne, w którym jet możliwa korekta ruhu podza pobierania elementów, montażu lub pawania łukowego. 9

20 pulpit do nauzania Ry... Robot typu Playbak. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Ry... Robot typu CNC. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999)

21 Informaja wizyjna Kamera Człowiek Sterownik Manipulator wzorowy Informaja zuia Manipulator wykonawzy Joytik Przedmiot robozy Sterownik Śiana Pojazd Ry... Robot typu Teleoperator. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Sterowanie enoryzne - ruh robota lub wartość iły ą realizowane zgodnie z ygnałami wyjśiowymi z zujników zewnętrznyh. Sterowanie adaptayjne - natawia ię parametry na podtawie warunków uzykanyh w proeie detekji. Uząy ię układ terowania - doświadzenie (uzykane podza uprzednih ykli pray) jet automatyznie wykorzytywane do zmiany parametrów i/lub algorytmów.. Teleoperator (ang. teleoperated robot) ma zdalne terowanie, realizowane przez operatora lub komputer. Jego funkje ą związane z przenozeniem na odległość funkji motoryznyh i enoryznyh operatora. Wyłąza ię z tej klay układy o połązeniah mehaniznyh, a zaliza ię roboty ze zdalnym terowaniem lub ze wpomaganiem komputerowym. Roboty te mają prote lub peyfizne terowanie, a komunikaja odbywa ię przez kanały fizyzne (przewody, rury) lub niefizykalne (bezprzewodowe). Roboty mobilne mają zatoowania w komoie, pod wodą, budownitwie i uługah. Teleoperaja była konepją, którą wykorzytano w układah kopiująyh. Operator był włązony bezpośrednio w układ terowania. Obenie jet to układ powzehnie toowany do realizaji pra na odległość lub w trudnyh warunkah. Roboty mobilne z takim układem terowania ą używane w obzarah wzmożonej radiaji, np. w Czernobylu lub do przenozenia ładunków niebezpieznyh, np. bomb. Zrobotyzowane linie produkyjne. Linia dużyh pra, zaintalowana w Tyhah w Zakładah FIAT Auto Poland, jet obługiwana przez różne roboty przemyłowe (COMAU i Irb-6, 6). Linia 6 średnih pra t, która wykorzytuje roboty Irb-6, zotała zrobotyzowana przez PIAP.

22 Przyłąza prądowego przężenia zwrotnego PC do za- -piywania programów terowania robotów Głowny terownik PLC (hot) przyłąza regulaji robotów Zdalny PC do dalzej obróbki danyh Ry... Widok ogólny zrobotyzowanej linii średnih pra w Zakładah FIAT-Auto Poland, Tyhy; P-P6 pray o naiku t, R-R7 roboty przemyłowe Irb-6, RC-RC7 terowniki robotów, IRMF magazyn obrotowy, PLC terownik główny, OC konola operatora, OM-OM magazyn wyjśiowy. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Wykorzytano tutaj natępująe urządzenia: PLC komputer typu imotra S5 55V z połązeniami do komputera PC lub iei do przetwarzania danyh w długim okreie produkji, iedem robotów Irb-6 (plu jeden robot rezerwowy) wybranyh przez PIAP, pulpit terownizy dotępny wzdłuż ałej linii, układ enorów, wypoażenie pomonize (magazyn z manipulatorem pneumatyznym, hwytakiem pneumatyznym typu próżniowego, pojazd do uuwania manipulatorów robotów, bariery zabezpiezająe, magazyn wyjśiowy z dwoma kontenerami). Roboty IRb i IRp kładają ię z manipulatora i oddzielonej kontrukyjnie zafy układu terowania oraz dołązonyh: panelu programowania i jednotki pamięi, mogąe obługiwać więej niż jednego robota. Robot jet produkowany w kilku wariantah: robot lekki o udźwigu 6N (robot IRb 6 i IRp 6) oraz iężki o udźwigu 6 N (robot Irb-6 i Irp-6). Znalazł zatoowania przemyłowe, np. do podbierania i wkładania przedmiotów na paletę wg założonego wzoru, pozukiwania przedmiotów o nieznanym dokładnie położeniu itp. Stały program terująy praą robota i określająy poób wykonywania intrukji, jet przehowywany w pamięi. Ponadto przekazuje operatorowi informaje o tanie robota za pomoą wkaźników umiezzonyh na panelah, za pośrednitwem któryh operator komunikuje ię z układem terowania.

23 Ry... Robot IRb. Oznazenia: podtawa, korpu, ramię dolne, ramię górne, 5 zepół przegubu kiśi, 6 przekładnia śrubowa tozna ruhu (q), 7 przekładnia śrubowa tozna ruhu (a), 8 napęd ruhu (v), 9 napęd ruhu (t), napęd ruhu (q), napęd ruhu (a), napęd ruhu (f), końówka kołnierzowa, oś z. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Ry..5. Przetrzeń roboza robota kolumnowego. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999)

24 Śieki Para Ramię robota Ciężarówka Koz Odpływ Mehanizm zaikająy Przewód wielokanałowy Ry..6. Robot do zyzzenia kanałów. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Ry..7. Robot SKYWASH na podwoziu 8-kołowym w działaniu (zyzzenie powierzhni kadłuba amolotu (B 77/). (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999)

25 -oiowy robot Operator Sterownik Końówka roboza z narzędziem Układ pozyjonowania Ry..8. Robot do polerowania amohodu (końówka roboza ma topnie wobody). (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) 5

26 . Kinematyka manipulatorów. Wprowadzenie Manipulator kłada ię z kilku złonów (iał w przybliżeniu ztywnyh), połązonyh ruhowo, które wykonują złożone ruhy w przetrzeni robozej. Opianie przemiezzeń, prędkośi i przypiezeń oraz dynamiki oddzielnyh złonów i ih połązeń najzęśiej wykonuje ię za pomoą rahunku maierzowego, przy wykorzytaniu wpółrzędnyh jednorodnyh, o umożliwia w poób zwarty i jednolity formalnie przedtawić problemy związane z mehaniką manipulatora opiy geometryznyh, kinematyznyh i dynamiznyh związków między złonami manipulatora i obiektami manipulaji oraz algorytmy terowania łąznie z proeami obróbki informaji wizyjnej. Zatoowanie wpółrzędnyh jednorodnyh do opiania złożonego układu terowania robota może itotnie uprośić analizę i yntezę takiego układu. Analiza kinematyzna - opi geometrii ruhu bez uwzględnienia ma i ił, które ten ruh wywołują. Analiza kinematyki manipulatorów obejmuje tudia położeń, przemiezzeń, prędkośi i przypiezeń złonów zarówno liniowyh, jak i kątowyh. Przemiezzenie określa ię jako odległość kolejnyh położeń. Stoowane metody analizy: analityzne (maierzowe, wektorowe), numeryzne (różniowe, iterayjne); wykreślne (CAD), komputerowe (pakiety programów: ADAMS, DADS, Matlab, ANSYS, Simulink, Madymo). Animaja ruhu umożliwia wizualizaję przebiegu przemiezzeń, prędkośi i przypiezeń. Przy wymiarowaniu manipulatorów najzęśiej wykorzytuje ię wpółrzędne Denavita-Hartenberga (D-H), a także wpółrzędne ylindryzne, feryzne, kartezjańkie abolutne. Podtawowe zadania kinematyki: prote, gdy dane ą położenia i przemiezzenia względne w połązeniah ruhowyh a wyznaza ię położenie i przemiezzenie złonu robozego (dane ą wpółrzędne konfigurayjne, a wyznaza ię wpółrzędne kartezjańkie); odwrotne, gdy dane jet położenie i przemiezzenie złonu robozego, a wyznaza ię położenia i przemiezzenia względne w połązeniah ruhowyh. Zadanie planowania trajektorii manipulatora: wyznazenie zbioru położeń (w zaie) złonu robozego w potai wpółrzędnyh abolutnyh (pozyji i orientaji) lub wyznazenie zbioru wpółrzędnyh konfigurayjnyh (w połązeniah ruhowyh napędowyh) 6

27 Ry... Shemat kinematyzny manipulatora płakiego; oznazenia: - długość złonu, - kąt obrotu w przegubie i, - układ odnieienia złonu, i = - podtawa, nieruhoma, i =,, - złony ruhome, W środek kiśi, P środek hwytaka, Φ kąt orientaji złonu robozego. Wpółrzędne kartezjańkie punktu W (środka kiśi) w zależnośi od wpółrzędnyh konfigurayjnyh opiano w potai w l oθ l o( θ θ ) w x l inθ l in( θ θ ); y (.) Wpółrzędne kartezjańkie punktu P (złonu robozego) w zależnośi od wpółrzędnyh konfigurayjnyh opiano w potai p l oθ l o( θ θ ) l o( θ θ θ ) x p l inθ l in( θ θ ) l in( θ θ θ ) y (.) Różnizkują względem zau wpółrzędne kartezjańkie punktu W (.) otrzymuje ię wpółrzędne prędkośi tego punktu w l θ inθ l ( θ θ ) in( θ θ ) x w l θ oθ l ( θ θ ) o( θ θ ) y (.) Podobnie, różnizkują względem zau wpółrzędne kartezjańkie punktu P (.) otrzymuje ię wpółrzędne prędkośi tego punktu p l θ in θ l ( θ θ ) in( θ θ ) x l ( θ θ θ ) in( θ θ θ ) p l θ oθ l ( θ θ ) o( θ θ ) y l ( θ θ θ ) o( θ θ θ ) Układ równań liniowyh (.) można zapiać w potai maierzowej (.) 7

28 gdzie θ p x θ, p J p (.5) y θ J p p p p θ θ θ p p p θ θ θ x x x y y y J p - maierz jakobianowa manipulatora. Układ równań liniowyh (.) można zapiać w potai maierzowej wx θ, w J w (.6) y θ J w w θ w θ x x y w θ w θ y J w - maierz jakobianowa ramienia manipulatora. Zadanie odwrotne kinematyki manipulatora polega na wyznazaniu wzytkih możliwyh zbiorów wpółrzędnyh konfigurayjnyh, które odpowiadają danym wpółrzędnym kartezjańkim złonu robozego. Przykład.. Dane ą:,, należy wyznazyć : i Rozwiązanie: równania (.) na wpółrzędne punktu W przekztała ię do potai w l o θ l o( θ θ ) w x l in θ l in( θ θ ); y Aby otrzymać jedno równanie o jednej niewiadomej podnoi ię do kwadratu obie trony tyh równań i dodaje tronami. W ten poób ruguje ię niewiadomą. ao bin d a w l x b w l y d w w l l x y 8

29 t t θ Podtawiają: o θ ; in θ ; gdzie t tg t t otrzymuje ię tąd ( a + d) t - b t ( a d) b a + b d t ; tąd: θ artg t ; θ artg t a + d,,,. Wpółrzędne jednorodne W trójwymiarowej przetrzeni robozej robota wprowadza ię kartezjańki układ wpółrzędnyh OXYZ. Wpółrzędnymi jednorodnymi punktu P w trójwymiarowej przetrzeni robozej nazywa ię dowolne ztery lizby (x, x, x, x ), nie wzytkie równe zeru, związane ze wpółrzędnymi kartezjańkimi tego punktu (x, y, z) zależnośiami x x x x, y, z x x x Wpółrzędne jednorodne ą określone niejednoznaznie. Wynika to z faktu, że jeżeli [x, x, x, x ] T ą wpółrzędnymi jednorodnymi pewnego punktu z przetrzeni robozej, to lizby [x, x, x, x ] T, gdzie, ą również wpółrzędnymi jednorodnymi tego punktu. Wpółrzędna x mui być różna od zera, jeśli wektor [x, x, x, x ] T ma opiywać wpółrzędne jednorodne punktu, a nie kierunek w przetrzeni. Przekztałenie wpółrzędnyh jednorodnyh Wpółrzędne kartezjańkie punktu z przetrzeni robozej w protokątnym układzie wpółrzędnyh OXYZ można wyznazyć, jeżeli znane ą wpółrzędne tego punktu w innym protokątnym układzie wpółrzędnyh O'X'Y'Z', zgodnie z zależnośiami: x x y z r y x y z r z x y z r gdzie: r, r, r wpółrzędne pozątku układu OXYZ określone w układzie OXYZ;,,, koinuy kierunkowe oi układu OXYZ względem układu OXYZ. Jeśli wektor [x, x, x, x ] T przedtawia wpółrzędne jednorodne punktu w układzie OXYZ, a wektor [ x, x, x, x ] T wpółrzędne jednorodne tego punktu w układzie OXYZ, to zawze można przyjąć, że x = x (wpółrzędne jednorodne mogą być mnożone przez dowolną lizbę różną od zera). 9

30 Po podtawieniu wpółrzędnyh jednorodnyh otrzymuje ię natępująe zależnośi: x x x x r x x x x x r x x x x x r x x x lub w potai maierzowej x r x x r x x r x x x Równanie to opiuje zależnośi wpółrzędnyh jednorodnyh tego amego punktu, określonyh w różnyh układah wpółrzędnyh kartezjańkih, za pomoą tranformaji jednorodnyh, liniowyh, nieoobliwyh. W przypadku, gdy x, pierwze trzy wpółrzędne jednorodne punktu w przetrzeni ą identyzne ze wpółrzędnymi kartezjańkimi, ponieważ x x x x x, y x, z x, x x x x x x oraz x x, y x, z x, x x x W wyniku otrzymuje ię x r x y r y z r z. Obroty i przeunięia układów wpółrzędnyh Wpółrzędne jednorodne wektora pozyji punktu mogą być wyrażone w potai maierzy kolumnowej: w = [ w x w y w z ] T, gdzie indek T oznaza tranponowanie wierzy maierzy na kolumny. Wektor pozyji punktu pozątku układu wpółrzędnyh jet wektorem zerowym i może być wyrażony w potai maierzy kolumnowej [ ] T. Natomiat wektor o potai [ w x w y w z ] T jet wektorem kierunkowym. Ilozyn kalarny dwóh wektorów jet określony jako lizba (kalar) wv wxvx wyv y wzvz

31 Ilozyn kalarny dwóh wektorów można także przedtawić w potai maierzowej w v v w T wv T T T r wv gdzie T r oznaza umowanie diagonalnyh elementów (na przekątnej maierzy) wx wxv x wxv y wxv z T Tr wv T r w y v x v y v z Tr w yv x w yv y w yv z w w v w v w v z z x z y z z Ilozyn wektorowy dwóh wektorów jet wektorem protopadłym do płazzyzny wyznazonej przez te dwa wektory i może być wyrażony w potai maierzowej wz w y v x w yv z wzv y w v wz w x v y wzv x wxv z w w v w v w v y x z x y y x Na przykład, wektor prędkośi punktu jet definiowany jako ilozyn wektorowy wektora prędkośi kątowej θ i wektora p, który określa pozyję punktu w układzie odnieienia z y p x y p z z p y v θ p z x p y z p x x p z p p p y x z x y y x Przekztałenie jednorodne przedtawiająe: A p przeunięie o wektor p = [ p x p y p z ] T, A x, obrót wokół oi x o kąt, A y, obrót wokół oi y o kąt oraz A z, obrót wokół oi z o kąt, jet opiane za pomoą maierzy: p p x y A p, A p z z, A y,, A x, gdzie: i = in i, i = o i, i =,,.

32 Przekztałenie jednorodne z jednego układu do drugiego jet opiane przez wpółrzędne wektora przeunięia p (p x, p y, p z ) i werorów orientaji l (l x, l y, l z ), m (m x, m y, m z ), n (n x, n y, n z ), które tworzą elementy maierzy tranformaji z układu i do układu j l x mx n x p x l y m y n y p y T i, j (.7) l z mz n z p z Z dziewięiu wpółrzędnyh werorów l, m, n tylko trzy ą niezależne, ponieważ pozotałe muzą pełniać ześć z dziewięiu zależnośi: l l l x y z m m m x y z n n n x y z nxmx n ymy nzmz l xmx l ymy l zmz l xnx l yn y l znz m n m n l y z z y x m n m n l z x x z y m n m n l x y y x z (.8) Pierwze trzy zależnośi wynikają z jednotkowej długośi werorów l, m i n, a pozotałe z faktu, że werory te ą wzajemnie protopadłe. Jeśli wartośi m x, m y i n x przyjęto jako niezależne, to pozotałe wartośi wpółrzędnyh werorów l, m i n można wyznazyć wg wzorów: m m m z x y, n m m n m m n m y x y x z x x x n n n z x y, l m n m n, l m n m n, l m n m n x y z z y y z x x z z x y y x, (.9) W powyżzyh wzorah na m z, n y i n z wytępują podwójne znaki, które wkazują na możliwość wytąpienia ośmiu różnyh rozwiązań. Tylko te rozwiązania, które pełniają warunki zwrotów werorów m i n, wybiera ię jako akeptowalne. W przypadku przekztałenia odwrotnego maierze odwraa ię przy zahowaniu natępująyh reguł:

33 T T, T T E (.) j, i i, j i, j j, i gdzie E maierz jednotkowa, której elementy diagonalne ą równe jednośi, a pozotałe ą równe zeru. Podtawiają (.7) do równania (.), otrzymuje ię gdzie: l x l y l z p l mx m y mz p m T i, j (.) n x n y n z p n pl pxl x p yl y pzl z pm pxmx p ymy pzmz pn pxnx p yn y pznz Obrót układu i o kąt wokół dowolnie zorientowanej oi przez weror u i dany w układzie j może być rozdzielony na trzy kolejne obroty: ) obrót werora u i do pokryia ię z oią z j, ) obrót o kąt wokół oi z j, ) obrót układu i do pozyji pierwotnej. Zatem maierz obrotu układu i wokół oi werora u i o kąt można wyznazyć z zależnośi A T A T (.) u, i, j z, i, j Po podtawieniu zależnośi (.) i (.) do (.), otrzymuje ię A u, l x mx n x l x l y l z l y m y n y m x m y m z l z mz n z n x n y n z Stąd po wykonaniu kolejno mnożenia maierzy, poząwzy od prawej oraz uwzględnieniu podtawienia: u x = n x, u y = n y, u z = n z, otrzymuje ię u x u xu y u z u xu z u y u u u u u u u (.) u u u u u u u x y z y y z x Au, x z y y z x z Z ogólnej zależnośi (.) można otrzymać maierze obrotu wokół pozzególnyh oi. Na przykład przyjmują u x =, u y = u z =, otrzymuje ię maierz obrotu wokół oi x o kąt, zapianą wześniej jako A x,. Po zumowaniu elementów diagonalnyh otrzymuje ię

34 a a a u u u x y z Zatem a a a Po odjęiu odpowiednih elementów maierzy (.), o ymetryznym uytuowaniu względem przekątnej, a natępnie podnieieniu do kwadratu tyh różni i dodaniu tronami otrzymuje ię Stąd a a a a a a a a a a a a przy zym znak + odnoi ię do wartośi kąta z przedziału. Składowe werora u wyznaza ię wg zależnośi x u a a u a a (.) y u a a x Gdy kąt jet mały, wówza lizniki i mianowniki wyrażeń (.) ą małe i kładowe werora u nie mogą być dokładnie wyznazone. Aby poprawić dokładność oblizeń, zalea ię toowanie natępująyh zależnośi: u ign a a a x u ign a a a (.5) y u ign a a a z Najwiękza wartość kładowyh werora u, oblizonyh wg wzorów (.5), określa poób oblizenia pozotałyh. Jeśli u x ma wartość najwiękzą, to pozotałe kładowe obliza ię wg wzorów: u a a u (.5a) y x u a a u z x Jeśli u y ma wartość najwiękzą, to u a a u (.5b) x y u a a u z y Jeśli u z ma wartość najwiękzą, to u a a u (.5) x z u a a u y z

35 Przykład.. Wyznazyć kąt obrotu i weror oi obrotu, które odpowiadają maierzy tranformaji A u, Najpierw wg wzorów na i obliza ię Stąd = artg = /. Natępnie wg wzorów (.5) obliza ię u, u, u x y z Kąty Eulera ą zęto toowane w równaniah dynamiki złonów wykonująyh ruh feryzny, który może być opiany za pomoą trzeh przemiezzeń kątowyh: preeji, nutaji, rotaji. Na ry..a pokazano nieruhomy układ wpółrzędnyh {x y z}, związany z podtawą, ruhomy układ wpółrzędnyh {x y z }, związany z złonem, który wykonuje obrót o kąt wokół oi z oraz układ {x y z }, związany z złonem, który wykonuje obrót o kąt wokół oi x, względem złonu. Końowy obrót wokół oi z jet wykonywany przez złon względem złonu. Jak w każdym przypadku kolejnyh obrotów, ih kolejność jet itotna. W rozważanym przypadku można zauważyć (ry..b), że kolejność obrotów w układzie podtawy będzie odwrotna, tzn. najpierw obrót o kąt wokół oi z, natępnie obrót o kąt wokół oi y, a w końu obrót o kąt wokół oi z. Ry... a) Otwarty łańuh kinematyzny trójzłonowy, zatępująy przegub kulity, zwymiarowany za pomoą kątów Eulera:,,, b) przekztałenia układów wpółrzędnyh przez obroty o kąty Eulera. 5

36 Maierz przekztałenia opianego za pomoą kątów Eulera można wyznazyć jako ilozyn trzeh maierzy Stąd Stąd R A A A E z, z, z, R E (.6) Częto touje ię inną ekwenję obrotów wokół oi x, y, z R A A A E z, z, z, R E (.7) Jet to pewien wariant przekztałenia Eulera, nazywany przehylanie, pohylanie, kręanie (ang. Roll, Pith, Yaw), najzęśiej toowany w opiah dynamiki pojazdów i amolotów. Wpółrzędne ylindryzne (ry..a) ą toowane do określenia położenia złonu w przetrzeni za pomoą trzeh przemiezzeń: p x przeunięia wzdłuż oi x, z obrotu wokół oi z oraz p z przeunięia wzdłuż oi z, które mogą być zapiane w potai maierzowej 6

37 Stąd p,, p z x,, p z, p,, C A A A z p x p z x p x p x C pz,, px (.8) p z Wpółrzędne feryzne ą określane za pomoą ekwenji trzeh ruhów: p z przeunięia wzdłuż oi z, y obrotu wokół oi y oraz z obrotu wokół oi z Stąd z, y, p z z, y,,, p S A A A z y x z z y y z z p z y y p z S,, p z y z z y z z y p z z y z y z z y p z z y y y p z y (.9) Wpółrzędne Denavita-Hartenberga (ry..) ą określone przez ztery parametry: i obrót wokół oi z i-, i przeunięie wzdłuż oi z i, l i przeunięie wzdłuż oi x i, i kręenie wokół oi x i. Dowolny złon i jet opiany przez dwa wymiary: l i długość złonu i i kąt kręenia złonu. Połązenie ruhowe jet opiane przez dwa wymiary: i odunięie i i kąt obrotu względnego złonów. 7

38 n n m m p l p l Ry... a) Wpółrzędne ylindryzne (p x,, p z ), b) wpółrzędne feryzne (p z, y, z ), ) wpółrzędne Denavita-Hartenberga ( i, i, l i, i ); d) przekztałenie werorów l i i m i oi układu x i y i do układu x i- y i- przez obrót wokół oi z i = z i- o kąt i. Maierze przekztałeń jednorodnyh, odpowiadająyh wpomnianym parametrom, można przedtawić w potai i i i i A zi,, A i, z i i i li A xi, a, A i xi, i i i i i Przekztałenie z układu i do układu i opiuje ilozyn maierzy A A A A A i, i xi, i xi, li zi, i zi, i 8

39 Stąd A i, i i i li i i i i i i i i i i i i i i (.) W elu króenia zapiu zatoowano notaję: A i = A i,i-. W przypadku przekztałenia odwrotnego, tzn. z układu i do układu i, touje ię maierz odwrotną Stąd A A A i, i i, i i, i i i i i i li i i i i i i li i i i i (.) Uwaga: Zwrot przemiezzenia kątowego uważa ię za dodatni, jeśli tranformaja z układu i do układu i jet zgodna z regułą śruby prawokrętnej, tzn. dodatni zwrot kąta i jet zgodny z dodatnim zwrotem oi z i-, a kąta i ze zwrotem oi x i.. Zadanie prote kinematyki Zadanie prote kinematyki polega na oblizeniu pozyji i orientaji złonu robozego względem układu odnieienia podtawy dla danego zbioru wpółrzędnyh konfigurayjnyh. Zadanie to można traktować jako odwzorowanie opiu położenia manipulatora w przetrzeni wpółrzędnyh konfigurayjnyh na opi w przetrzeni wpółrzędnyh kartezjańkih. Pozyję punktu P i, należąego do złonu i, opiano w jego układzie odnieienia za pomoą wektora r Pi,i = [ x Pi y Pi z Pi ] T. Gdy punkt P i pokrywa ię z pozątkiem układu, tzn. P i = O i, wówza r r Pi, i Oi, i T Pozyja punktu P i w układzie odnieienia podtawy (globalnym) może być wyznazona wg wzoru r r T r (.) Pi, O Pi i, O Pi, i 9

40 gdzie T i,o maierz przekztałenia z układu i do układu, którą otrzymuje ię jako ilozyn maierzy A i, Ti, O AA... Ai T i (.a) Maierz T i można podzielić na: B i maierz orientaji oraz p i wektor pozyji gdzie: Bi pi T i (.b) lix mix nix B i li mi ni liy miy n iy (.) l iz miz niz T p i pix piy piz (.d) Po zróżnizkowaniu zależnośi (.) względem zau otrzymuje ię prędkość i przypiezenie punktu P i v T i i Pi rpi, i q j j q j T T a r r i i i i Pi Pi, i q j Pi, i q j qk j q j j q j qk k (.) gdzie: T i q j T q q q q q i j j A A... A Q A... A, jeżeli j i j j j i, jeżeli j > i (.a) Ti q Ti q j Ti q j Ti q j k k k k A A... A Q A... A Q A... A, jeżeli j < k i j j j k k k i A A... A Q A... A Q A... A, jeżeli j < k i j j j k k k i A A... A Q A... A, jeżeli j = k i j j j i, jeżeli j > oraz k > (.5a)

41 przy zym dla połązenia obrotowego Q j, q dla połązenia przeuwnego Q j, Przy uwzględnieniu zależnośi A da dq Q A j j j j j q j j d j j dt d j j dt (.5b) (.5) będzie dtk, dq j T j, Q jt k, j, dla j k (.6) gdzie T A... A A... A A... A A... A T T k, j j k j j j k j, k, Zatem dt dq T Q T T Q T (.7) * k, j j, j j, k, j k, gdzie: Q T Q T, dla j > (.7a) * j j, j j, Q Q, dla j = * j j Podtawiają (.7) do (.5) otrzymuje ię Stąd k k * * Pk j k, qj Pk, k j qj Pk j j v Q T r Q r (.8) v Pk Dk r Pk (.9) gdzie D k maierz operatorowa tranformaji wektora pozyji punktu P k złonu k w wektor prędkośi tego punktu. Przyśpiezenie punktu P k otrzymuje ię przez różnizkowanie zależnośi (.9)

42 a dv dt D r D v (.) pk pk k pk k pk gdzie: k * * * * k j q j j q j k k qk k qk j D Q Q D Q Q, dla j > D Q q * Wyrażenie na Q k nie było wprowadzone wześniej. W elu jego uzykania zależność (.7a) przekztała ię do potai Stąd przy zym Q T T Q * j j, j, j * * j j, j j j, j, Q T Q Q T T (.) k * Tk, Q j q j Tk, DkT k, (.) j Po podtawieniu (.) do (.) otrzymuje ię Stąd Q D T Q Q D T T * * j j j, j j j j, j, * * * j j j j j Q D Q Q D (.) Po uwzględnieniu powyżzyh zależnośi wzór (.) na przyśpiezenie punktu P k przyjmie potać k * * a Pk Q jq j Q jq j rpk Dkv Pk (.) j Wektor prędkośi kątowej złonu k określa ię w potai k ω k Bj, je j (.5) j gdzie B j-, maierz ortogonalna obrotu układu j względem podtawy, którą otrzymuje ię z maierzy T j-,, określonej wzorem (.), przez odrzuenie otatniego wierza i kolumny. Wtedy

43 gdzie: l j, x m j, x n j, x B j, l j m j n j l j, y m j, y n j, y (.5a) l j, z m j, z n j, z l l l l j j, x j, y j, z m n m m m j j, x j, y j, z n n n j j, x j, y j, z T T T werory oi układu j określone względem układu. Rzuty wektora k na oie układu wpółrzędnyh, związanego z złonem k, otrzymuje ię przez tranformaje k, k, k k j, k j j j k B B e (.6) Zależność (.5) można przedtawić w potai B e (.7) k k k, k k Różnizkują zależność (.7) względem zau otrzymuje ię przyśpiezenie kątowe złonu k gdzie k k k, k k k, k e k, k k k Przykład.. Manipulator o ześiu połązeniah obrotowyh, pokazany na ry.., zotał opiany za pomoą natępująyh parametrów i = /,,, /, /, / l i =, l, l,,, l 6 i =,,,, 5, 6 Zadanie polega na wyznazeniu pozyji, prędkośi i przyśpiezenia punktu P 6 = O 6, tzn. punktu P 6 pokrywająego ię z O 6 pozątku układu odnieienia złonu 6. Rozwiązanie zadania rozpozyna ię od zapiania maierzy A i wg wzoru (.), przy uwzględnieniu powyżzyh danyh parametrów

44 A, l l A, A 5, 5 A l l A A 6 l l Ry... Shemat kontrukyjny manipulatora o ześiu połązeniah obrotowyh ( ASEA- WORKMASTER ), zwymiarowany za pomoą wpółrzędnyh Denavita-Hartenberga: i = /,,, /, /, /; l i =, l, l,,, l 6 ; i =,,,, 5, 6. (Źródło: Knapzyk, 99) Pozyję punktu P 6 w układzie odnieienia podtawy wyznaza ię wg wzoru (.), który w rozważanym przypadku przyjmie potać r T r r P 6, 6 P 6, 6, gdzie P 6, 6 T

45 l x mx n x p x l y m y n y p y T6 AA A A A5 A 6 (.9) l z mz n z p z gdzie: l x = ( + + ) 5 6 ( + + ) l y = ( + + ) 5 6 ( + + ) l z = ( + + ) ( + + ) 6 m x = 5 + ( + + ) 5 m y = ( + + ) 5 5 m z = ( + + ) 5 n x = ( + + ) ( + + ) n y = ( + + ) ( + + ) n z = ( + + ) 5 6 ( + + ) 6 p x = l + l ( + ) 5 ( + + ) + 6 [ 5 + ( + + ) 5 ]+ l 6 [ ( + + ) ( + + ) 6 ] p y = l + l ( + ) 5 ( + + ) + 6 [ ( + + ) 5 ] + l 6 [ ( + + ) ( + + ) 6 ] p z = l + l ( + ) + 5 ( + + ) + 6 ( + + ) l 6 [( + + ) ( + + ) 6 ] (.) Wpółrzędne punktu P 6 dla zerowego położenia manipulatora otrzymuje ię, podtawiają do zależnośi (.) wartośi i = ( i =,, ). Stąd p l l l, p, p x 6 y 6 z 5 Prędkość i przyśpiezenie punktu P 6 można wyznazyć przez różnizkowanie względem zau zależnośi (.) na wpółrzędne tego punktu, rozpatrują je jako funkje złożone, np. p x = F [ i (t)]. Przykład.. Na ryunku.5 pokazano układ pozyjonowania manipulatora typu tanfordzkiego, obejmująy tylko trzy pierwze złony o wymiarah: = = /, l = l = =, =,5 m. Mają dane przemiezzenia:,, oraz prędkośi i przyśpiezenia w połązeniah ruhowyh, należy wyznazyć wpółrzędne punktu P należąego do złonu, jego prędkość, przyśpiezenie oraz prędkośi kątowe złonów i. 5

46 Według wzoru (.) określono maierze przekztałeń A j ( j =,, ), które po uwzględnieniu danyh wymiarów ą natępująe: Ry..5. Shemat kontrukyjny ramienia manipulatora tanfordzkiego, zwymiarowany za pomoą wpółrzędnyh Denavita-Hartenberga: i = π/, π/, ; l i =,, ; i =,, ; i. Oznazenia: r P, wektor pozyji punktu P względem układu podtawy, r P, wektor pozyji punktu P względem układu złonu. (Źródło: Knapzyk, 99), A A, A Maierz położenia i orientaji złonu względem podtawy będzie T A A A Wektor pozyji punktu P względem pozątku układu podtawy określono wg wzoru (.): r P = T, r P,, gdzie r P, = [ z P ] T, przy zym x P = y P =, ponieważ punkt P leży na oi z. Stąd 6

47 r P z P z P zp Według wzoru (.7) określono maierze Q j, otrzymują Stąd Q Q * * Q T, QT, D Prędkość punktu P wyznazono wg wzoru (.9) v P z P ( ) z P ( ) D rp z P Przyśpiezenie punktu P wyznazono wg wzoru (.), przy zym wpierw wyznazono D, różnizkują względem zau D D a a a, a gdzie Podtawiają do wzoru (.) maierze D, D oraz wektory r p i v p, otrzymano wektor przyśpiezenia punktu P w potai a a a a P P x P y P z T 7

48 gdzie: a z Px P a z P y P a z Pz P Mają dotateznie gętą tablię położeń punktu P jako funkji zau, można za pomoą proedur interpolaji numeryznyh wyznazyć prędkość i przyśpiezenie tego punktu. Jeśli wymagana dokładność jet rzędu kilku proent, to wytarzą najprotze wzory. Praktyzny walor tej uwagi jet tym więkzy, im manipulator jet bardziej komplikowany. Wektory prędkośi kątowyh złonów i wyznazono wg wzorów (.6) i (.7), otrzymują ω e B e ω ω, B, ω l x mx n x gdzie B, l y m y n y l z mz n z Pewne ułatwienie programowania oblizeń uzykuje ię toują wzory rekurenyjne r A r Pi, i i Pi, i r A r Pi, i i Pi, i... r A r Pi, Pi, (.) Podobnie, zamiat oblizać wektory prędkośi i przyśpiezeń wg wzorów (.9)(.), można toować wzory rekurenyjne 8

49 v Q r Pi, i i Pi, i v Q r A v Pi, i i Pi, i i Pi, i... v Q r A v Pi, Pi, Pi, (.) oraz a Q q q r Pi, i i i i Pi, i a Q q Q q r A a Pi, i i i i i Pi, i i Pi, i... Q q A v i i i Pi, i a Q q Q q r A a Q q A v Pi, Pi, Pi, Pi, (.) gdzie Q i, q i, q i ą określone wzorami (.5b,.5) Maierz jakobianowa (jakobian) jet wielowymiarową potaią pohodnej funkji wielu zmiennyh. Na przykład pozyję i orientaję złonu robozego względem podtawy manipulatora określa wektor wpółrzędnyh kartezjańkih (.) gdzie: p x p y p z wpółrzędne kartezjańkie punktu złonu robozego; wpółrzędne kątowej orientaji złonu robozego, np. kąty Eulera. Konfiguraję manipulatora określa wektor wpółrzędnyh konfigurayjnyh T q q q... q (.5) n gdzie: n ruhliwość manipulatora, T tranponowanie. Zależność między wektorami w i q w F q (.6) można zróżnizkować względem zau i otrzymać zależność między prędkośią złonu robozego i prędkośiami względnymi w połązeniah ruhowyh w J( q) q (.7) gdzie J(q) maierz jakobianowa funkji F(q). Elementami maierzy ą pohodne zątkowe wpółrzędnyh kartezjańkih względem wpółrzędnyh konfigurayjnyh. Rząd maierzy jakobianowej jet określony przez najwiękzą lizbę liniowo niezależnyh wierzy i kolumn, równą lizbie topni wobody złonu robozego. 9

50 Powierzhnia jakobianowa jet miejem geometryznym tyh punktów przetrzeni robozej, w któryh maierz jakobianowa jet oobliwa. Środek kiśi manipulatora, leżąy na powierzhni jakobianowej, mui poruzać ię w płazzyźnie tyznej do tej powierzhni. Powierzhnie jakobianowe mogą leżeć na graniy przetrzeni robozej lub wewnątrz tej przetrzeni. Jeśli q, q i q ą uogólnionymi wpółrzędnymi trzeh pierwzyh połązeń ruhowym, a p jet wektorem położenia środka orientaji (kiśi), to gdzie p jx p jx p jx q q q dp jx dq p jx p jy p jy dp jy dq q q q dp jz dq p jx p jz p jz q q q p p i p j p k j jx jy jz (.8) Jeśli połązenie jet obrotowe, to q k = k ; jeśli połązenie jet przeuwne, to q k = k. Środek orientaji jet w położeniu oobliwym tylko wówza, gdy wyznaznik maierzy jakobianowej jet równy zeru. Ponieważ wyznaznik maierzy jakobianowej jet równy wyznaznikowi maierzy tranponowanej, zatem warunek oobliwośi można zapiać natępująo: p p p q q q p p p q q q p p p q q q jx jy jz jx jy jz jx jy jz 5 (.9) Równanie (.9) może być przedtawione w potai ilozynu miezanego trzeh wektorów gdzie p j p j p j q q q p q i j (.) oznaza przemiezzenie końa wektora p j, wywołane niekońzenie małym przemiezzeniem w i-tym połązeniu ruhowym, przy zym: dla połązenia przeuwnego

51 p q i j e (.) ij dla połązenia obrotowego p q i j e ( p r ) (.) i j j i j gdzie: e i j weror oi i-tego połązenia ruhowego w j-tym położeniu, r i j wektor pozyji oi i-tego połązenia ruhowego w j-tym położeniu. Dla regionalnej truktury typu OOO równanie (.) przy uwzględnieniu zależnośi (.) przyjmuje potać e j ( p j r j ) e j ( p j r j ) e j ( p j r j ) (.) Z równania (.) wynika, że łańuh kinematyzny z połązeniami ruhowymi OOO jet w położeniu oobliwym wówza, gdy weror e jet równoległy do wektora (p j r j ), tzn. gdy konie wektora p j leży na oi werora e. p j Równanie (.) oznaza, że w położeniu oobliwym trzy wektory (i =,, ) leżą w jednej płazzyźnie, a oie trzeh werorów e i przeinają tę amą protą, która jet krawędzią przeięia trzeh płazzyzn, zawierająyh po trzy pary wektorów e i i (p j r ij ). W elu uprozzenia kontrukji manipulatora przyjmuje ię równoległe lub protopadłe uytuowanie oi kolejnyh połązeń ruhowyh. Gdy n >, wówza manipulator może zmieniać pozyję (zęśiowo) i orientaję (zęśiowo) złonu robozego. Dla uprozzenia terowania rozdziela ię ruhy pozyjonowania i orientowania. Jeśli orientaja jet funkją n zmiennyh ( n' ), wówza n połązeń ruhowyh powinno być przegubami obrotowymi o oiah przeinająyh ię w punkie uytuowanym na złonie robozym. Gdy n = (n' =,, ), wówza manipulator powinien mieć o najmniej jedno połązenie obrotowe przy złonie robozym. Gdy n = 5 (n' =, ), wówza manipulator powinien mieć o najmniej dwa połązenia obrotowe o oiah przeinająyh ię. Gdy n = 6 (n' = ), wówza manipulator powinien mieć trzy otatnie połązenia obrotowe o oiah przeinająyh ię w jednym punkie. Powierzhnię jakobianową można opiać analityznie, przyjmują wartośi dwóh zmiennyh q i i oblizają wartość trzeiej zmiennej z równania (.). Jeśli pierwze połązenie ruhowe (przy podtawie) jet przegubem obrotowym, to powierzhnia jakobianowa jet powierzhnią obrotową. Zatem można przyjąć q =. Jeśli pierwze połązenie ruhowe jet parą przeuwną, to przyjmują dowolnie wartośi jednej z dwóh zmiennyh q lub q, można oblizyć pozotałą z równania (.). 5 q i

52 . Zadanie odwrotne kinematyki manipulatora i planowanie trajektorii. Zadanie odwrotne kinematyki Zadanie odwrotne kinematyki manipulatora polega na wyznazeniu wzytkih możliwyh zbiorów wartośi przemiezzeń kątowyh i liniowyh (wpółrzędnyh konfigurayjnyh) w połązeniah ruhowyh, które umożliwią manipulatorowi oiągnięie zadanyh pozyji i/lub orientaji złonu robozego (hwytaka lub narzędzia). Jet to podtawowe zadanie programowania i terowania ruhu manipulatora, gdy trzeba znaleźć, jak pozzególne wpółrzędne konfigurayjne powinny zmieniać ię w zaie, aby zrealizować pożądany ruh złonu robozego. Na przykład w najprotzym zadaniu pozyjonowania wziąć i położyć (ang. take and plae) dane ą pozątkowe i końowe położenie złonu robozego oraz za potrzebny na wykonanie przemiezzenia między tymi położeniami. Rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki umożliwia określenie wartośi wpółrzędnyh konfigurayjnyh, odpowiadająyh tym położeniom. Dla niektóryh manipulatorów o ześiu i pięiu topniah wobody można wyznazyć rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki w potai jawnej. Warunkiem wytarzająym itnienia rozwiązania w potai jawnej jet to, aby oie trzeh kolejnyh połązeń ruhowyh przeinały ię w jednym punkie. Stoowane ą t r z y m e t o d y rozwiązania zadania odwrotnego: maierzowa, wektorowa i numeryzna. W metodzie maierzowej touje ię równania maierzowe przekztałeń jednorodnyh, zapiane w notaji Denavita-Hartennberga, w metodzie wektorowej równanie zamknięia wieloboku wektorowego i równanie o trzeh werorah, a w metodzie numeryznej proedurę Newtona-Raphona lub inne... Metoda maierzowa Jak podano poprzednio, jeśli pozyja i orientaja i-tego złonu manipulatora ą dane, to dana jet maierz T i, maierz położenia tego złonu względem układu odnieienia podtawy. li mi ni pi Bi pi Ti T i, (.) 5

53 gdzie li, x mi, x ni, x B i li, y mi, y ni, y, li, z mi, z n i, z p i p p p ix, i, y iz, Rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki polega na wyznazeniu wartośi zmiennyh konfigurayjnyh, które pełniają równanie maierzowe A A... A i = T i (.) Wektor pozyji pozątku układu złonu (i ) względem tego układu określa ię jako wektor zerowy p i,i = [ ] T natomiat względem układu podtawy wektor ten określa ię wg zależnośi p i = A A... A i p i,i Uwzględniają równanie (.), zależność (.b) można przedtawić w potai i i i i, i 5 (.a) (.b) p T A p (.) Stąd, przy uwzględnieniu zależnośi (.), otrzymuje ię p p l i i il m i i n i i (.d) i i Zależność (.d) podtawia ię w mieje lewej trony równania (.b), a otrzymane równanie mnoży ię z lewej przez maierz A i otrzymuje natępująe równanie A p i l ili m ii n ii i A A... A p i i, i (.e) Z równania (.e) można wyznazyć wartośi trzeh zmiennyh konfigurayjnyh, które odpowiadają danym: p i wektorowi pozyji i B i maierzy orientaji. Pozotałe niewiadome wartośi zmiennyh konfigurayjnyh można wyznazyć za pomoą równania orientaji złonu (i ) względem podtawy n A A... A n (.a) i i i, i gdzie weror n i- jet określony względem układu odnieienia podtawy, natomiat n i,i = [ ] T Weror n i można wyznazyć z zależnośi i i i i, i (.b) n T A n (.) z której otrzymuje ię

54 n m i i n i i (.d) i Zatem, mają dane werory m i i n i i-tego złonu, za pomoą zależnośi (.d) można wyznazyć weror n i oi z i układu odnieienia złonu (i ). Równanie (.a) można przekztałić do potai A... A A n A A n i i i i i, i A... A A n A n i i i i, i (.e) Z równań maierzowyh (.e) można wyprowadzić odpowiednie równania, zawierająe pozotałe niewiadome zmienne konfigurayjne. Równania te można prowadzić do potai typowyh równań trygonometryznyh. Rozróżnia ię ześć typowyh równań:. A + B = D (.5a) gdzie A, B, D tałe. Jeśli D =, to otrzymuje ię dwa rozwiązania: = ar tg B A B A Jeśli D oraz A + B > D, to otrzymuje ię również dwa rozwiązania: B A B D = ar tg A D. = D, = D (.5b) gdzie: D i D tałe. Równanie (.5b) ma tylko jedno rozwiązanie: D = ar tg D. X = D, X = D (.5) gdzie: X zmienna, D i D tałe. Tutaj jet tylko jedno rozwiązanie = Atan (D, D ), jeśli X > = +, jeśli X < Gdzie Atan (y, x) jet dwuargumentową funkją aru tangen, która obliza wartość artg (y, x) oraz uwzględnia znaki, zarówno przy x jak i y, w elu określenia ćwiartki kąta pełnego, w której znajduje ię wyznazany kąt.. A ij + B i = D, A ij + B i = D (.5d) 5

55 gdzie: ij = i + j ; A, B, D i D tałe. Podnozą do kwadratu oba równania i dodają tronami, otrzymuje ię dwa rozwiązania na j j = Atan K, K gdzie K D D A B AB Natępnie wyznaza ię i wg wzoru i = Atan K, K gdzie: K D A j B D A j, K D A j B D A j 5. A ij + B ij + D i = F (.5e) A ij + B ij + D i = F gdzie: A, B, D, F, F tałe. Powyżzy układ dwóh równań można zredukować do jednego równania F F F F D A B D i i które rozwiązuje ię względem i, podobnie jak równanie typu (a). Mają wyznazone i, można określić ij za pomoą wzoru ij = Atan AK BK, BK AK gdzie: K F D i, K F D i Natępnie obliza ię drugą niewiadomą wg wzoru j = ij i 6. A ij + D i = F, A ij + D i = F (.5f) Układ równań (.5f) jet podobny do równań typu (e), z wyjątkiem B =. Zatem proedura rozwiązania jet taka ama. Sześć topni wobody wytarza do pozyjonowania i zorientowania złonu robozego, np. wg wpółrzędnyh kartezjańkih. Jeśli ruhliwość manipulatora r >6, to manipulator jet nadmiernie ruhliwy (tzw. redundantny) i układ równań (.) jet nieokreślony (tzn. lizba możliwyh konfiguraji jet niekońzenie wielka). Jeśli r < 6, to układ równań (.) taje ię nadokreślony. Jeśli r = 6 z równania maierzowego (.), przy wykorzytaniu równań (.) i (.), otrzymuje ię nietrywialnyh równań, z któryh tylko 6 równań jet niezależnyh. 55

56 Inna metoda rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki polega na wykorzytaniu włanośi maierzy obrotu. Mają ilozyn maierzy A zapiany w potai BiB j Bi p j pi AA i j (.6) można równanie (.) rozdzielić na równania pozyji i orientaji p = B (B (B (B (B 5 p 6 + p 5 ) + p ) + p ) + p ) + p B = B B B B B 5 B 6 (.7) gdzie: p i = [l i i l i i i ] T wektor pozyji punktu i względem i, p wektor pozyji pozątku układu odnieienia złonu robozego względem podtawy. Jeśli otatnim połązeniem ruhowym jet przegub obrotowy, to p 6 = i równanie (.7) uprazza ię do potai p = B (B (B (B p 5 + p ) + p ) + p ) + p (.8) Ponieważ obroty ą przekztałeniami ortogonalnymi, zatem odpowiednie ilozyny kalarne pozotają niezmienne, tzn. Bu Bv uv (.9a) dla dowolnej maierzy obrotu B i dowolnej pary wektorów u i v. W zzególnym przypadku równania (.9a), zęto wykorzytywanym, otrzymuje ię Buv u B v (.9b) Właność ta znaznie ułatwia eliminowanie wyrażeń algebraiznyh i niepotrzebnyh zmiennyh z równań (.8). Stąd oraz T i i li i i i i B p (.9) T i i i B k, dla k = [ ] T (.9d) Wektory (.9 i d) ą zatem niezależne od i dla i-tego przegubu obrotowego. Ponadto, układ odnieienia złonu robozego przyjmuje ię tak, aby 6 =. Stąd otrzymuje ię B6k k (.9e) Wykorzytują wielokrotnie zależnośi (.9), otrzymuje ię ztery równania zredukowane. Pierwze z nih wyprowadza ię jak natępuje: n z = n k = (B k) k n z = (B B B B B 5 B 6 k) k n z = (B B B B B 5 k) k n z = k ( B B B B B k) 5 56 (.a)

57 przy zym to otatnie nazywa ię równaniem n z. Drugie równanie zredukowane, tzw. równanie p z, otrzymuje ię w natępująy poób: p = B B B B q q = p 5 + B {p + B [p + B (p + B p )]} (.b) p z = p k = q ( B B B B ) k gdzie: i = [ ] T, j = [ ] T werory oi układu odnieienia podtawy. Szeregowy łańuh kinematyzny z połązeniami obrotowymi i przeuwnymi jet ortogonalny, jeśli wzytkie kąty kręeń wynozą: i = lub / (i =,..., n). Manipulator ortogonalny o ześiu topniah wobody klayfikuje ie w zależnośi od wartośi kolejnyh kątów kręeń i. Ponieważ 6 jet zwykle równe, wię można znaleźć tylko 5 = różnyh kla manipulatorów ortogonalnyh, z któryh 8 ma lub więej kolejnyh oi równoległyh, o zmniejza lizbę topni wobody poniżej 6. Zatem, tylko manipulatory ortogonalne dyponują pełnymi 57 Trzeie i zwarte równania zredukowane otrzymuje ię z ilozynów kalarnyh p n = B q k (.) 5 p p = p = q q = q (.d) Ponieważ B p i B k ą niezależne od i, zatem wektor q może być rozważany jako niezależny od pierwzej i otatniej zmiennej, a układ ztereh równań (.) ma ztery niewiadome i (i =,,, 5 ). Jeżeli układ ten zotanie rozwiązany, to pozotałe dwie zmienne mogą być wyznazone z pozotałyh równań układu (.). Uprozzenia, uzykane dzięki wykorzytaniu niezmienników (.9), dają nie tylko króenie proedury oblizeń, lez również dobry wgląd w trukturę i włanośi równań kinematyki. Rozwiązania równań (.) mają podwójne znaki. W wielu praktyznyh przypadkah otrzymuje ię jednoznazne rozwiązanie ze względu na możliwość jawnego oblizenia wartośi i i i. W niektóryh przypadkah, w elu wyznazenia wartośi i lub i, trzeba korzytać z tożamośi Pitagoraa, wprowadzająej podwójne znaki do wyznazanej funkji. W pewnyh przypadkah lizba rozwiązań z podwójnymi znakami może być zredukowana dzięki uwzględnieniu dodatkowyh równań więzów, wytępująyh w równaniah (.). Te dodatkowe równania pomagają wyeliminować obe rozwiązania i uprośić proedurę oblizeń. Równania, określająe kładowe p x, p y, n x i n y, dotarzają dodatkowe równania więzów: p x = (B (B (B (B p 5 + p ) + p ) + p ) + p ) i p y = (B (B (B (B p 5 + p ) + p ) + p ) + p ) j n x = B B B B B 5 k i (.) n y = B B B B B 5 k j

58 możliwośiami przetrzennego pozyjonowania i orientowania. Więkzość robotów przemyłowyh zaliza ię do manipulatorów ortogonalnyh. Maierze A i dla manipulatorów ortogonalnyh przyjmują potaie: Stąd: i i lii i i li i A i i (.) i i lii i i li i A i π i (.) B k B k k dla i = i i i B k j dla i = Do manipulatorów ortogonalnyh, mająyh rozwiązania w potai jawnej, zaliza ię natępująe przypadki: i = /,,, /, i =, /,, /, i =,, /,, / i =,, /, /, i =, /,,, / Dla manipulatora ortogonalnego o ześiu połązeniah obrotowyh, w którym można wydzielić układy pozyjonowania i orientowania, równanie (.) zapiuje ię w potai B p B, pr B6, pw (.) gdzie B, maierz orientaji układu odnieienia złonu względem podtawy, p r wektor pozyji pozątku układu odnieienia złonu względem podtawy, p w wektor pozyji pozątku układu odnieienia złonu robozego 6 względem układu odnieienia złonu, B 6, maierz orientaji układu odnieienia złonu robozego względem układu odnieienia złonu. Na podtawie równania (.) otrzymuje ię 58

59 B = B, B 6, (.5) p = B, p w + p r gdzie p w długość kiśi, tzn. odległość pozątku układu złonu robozego od pozątku układu. U więkzośi robotów wektor p w ma kierunek określony przez weror podejśia n. W tym przypadku drugie równanie układu (.5) przekztała ię do potai p r = p p w n (.6) Zatem, jeśli dane ą wpółrzędne wektora pozyji i werorów orientaji układu złonu robozego, tzn. p = [ p x p y p z ] T, n = [ n x n y n z ] T i długość kiśi p w, to wg wzoru (.6) można wyznazyć wpółrzędne p r wektora pozyji końa ramienia manipulatora. Z drugiej trony wektor p r można określić za pomoą ilozynu maierzy przekztałeń gdzie p r = B B p + B p + p (.7) B i i i i i, i i i i i i i i p l i i l i i i i Gdy środek kiśi O jet odunięty od punktu O o wektor p = O O równania (.7) korzyta ię z zależnośi: (.7a), wówza zamiat p r = B B B p + B B p + B p + p (.8) Po podtawieniu zależnośi (.7) lub (.8) do równania (.6) otrzymuje ię układ trzeh równań o trzeh niewiadomyh, i. W elu wyznazenia niewiadomyh, 5 i 6 równanie orientaji z układu (.5) przekztała ię do potai przy zym B B B (.9) 6,, lx l y l z B, BB B m x m y m z (.) n x n y n z gdzie l, m i n werory oi układu odnieienia złonu. Mają wartośi, i wyznazone z równania (.), można wyznazyć wpółrzędne werorów l, m i n. Z równania (.9) wyznaza ię elementy maierzy B 6, jako ilozyny kalarne odpowiednih par werorów maierzy orientaji: 59

60 6 [ l m n ] układu odnieienia złonu robozego oraz [l m n ] złonu. Z równania (.) można wyprowadzić zależność 6, 5 6 B B B B (.) którą można przekztałić do potai 6 5 6, B B B B (.) W więkzośi toowanyh manipulatorów, np. w robotah PUMA, ASEA i in., oie połązeń obrotowyh kiśi ą względem iebie protopadłe, tzn. = /, 5 = /, 6 =. Zatem, = 5 =, 6 =, 6 =. Ze względu na te relaje, jak również (.9) i (.), równanie (.) może być zapiane w potai z y x z y x z y x n n n m n l m n m m m l l n l m l l (.) gdzie l l l z y x l l l l y x m l l l l z y x n l m m m z y x l m m m y x mm (.a) m m m z y x n m n n n z y x l n n n y x nm n n n z y x n n Po wykonaniu mnożeń maierzy po lewej tronie równania (.), a natępnie przyrównaniu do iebie elementów (, ) po obu tronah równania, otrzymuje ię zależność na w potai m n l n (.) Po przyrównaniu odpowiednih elementów (, ) i (, ) po obu tronah równania (.) otrzymuje ię układ równań względem 5 i m n l n (.5) 5 5 n n

61 Podobnie, po przyrównaniu elementów (, ) i (, ) otrzymuje ię 6 l l l m 5 (.6) 6 m l mm 5 Algorytm rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki można podzielić na bloki: ) wyznazenie wpółrzędnyh środka kiśi, tzn. wektora p r wg wzoru (.6), ) wyznazenie niewiadomyh, i z równań (.6), (.7) i (.8), ) wyznazenie pozotałyh niewiadomyh, 5 i 6 wg wzorów (.)(.6). Przykład.. Dany jet manipulator PUMA 56 o ześiu połązeniah obrotowyh, któryh wzajemne uytuowanie określają natępująe wymiary (ry..) i = /,, /, /, /, l i =, l,,,, i =,,,,, 6 Zadanie odwrotne kinematyki formułowano natępująo: dane ą pozyja i orientaja złonu robozego, tzn. wektor p = [p x p y p z ] T oraz werory m = =[m x m y m z ] T i n = [n x n y n z ] T. Należy wyznazyć wartośi zmiennyh i (i =,,..., 6). Ry... Shemat kontrukyjny manipulatora o 6 połązeniah obrotowyh (PUMA Unimation), zwymiarowany za pomoą wpółrzędnyh D-H: = /,, /, /, /, ; =,,,,, ; =,,,,,. (Źródło: Knapzyk, 99) Uwzględniają powyżze dane wg (.7a), otrzymuje ię 6

62 6 B, p B, l l p B, p (.7) B, p B, p B, 6 6 p Stąd wyznaza ię, B B B B (.8) Ze wzoru (.8) otrzymuje ię l l l p (.9) Dla rozważanego manipulatora p w = 6, zatem wg wzoru (.6) będzie 6 x x l p n 6 y y l p n (.) 6 z z l p n Jeśli pierwze równanie układu (.) pomnożyć przez, drugie przez ( ), a natępnie dodać tronami, to otrzyma ię równanie typu (.5a) 6 6 x x y y p n p n

63 Stąd wg wzoru (.5a) będzie gdzie B A B D ar tg A D A = py 6ny ; B = p n x 6 x ; D = (.) (.) Jeśli pierwze równanie układu (.) pomnoży ię przez, drugie przez, to równanie wynikająe z umowania tron otrzymanyh równań oraz dołązone trzeie równanie dają natępująy układ równań prx p prz l ry l (.) Po podnieieniu do kwadratu równania (.) i dodaniu tronami otrzymuje ię równanie typu (.5a) gdzie: A + B = D A = p rz B = p rx + p ry D = Stąd wg wzoru (.5a) B p l /l rz (.a) = ar tg A A B D B D (.5) Po wyznazeniu można wróić do układu (.) i rozwiązać go względem umy ( + ). W ten poób otrzymuje ię artg B l ) / ( prz l (.6) Pozotałe niewiadome, 5 i 6 można wyznazyć wg proedury określonej poprzednio (patrz równania (.)(.6)). Z równania (.) otrzymuje ię natępująe rozwiązanie Atan nm, nl (.7) Z zależnośi (.5) i (.6) otrzymuje ię 5 Atan nl nm, nn (.8) Atan l l l m, m l m m (.9) 6 6

64 Na podtawie przedtawionego algorytmu opraowano program oblizeń komputerowyh, który może być wykorzytany do programowania ruhu manipulatora wg zadanej trajektorii, tzn. pozyji i orientaji złonu robozego jako funkji zau. Program ten może być również wykorzytany do wyznazenia grani przetrzeni robozej i manipulayjnej. W tym elu rozwiązuje ię zadanie odwrotne dla kolejnyh punktów trajektorii. Brak rozwiązania oznaza, że trajektoria przekrozyła granie tej przetrzeni. Metodą połowienia przedziałów między otatnimi punktami trajektorii można wyznazyć z potrzebną dokładnośią wartośi wpółrzędnyh punktów graniznyh. Przykład lizbowy. Dla manipulatora PUMA 56, rozważanego poprzednio, przyjęto natępująe wymiary: l =,, =,95, =,, 6 = =,56. Ponadto przyjęto dopuzzalne przedziały wartośi zmiennyh ( i,max, i,min ): ( 6, +6), ( 5, +5), ( 5, +5), (, +7), 5 (, +), 6 ( 66, +66) Pozyję i orientaję złonu robozego zadano w potai maierzy T 6,6,789,6,,669, 56,6,,79, 9,55,5 W pierwzym kroku rozwiązania oblizono wpółrzędne punktu końa ramienia wg wzoru (.6). Otrzymano: p rx =,6, p ry =,5, p rz =,7 Z kolei wg wzoru (.) oblizono 5,6, 59 Do dalzyh oblizeń wzięto =,576. Natępnie wg wzoru (.a) oblizono: A =,7, B =,8, D =,86. Na podtawie wzoru (.5) otrzymano 7,9 7,59 Do dalzyh oblizeń przyjęto =,7. Natępnie wg wzoru (.6) oblizono,9 Według wzoru (.a) oblizono elementy maierzy l l m l n l,,587,8 l m m m n m,65,687,56 l n m n n n,7576,596,67 6

65 W końu wg wzorów (.7)(.9) dla jednej konfiguraji oblizono Atan,56,,8 9,5 W podobny poób dla drugiej konfiguraji otrzymano Atan,56,,8 9,5 Ponieważ pierwza z otrzymanyh wartośi leży poza dopuzzalnym przedziałem, dlatego do dalzyh oblizeń przyjęto = 9,5. Natępnie oblizono: 5 Atan,8o 9,5,56in 9,5 ;,67 68,58 Atan,,65 ;,587,687 5,6 o 6 Podtawiają otrzymane wartośi, 5 i 6 do równania (.), prawdzono, że zotały poprawnie oblizone. Przykład.. Rozwiązać zadanie odwrotne kinematyki dla manipulatora typu PUMA, lez o wymiarah różniąyh ię od podanyh w przykładzie.. Przyjęto wymiary: i = /,, /, /, /, l i =, l, l,,, i =,,,,, W elu rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki wykorzytano równania (.7)(.), które w rozważanym przypadku będą natępująe n x n y n z p x p y p z l l (.) l l l l pn l l l p l l l l 5 5 Z ośmiu równań (.) tylko pięć jet niezależnyh, ponieważ trzeie równanie jet zależne od pierwzyh dwóh, a otatnie dwa równania ą zależne od poprzednih. Z równań na p x i p y można wyznazyć artg ( p p p ) / ( p ) (.) x x y y Z otatnih dwóh równań (.) można wyznazyć artg ( A A B D ) / ( B D ) (.) 65 5

66 gdzie: A =, B = l, Natępnie z równania na p z wyznaza ię gdzie: D p l l l artg ( A A B D ) / ( B D ) (.) A = l + l + B = l D = p z W natępnym kroku wyznaza ię i 5 z zależnośi na n x, n y i n z, które przekztała ię do potai 5 5 nx nz n n 5 5 y 66 z (.) Ten układ równań liniowyh można rozwiązać względem ilozynów: ( 5 ) i ( 5 ). Gdy 5, wówza ą dwa rozwiązania na : Atan 5, 5 lub Atan 5, 5 (.5) Natomiat, gdy 5 =, wówza oie z i z 5 leżą w jednej linii i manipulator trai jeden topień wobody. Po wyznazeniu pierwze dwa równania na n x i n y tanowią układ równań liniowyh względem niewiadomyh 5 i 5. Otatnią z niewiadomyh 6 wyznaza ię z równań (.), dotyząyh l z m z. Taka proedura rozwiązania daje oiem rozwiązań, które powinny być prawdzone ze względu na ogranizenia zakreów zmiennyh konfigurayjnyh. Niezmienność ilozynów kalarnyh przy obrotah układów odnieienia pozwala na uniknięie mnożenia wzytkih maierzy przekztałeń. To uprozzenie proedury daje lepzy wgląd w amą itotę zadania odwrotnego kinematyki i umożliwia redukję złożonego układu równań do ztereh równań o ztereh niewiadomyh. Przykład.. Manipulator o równoległyh oiah połązeń obrotowyh i oraz wzajemnie protopadłyh oiah, i 5 przedtawiono na ry... Przyjęto natępująe wymiary: i = /,,, /, /, l i =, l, l, l,, i =,,,,, Maierze A i przy uwzględnieniu wymiarów tego manipulatora przyjmują potaie

67 67 j j j j j A dla j =, 5 k k k k k k k k k l l A dla k =,, A Najpierw można rozwiązać równanie maierzowe 6, 6 T T A (.6) gdzie , l l l l l l T 6 p p n n m m l l p n m l p p n n m m l l y x y x y x y x z z z z y x y x y x y x T A przy zym = o( + + ), = o( + ), = o itp. Ry... Shemat manipulatora typu PUMA. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999)

68 Po porównaniu elementów (, ) po obu tronah równania (.6) otrzymuje ię równanie p x p y = (.7) którego rozwiązanie względem można przedtawić w potai artg ( px px py ) / ( py) (.8) Przyrównują element (, ), (, ) i (, ) po obu tronah równania (.6) otrzymano 5 6 = l x l y 5 6 = m x m y (.9) 5 = n x n y Rozwiązanie układu (.9) względem 6 można zapiać w potai 6 Atan mx my, y l l Rozwiązanie względem 5 jet natępująe l m l m 5 Atan x 6 x 6 y 6 y 6, x n n x y (.5) (.5) Po przyrównaniu odpowiednio pierwzyh trzeh elementów drugiego wierza maierzy po obu tronah równania (.6) otrzymuje ię układ równań względem niewiadomyh i, którego rozwiązanie będzie = m z n z 5 + l z 5 6 (.5) = l z 6 m z 6 Kolejną niewiadomą można wyznazyć z równania (.6), przyrównują odpowiednie elementy (,) i (,). W ten poób otrzymuje ię układ równań Oznazają p x + p y = l + l + l p z = l + l + l (.5) p x = p x + p y l (.5) p y = p z l rozwiązanie można otrzymać w potai gdzie Atan, (.55) oraz l l px py l l (.56) 68

69 l l p l l p Atan l px y, Atan, (.57) Przykład.. Dla manipulatora typu tanfordzkiego (ry..) przyjęto natępująe wymiary: i = /, /,, /, /, l i =,,,,, i =,,,,, gdzie jet zmiennym przeunięiem, a jet tałą. W wyniku mnożenia odpowiednih maierzy przekztałeń otrzymuje ię T 6, x l l l m m n n p p l m n p x y x y x y x y z z z z A T 6 (.58) lx ly mx my nx ny px py Po porównaniu elementów (,) obu maierzy otrzymuje ię równanie p x + p y = (.59) p y Ry... Manipulator tanfordzki. Stąd artg ( p p p ) / ( p ) x x y y Z porównania odpowiednih elementów (, ) i (, ) wynikają równania = p x + p y = p z (.6) 69

70 7 Stąd [ ) / ( ] y x z artg p p p x y z p p p Po przyrównaniu kolejnyh elementów trzeiej kolumny z obu maierzy otrzymuje ię układ, którego rozwiązanie względem i 5 jet w potai {( ) /[( ) ]} x y x y z artg n n n n n (.6) } ) ( ), ( ] ) ( [ Atan{ 5 n n n n n n n n z y x y x y x (.6) Po przyrównaniu elementów (, ) i (, ) z obu maierzy otrzymuje ię układ równań liniowyh względem 6 i 6. Stąd ] ) ( ) (, ) ( ) Atan[( m m l l m m l l y x y x y x y x (.6) Przykład.5. Dla robota SCARA, o pionowyh oiah trzeh pierwzyh połązeń obrotowyh i zwartego przeuwnego, przyjęto natępująe wymiary: i =,,, /, /, l i = l, l,,,, i =,,,,, Rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki za pomoą metody maierzowej dla pierwzyh trzeh niewiadomyh, i otrzymano z równania (.) x y x y p l p p p p l p l, ) ( Atan (.6) l l p p p y x, Atan l p p p p y x x y (.65) = p z (.66) Pozotałe trzy niewiadome, 5 i 6 otrzymuje ię jako rozwiązanie równania A A A T A A A (.67) którego zęść dotyząą orientaji można zapiać natępująo

71 a) b) Ry... Manipulator typu SCARA, którego ramię ma trzy połązenia obrotowe (,, ) i połązenie przeuwne ( ) o pionowyh oiah: a) hemat kinematyzny, b) hemat kontrukyjny, zwymiarowany za pomoą wpółrzędnyh D-H: i =,, ; l i = l, l, ; i =,,. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) l x m x n x l m n y y y l z m z n z Stąd y x Atan n, n (.68) 5 y x z Atan n n, n (.69) 6 z 5 y x 5 y x Atan m m m, m m (.7) Przykład.6. Wymiary manipulatora robota IRb-6 ą natępująe: i = /,,, /, l i =,,,8,,8,, i =,,,,, 7

72 Ry..5. Robot IRb-6: a) hemat kontrukyjny manipulatora; b) hemat kinematyzny napędów śrubowyh; O n oś obrotu drugiego napędu, O n trzeiego napędu. (Źródło: Knapzyk, 99) Uwzględniają powyżze dane w maierzah A i, otrzymuje ię l l A, l l A, A Elementy maierzy T 6,5 = A A A A A 5 ą natępująe: l x = 5 t + 5, A A 7 l l

73 m x = 5 5 t, n x = t l y = 5 t 5, m y = 5 t 5, n y = t l z = 5 t, m z = 5 t, n z = t p x = [l + l +l ( + ) 5 t ] (.7) p y = [l + l +l ( + ) 5 t ] p z = [l +l ( + ) + 5 t ] gdzie t = + +. Mają dane elementy maierzy T 5,, można wyznazyć wartośi kątów i wg natępująyh wzorów: artg n n, y x artg m l 5 z z artg l m n t z z z A A B C artg, B C gdzie: A = 5 n z p z (.7) B p n l, x 5 x C A B l l l artg A l, B l t Przykład lizbowy. Dla robota IRb-6 zadano maierz położenia złonu robozego T 5,,98,,76,757,,986,89,999,76,8,96,695 Należy wyznazyć wartośi kątów i (i =,,,, 5). Według wzorów (.7) otrzymano 7

74 artg,999,89 88, 5 artg,986,76 8, artg,7,988,8 7,9 lub 5,6 przy zym: A =,7, B =,796, C =,689 t artg,76,986,76 89,7 artg,7,8in 5,6,796,8o5,6,997 =, ,6 = 6,9 = 89,7 +,997 = 85, lub 9, Biorą pod uwagę ogranizenia zakreów zmiennyh, można zaakeptować tylko natępująe rozwiązanie: i = 88,, 5,6, 6,9, 85,, 8, Według przedtawionego algorytmu opraowano program oblizeń komputerowyh wartośi kątów i (i =,..., 6), który wykorzytano do planowania trajektorii protoliniowej między punktami P (,5;,7;,7) i P k (,5;,;,7) dla utalonej orientaji złonu robozego n (,767;,57;,768) i m (,768;,6; ). Zadanie planowania trajektorii manipulatora Zbiór przebiegów zaowyh położeń, prędkośi i przyśpiezeń pewnego punktu lub złonu robozego manipulatora nazywa ię trajektorią punktu lub złonu opianą we wpółrzędnyh kartezjańkih. Natomiat zbiór odpowiednih przebiegów zaowyh przemiezzeń, prędkośi i przyśpiezeń względnyh złonów w połązeniah ruhowyh złonów nazywa ię trajektorią we wpółrzędnyh konfigurayjnyh. Zadanie wyznazania takiego zbioru nazywa ię planowaniem trajektorii. Planowanie trajektorii manipulatora we wpółrzędnyh konfigurayjnyh polega na oblizeniu przebiegów zaowyh przemiezzeń, prędkośi i przyśpiezeń w połązeniah ruhowyh, które pełniają warunki zadania, np. przemiezzenie obiektu z położenia pozątkowego w końowe. Planowanie trajektorii dla takiego zadania rozpozyna ię od rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla danyh położeń złonu robozego (pozątkowego i końowego). Spośród kilku możliwyh rozwiązań wybiera ię takie, które pełnia dodatkowe warunki, np. najkrótzy za 7

75 ruhu, najmniejze wartośi ektremalne przyśpiezeń, minimum zużyia energii, omijanie położeń oobliwyh itp. W najprotzym zadaniu planowania ruhu manipulatora, dotyząym operaji wziąć i położyć (ang. pik-and-plae) dane ą dwa położenia złonu robozego, tzn. pozątkowe i końowe, a trzeba wyznazyć trajektorię między tymi położeniami. Dla manipulatora o n topniah wobody wyznaza ię wpółrzędne konfigurayjne: q ip, q ik, dla i =,..., n, przy zym indeky p i k oznazają konfiguraję pozątkową i końową. Wytępuje kilka rozwiązań, ponieważ dla każdego położenia złonu robozego można wyznazyć kilka konfiguraji manipulatora. Jeśli nie ma dodatkowyh ogranizeń na wartośi q i, to można zatoować algorytm oparty na prioryteie wpółrzędnej konfigurayjnej połązenia ruhowego bliżzego podtawy, ponieważ zmiana tej wpółrzędnej powoduje ruh więkzej lizby złonów manipulatora. Zmiana każdej poprzedniej wpółrzędnej powoduje ruh więkzej may niż zmiana natępnej. Zatem priorytet daje ię takiemu rozwiązaniu, w którym bezwzględna wartość różniy (q k q p ) jet minimalna. Jeśli wartośi tej różniy ą takie ame dla kilku konfiguraji, to wybiera ię tę konfiguraję, dla której q k q p ma wartość minimalną itd. Jeśli zmienne konfigurayjne pełniają ogranizenia typu: q i min q i q i max, wtedy wprowadza ię o najmniej ztery warunki dotyząe tyh zmiennyh w położeniu pozątkowym i końowym: q ( t ) q, q ( t ) q, q ( t ) q ( t ) (.7) i ip ip i ik ik i ip i ik Te ztery warunki mogą być pełnione przez funkje wielomianowe o najmniej trzeiego topnia q() = a + a + a + a (.7) gdzie = t/t k,, unormowana zmienna zaowa. W elu wyznazenia wartośi ztereh niewiadomyh wpółzynników a i na podtawie warunków (.7) zależność (.7) różnizkuje ię względem zau q () = (a + a + a )/t k (.75) Po podtawieniu zależnośi (.7) i (.75) do równań (.7) otrzymuje ię a = q p a + a + a + a = q k (.76) a = a + a + a = Rozwiązanie układu równań (.76) względem niewiadomyh a i jet natępująe a = q p a = 75

76 a = (q k q p ) (.77) a = (q k q p ) Zatem planowana trajektoria we wpółrzędnyh konfigurayjnyh będzie q() = q p + ( )(q k q p ) (.78) Jeśli wymaga ię iągłośi trajektorii aż do drugiej pohodnej, to powinny być pełnione natępująe warunki q() = q p, q(t k ) = q k q () =, q (t k ) = (.79) q () =, q (t k ) = Jeśli wymaga ię iągłośi trajektorii, aż do drugiej pohodnej, to powinny być pełnione natępująe warunki: p,, q q q, q, q t q q( t ), q( t ). k k k k Powyżze ześć warunków może pełnić wielomian 5 topnia q t a a t a t a t a t a t 5 5 Po dwukrotnym zróżnizkowaniu tej zależnośi otrzymamy ( ) / q t a a t a t a t 5a t t 5 k / q t a 6a t a t a t t 5 k a q, a a p a a a5 qk a a 5a 5 6a a a 5 k p, 5 k p, 5 p k p a q, a a, a q q, p k p a 5 q q a 6 q q q t q t 5t 6t q q Planowanie trajektorii za pomoą funkji klejanej z wielomianów Wprowadza ię zmienną unormowaną zau na podtawie wzoru t t t t t i i i, t t, i t i t i za rzezywity ukońzenia i tego odinka trajektorii, (t i t i ) przedział zau rzezywitego na przejśie i tego odinka trajektorii. 76

77 Kolejne odinki trajektorii opiuje ię w potai wielomianów -- q a a t a t a t a t q a a t a t a t q a a t a t a t a t gdzie: indek i przy zmiennej konfigurayjnej q i oznaza numer odinka trajektorii, natomiat indeky przy wpółzynnikah a ij oznazają: i numer odinka, j numer wpółzynnika. Zatem prędkośi i przypiezenia na kolejnyh odinkah trajektorii zapiuje ię w potai wielomianowyh funkji zmiennej, q a a a a t r q a 6a a t r q a a a t b q 6a a t b q a a a a t w q a 6a a t w Warunki brzegowe nakładane na funkje przemiezzeń, prędkośi i przypiezeń dla punktu pozątkowego (t = t p ) i końowego (t = t k ), dotarzają ześiu równań Przykład lizbowy. Planowanie trajektorii manipulatora typu PUMA 56. Przyjęto wymiary i zakrey przemiezzeń kątowyh w połązeniah obrotowyh. Położenia pozątkowe i końowe hwytaka ą dane w potai maierzy i Przyjęto za ruhu t =. Oblizono przebiegi wartośi przemiezzeń, prędkośi i przypiezeń, przyjmują, że zay odinków rozbiegu, przejśiowego i wybiegu ą równe, natomiat zakrey przemiezzeń w tyh przedziałah mają proporje ::, tzn. t r = t b = t w =, qp qp qk qk Tab.. Wymiary D-H i zakrey przemiezzeń kątowyh w połązeniah obrotowyh. l i [m] i [m] i ( i min, i max ) 9 ( 6 o, 6 o ),,5 ( 5 o, 5 o ) 9 ( 5 o, 5 o ), 9 ( o, o ) 9 ( o, o ), ( 6 o, 6 o ) 77

78 Położenia pozątkowe i końowe złonu robozego ą dane w potai maierzy T T 6, p 6, k, 7, 979, 96, 566, 789, 57, 59, 5, 6, 7, 78, 668, 7, 979, 96,, 789, 57, 59,, 6, 7, 78, Tab.. Wyniki oblizeń numeryznyh. I 5 6 [] [] 75, 8, 9,88,5 69,,9 [rad/],9,9,78,5,8,58 [rad/ ],589,68,77,8,,87 Dla pierwzego połązenia obrotowego w kolejnyh przedziałah ruhu otrzymano przemiezzenia kątowe jako funkje zau unormowanego w potai,,,,,,,, q 56 5 q 5 56 q q ij q ij q i t [] Ry..6. Przebiegi zaowe przemiezzeń, prędkośi i przypiezeń w przegubah manipulatora typu PUMA 56 (przykład). (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) 78

79 5. Przetrzeń roboza, wkaźniki i oiągi funkjonalne manipulatorów 5. Wprowadzenie Roboty przemyłowe ą powzehnie toowane do wykonywania zadań, takih jak: zgrzewanie, pawanie, malowanie lub montaż. Bez względu na różnorodność zatoowań w przemyśle roboty mają wiele wpólnyh właśiwośi geometryznyh. Parametry geometryzne i kontrukyjne robota przemyłowego zazwyzaj wynikają z warunków optymalnego kompromiu między zwartośią i ztywnośią przy zahowaniu makymalnej objętośi oiąganej przetrzeni robozej. Manipulatory zeregowe mają lizbę par kinematyznyh równą lizbie topni wobody. Więkzość manipulatorów jet zaprojektowanyh tak, że otatnie n pary obrotowe łańuha kinematyznego, orientująe złon robozy, mają oie przeinająe ię w jednym punkie nazywanym środkiem kiśi. Pierwze trzy pary kinematyzne określają pozyję środka kiśi. Dlatego rozróżnia ię dwie zęśi truktury manipulatora: trukturę pozyjonowania zwaną regionalną (ramieniem) oraz trukturę orientowania zwaną lokalną (kiśią). Struktura pozyjonowania jet prawie zawze bardzo uprozzona. Kąty kośnośi oi połązeń ruhowyh ą równe lub ± /, a wiele długośi złonów lub odunięć równa ię zeru. Manipulatory ą zazwyzaj kontruowane z ogranizeniami ruhów w połązeniah ruhowyh. Nieogranizony ruh w parah przeuwnyh lub śrubowyh nie jet możliwy do zrealizowania. Zakrey przemiezzeń i uytuowanie ogranizeń względem położenia zerowego ma wpływ na kztałt i wielkość przetrzeni robozej oraz lizbę możliwyh konfiguraji. Struktura pozyjonowania robota określa kztałt przetrzeni robozej i jej objętość. Można wykazać, że dla manipulatora z ześioma parami obrotowymi objętość przetrzeni robozej jet makymalna, gdy oie pierwzyh dwóh par obrotowyh przeinają ię pod kątem protym, a oś trzeiej pary obrotowej jet równoległa do oi drugiej pary obrotowej. Struktura orientowania określa zdolnośi utalenia lub zmiany orientaji złonu robozego. Jak wykazano, optymalną zdolność orientowania uzykuje ię wówza, gdy oie otatnih trzeh par obrotowyh przeinają ię kolejno pod kątem protym, przy zym pary obrotowe i 6 powinny mieć możliwość obrotu o najmniej o, a para obrotowa 5 o najmniej o. Jeżeli oie trzeh par obrotowyh ą ortogonalne i przeinają ię w jednym punkie, to ą one równoważne przegubowi kulitemu. Zatem idealna truktura manipulatora może być typu: R S (R para obrotowa, S para kulita lub P S (P para przeuwna). 79

80 Oiągalna (ałkowita) przetrzeń roboza jet to mieje geometryzne punktów złonu robozego (np. środka hwytaka, wierzhołka narzędzia lub środka kiśi) oiąganyh przy pełnym wykorzytaniu zakreów ruhów we wzytkih parah kinematyznyh. Ponieważ nie do wzytkih miej w przetrzeni robozej można podejść z dowolnego kierunku, dlatego wydziela ię tę zęść przetrzeni, w której złon robozy może przyjąć dowolną orientaję i określa ją jako przetrzeń manipulayjną. W pozotałej zęśi przetrzeni robozej orientaja złonu jet ogranizona. Zadania, jakie może wykonywać manipulator, ą zależne od jego kontrukji i ogólnyh wkaźników, takih jak np. udźwig, zybkobieżność, wymiary przetrzeni robozej, dokładność i powtarzalność. W pewnyh zatoowaniah bierze ię pod uwagę wymiary manipulatora, zużyie moy i kozt. Zdolność udźwigu manipulatora zależy od wymiarów kontrukyjnyh złonów, momentów napędowyh ilników. Zdolność udźwigu jet zależna od mieja przetrzeni robozej, konfiguraji manipulatora oraz ił bezwładnośi. Rozróżnia ię makymalną prędkość złonu robozego i ałkowity za yklu pozzególnego zadania. Częto fazy przyśpiezania i opóźniania trwają przez więkzą zęść yklu i dlatego zdolność przyśpiezania może być ważniejza od makymalnej prędkośi. 5. Analiza przetrzeni robozej manipulatora Można wykazać, że przetrzeń roboza manipulatora dzieli ię na oddzielne podprzetrzenie, w któryh złon robozy może przyjąć zadawaną pozyję i orientaję w pewnej konfiguraji. Na graniy tyh podprzetrzeni jet możliwa zmiana konfiguraji. Granie przetrzeni robozej n-złonowego robota jet trudno opiać przez ogólne równania przemiezzeń. Łatwiej jet to zrobić za pomoą przekrojów tej przetrzeni i wyznazenia graniznego konturu na zadanej płazzyźnie przekroju. Obraają lub przeuwają tę płazzyznę, otrzymuje ię trójwymiarową przetrzeń robozą. Manipulatory ą zazwyzaj kontruowane z ogranizeniami ruhów w połązeniah ruhowyh. Ogranizenia te wynikają z rozwiązań kontrukyjnyh napędów mehaniznyh, hydrauliznyh lub elektryznyh. W pewnyh przypadkah wymaganą przetrzeń robozą i lizbę konfiguraji można uzykać bez konieznośi pełnego obrotu w każdym połązeniu obrotowym. Natomiat ogranizenia ruhów w parah przeuwnyh lub śrubowyh ą koniezne. Wpływ tyh ogranizeń na kztałt i zaięg przetrzeni robozej oraz lizbę możliwyh konfiguraji powinien być znany przy projektowaniu manipulatora i programowaniu jego ruhu. Można wykazać, że przetrzeń roboza manipulatora dzieli ię na dwie odrębne podprzetrzenie. W każdej z tyh podprzetrzeni złon robozy może oiągnąć zadaną pozyję i orientaję, przy zym w obu podprzetrzeniah lizba możliwyh 8

81 konfiguraji jet taka ama. Na powierzhni graniznej, oddzielająej te podprzetrzenie, wytępuje pokrywanie ię pary konfiguraji. Zatem zmiana konfiguraji może wytąpić tylko na odpowiedniej powierzhni graniznej. Dlatego dla każdej konfiguraji można zdefiniować przetrzeń oiągalną i przetrzeń robozą. Na powierzhni graniznej takiej przetrzeni robozej podana konfiguraja może pokrywać ię z jakąś inną. Przykład 5.. Płaki manipulator dwuzłonowy z parami obrotowymi może oiągać dowolny punkt leżąy w polu robozym, będą w jednej z dwóh możliwyh konfiguraji (ry. 5.). Rozważany jet punkt końowy złonu robozego P(p x, p y ). Krzywą granizną, oddzielająą pola roboze dla obu konfiguraji, otrzymuje ię przyjmują = i = (ry. 5.b i ). Pole roboze dla pierwzej konfiguraji odpowiada zakreowi zmiennej w przedziale (, ), a zmiennej w przedziale (, ). a) konfiguraja konfiguraja b) ) bez ogranizeń konfiguraja z ogranizeniami konfiguraje Ry. 5.. a) Manipulator płaki -złonowy z parami obrotowymi, oiągająy punkt (p x, p y ) w dwóh konfigurajah, b) pole roboze dla konfiguraji bez ogranizeń i z ogranizeniami ruhów w parah obrotowyh (pole zakrekowane), ) pole roboze (pole pray) manipulatora. (Źródło Moreki, Knapzyk 999) 8

82 Jeśli ruh w połązeniah obrotowyh jet ogranizony do przedziałów 75 o 5 o oraz / /, to ogranizenie nałożone na wpływa ymetryznie na pola pray obu konfiguraji. Ogranizenie na można natomiat rozdzielić na dwa oddzielne przedziały. Pierwzy przedział / dotyzy tylko pola robozego manipulatora w konfiguraji pierwzej. Drugi przedział / może wpływać tylko na pole roboze konfiguraji drugiej. Pola roboze dla obu konfiguraji z powyżzymi ogranizeniami pokazano na ry. 5. b, (pole zakrekowane). Pole pray manipulatora otrzymuje ię przez objęie pól robozyh obu konfiguraji (ry. 5.). W elu przedtawienia analityznej metody wyznazania grani przetrzeni robozej rozważmy ogólny przypadek manipulatora o ześiu parah obrotowyh, który można rozdzielić na dwie oddzielne truktury: pozyjonowania i orientaji. Rozdzielenie tyh dwóh truktur jet dopuzzalne tylko wtedy, gdy oie trzeh otatnih par obrotowyh przeinają ię w jednym punkie, zwanym środkiem kiśi. Wyznazenie przetrzeni robozej w przetrzeni kartezjańkiej dla dowolnego manipulatora o ześiu parah obrotowyh jet zadaniem złożonym i praohłonnym. Dlatego zazwyzaj ograniza ię to zadanie do wyznazenia przetrzeni robozej manipulatora o trzeh parah obrotowyh przy założeniu, że truktura pozyjonowania ma ogólne parametry geometryzne. W dalzym iągu będzie pokazane, że równanie zamknięia łańuha kinematyznego takiego manipulatora można zapiać w potai wielomianu zwartego topnia względem jednej zmiennej, np. t = tg i. Wpółzynniki tego wielomianu ą funkjami parametrów wpółrzędnyh D-H i wpółrzędnyh kartezjańkih złonu robozego. Ry. 5.. Manipulator ma 6 par obrotowyh, oie otatnih par przeinają ię w punkie W. Oznazenia: l i, a i, l i wymiary geometryzne złonu i, p r wektor pozyji środka kiśi (punktu W) względem układu podtawy. 8

83 Jak pokazano na ry. 5., pozyję środka kiśi W względem układu podtawy można określić za pomoą wektora p r = [p x p y p z ] T. Rozwiązują zadanie odwrotne pozyjonowania, otrzymuje ię trzy równania względem trzeh zmiennyh i gdzie: A + B = l + l + (A B ) + D = + l (5.) (A B ) + D = + A = p x + p y l B = (p x p y ) + p (5.) D = (p x p y ) + p p = p z przeunięie środka kiśi względem pozątku układu. Dla zadanej pozyji środka kiśi, tzn. dla danyh wpółrzędnyh: p x, p y i p z, rozwiązanie układu (5.) względem, i przedtawia geometryzną konfiguraję truktury pozyjonowania. Aby otrzymać jedno równanie względem, trzeba wyeliminować i. W elu wyrugowania pierwze dwa równania układu (5.) przekztała ię tak, aby po prawyh tronah pozotały tylko funkje, natępnie podnoi ię je do kwadratu i dodaje tronami. Stąd otrzymuje ię gdzie (A + B )l = Q (p x + p y )l D (5.) Q p p p l l l x y Zmienną można wyrugować z trzeiego równania układu (5.) i równania (5.), przekztałają je do potai (A B )l = E (5.) gdzie: (A + B )l = F E = (R D )l F = [Q (p x p y )l D] (5.5) R = + + Po podnieieniu do kwadratu i dodaniu tronami równania (5.) otrzymuje ię wielomian trygonometryzny drugiego rzędu względem gdzie: K +K +K + K +K 5 + K 6 = (5.6) K ( p p ) l ( p l p ) p l x y x y y 8

84 K ( p p ) l ( p l p ) p l K x y y x x px py ( l ) ( px py ) l px pyl K ( pxl py p ) l ( pxl py p ) Q p px R p l K5 ( pyl px p ) l ( pyl px p ) Q p x p R p l 6 ( ) K l p l Q p R p W końu po podtawieniu otrzymuje ię t = tg /, = t/( + t ), = ( t )/( + t ) t + a t + b t + t + d = (5.7) Warto zwróić uwagę na dwa przypadki pejalne, które zęto wytępują w robotah przemyłowyh:. Gdy =, wówza równanie (5.7) przyjmuje potać gdzie: (L t + L t + L ) = (5.8) L = R + p y + (p z ) L = p y L = R p y + (p z ) R = + + Rozwiązanie równania (5.8) L L L L artg L. Gdy l =, wówza równanie (5.7) przyjmuje potać N t + N t + N = (5.) gdzie: N = l p x p y ( p z ) + Q N = (l p y + p x ) N = l p x p y (p z ) + Q Q ( px py p ) ( l l ) ( ) 8

85 Dla dowolnego punktu z przetrzeni robozej pozyjonowania itnieją ztery różne rozwiązania równania (5.7) odpowiadająe zterem różnym konfigurajom manipulatora. Jeśli zadany punkt leży poza przetrzenią robozą, to rozwiązania równania (5.7) będą urojone. Natomiat dla punktu leżąego na graniy będą dwa rozwiązania rzezywite identyzne i dwa urojone. Jeśli rozważymy płaki przekrój przetrzeni robozej płazzyzną równoległą do oi x y układu wpółrzędnyh podtawy, wtedy grania przetrzeni robozej jet krzywą zakreśloną przez środek kiśi, gdy manipulator obraa ię wokół oi pierwzej pary, a złony truktury pozyjonowania ą w konfiguraji krajnej. Położenie przekroju jet określone przez p z i dlatego wytarzą dwa równania, które zawierają p x i p y jako niewiadome wpółrzędne środka kiśi na graniy przetrzeni robozej. Ponieważ wartość jet tutaj dowolna, zatem przyjmuje ię =, a z równania (5.8) otrzymuje ię d = i tąd K + K + K 6 = (5.) gdzie K, K i K 6 ą wpółzynnikami równania (5.6) i ą zależne od p x i p y. Drugie równanie na p x i p y można otrzymać z warunku, że równanie (5.7) ma dwa rzezywite i identyzne rozwiązania przy =. Zatem różnizkują (5.7) względem t i podtawiają do otrzymanego równania =, otrzymuje ię =. Stąd K + K 5 = (5.) Podtawiają = i d = do równania (5.7), otrzymuje ię t (t + at + b) = (5.) Wykre lewej trony równania (5.) jet ymetryzną funkją wokół = i periodyzną w przedziale / < < /. Jeśli pominąć przypadek trywialny, tzn. gdy wzytkie ztery pierwiatki ą równe zeru, wtedy dwa niezerowe pierwiatki ą zepolone i leżą na linii aymptoty = ±p/. Równania (5.) i (5.) tanowią nieliniowy układ równań o dwóh niewiadomyh p x i p y. Wewnętrzną i zewnętrzną granię przekroju przetrzeni robozej płazzyzną równoległą do x y można wyznazyć z zależnośi R, p x py (5.) Zadają nową wartość p, można wyznazyć nowe wartośi p x i p y dla zewnętrznej i wewnętrznej graniy przetrzeni robozej. Powtarzają tę proedurę, a natępnie wykonują obrót wokół oi z, otrzymuje ię trójwymiarowe przedtawienie grani przetrzeni robozej (ry. 5.). Aby uzykać minimum zużyia energii w zaie pray robota, przemiezzenia w parah kinematyznyh truktury pozyjonowania (regionalnej) powinny być możliwe małe. Zatem korzytnie jet, gdy truktura pozyjonowania ma duże 85

86 wymiary, natomiat orientowania małe. Wtedy przetrzeń roboza jet zdominowana przez trukturę pozyjonowania. Ry. 5.. Shemat kontrukyjny manipulatora PUMA 56 oraz jego przetrzeń roboza. Ogranizenia przemiezzeń w połązeniah ruhowyh wynikają z rozwiązań kontrukyjnyh napędów. Wymaganą przetrzeń robozą oraz lizbę konfiguraji można uzykać bez konieznośi pełnego obrotu w każdym połązeniu obrotowym. Ogranizenia ruhów w parah przeuwnyh lub śrubowyh ą koniezne. Wpływ tyh ogranizeń na kztałt i zaięg przetrzeni robozej oraz lizbę możliwyh konfiguraji analizuje ię przy projektowaniu manipulatora i programowaniu jego ruhu. Przetrzeń roboza manipulatora dzieli ię na: przetrzeń oiągalną, gdzie złon robozy może oiągnąć zadaną pozyję, przetrzeń manipulayjną, gdzie oiąga zadaną orientaję. Zależność między objętośią przetrzeni robozej i objętośią ześianu o boku równym łąznej długośi złonów określa wkaźnik objętośi V V kv ont (5.5) n L li i i l i i λ i wymiary długośi złonów i odunięć w parah obrotowyh. Wkaźnik objętośi k V określa efektywność długośi złonów ze względu na oiągalną przetrzeń robozą. Wkaźnik ten może być znormalizowany przez podzielenie go przez makymalną możliwą wartość, tzn. objętość kuli o promieniu L. πl π kv, max, 888 L Na przykład dla manipulatora PUMA 6 wkaźniki te wynozą: k v =,9; k v,norm =,. Natomiat dla manipulatora Cininnati Milaron T: k v =,; k v,norm = 86

87 ,5. Ten drugi ma lepze wykorzytanie długośi złonów. Manipulator kartezjańki ma wkaźnik k V makymalny wówza, gdy wzytkie trzy pary przeuwne mają tę amą długość przedziału ruhu l i i wynoi k V = /9 =,. Dla manipulatora typu SCARA przyjęto wymiary liniowe: l = l = l/ oraz. Przyjęto, że nie wytępują ogranizenia ruhów w połązeniah ruhowyh. Suma długośi złonów manipulatora wynoi L l l l Ponieważ przetrzeń roboza jet ylindrem o promieniu l i wyokośi l V p l Makymalną wartość wkaźnika objętośi k V otrzymuje ię wówza, gdy l/ i wynoi πl π kv, 698 l 9 p Lizbę możliwyh konfiguraji obliza ię wg wzoru: k, gdzie p - lizba przegubów obrotowyh. Położenia oobliwe manipulatora harakteryzuje możliwość zmiany konfiguraji. W położeniah oobliwyh manipulator trai jeden lub więej topni wobody, o może oznazać, że pewne zadania nie mogą być wykonane. W ąiedztwie punktów oobliwyh działania manipulatora nie mogą być dobrze uwarunkowane. Im położenie manipulatora jet bardziej odległe od punktu oobliwego, tym bardziej jet on zdolny do jednotajnego ruhu i wywierania utalonyh ił we wzytkih kierunkah. Położenia oobliwe ą wyznazane jako rozwiązanie równania det J Q (5.6) Wartośi wyznaznika jakobianu dają kryterium oeny manewrowośi manipulatora. T det w J J (5.7) Dla manipulatora nieredundantnego wkaźnik w przyjmuje potać w det J (5.8) Dobre rozwiązanie manipulatora ehuje duża objętość jego przetrzeni robozej wykazująy wyoką wartość w. Proponowane były również inne miary właśiwośi oparte na analizie przypiezeń lub zdolnośi wywierania ił przez złon robozy we wzytkih kierunkah. 87

88 5. Analiza dokładnośi manipulatora W wielu przemyłowyh zatoowaniah robotów, np. przy automatyznym montażu zepołów elektroniznyh, wykorzytuje ię roboty o wyokiej dokładnośi działania. W takim roboie powinny być pełnione pewne warunki: odpowiednie ztywnośi złonów i układów napędowyh oraz odpowiednie dokładnośi układów terowania. Dokładność określa zdolność manipulatora do oiągnięia zaprogramowanego położenia złonu robozego, którego odległość od położenia oiągniętego jet miarą dokładnośi. Powtarzalność jet pojęiem najzęśiej toowanym przy ilośiowej oenie zdolnośi manipulatora do przemiezzania złonu robozego w to amo położenie przy kolejnyh próbah. Odhylenie średnie (lub makymalne) powtarzanyh położeń od położenia zadanego jet miarą powtarzalnośi. Więkzość wpółzenyh robotów przemyłowyh ma powtarzalność znaznie lepzą od dokładnośi. Powtarzalność jet ważna w przypadku nauzania manipulatora przez przemiezzanie do pożądanego położenia za pomoą programatora przenośnego. Natomiat w przypadku programowania ruhu manipulatora metodą off-line dokładność manipulatora taje ię ważniejza, a zatem wytępuje potrzeba analizy odhyleń pozyjonowania i orientaji. Niedokładnośi (odhylenia, błędy) pozyjonowania i orientaji złonu robozego manipulatora ą funkjami położenia i konfiguraji manipulatora, a wynikają z wielu przyzyn, takih jak np. odhyłki wymiarowe wykonania (toleranje), odkztałenia prężyte złonów w układah napędowyh oraz niedokładnośi utawienia zmiennyh konfigurayjnyh. Aktualne wartośi parametrów wpółrzędnyh Denavita-Hartenberga na ogół nie ą równe wartośiom nominalnym. Zazwyzaj wykazują loowe wartośi odhyłek, tzn. l l, a a, q q, i i i i i i przy zym niedokładnośi zujników położenia i wzorowania mogą powodować wytąpienie odhyleń utawienia: Δq i w parah obrotowyh i Δλ w parah przeuwnyh, a toleranje wykonania wytąpienie odhyłek wymiarów: Δa i i Δl i. Jeśli przyjmiemy, że wzytkie odhyłki ą tego amego rzędu, to wektor niedokładnośi orientaji układu odnieienia złonu i względem układu odnieienia złonu i można określić wg wzoru al qn (5.9) i, i i i i i gdzie: l i, m i, n i oznazają werory oi układu odnieienia i. Niedokładność pozyjonowania punktu O i (pozątku układu odnieienia i) względem punktu O i (pozątku układu odnieienia i ) jet zależny od błędów wzytkih parametrów. Zatem 88

89 p l l l n a l l n q l n l (5.) i, i i i i i i i i i i i i i Założono, że wartośi odhyleń utawień zmiennyh konfigurayjnyh i toleranji wymiarów ą małe w porównaniu z wartośiami zmiennyh i wymiarów nominalnyh, zatem niedokładnośi pozyjonowania i orientaji złonu robozego mogą być rozważane jako różnizki zupełne: p p p p Δp Δl Δλ Δα Δθ (5.) l λ α θ δ δ Δδ Δα Δθ (5.) α θ T p px py pz wektor pozyji układu złonu robozego względem podtawy; [ ] T wektor orientaji złonu robozego, x y z l l... l, [... ], [... ] T T T n n n l λ α wektory wymiarów liniowyh i kątowyh złonów manipulatora; Δl i i Δα i odhyłki (toleranje) wymiarów liniowyh i kątowyh; Δq i odhyłka utawienia zmiennej konfigurayjnej w parze obrotowej; Δλ i odhyłka utawienia zmiennej konfigurayjnej w parze przeuwnej. W analizie dokładnośi manipulatora ą rozważane tylko odhyłki utawień ( i i/lub i ), ponieważ rzezywite wartośi wymiarów geometryznyh mogą być zidentyfikowane w wyniku ehowania (kalibraji) i odpowiednio kompenowane. Maierz pohodnyh zątkowyh wektora pozyji p dla manipulatora zawierająego n połązeń obrotowyh ma wymiar n px p p y θ pz px p y pz px n p y n p z n (5.) Małe przyroty wektorów pozyji i orientaji mogą być wyrażone przez maierz jakobianową (5.) gdzie δ JΘ p (5.) 89

90 x x... nx δ y y... ny θ z z... nz J (5.5) p x x... nx θ y y... ny z z... nz przy zym J jet maierzą (6 n), której elementy mogą być wyrażone w układzie złonu robozego. Dla pary obrotowej l m n T T i z z z, i i ly px lx py my px mx py ny px nx py i a dla pary przeuwnej T i, T i i lz mz nz i gdzie indek i u dołu wektorów i i i oznaza, że werory l, m, n i wektor p ą odnieione do układu i. Wektory różnizkowego przeunięia i obrotu złonu robozego odnieione do układu tego złonu ą natępująe: 6 6 Δδ Δ, Δp Δ (5.6) i i i i i i gdzie = [ x y z ] T i p = [p x p y p z ] T oznazają wektory odhyłek pozyjonowania i orientaji. Jeśli wektory i p pomnoży ię przez maierz T 6,, to otrzyma ię te wektory wyrażone w układzie odnieienia podtawy. Wektory (5.6) można ująć w potai maierzy niedokładnośi (błędu) w układzie odnieienia złonu robozego z y px n z x p y y x pz Maierz tę można przekztałić do układu odnieienia podtawy wg wzoru = T n n (5.7) (5.8) W rzezywitośi niedokładnośi te ą zależne od położenia i konfiguraji, a zatem trudno jet przewidzieć wzytkie możliwe niedokładnośi. Zwykle wektor odhyleń zmiennyh konfigurayjnyh określa ię przez górne i dolne granie d g Niedokładnośi pozyjonowania i orientaji ą zatem zawarte w objętośiah pewnyh brył, które nazywa ię bryłami toleranji. Analiza niedokładnośi jet względnie 9

91 prota, jeśli odhyłki ą traktowane jako zmienne zdeterminowane. Jednak przy takim podejśiu otrzymuje ię w wyniku przypadek najgorzy. Bryły toleranji otrzymuje ię, biorą bezwzględne wartośi elementów maierzy jakobianowej i makymalne wartośi bezwzględne odhyłek zmiennyh konfigurayjnyh w równaniu (5.8). Zatem niedokładnośi pozyjonowania i orientaji ą określone przez nierównośi: gdzie: p* p p*, Δ * * p i *, Δ * 6 i i d g i * przy zym i * = max * 6 i i,. Przykład 5.. Dla manipulatora płakiego o dwóh parah obrotowyh maierz jakobianowa przyjmuje potać l l l J l l l Przyjęto wartośi wymiarów: l =,, l =, oraz wartośi zmiennyh konfigurayjnyh : =, = 5. Stąd,77,77 J,77,77 Zgodnie z zależnośią (5.) otrzymana maierz jakobianowa odpowiada obrotowi wektora o kąt 5 w przeiwną tronę do ruhu wkazówek zegara. Pole toleranji V (ry. 5.b), otrzymane w wyniku podejśia determinityznego, pokrywa o T ałkowiie pole V T rozumiane jako przedział ufnośi w podejśiu probabilityznym. Przyjmują mały udział niepokrywania ię, np.,, można otrzymać pole toleranji o V T * znaznie mniejze od V T, o pokazano na ry. 5.. a) b) i i ) Ry. 5.. a) Shemat manipulatora o dwóh parah obrotowyh, b) pole przedziałów zmiennyh konfigurayjnyh przekztałone w pole toleranji pozyjonowania V T, ) pole toleranji pozyjonowania V T zmniejzone do V T * przy normalnym rozkładzie zmiennyh. 9

92 5. Analiza dokładnośi manipulatora pomiarowego Manipulator pomiarowy, jako wpółrzędnośiowe ramię pomiarowe, jet urządzeniem przenośnym, wykorzytywanym w otozeniu produkji, a ponadto do pomiarów wewnątrz obiektów wielkogabarytowyh. Wykazuje zalety, dzięki którym wykazuje potenjalnie zeroki zakre zatoowań w ytemah mobilnej metrologii wpółrzędnośiowej. Wykorzytanie ramion pomiarowyh jako narzędzi mobilnej kontroli dokładnośi pozwala na znazne przypiezenie proeu pomiaru bezpośrednio na tanowiku wytwarzania zy montażu. Wzrot wymagań jakośiowyh w obzarze przemyłu amohodowego, lotnizego zy elektromehaniznego prowadzi do konieznej peyfikaji wymagań wymiarowokztałtowyh i związanej z tym tehnologii pomiarów, tąd zapotrzebowanie na ytemy mobilne takie jak ramiona pomiarowe. Manipulator pomiarowy zwykle ma ześć par obrotowyh: dwie pary obrotowe ramienia, jedna do obrotu wokół oi pionowej, a druga do podnozenia ramienia, trzeia para obrotowa, zwana łokiem, a otatnie dwie lub trzy pary obrotowe tworzą kiść przy złonie robozym manipulatora. W powzehnie toowanyh konfigurajah kiśi wytępują dwie lub trzy pary obrotowe o oiah protopadłyh i przeinająyh ię. Konfiguraja trzeh wzajemnie protopadłyh oi gwarantuje, że złon robozy może oiągnąć dowolną orientaję (przyjmują, że nie ma ogranizeń przemiezzeń kątowyh w parah obrotowyh). Na ryunku 5.5 przedtawiono ramię Sigma. Człony o kztałie tuby wykonane ą z włókna węglowego, o zapewnia tounkowo dużą ztywność i małą podatność na wpływ temperatury. Ramię wypoażone jet we włane zailanie i bezprzewodową komunikaję WIFI. W pozzególnyh przegubah wmontowane ą enkodery kątowe, które zerowane ą przy przejśiu przez pozyje zerowe w trakie uruhamiania i przygotowania ramienia do pomiaru. Jeden z przegubów ma zwiękzoną ztywność. Z przegubem obrotowo-wyhylnym połązona jet głowia pomiarowa wypoażona w trzpień pomiarowy, najzęśiej z końówką kulitą. Podtawowy zetaw końówek pomiarowyh,wykonanyh z rubinu ma średnie 6 i 5mm. W wypoażeniu jet też końówka o promieniu zerowym. Ramię to wykonywane jet o różnyh zakreah pomiarów od,8m do 5,m. 9

93 Ry.5.5. Wpółrzędnośiowe ramię pomiarowe Sigma. Tab. 5. Parametry tehnizne wpółrzędnośiowego ramienia pomiarowego Sigma. Model Zakre pomiarowy [mm] Powtarzalność Tet kuli [mm] Powtarzalność Tet tożka [mm] Dokładność Pomiar długośi [mm] Waga [kg] Rozdzielzość enkodera pierwzej oi [punktów/obrót] Rozdzielzość pozotałyh enkoderów [punktów/obrót]

94 Ry Wymiary gabarytowe ramienia pomiarowego Sigma. Tab. 5. Parametry geometryzne ramienia pomiarowego, zwymiarowanego za pomoą wpółrzędnyh D-H. θ =var θ =var θ =var θ =var θ 5 =var θ 6 =var l = l =68 l =68 l = l 5 = l 6 =mm λ = λ = λ =675 λ = λ 5 =95 λ 6 = mm α =-9 α =-9 α =-9 α =-9 α 5 =9 α 6 = 9

95 Ry Model ramienia pomiarowego z 6 parami obrotowymi zwymiarowany za pomoą wpółrzędnyh D-H. W każdym yklu pray końówka pomiarowa manipulatora jet utawiona w pewnym utalonym punkie P = 6, opianym przez wektor pozyji o wpółrzędnyh nominalnyh p o = [ p x, p y, p z ] T Jednak rzezywite wartośi tyh wpółrzędnyh ą pewnymi funkjami kątów pozyjonowania θ i = θ i +Δθ i, i =,, 6 gdzie θ i - wartośi nominalne kątów pozyjonowania, które w każdym powtarzalnym yklu pray ą realizowane z pewnym małym błędem loowym Δθ i. Niedokładność pozyjonowania punktu pomiarowego może być przedtawiona jako wektor o trzeh wpółrzędnyh,, gdzie oznazaja aktualne wpółrzędne pozyji końówki pomiarowej, 95

96 96 p x, p y, p z wpółrzędne pozyji nominalnej. Jeżeli wartośi Δθ i małyh odhyleń zmiennyh niezależnyh ą znane, to kładowe wektora błędu można oblizyć ze zlinearyzowanyh zależnośi: x x x x x p p p p p y y y y y p p p p p (5.8) z z z z z p p p p p Stąd Δp= x p y p p z Pppppp Wartość Δp można porównać z wartośią podaną przez produenta i wynoząą ±.mm.

97 6. Statyka, ztywność i dynamika manipulatorów 6. Statyka manipulatorów Każde z połązeń ruhowyh manipulatora zazwyzaj ma oddzielny napęd. Siły i momenty napędowe w połązeniah ruhowyh równoważą obiążenia przenozone przez złony mehanizmu manipulatora, gdy na złon robozy (hwytak) oddziałują iła i moment iły oddziaływania otozenia. Zależnośi między iłami i momentami ił wejśiowyh (napędowyh) i wyjśiowyh (działająyh na złon robozy) wykorzytuje ię w układzie terowania. Siły i momenty ił ą wielkośiami wektorowymi, opianymi w określonym układzie wpółrzędnyh. Wektor iły oznazono przez F, natomiat wektor momentu iły M. Wektor iły przyjęto jako działająy w pozątku układu odnieienia złonu. Jeśli dane ą, działająe na złon, para ił i iła przyłożona w pozątku układu wpółrzędnyh, związanego z tym złonem, to można znaleźć równoważną iłę i moment ił, działająe na ten złon, lez opiane w innym układzie wpółrzędnyh, również związanym z tym złonem. W elu rozwiązania takiego zadania korzyta ię z zaady pra przygotowanyh. Rozpatruje ię iłę i moment ił, przyłożone do złonu i wywołująe różnizkowe przemiezzenie, tzw. przygotowane (wirtualne), a zatem wykonująe praę przygotowaną. Ponieważ przemiezzenie jet niekońzenie małe i nie zmienia energii układu mehaniznego, wię uma pra przygotowanyh wzytkih ił działająyh na złon jet równa zeru. Praę przygotowaną, wynikająą z działania iły F, określa ię wg wzoru przy zym W = F T d (6.) F = [F x F y F z M x M y M z ] T d = [d x d y d z x y z ] T (6.a) gdzie d wektor różnizkowego przemiezzenia, złożony z wektorów przeunięia i obrotu. To amo przemiezzenie d j złonu i może być powodowane przez obiążenie F j, tzn. parę ił i iłę, działająą w innym punkie tego złonu, opiane w układzie j, a wykonująe taką amą praę przygotowaną F i T d i = F j T d j (6.) 97

98 Ponieważ przemiezzenie przygotowane d j, opiane w układzie j, jet równoważne przemiezzeniu d i w układzie i, zatem d j = J d i (6.) gdzie J jakobian (maierz Jaobiego) opiująy przekztałenie niekońzenie małego przemiezzenia z układu i do układu j. Po podtawieniu (6.) do (6.) otrzymuje ię F i = J T T T F j lub Fi Fj J (6.) Jeśli orientaję i pozyję układu i względem j opize ię za pomoą maierzy l m n p T i, j (6.5) to zależność (6.), przy uwzględnieniu (6.a), można rozwinąć we wpółrzędnyh M j, x l F p M i i M j, y mf i p M i (6.5a) M F F F j, z j, x nf p M l F i i i j, y mfi (6.5b) j, z nf i Przykład 6.. Dane ą iła i moment ił działająe na złon 6 i opiane w układzie podtawy : F = [ ] T, M = [ ] T, a należy wyznazyć równoważne iłę i moment, wyrażone w układzie złonu 6, przy zym T 6 5 Podtawiają dane wpółrzędne wektorów F i M oraz elementy maierzy T 6, (l = [ ] T, m = [ ] T, n = [ ] T, p = [ 5 ] T ) do wzorów (6.5), otrzymuje ię i j k F p i j 5k, F p +M = [ 5 ] T 5 R o z w i ą z a n i e : M 6 = [ 5 ] T, F 6 = [ ] T 98

99 Rozważmy rozkład ił i momentów ił wywieranyh na pojedynzy złon i łańuha kinematyznego. Na ryunku 6. pokazano iły i momenty ił wywierane na złon i przez złony ąiednie i oraz i+, połązone z nim obrotowo. Siła przyłożona w punkie O i, oznazona jako wektor R i,i, określa iłę oddziaływania złonu i na złon i. Wektor R i,i+ oznaza iłę oddziaływania na złon i+ przez złon i. Siła iężkośi jet przyłożona w środku may S i i równa m i g, gdzie m i maa złonu i, g wektor przyśpiezenia grawitaji. Ry. 6.. Shemat rozkładu ił i momentów ił działająyh na złon i łańuha kinematyznego z połązeniami obrotowymi. Oznazenia: R i,i, M i,i wektory iły i momentu ił oddziaływania na złon i przez złon i. Równanie równowagi ił działająyh na złon i jet natępująe R i,i R i,i+ + m i g =, i =,..., n (6.6) przy zym wzytkie wektory ą wyrażone w układzie odnieienia podtawy. W analogizny poób można formułować równanie równowagi momentów ił względem punktu S i M i,i M i,i+ (p i,i + r Si ) R i,i ( r Si ) R i,i+ = (i =,..., n) (6.7) gdzie: p i,i wektor pozyji punktu O i względem O i (tzn. wektor 99 Oi O i ) wyrażony w układzie podtawy; r Si wektor O isi określająy pozyję punktu S i względem O i, również wyrażony w układzie podtawy. Siły i momenty ił zewnętrznyh, oznazone jako wektory: R n,n+ i M n,n+, ą wywierane na złon robozy n przez otozenie oznazone jako dodatkowy złon n+. Równania (6.6) i (6.7) można zapiać dla wzytkih złonów, zatem łązna lizba równań wektorowyh wynoi n, podza gdy lizba wprowadzonyh

100 wektorów ił i momentów ił wynoi (n+). Aby układ równań (6.6) i (6.7) był rozwiązalny, dwa z tyh wektorów muzą być dane. Mogą to być iła i moment ił wywierane na złon robozy przez otozenie. Przyjmują, że tarie jet pomijalnie małe, wyznazono iły i momenty napędowe w połązeniah ruhowyh. W połązeniu przeuwnym i iła napędowa wynoi f i = e i T R i,i (6.8) gdzie e i weror oi przeunięia. Równanie (6.8) wkazuje, że iła napędowa jet kładową iły R i,i o kierunku oi przeunięia, natomiat pozotałe kładowe ą przenozone przez kontrukję połązenia przeuwnego i ą iłami wewnętrznymi, które nie wykonują pray. W połązeniu obrotowym moment napędowy wynoi f i = e i T M i-,i (6.9) Pozotałe kładowe M i-,i ą przenozone przez kontrukję połązenia obrotowego. Wzytkie iły i momenty napędowe można ująć razem i zapiać w potai wektora n-wymiarowego f = [ f f... f i f n ] T (6.) Zależność między iłami i momentami napędowymi a iłą i momentem ił zewnętrznyh, przyłożonymi do złonu robozego określa ię wg zależnośi f = J T [R n,n+ M n,n+ ] T (6.) gdzie: [R n,n+ M n,n+ ] T wektor iły i momentu ił zewnętrznyh działająyh na złon robozy; J maierz o wymiarah 6n, zwana jakobianem manipulatora, który określa zależność między różnizkowymi przemiezzeniami w połązeniah ruhowyh a różnizkowym przemiezzeniem złonu robozego. Trzeba tutaj zauważyć, że wyznazone iły i momenty napędowe nie uwzględniają ił iężkośi lub innyh ił poza tymi, które ą przyłożone do złonu robozego. Przykład 6.. Na ryunku 6. przedtawiono dwuzłonowy płaki manipulator wywierająy iłę F = [F x F y ] T na pewną powierzhnię. Znaleźć równoważne momenty napędowe f = [ f f ] T, przyjmują, że tarie w przegubah jet pomijalnie małe. Jakobian rozpatrywanego manipulatora jet natępująy l l l J (6.) l l l

101 Ry. 6.. Płaki manipulator dwuzłonowy o połązeniah obrotowyh. Siła F = [ F x F y ] T jet wywierana na powierzhnię, w przypadku działania momentów napędowyh f i f. Podtawiają (6.) do (6.) otrzymuje ię równoważne momenty napędowe y x F F l l l l l l f f (6.) Z równania (6.) wynika, że momenty napędowe ą odnozone do iły i momentu ił działająyh na złon robozy za pomoą maierzy jakobianowej. Zatem tan obiążeń tatyznyh jet śiśle związany ze tanem hwilowego położenia manipulatora. Rząd maierzy jakobianowej określa lizbę wzytkih możliwyh prędkośi generowanyh przez napędy. Siły i momenty napędowe w połązeniah ruhowyh ą wyznazane dla określonego tanu obiążenia złonu robozego. Jednak w pewnyh położeniah manipulatora, tzw. oobliwyh, ałe obiążenie może być przejmowane przez kontrukję. Przykład 6.. Pozyję i orientaję złonu robozego manipulatora tanfordzkiego z przykładu. podano w potai maierzy 6 6 T której odpowiadają natępująe wpółrzędne konfigurayjne =, = /, =, =, 5 = /, 6 = / oraz maierz jakobianowa y F = [ F x F y ] T

102 T 6 q i 6 Należy oblizyć iły i momenty napędowe, równoważąe iłę i moment ił przyłożone do złonu robozego, które dane ą w potai wpółrzędnyh, określonyh w układzie odnieienia tego złonu: F = [ ] T. W elu uzykania rozwiązania wykorzytamy równanie (6.), które w rozważanym przypadku będzie natępująe M 6 M F M M 5 M 6 6. Maierze ztywnośi lub podatnośi manipulatora Obiążenie zewnętrzne złonu robozego powoduje jego odhylenie od pożądanego położenia. Wielkość tego odhylenia zależy od wielkośi przyłożonego obiążenia i ztywnośi manipulatora. Zatem ztywność manipulatora bezpośrednio wpływa na dokładność pozyjonowania. W przypadku terowania iłą tyku złonu robozego z otozeniem, wykorzytuje ię harakterytykę ztywnośi do przężenia zwrotnego układu terowania. Więkzość robotów przemyłowyh ma złony bardzo ztywne. Natomiat ih układy napędowe wykazują znaząe podatnośi ze względu na prężyte odkztałenia krętne wałków napędowyh i przekładni, np. przekładni harmoniznyh, przekładni paowyh, linkowyh itp. Zależność pomiędzy krętnym odkztałeniem prężytym i obiążeniem układu napędowego połązenia obrotowego i można przedtawić w zależnośi o potai zlinearyzowanej (6.) gdzie: ztywność układu napędowego zredukowana do połązenia obrotowego, moment napędowy w połązeniu obrotowym i,

103 q i odkztałenie układu napędowego zredukowane do połązenia ruhowego. Obiążenie zewnętrzne, zapiane w potai m - wektora momentów napędowyh w połązeniah obrotowyh, wywołuje proporjonalne odkztałenia prężyte zapiane jako - wektor odkztałeń krętnyh w układah napędowyh T m M M... M (6.5a) i T Δ q... (6.5b) i (6.5) Zależność p - przyrotu wektora położenia złonu robozego od q - przyrotu wektora zmiennyh konfigurayjnyh można zapiać w potai p = J q (6.6) W przypadku manipulatora o trzeh połązenia obrotowyh zależność (6.6) będzie px px px px py py py p y p z pz pz p z Na podtawie zaady pra przygotowanyh wyprowadza ię zależność (6.7) m J T f z (6.8) gdzie m wektor momentów i ił napędowyh, f z wektor ił i momentów ił zewnętrznyh, działająyh na złon robozy, przy zym m M M... M, i T T f z Fx Fy Fz M x M y M z W przypadku manipulatora o trzeh parah obrotowyh, którego złon robozy jet obiążony tylko iłą zewnętrzną równanie (6.8) przyjmie potać

104 p p x y p z M Fx p p x y pz M F y M Fz p p x y p z (6.9) Uwzględniają zależnośi (6.5), (6.6) i (6.8) otrzymuje ię p = C f z (6.) gdzie C maierz podatnośi manipulatora, zależna od ztywnośi układów napędowyh, jak również od maierzy jakobianowej, w tym położeniu manipulatora, przy zym = (6.) K maierz ztywnośi manipulatora. Maierze ztywnośi i podatnośi manipulatora o trzeh połązeniah obrotowyh Fx Fx F x px py pz Fy Fy F y K ; px py pz Fz Fz Fz px py p z px px p x Fx Fy Fz py py p y C (6.) Fx Fy Fz pz pz pz Fx Fy F z Odkztałenie prężyte manipulatora pod działaniem iły przyłożonej w punkie P px px px p x F x Fy Fz F F F x y z F Fx Fy Fz T p p p p F F F (6.) y y y y x y z Fx Fy Fz p p p p F F F z z z z x y z Fx Fy Fz Wyznazanie maierzy ztywnośi na podtawie pomiarów przemiezzeń złonu robozego pod obiążeniem Poniżej przedtawiono proedurę wyznazenia elementów maierzy ztywnośi manipulatora w wybranyh punktah przetrzeni robozej, na podtawie etymowanyh wpółzynników prężytośi układów napędowyh przegubów obrotowyh.

105 Model elatokinematyzny manipulatora rozpatrzono jako łańuh przetrzenny o trukturze zeregowej, zawierająy ześć złonów ztywnyh, połązonyh przez idealne przeguby obrotowe (bez luzów i elementów odkztałalnyh), które wykazują prężytość krętną, tzn. ih odkztałenia kątowe ą proporjonalne do momentów obrotowyh. Przyjęty model wykorzytano do analizy przemiezzeń złonu robozego pod wpływem obiążenia w tanie quai-tatyznym. Roboty przemyłowe, toowane do wykonywania takih operaji, jak weź połóż, malowanie lub pawanie, wymagają dobrej powtarzalnośi, ale niekonieznie wyokiej dokładnośi pozyji i orientaji (określonej wg ISO98). Jednak w przypadku wykonania wielu operaji obróbki krawaniem, zlifowania, ięia i innyh wymaga ię wyokiej dokładnośi i ztywnośi. Modele elato-kinematyzne manipulatorów ą rozpatrywane w wielu praah, jednak odpowiednie wartośi elementów maierzy ztywnośi ą podane tylko dla nieliznyh robotów, np. dla robota PUMA 56, Kuka KR-, FANUC SF i ARC Matei. Znane ą dwie metody wyznazania maierzy ztywnośi tzw. kartezjańkiej:. Utalenie jako nieruhome (zablokowanie) wzytkih przegubów obrotowyh za wyjątkiem jednego, który obiąża ię momentem obrotowym i mierzy odpowiednie przemiezzenie kątowe w elu wyznazenia wpółzynnika ztywnośi krętnej. Proedurę powtarza ię dla kolejnyh przegubów. Wpółzynniki ztywnośi przegubów wykorzytuje ię do oblizeń maierzy ztywnośi w ałej przetrzeni robozej.. Pomiary przemiezzeń złonu robozego pod działaniem zadanyh obiążeń w warunkah quai tatyznyh i wyznazeniu maierzy ztywnośi w określonym punkie przetrzeni robozej za pomoą interpolaji, przy wykonaniu wielu prób w różnyh konfigurajah. Poniżej przedtawiono proedurę wyznazania maierzy ztywnośi robota FANUC S-F, którego model kinematyzny manipulatora rozpatrywano jako zeregowy łańuh kinematyzny, o ześiu przegubah obrotowyh (ry.6.). Parametry Denavita-Hartenberga podano w tabliy 6.. Maierz jakobianową manipulatora zapiano w potai (66) T J px p y pz x y z i i i i i (6.) i gdzie: p x, p y, p z wpółrzędne punktu złonu robozego; x, y, kątowe złonu robozego względem układu podtawy, i - konfigurayjna przegubu obrotowego i (i =,,..., 6). z - wpółrzędne wpółrzędna 5

106 Ry. 6.. Robot przemyłowy FANUC S-F. Ry. 6.. Model kinematyzny manipulatora 6R robota FANUC. U więkzośi robotów przemyłowyh złony ą bardzo ztywne, natomiat układy napędowe przegubów obrotowyh ą znaznie bardziej podatne, wykazują prężyte odkztałenia krętne. Układ napędowy złonu połązonego obrotowo z poprzednim zawiera przekładnię o wielotopniowej redukji obrotów i wały, które wykazują prężyte odkztałenia krętne proporjonalne do momentów napędowyh. Sztywnośi krętne przekładni, wałów i układów wpomagania można zredukować do środka przegubu, gdzie wprowadza ię zatępzą prężynę krętną. W przypadku małyh odkztałeń przyjmuje ię zależność m (6.5) i k i i gdzie: m - moment kręająy w przegubie i, i 6 - odkztałenie krętne, k i wpółzynnik ztywnośi zatępzej układu napędowego. Zależność wektora momentów napędowyh od wektora obiążeń zewnętrznyh, zgodnie z zaadą pra przygotowanyh określa ię w potai (6.6) gdzie: ; i

107 f wektor obiążenia zewnętrznego, działająego na złon robozy, przy zym kładowe obiążenia ą określone względem układu podtawy. - przemiezzenie złonu robozego (we wpółrzędnyh kartezjańkih) jet proporjonalne do quai-tatyznego obiążenia zewnętrznego = C f = K - f (6.7) gdzie (6.8) = - (6.9) = diag [ k k k 6 ] (6.) = (i =,, 6) C( 66) oznaza maierz podatnośi manipulatora, K (66) - maierz ztywnośi manipulatora, - diagonalna maierz ztywnośi krętnej napędów przegubów, J - maierz jakobianowa, - maierz uzupełniająa maierzy ztywnośi. Maierz ztywnośi manipulatora (6.9) zależy od tałej maierzy oraz od zmiennej maierzy, zależnej od położenia. Wyznazenie maierzy ztywnośi przegubów jet łatwiejze w takim położeniu manipulatora, gdzie maierz K ma elementy pomijalnie małe w porównaniu do elementów maierzy. Wtedy można przyjąć K - θ J T f (6.) Zadanie znaznie uprazza ię przy ogranizeniu do wyznazenia wartośi ztywnośi w pierwzyh trzeh przegubah. Wtedy mierzy ię tylko przemiezzenia liniowe złonu robozego. Przykład lizbowy Podjęto zadanie wyznazenia maierzy ztywnośi manipulatora Fanu S-F, przy uwzględnieniu podatnośi tylko pierwzyh trzeh przegubów, na podtawie wyników pomiarów tylko przemiezzenia liniowego złonu robozego obiążonego pionowym obiążeniem w położeniu oddalonym od oobliwego. Na ry. 6.5 przedtawiono poób obiążenia, a na ry. 6.6 wyniki pomiarów w potai harakterytyki podatnośi. Dla porównania poniżej podano wartośi wpółzynników ztywnośi krętnej przegubów manipulatora robota PUMA 56: k =66,; k =66,5; k =,6; k =,; k 5 =,; k 6 =, [knm/rad] robota Kuka KR-: k =,; k =,; k =,95; k =,6; k 5 =,7; k 6 =,8 [knm/rad] W tabeli 5. zetawiono wartośi parametrów D-H, które uwzględniono przy wyprowadzaniu elementów maierzy podatnośi. C 7

108 Tab. 6. Parametry D-H manipulatora Fanu S-. I l mm mm i i , , i i Ry Spoób obiążenia ramienia robota. 8

109 9 Ry Charakterytyka podatnośi ( - przemiezzenie pionowe złonu robozego robota Fanu S-F pod działaniem Q - iły pionowej), wyznazona wg wyników pomiarów tanowikowyh. Poniżej podano pierwze trzy elementy przekątnej maierzy podatnośi, wpływająe na przemiezzenie liniowe złonu robozego k k l k l l k l l l k

110 k k l k l l k l l l k k k l l k l l l l l k gdzie ) in( ), o(, in, o j i ij j i ij i i i i (6.) Poniżej przedtawiono wyniki analizy maierzy ztywnośi manipulatora robota przemyłowego FANUC S-F. Pomiary wpółrzędnyh punktu harakterytyznego (punktu przyłożenia obiążenia iłą pionową) dały wyniki: P x = 79,85; P y = -75,95; P z = 5, [mm]; = 89, o ; = 6,57 o ; =,7 o Rozwiązują zadanie odwrotne wyznazono odpowiadająe wartośi kątów (tzw. wpółrzędnyh konfigurayjnyh): o o o o o o i, ; 9,6 ;, ;, ; 65, ;,9 8

111 Przyjęto wartośi wpółzynników ztywnośi przegubów jak podane dla manipulatora PUMA 56 i wg podanego wzoru oblizono,8 [ mm N]; k 56,6[ N mm]. Natomiat wartość tego wpółzynnika wyznazona na podtawie wyników pomiarów manipulatora Fanu S-F wynoi,59 [ mm N]; k 69,5[ N / mm]. Można zatem twierdzić, że wpółzynniki ztywnośi pierwzyh trzeh przegubów manipulatora Fanu S-F ą ok. razy mniejze od podanyh dla manipulatora PUMA 56. Przedtawiony model elatokinematyzny manipulatora zeregowego i proedura wyznazania maierzy ztywnośi manipulatora umożliwiają wyznazenie przemiezzeń liniowyh i kątowyh złonu robozego pod działaniem obiążenia (iły i momentu ił) zewnętrznego. Wyznazona maierz ztywnośi kartezjańkiej może być wykorzytana przy planowaniu ruhu rozpatrywanego robota. Sztywność manipulatora określa zętotliwość drgań włanyh (6.) gdzie k ztywność zatępza, m maa zredukowana do punktu harakterytyznego złonu robozego, np. środka hwytaka. Nika zętotliwość to długi za tabilizaji i niekorzytne właśiwośi dynamizne, w tym niką dokładność i powtarzalność. Wykonanie operaji zlifowania powierzhni wymaga dużej ztywnośi. W operajah montażu lub inpekji jet pożądana duża podatność. Rozkład podatnośi manipulatora wyznaza ię wg pomiarów odkztałeń pod obiążeniem tatyznym, a także dynamiznym przy wymuzaniu zmian obiążenia (kokowyh lub harmoniznyh). Robot Unimate B o napędah hydrauliznyh, operująy maą 9 kg ma 6 podatność zredukowaną do końa ramienia κ 6 rad / Nm, o odpowiada zętotliwośi drgań włanyh f =, Hz. Natomiat robot PUMA o napędah elektryznyh, przy obiążeniu maą 5,5 kg wykazuje zętotliwość drgań włanyh f =,5 Hz.

112 6. Dynamika manipulatorów Rozróżnia ię dwa rodzaje zadań dynamiki manipulatorów:. Dana jet trajektoria ruhu manipulatora, np. w potai wpółrzędnyh konfigurayjnyh i ih pohodnyh jako funkje zau, a trzeba wyznazyć f - wektor ił i momentów napędowyh;. Dane ą iły i momenty napędowe, a trzeba wyznazyć ruh manipulatora. Dynamizne właśiwośi manipulatora można określić w potai przemiezzeń w zaie w zależnośi od ił i momentów napędowyh. Zależnośi te opiuje ię za pomoą układu równań różnizkowyh ruhu. W tym elu ą toowane najzęśiej dwie metody: Newtona-Eulera i Lagrange a. Równania Newtona-Eulera opiują dynamikę pozzególnyh złonów. Równania Lagrange a wyprowadza ię z zależnośi energii kinetyznej i potenjalnej manipulatora od jego wpółrzędnyh konfigurayjnyh i ih pohodnyh względem zau. 6.. Rozkład may złonu Dla bryły ztywnej, wykonująej ruh obrotowy wokół tałej oi, touje ię pojęie momentu bezwładnośi. Natomiat dla iała ztywnego, wykonująego ruh kulity, wprowadza ię tenor bezwładnośi, rozumiany jako uogólnienie kalarnego momentu bezwładnośi. Tenor bezwładnośi określa ię zazwyzaj względem układu związanego z iałem i wyraża w potai maierzy o wymiarah gdzie: I xx I xy I xz I I xy I yy I yz (6.) I xz I yz I zz I I xx xy ( y z ) dv, I ( x z ) dv, I ( x y ) dv, V yy xydv, I xzdv, I yzdv V xz V V yz przy zym przyjmuje ię, że iało jet złożone z różnizkowyh elementów o objętośi dv i gętośi. Pozyję każdego elementu określa wektor p = [x y z] T. Elementy I xx, I yy i I zz nazywa ię maowymi momentami bezwładnośi. Każdy z ześiu elementów maierzy tenora bezwładnośi zależy od pozyji i orientaji układu, w którym jet określony. Jeśli układ odnieienia jet tak uytuowany, że momenty dewiaji (I xy, I yz i I xz ) ą równe zeru, to oie układu odnieienia nazywa ię oiami głównymi, a odpowiednie momenty bezwładnośi głównymi momentami bezwładnośi. V zz V

113 Przykład 6.. Znaleźć tenor bezwładnośi dla złonu o kztałie protopadłośianu i jednorodnej gętośi względem układu odnieienia, którego oie x, y i z pokrywają ię odpowiednio z krawędziami o długośi w, l i h. Wpierw wyznazamy I xx xx h l w h l ( ) d d d ( ) d d I y z x y z y z w y z h l hl w h lw m z l wd z ( l h ) gdzie m ałkowita maa iała. Stoują permutaję wyrazów, możemy otrzymać m m I yy ( w h ), I zz ( w l ) Natępnie wyznazamy momenty dewiaji h l w h l w h w l m I xy d d d d d d xy x y z y y z z wl Stoują permutaję wyrazów otrzymujemy I xz m hw, I yz m hl Zatem maierz tenora bezwładnośi dla rozważanego złonu jet natępująa m m m ( l h ) wl hw m m m I wl ( w h ) hl m m m hw hl l w ( ) Tenor bezwładnośi jet funkją pozyji i orientaji układu odnieienia. W elu wyznazenia zmian tenora bezwładnośi, odpowiadająyh przeunięiu układu odnieienia, można korzytać z twierdzenia o oi równoległej, które odnoi tenor bezwładnośi określony względem układu o pozątku w środku may do tenora względem innego układu odnieienia. Jeśli układ {S} jet uytuowany w środku may, a układ {O} jet przeunięty o wektor r S = OS = [x S y S z S ] T, to twierdzenie może być wyrażone wzorami I I m x y, IOxy ISxy m xs ys (6.5) Ozz Szz ( S S ) Pozotałe momenty bezwładnośi oiowe i dewiayjne wyznaza ię przez permutaję indeków x, y i z w zależnośiah (6.5). Twierdzenie to może być zapiane w potai I I m[ p p I p p ] (6.6) T T O S S S S S gdzie I oznaza maierz jednotkową.

114 Przykład 6.5. Znaleźć tenor bezwładnośi dla złonu z przykładu 6., gdy jet on określony względem układu odnieienia o pozątku w środku may, tzn. T [ xs ys zs ] [ w l h] Stoują twierdzenie (6.5), otrzymuje ię T m IOzz ( w l ), I Oxy = Inne elementy można wyznazyć z warunku ymetrii. Wynikowy tenor bezwładnośi, zapiany w układzie odnieienia o pozątku w środku may, jet natępująy I S m h ( l ) m w ( h ) m l ( w ) Ponieważ wynikowa maierz jet diagonalna, wię oie układu {O} ą głównymi oiami bezwładnośi. Pewne dodatkowe wnioki dotyząe tenorów bezwładnośi ą natępująe:. Jeśli dwie oie układu odnieienia leżą w płazzyźnie ymetrii iała, to momenty dewiayjne, z indekami oi protopadłej do płazzyzny ymetrii, ą równe zeru.. Momenty bezwładnośi ą zawze dodatnie, a momenty dewiayjne mogą mieć jeden z dwóh znaków.. Suma trzeh momentów bezwładnośi względem trzeh oi wzajemnie protopadłyh jet niezmiennikiem przy zmianie orientaji układu odnieienia.. Wartośi włane tenora bezwładnośi określają główne momenty bezwładnośi, a związane wektory włane określają oie główne. Więkzość manipulatorów ma złony o tak komplikowanym kztałie, że zatoowanie wzorów (6.)(6.6) jet trudne w praktye. Stąd wynika, że w tyh przypadkah uzaadnione jet doświadzalne wyznazanie momentów bezwładnośi, np. metodą drgań krętnyh. 6.. Równania Newtona-Eulera Jeśli znane ą położenie środka may i tenor bezwładnośi złonu, to rozkład jego may jet w pełni określony. Siła F, działająa w środku may złonu i wywołująa ruh z przyśpiezeniem a S = v S, jet określona przez równanie Newtona

115 F m v (6.7) S Moment ił M, który mui być wywierany na złon, aby wywołać jego ruh obrotowy z przyśpiezeniem kątowym, jet określony przez równanie Eulera M I I (6.8) S S gdzie I S oznaza tenor bezwładnośi złonu, określony w układzie {S} o pozątku w środku may złonu. Mają wyznazone przyśpiezenie środka may oraz prędkość i przyśpiezenie kątowe złonu, określone w układzie tego złonu, można wg równań (6.7) i (6.8) oblizyć iłę i moment ił bezwładnośi. Pozotaje oblizenie ił i momentów napędowyh w połązeniah ruhowyh. Można to uzynić, pizą równania równowagi ił i momentów ił działająyh na każdy wydzielony złon, uzupełnione o iły i momenty ił bezwładnośi. Ponieważ iły i momenty ił bezwładnośi ą określone w układzie związanym z złonem, zatem również iły i momenty ił oddziaływań złonów ąiednih powinny być określone w tym amym układzie. Siłę iężkośi można uwzględnić wprowadzają do równań kinematyki zależność v = g, gdzie g oznaza wektor przyśpiezenia grawitaji, v fikyjne O przyśpiezenie podtawy w kierunku pionowym do góry, które powoduje taki am kutek jak efekt ił iężkośi. W ten poób bez dodatkowyh operaji oblizeniowyh uwzględnia ię efekt iążenia w iłah bezwładnośi złonów. Równania równowagi ił i momentów ił działająyh na złon i zapiane w układzie odnieienia tego złonu będą miały potać O F i = R i,i B i+, R i+,i (6.9) M i = M i,i B i+, M i+,i r Si F i p i+,i B i+,i R i+,i (6.) gdzie: B i+,i maierz obrotu układu i+ względem układu i, r Si wektor pozyji S i (środka may złonu i) względem O i (pozątku układu i), tzn. r Si = O, p i+,i wektor pozyji punktu O i+ (pozątku układu i+) względem punktu O i (pozątku układu i), R i+,i, M i+,i iła i moment ił oddziaływania złonu i+ na złon i. Równania (6.9) i (6.) można przekztałić do potai umożliwiająej ekwenyjne wyznazenie ił i momentów ił oddziaływania, zazynają od złonu n isi R i-,i = B i+, R i+,i +F i (6.) M i,i = B i+, M i+,i + r Si F i + p i+,i B i+,i R i+,i + M i (6.) 5

116 Jeśli na złon robozy n nie działają żadne niepotenjalne iły zewnętrzne, to R n+,n = i M n+,n =. Jeśli natomiat na złon robozy manipulatora działają niezerowe iła R n+,n i moment M n+,n, to do wyznazenia ił i momentów napędowyh można korzytać z zależnośi (6.8) i (6.9). Pełny algorytm oblizania ił i momentów napędowyh manipulatora kłada ię z dwóh zęśi. Wpierw oblizane ą prędkośi i przyśpiezenia złonów poząwzy od złonu aż do złonu n oraz ą oblizane iły i momenty ił bezwładnośi wg równań Newtona-Eulera (6.7) i (6.8). W drugiej zęśi ą oblizane iły i momenty ił oddziaływań złonów wg wzorów (6.) i (6.), poząwzy od złonu n. W końu ą oblizane iły i momenty napędowe. Dla manipulatora z połązeniami obrotowymi algorytm ten przedtawia ię natępująo: B ω e i i, i i i i ω B ω B ω e i i, i i i, i i i i i i v B [ ω p ω ( ω p ) v ] (6.) i i, i i i, i i i i, i i v ω r ω ω r v Si i Si i i Si i F m v i i Si i Si i i Si i M I ω ω I ω, i =,..., 5 f i = M i,i e i (6.) gdzie e i = [ ] T. W pierwzej zęśi algorytmu obliza ię wielkośi kinematyzne, określone w układah odnieienia złonów ruhomyh. Jeśli wielkośi kinematyzne zotały wyznazone dla złonu i a hemy je wprowadzić do zależnośi kinematyznyh złonu i+, to trzeba je pomnożyć przez odpowiednią maierz obrotu B i,i+. W przypadku, gdy złony i i i+ ą połązone przeuwnie, wówza ih prędkośi i przyśpiezenia kątowe ą takie ame. Przykład 6.. Dla manipulatora dwuzłonowego z połązeniami obrotowymi przyjęto, że may złonów ą kupione w ih końah, tzn. S = O, S = O. Tenory bezwładnośi, określone względem środków ma złonów, mają maierze zerowe. Na złon robozy nie działają żadne iły zewnętrzne, tzn. R, =, M, =. Według wzorów (6.) wyznazono: =, ω, v e B i i, i, i i i B 6 i i i i, i i

117 ω e e v g g g v l g l g l g l g S m l m g F ml m g M v v F l g l l g l g l l g l ( ) l l g S l( ) l l g m l l g l( ) l l g l ( ) Natępnie wg wzorów (6.) wyznazono: R, = F M R m, ll ll lg l ( ) ε M l l g l, m l l g l l g m l g 7

118 M m ll ll lg l m l lg, m l ll lg ll lg Wydzielają z wektorów M i,i kładowe z, otrzymuje ię momenty napędowe: f m l m l l m m l m l l m l l m l g m m l g (6.5) f m l l m l l m l g m l ( ) (6.5) Zależnośi (6.5) przedtawiają momenty napędowe w połązeniah obrotowyh w potai funkji przemiezzeń kątowyh (zmiennyh konfigurayjnyh) oraz prędkośi i przyśpiezeń. Częto wygodnie jet przedtawiać równania dynamiki manipulatora w potai jednego równania maierzowego o określonej trukturze, np. f M V(, ) G( ) (6.6) gdzie: M() maierz (nn) bezwładnośi manipulatora, V (, ) wektor (n) ił odśrodkowyh i Coriolia, G() wektor (n) ił iężkośi. Każdy element M() i G() jet złożoną funkją zmiennyh konfigurayjnyh, określająyh położenie manipulatora. Każdy element V (, ) jet funkją zarówno, jak i. Zależnośi (6.5), będąe rozwiązaniem zadania z przykładu 6.6, można zapiać w potai (6.6), przy zym maierz bezwładnośi manipulatora jet złożona z wyrazów, które ą mnożone przez zynnik, i które ą funkjami l m ll m l m m lm ll m M l m ll m lm Maierz bezwładnośi manipulatora jet ymetryzna i dodatnio określona, zatem jet zawze odwraalna. Wektor V (, ) zawiera wzytkie te wyrazy, które zależą od prędkośi mll mll V, mll 8

119 Składowa zależna od i reprezentuje iłę odśrodkową, natomiat kładowa zawierająa ilozyn i j iłę Coriolia. Wektor ił iężkośi, zawierająy przyśpiezenie grawitaji, w rozważanym przypadku ma potać m l g mlg m m lg G ( ) Zauważa ię, że wektor ił iężkośi zależy tylko od położenia manipulatora, określonego przez i, a nie zależy od prędkośi. Równanie (6.6) można zapiać w nieo innej potai f M( ) B( )[ ] C( )[ ] G( ) (6.7) gdzie: B() maierz [n(n )/ ] wpółzynników ił Coriolia, [ ] wektor [n(n )/ ] ilozynów prędkośi: [ ] [... ] T (6.7a) n n C() maierz (nn ) wpółzynników ił odśrodkowyh, [ ] wektor (n) kwadratów prędkośi [ ] [... ] T n (6.7b) Równanie (6.7) nazywa ię równaniem dynamiki manipulatora we wpółrzędnyh konfigurayjnyh. Dla rozważanego manipulatora dwuzłonowego będzie [ ] [ ], m l l B, C [ ] [ ] T mll 9 mll Przykład 6.5. Ramię manipulatora tanfordzkiego, przedtawionego na ry..5, ma trzy złony, dwa połązenia obrotowe i jedno przeuwne. Wymiary złonów podano w przykładzie.. Ponieważ oie układów odnieienia pokrywają ię z oiami ymetrii złonów, zatem r S = [ y S ] T, r S = [ y S ] T, r S = [ z S ] T I k ix i mi kiy kiz gdzie: k ij = I ij /m i ( j = x, y, z ), k ij promień bezwładnośi złonu i. Siłę i moment ił bezwładnośi złonu otrzymuje ię wg wzoru (6.) w potai

120 F z ( ) S m zs ( ) zs ( ) M ( kx zs )( ) kz zs zs ( kx zs )( ) kz zs m zs zs kz ( ) przy zym kładowa F z jet równa ile napędowej w połązeniu przeuwnym, tzn. R,z = F z. Ry Shemat rozkładu ił i momentów działająyh na rozdzielone złony ramienia manipulatora tanfordzkiego. Oznazenia jak na ry. 6.. Moment napędowy w drugim połązeniu obrotowym jet równy kładowej z momentu oddziaływania złonu na złon f M m k m ( k z )( ) k, z z x S z zs zs ( ) Moment napędowy w pierwzym połązeniu obrotowym wynoi

121 f M m k m ( k y ),z z x S m ( k z )( ) k ( ) x S z z z ( ) z S S S Przykład 6.6. Dla ramienia manipulatora PUMA, którego hemat i wymiary przedtawiono w przykładzie., przyjęto lokalne układy odnieienia pokrywająe ię z oiami ymetrii złonów. Rozkład ma opiano za pomoą wpółrzędnyh środków ma pozzególnyh złonów r S = [ y S ] T, r S = [ x S ] T, r S = [ z S ] T k ix I i mi kiy, i =,, k iz Momenty napędowe w pozzególnyh połązeniah napędowyh ą natępująe: f M,z m kz zsl f M m k M m l f, z z,z k z l [ ]} S M, z mk y mk x mk x z z l S l

122 a) b) f i [Nm] t [] Ry a) Shemat manipulatora PUMA 56 z oznazeniami wymiarów i rozkładów ma, b) przebiegi zaowe momentów napędowyh w połązeniah obrotowyh. Przykład lizbowy. Dla ramienia manipulatora PUMA 56, w kład którego whodzą pierwze trzy złony połązone obrotowo, przyjęto natępująy rozkład ma: m = 5 kg, m = 9 kg, m = 57 kg, r S = [ ] T m r S = [, ] T m r S = [,6 ] T m,7,7 I 5.5, I O 5, 9 5,,8

123 , I 57, kgm,75 przy zym w rozkładzie may złonu uwzględniono rozkłady ma pozotałyh złonów, tj., 5, 6 oraz obiektu manipulaji. Mają dane wpółrzędne końa ramienia p r = [,9,6,9 ] T, za pomoą odpowiedniej proedury rozwiązania zadania odwrotnego wyznazono wartośi = 8,, =,75, =, Zmiany wartośi i (i =,, ) w zaie t = opiano wielomianem trzeiego topnia. Wartośi przemiezzeń, prędkośi i przyśpiezeń kątowyh w środku przedziału ruhu, tzn. dla t =, ą natępująe: = 68,6, = 6,59, =,9,87,, 5,8,, 9,87 Według podanyh wyżej wzorów oblizono momenty napędowe f = M, z = -8,5 Nm, f = M, z = 9, Nm, f = M, z = - Nm,

124 7. Napędy i mehanizmy toowane w robotah 7. Wprowadzenie We wpółzenyh robotah toowane ą najzęśiej trzy rodzaje napędów iłowników: pneumatyzne, hydraulizne i elektryzne oraz ih kombinaje. Każdy robot jet wypoażony w układ iłowników rozmiezzonyh odpowiednio na ramionah robota lub w jego połązeniah ruhowyh, tworzą napęd robota. Na ryunku 7. pokazano udział proentowy różnego rodzaju iłowników toowanyh w robotah przemyłowyh. Ze względu na rozwój nowyh odmian ilników elektryznyh, takih jak: krokowe, liniowe, tarzowe oraz tzw. bezpośredniego napędu, udział napędu elektryznego wzrół od,7% w roku 98 do ok. 5% w roku 99. Zmniejzył ię udział napędu pneumatyznego z ok. 5% do %. Napęd hydraulizny jet nadal toowany dla robotów o dużyh udźwigah. a) b) Pneum. % Hydraulizny,% Elektryzny,7% Hydraulizny % Elektryzny 5% Pneumatyzny,9% Ry. 7.. Udział proentowy różnego rodzaju iłowników toowanyh w robotah: a) w roku 98, b) w roku 99. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) 7. Napęd pneumatyzny Napęd pneumatyzny wykorzytuje na ogół prężone powietrze. Zaletą tego typu napędu jet łatwość pozykania powietrza do zailania układu oraz możliwość łązenia układu z atmoferą po zakońzeniu yklu pray. Nikie iśnienie w porównaniu z napędem hydrauliznym zyni ten rodzaj napędu bezpieznym w ekploataji. Napęd pneumatyzny znajduje zatoowanie w małyh protyh robotah typu pik-and-plae. Na przykład firma Leiko wytwarza różne odmiany takih robotów. Firma IRI (ang. Int. Robomotion Intelligene) wytwarza robota

125 o napędzie pneumatyznym typu erwo ze terowaniem komputerowym. Robot ten ma udźwig kg oraz prędkość do,5 m/. Układ pokazany na ry. 7. wykorzytuje głównie energię potenjalną prężytośi powietrza (pneumatyzną) o iśnieniu,,8 MPa. Siłownik liniowy (zaami obrotowy) otrzymuje powietrze z rozdzielaza, który jet terowany z logiznego układu pneumatyznego lub elektryznego 5. Wyłązniki krańowe przeyłają ygnał logizny i natępuje zatrzymanie na zderzakah. W takim układzie wypoażonym na ogół w amortyzator wytępują tylko dwa wyłązniki końowe. Na wielooiowym manipulatorze typu pneumatyznego ( ) można zmienić ykl i okre trwania yklu za pomoą programu, ale zakre ruhu mui być zmieniany ręznie. Omówiony układ jet znaznie mniej elatyzny (od proporjonalnego), ale tounkowo tani. Cylinder Zawór zterodrogowy Wyłąznik krańowy Blokada Sterownik Ry. 7.. Zaada działania układu pneumatyznego typu U-; ylinder, rozdzielaz, wyłąznik krańowy, zderzaki krańowe, 5 logizny układ terująy. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Działanie protego proporjonalnego układu pokazano na ry. 7.. Serem tego układu jet dwutopniowy wzmaniaz. Pierwzy topień zwany jet uderzeniowym wzmaniazem tłokowym. Błąd położenia dźwigni e kontroluje iśnienie p, które z kolei określa położenie y tłoka drugiego topnia wzmaniaza. Drugi topień wzmaniaza, nazwany przekaźnikiem powietrza, zapewnia duży przepływ. Sygnał błędu e zmniejza błąd dźwigni wraz ze zmniejzaniem iśnienia p. W rezultaie tłok przeuwa ię, zmniejzają wypływ powietrza do atmofery i powodują wzrot iśnienia p (iśnienie doprowadzane do układu napędowego). Ta akja zwiękza działanie przężenia miezkowego, zyli przeuwa błąd dźwigni na lewo (z wzrata). Zahodzi to wówza, gdy dźwignia przemiezza ię w lewo, o powoduje zmniejzenie iśnienia (z maleje). Równowagę położeń tłoków i przężenia zapewniają prężyny o tałyh k z i k f, wielkośi A i A ą odpowiednio powierzhniami tłoka i miezka. 5

126 Wzmaniaz pneumatyzny Błąd położenia dźwigni e p A Sprzężenie zwrotne k z Wypływ do atmofery p k f A, p p Próbnik powietrza do układu Ry. 7.. Proporjonalny terownik pneumatyzny. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Sterownik pokazany na ry. 7. różni ię od układu proporjonalnego z ry. 7. dzięki wypoażeniu w dodatkowe elementy. Może to być opja różnizkująa przez wprowadzenie odpowiednih ogranizeń do układu przężenia miezkowego. Sterowanie ałkująe uzykuje ię przez dodanie innego miezka z lewej trony punktu z. Można połązyć te działania w elu otrzymania terownika pneumatyznego typu PID. Każdy ze terowników może być wykorzytany do napędu połązenia przeuwnego. Czterodrożny uwak i tłok/ylinder działają podobnie jak układ hydraulizny. Jet również możliwe napędzanie przegubu obrotowego przez zatoowanie turbinowego ilnika pneumatyznego. Urządzenie to wytwarza moment proporjonalny do iśnienia wyjśiowego terowników p i jet niezależne od prędkośi dźwigni. Sprężone powietrze o wyokim iśnieniu umożliwia zybkie i dokładne ruhy z udziałem mehaniznyh ogranizników do zatrzymania pozzególnyh przegubów. Maa przegubu potępowego z e Sterownik pneumatyzny p Sygnał położenia Wypływ p Wypływ Ry. 7.. Udokonalony iłownik pneumatyzny z ry. 7.. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) 6

127 7.. Siłowniki pneumatyzne liniowe Na ryunkah 7.5 i 7.6 przedtawiono różne rozwiązania iłowników pneumatyznyh o ruhu przeuwnym. Siłowniki o średniy ylindra ponad 5 mm odznazają ię bardziej komplikowaną kontrukją. Są to z reguły iłowniki działania dwutronnego o regulowanym tłumieniu dojśia tłoka do obu krajnyh położeń. Na ryunku 7.6 przedtawiono iłownik działania dwutronnego firmy Herion. Tłok jet wypoażony w pierśień prowadząy i w dwa pierśienie uzzelniająe i. Przy dobiegu tłoka do jednego z położeń tulejki 5 i 6, wpółpraująe z pierśieniami uzzelniająymi 7 i 8 w ylinderkah tłumiąyh, prężają powietrze w danym ylinderku, o wyhamowuje ruh tłoka. Zaworki 9 i łużą do regulaji iły tłumiąej. W korpuie przednim znajdują ię dodatkowo pierśień zgarniająy i pierśień uzzelniająy, wpółpraująe z tłozykiem. Tłozyko jet prowadzone w tuleje 5, z materiału o włanośiah amo-marnyh. Ciśnienie terująe może wynoić,6,6 MPa. Powietrze zailająe iłownik jet filtrowane i nayane mgłą olejową. Oddzielną grupę iłowników pneumatyznyh tanowią wielopołożeniowe iłowniki pneumatyzne. Ry Siłownik pneumatyzny o ruhu potępowym firmy Rexroth Sigma. Ry Siłownik tłokowy dwutronnego działania o regulowanym tłumieniu dojśia tłoka do krajnyh położeń. (Źródło: Moreki, Knapzyk, 999) Wielopołożeniowe iłowniki pneumatyzne przetwarzają yfrowy ygnał pneumatyzny na quai-analogowe przeunięie trzpienia iłownika. Dzielą ię na: 7