wtorek, 13 marca 2012 Wykład 2012 Ewa Gudowska-Nowak, IFUJ, 441a

Transkrypt

1 Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne ważne z punktu widzenia zastosowań; Pojęcie entropii, wyprowadzenie równowagowej fizyki statystycznej; Zastosowania układy nieoddziaływujących cząstek klasycznych i kwantowych; oddziaływania i najprostszy rachunek perturbacyjny; Teoria odpowiedzi, twierdzenie fluktuacyjno-dyssypacyjne Podstawy teorii procesów stochastycznych Zastosowania: opis kinetyki chemicznej, motory molekularne. Wykład 2012 Ewa Gudowska-Nowak, IFUJ, 441a 1

2 Rachunek prawdopodobieństwa: podstawowe definicje i twierdzenia Definicja. Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P), gdzie (a) Ω to pewien niepusty zbiór; (b) F to pewna rodzina podzbiorów zbioru Ω owłasnościach F, jeżeli A F, toa c = Ω \ A F, jeżeli A 1,A 2,... F, to n=1 A n F; (c) P to funkcja, P : F [0, 1], owłasnościach: P (Ω) =1(unormowanie), dla A 1,A 2,... F, paramirozłącznych (tzn. A i A j = dla i = j) P n=1 A n = n=1 P (A n ) (przeliczalna addytywność). Ω zwany jest zbiorem zdarzeń elementarnych lub przestrzenią stanów, F to σ-ciało zdarzeń losowych, afunkcjap zwana jest prawdopodobieństwem. Elementy zbioru Ω nazywamy zdarzeniami elementarnymi i oznaczamy zwykle przez ω. Można je interpretować jako możliwe wyniki pewnego doświadczenia. Stąd nazwa przestrzeń stanów dla Ω. 2

3 Własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji: 1. 0 P (A) 1 dla każdego A F 2. P ( ) =0, P (Ω) =1 3. P (A c )=1 P (A) 4. Jeśli A B, top (A) P (B) 5. P (A B) =P (A)+P (B) P (A B) istąd P (A B) P (A)+P (B) 6. Jeśli A 1,A 2,... to nierosnący ciąg zdarzeń losowych, tzn. A n+1 A n dla każdego n, to P ( A n ) = n lim P (A n ) n=1 7. Jeśli A 1,A 2,... to niemalejący ciąg zdarzeń losowych, tzn. A n A n+1 dla każdego n, to P ( n=1 A n ) = lim n P (A n ) 3

4 Proste przykłady Przykłady przestrzeni probabilistycznych: Trywialna przestrzeń probabilistyczna: Ω = -dowolny,f = {, Ω}, P ( ) =0, P (Ω) =1. Skończona przestrzeń stanów: Ω = {ω 1,...,ω n } -zbiórskończony, F =2 Ω - rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω, każde prawdopodobieństwo P można wtedy skonstruować w następujący sposób: 1. wybieramy liczby p 1,p 2,...,p n spełniające warunki p i 0 dla każdego i = 1, 2,...,n oraz n p i =1, i=1 2. definiujemy P ({ω i }) := p i dla i =1, 2,...,n. Z własności prawdopodobieństwa mamy wtedy dla dowolnego A F P (A) = {i : ω i A} np. dla A = {ω 2, ω 5 } mamy P (A) =P ({ω 2 })+P ({ω 5 })=p 2 + p 5. p i, 4

5 Przypadek szczególny - prawdopodobieństwo klasyczne: p 1 = p 2 =...= p n =1/n. Wtedy P (A) = #A #Ω, gdzie #A oznacza liczność zbioru A. Innymisłowy, P (A) to częstość występowania zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A w zbiorze Ω wszystkich zdarzeń elementarnych. Do określania liczności zbiorów stosujemy kombinatorykę. Podstawowe wzory kombinatoryczne: {i 1,i 2,...,i k } -nieuporządkowana k-tka elementów zbioru n-elementowego (kombinacja). Ilość nieuporządkowanych k-tek bez powtórzeń wynosi n k = n!, k =0, 1,..., n. k!(n k)! Ilość nieuporządkowanych k-tek z powtórzeniami wynosi n + k 1 k, k =0, 1,... (i 1,i 2,...,i k ) -uporządkowana k-tka elementów zbioru n-elementowego (wariacja). Ilość uporządkowanych k-tek bez powtórzeń wynosi n!, k =0, 1,..., n. (n k)! (Uporządkowana n-ka bez powtórzeń zwana jest permutacją,ilość permutacji wynosi n!.) Ilość uporządkowanych k-tek z powtórzeniami wynosi n k, k =0, 1,... 5

6 Przeliczalna przestrzeń stanów: Ω = {ω 1, ω 2,...} -zbiórnieskończony, przeliczalny, F =2 Ω - rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω, każde prawdopodobieństwo P można wtedy skonstruować w następujący sposób: 1. wybieramy ciąg liczbowy p 1,p 2,... spełniający warunki p i 0 dla każdego i =1, 2,..., oraz p i =1, i=1 2. definiujemy P ({ω i }) := p i dla i =1, 2,... Z własności prawdopodobieństwa mamy wtedy dla dowolnego A F P (A) = np. dla A = {ω 3, ω 6,...} mamy P (A) = {i : ω i A} k=1 p i, P ({ω 3k })= k=1 p 3k. Nieprzeliczalna przestrzeń stanów: Ω - zbiór nieskończony, nieprzeliczalny, F 2 Ω,naogół nie są to wszystkie podzbiory zbioru Ω, nie ma prostego przepisu na określenie prawdopodobieństwa P,dużo zależy od postaci zbioru Ω. Szczególny przypadek - prawdopodobieństwo geometryczne: 6

7 staci zbioru Ω. Szczególny przypadek - prawdopodobieństwo geometryczne: Def. Zbiory borelowskie w R (R 2, R 3 )tonajmniejszarodzinapodzbiorówprostej (płaszczyzny, przestrzeni) o własnościach rodziny F, która zawiera przedziały (koła, kule). Ω R- zbiór borelowski np. przedział, F to podzbiory borelowskie zbioru Ω. Definiujemy dla A F P (A) = długość A długość Ω. Ω R 2 - zbiór borelowski, F to podzbiory borelowskie zbioru Ω. Definiujemy dla A F P (A) = pole A pole Ω. Ω R 3 - zbiór borelowski, F to podzbiory borelowskie zbioru Ω. Definiujemy dla A F P (A) = objętość A objętość Ω. 7

8 Prawdopodobieństwo warunkowe B A P HBê AL = P HB AL P HAL Reguła Bayes a P HBê AL = df N N B A B A = N A N N = P HB AL N A P HAL P H B A L = P HBê AL P HAL = P HAêBL P HBL Niezależność statystyczna P H B A L = P HBê AL P HAL = P HBL P HAL 8

9 Twierdzenie Bayes a B A 1 A 6 A 5 A 4 Ω A 2 A 3 W = Ê A i A i A j = " i, j Na mocy wcześniejszego wyprowadzenia... P HBL = P HB A i L = P HBê A i L P HA i L i i 9

10 Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia x < X < x + x zapisujemy jako P Hx < X < x + xl = r X HxL x r HxL x Hostatni zapis można stosować jeśli nie prowadzi do nieporozumień L r HxL - funkcja rozkładu gęstości H î r HxL 0L î P Ha X b L = a b r HxL x 10

11 Dystrybuanta rozkładu df( x) ρ( x) dx P[ x < X x ] = F( x ) F( x ) w szczególności : P HX xl = - x r Hx'L x' oraz - r Hx'L x' =

12 w szczególności : P HX xl = - x r Hx'L x' oraz - r Hx'L x' = 1 UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny; np. jeśli W = 8x 1, x 2,..., x n < i jeśli z każdym zdarzeniem elementarnym związane jestprawdopodobieństwo n p i : p i 0, p i = 1, wtedy n i=1 r HxL = p i d Hx - x i L i=1 12

13 PRZYPADEK ROZKŁADÓW DYSKRETNYCH P Hb X al = a br Hx'L x' = Q - f. Heavisida n i =1 1 2 p i@ Q Hb - x i L + Q Hx i - ald Przepis uogólnia się natychmiast na przypadek wielowymiarowy 13

14 Zamiana zmiennych w rozkładach 1 dim Z = f(x) Związek między zmiennymi wtedy i przypadkowymi X i Z (tr. współrzędnych z =f(x)) 1 r Z HzL = r X HxL d H z - f HxL L x =» f' Hx i HzLL» r X Hx i HzLL, gdzie 8x i HzL< : dozwolone rozwiązania równania z = f HxL dla x. W przypadku transformacji współrzędnych z Æ z HxL możemy także użyć tożsamości 1 = r X HxL x = r Z HzL z = r X Hx HzLL ƒ dx dz ƒ z î r Z HzL = r X Hx HzLL ƒ dx dz ƒ Hzgodnie z poprzednim wzoreml

15 PRZYKŁADY: r Z HzL = r X HxL d H z - f HxL L x = 1» f' Hx i HzLL» r X Hx i HzLL, gdzie 8x i HzL< : dozwolone rozwiązania równania z = f HxL dla x. i HaL niech Z = -ln HXL, r X HxL = 1, x 1D wtedy r Z HzL = r X HxL d H z - f HxL L x = 0 1 d Hz + ln HxLL x =» x» = -z Æ również z dz dx = - 1 x î r Z HzL = ƒ dx dz ƒ =» x» = -z

16 Momenty rozkładu < x n > = df - + x n r HxL x Hjeśli istnieją!l < x > : pozycja ' środka masy' rozkładu <x> HbL < x 2 > : " moment bezwładności " rozkładu względem x = 0 s = " < x 2 > - < x > 2 : wariancja jest miarą rozmycia rozkładu wokół średniej < x >; HcL < x 3 > : mierzy asymetrię rozkładu względem

17 Funkcja charakterystyczna/funkcja generująca momenty Transformata Fourier a (bądź Laplace a jeśli np. zmienna przypadkowa x określona na dodatniej półosi OX ) funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa: f HkL = df < e HikL x > = df - + e ikx r HxL x = φ(s) = s x = x p x s x HikL n < x n > n=0 Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niż pierwszy mogą nie istnieć a mimo to f(k) będzie istnieć n! φ(s) = s x = x p s x x 17

18 Własności funkcji charakterystycznej f HkL = df < e HikL x > = df - + e ikx r HxL x = HikL n < x n > n=0 n! f H0L =1 HnormalizacjaL» f HkL» 1 Hwłasności f -cji podcałkowejl f H-kL = f * HkL W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie, natomiast nie znamy rozkładu r HxL = p - e -ikx f HkL k < x n > = lim kæ0 H-iL n dn f HkL dk n 18

19 Przykłady (a) Rozkład Lévy ego Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać: H L f HkL = exp H -c» k» a L ; 0 < a 2, c > 0 H L analitycznie postać r X HxL znana jest jedynie dla kilku wartości a H L I M H L $ H'L jeśli a = 2, wtedy ij yz f HkL = exp I-ck 2 M ô r HxL = $ 1 4 pc exp i j - x2 y z k 4 c { Hr jest rozkładem Gaussa o s 2 = 2 c L 19

20 H''L jeśli a < 2, wtedy wszystkie momenty rozkładu poza pierwszym H = 0L są nieskończone H. L Np. dla a = 1 otrzymujemy H L tzw. rozkład Cauchy' ego H znany także jako rozkład H Breita - WigneraL H r X HxL = 1 c p c 2 + x 2 L (0,1) g( x) = dθ f dx ( θ ) 1 1 = π 1+ x 2 θ - p 2 q p 2 f HqL = 1 p ; q = arc tg x ; dq dx = x 2 20

21 Rozkład sumy zmiennych losowych Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej: średnia energia kinetyczna < v v vn 2 > : średnia prędkość < H 1 + H H N > : średnia energia nieoddziaływujących cząstek Pod średnią mamy sumę niezależnych zmiennych losowych. Można zapytać o ich rozkład prawdopodobieństwa 21

22 Wykorzystanie funkcji charakterystycznej: Niech Y N = X 1 + X X N X i ma rozkład r Hx i L Hidentyczna funkcja " x i L; szukamy rozkładu dla Y N : r YN HyL r YN HyL =... d@ y - Hx x N L D r Hx 1 L... r Hx N L x 1... x N wtedy f YN HkL = e iky r YN HyL y f X HkLD N, gdzie f X HkL = e ikx r HxL x HpokazaćL

23 (d) przykład: rozkład dwumienny: (modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe) przeprowadzamy sekwencję N - statystycznie niezależnych H L doświadczeń, których wynikiem H z założenial są dwie wartości : 0 lub 1 H L H p L H0L = q p H1L = p p + q = 1 w sekwencji N prób : 0 wypada n 0 - razy 1 wypada n 1 - razy n 0 + n 1 = N wtedy 4-15 P N Hn 1 L = N! n 0! n 1! qn 0 p n 1 N n1 =0 P N Hn 1 L = Hp + ql N = 1 23

24 Na sekwencję prób można też popatrzeć z innego punktu widzenia. Wyobraźmy sobie, że zmienna stochastyczna X i opisuje wynik i - tej próby i może mieć dwie realizacje : x = 0 x = 1 z prawd. q z prawd. p wtedy gęstość prawdopodobieństwa r HxL = q d HxL + p d Hx - 1L i funkcja charakterystyczna i - tej próby dana jest przez f HkL = - + e ikx r HxL x = - + e d HxL + p d Hx - 1LD x = q + p e ik W = 8x 1, x 2,..., x n < i jeśli z każdym zdarzeniem elementarnym związane jest prawdopodobieństwo n p i : p i 0, p i = 1, wtedy i= n r HxL = p i d Hx - x i L i=1

25 f HkL = q + p e ik Rozważmy obecnie zmienną losową będącą sumą N - niezależnych prób : Y N = X 1 + X X N wtedy r YN HyL =... d@ y - Hx x N L D r Hx 1 L... r Hx N L x 1... x N f YN HkL = e iky r YN HyL y f HkLD N + p e ik D N 25

26 UWAGA: CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Druga część ostatniego zadania jest szczególnym przypadkiem tzw. Centralnego Twierdzenia Granicznego, które można sformułować następująco: niech X i - statystycznie niezależne zmienne losowe o rozkładzie r HxL, który ma skończone momenty wtedy zmienna losowa Y N = 1 N HX X N L - < x > ma rozkład NÆ r YN HyL æô 1 &'''''''''''''''''''''' 2 p Hs 2 x ênl exp i j - y 2 y k 2 Hs 2 z x ênl, gdzie s 2 x = < x 2 > - < x > 2 {

27 Y N = 1 N HX X N L - < x > ma rozkład r YN HyL æ NÆ ô 1 &'''''''''''''''''''''' 2 p Hs 2 x ê NL exp i j - y 2 k 2 Hs 2 x ê NL y z, { gdzie s 2 x = < x 2 > - < x > 2 Rozkład Gaussa w granicy dużych N Dyspersja rozkładu zachowuje się jak "############## Hs x 2 ênl ~ 1 è!!!! N 27

28 Rozkłady stabilne (klasa rozkładów nieskończenie podzielnych) Definicja Niech X 1,..., X N będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznych rozkładach r X HxL. Niech Y N = X X N będzie zmienną losową reprezentującą sumę zmiennych losowych. Rozkład r X HxL nazwiemy stabilnym jeśli " N rozkład r YN HyL jest opisywany tą samą funkcyjną zależnościa co r X Htzn. różnica jest jedynie w wartości parametrów a nie w kształcie funkcjil. 28

29 Rozkłady stabilne Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jest stabilna, jeśli jest niezmiennicza ze względu na konwolucję, tj. istnieja takie stałe a>0 i b, że zachodzi: ρ( al 1 + b) ρ( al b 2 ) = + dlρ ( a( z l 1 + b) ρ( al b 2 ) = ρ( az+ b) Dla dowolnych rzeczywistych a 1 >0, b 1 oraz a 2 >0, b 2 29

30 Przykład: rozkład Gaussa H a+x 1 L 2 2 σ 1 2 ρ 1 = è 2 π σ1 ρ 2 = H b+x 2 L2 2 σ 2 2 è 2 π σ2 ρ Y Hy = x 1 + x 2 L = Ha+b yl2 2 Iσ 1 2 +σ2 2 M è 2 π I è σ1 2 + σ 2 2 M Rozkłady stabilne są samopodobne

31 Pomocne podejście z użyciem funkcji charakterystyznych: pozwala rozwiązać zagadnienie rozkładów stabilnych całkiem ogólnie r Xi Hx i L = r HX i L Jeśli Y N = X X N ìììììììììììì î " N f è Y N HkL f X HkLD N f èy N HkL = e iky r YN HyL y f HkLD N W.K.W. na to aby mieć r. stabilny: èy f HkL = f Hk, 8a' HNL<L f Hk, 8a<LD N N 31

32 Przykłady: f èy N HkL = f Hk, 8a' HNL<L f Hk, 8a<LD N (a) Rozkład Gaussa 1 r YN HyL = &''''''''''''' exp i 2 Hy - al 2 j- 2 2 ps Y k 2 s Y y z { f è Y N HkL = iak - s 2 Y 2 k2 f HkL = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% iak - s 2 N Y k 2 2 = i H a N L k - s 2 Y 2 N k 2 1 r X HxL = &''''''''''''''''''''''' 2 p Is 2 Y ënm 32 i Ix - y exp j - k 2 Is 2 Y ënm z { a M 2 N

33 Przykłady: f è Y N HkL = f Hk, 8a' HNL<L f Hk, 8a<LD N (a) Rozkład L evy ego è fy N HkL = exp H-c»k» a L; 0< a 2, c>0 H tylko1-szy moment jest skończonyl f HkL = "############################ N exp H -c» k» a L = expa - i j c k N y z { k ƒa E ƒ 33

34 Przykłady symetrycznych rozkładów Lévy ego, ciężkie ogony 34

35 Różne typy błądzenia przypadkowego ze stabilnym rozkładem długości skoku 1-dim trajektoria błądzenie w 2-dim długość kroku losowana z rozkładu Levy ego

36 Przykłady: Rozkład Bernoulliego: Dla X orozkładzie B(n, p) mamy n n EX = k p k (1 p) n k = np k = np k=0 n 1 l=0 n 1 l Rozkład wykładniczy: Dla X orozkładzie Exp(λ) mamy EX = 0 xλe λx dx = 1 λ n k=1 n 1 p k 1 (1 p) n 1 (k 1) = k 1 p l (1 p) n 1 l = np(p +1 p) n 1 = np. 0 t 2 1 e t dt = 1 λ Γ(2) = 1 λ. Mediana (in. wartość środkowa), kwantyle rzędu q, 0 <q<1 Kwantyl rzędu q to taki punkt x q,dlaktórego F (x q ) q F (x q +0). Jeśli dystrybuanta jest funkcją ciągłą, towarunektenupraszczasię do F (x q )=q. Mediana to kwantyl rzędu q =0, 5. Zarówno mediana jak wartość oczekiwana są miarami położenia rozkładu zmiennej losowej X. 36

37 Działania na zmiennych losowych (X, Y ) to wektor losowy. Definiujemy zmienną losową Z = g(x, Y ), gdzieg jest odpowiednią funkcją. Abyokreślić rozkład Z, potrzebnajestznajomość rozkładu łącznego zmiennych losowych X i Y. Najważniejsze przykłady: (a) suma Z = X + Y (b) iloczyn Z = XY Wiadomo, że = n T 1 EZ =Eg(X, Y )= k T 2 g(x n,y k )p nk, g(x, y)f(x, y)dxdy, o ile całka (szereg) zbieżne. Stąd jeśli istnieją EX i EY,to g(x, y)df X,Y (x, y) = gdy X ma rozkład dyskretny zadany ciągiem {(x n,y k,p nk ),n T 1,k T 2 }; gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x, y). E(X + Y )=EX +EY 37

38 Stąd jeśli istnieją EX i EY,to E(X + Y )=EX +EY oraz jeśli istnieją D 2 X i D 2 Y,to D 2 (X + Y )=D 2 X +D 2 Y +2(E(XY ) EXEY ). Definicja: Przy założeniu, że istnieją D 2 X>0 i D 2 Y > 0, określamy współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y jako: ρ XY = E(XY ) EXEY D2 X D 2 Y. Własności współczynnika korelacji: ρ XY 1. ρ XY =1wtedy i tylko wtedy, gdy Y = ax + b dla pewnych stałych a = 0,b,przy czym ρ XY =1odpowiada a>0, aρ XY = 1 odpowiada a<0 (pełna liniowa zależność Y od X). Gdy ρ XY =0, mówimy, że X i Y są nieskorelowane. 38

39 Niezależność zmiennych losowych Definicja: Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy dla dowolnych borelowskich zbiorów B 1 i B 2 zdarzenia {X B 1 } i {Y B 2 } są niezależne, tzn. P (X B 1,Y B 2 )= P (X B 1 )P (Y B 2 ). Zmienne losowe X 1,X 2,...,X n są niezależne, gdy dla dowolnych borelowskich zbiorów B 1, B 2,...,B n rodzina {{X i B i },i=1, 2,...,n} jest rodziną zdarzeń niezależnych. Fakt: Zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy Wówczas astąd F X,Y (x, y) =F X (x)f Y (y) EXY =EXEY D 2 (X + Y )=D 2 X +D 2 Y oraz ρ XY =0, oilewartości oczekiwane i wariancje istnieją, wariancjesą niezerowe. Zatem jeśli zmienne losowe o skończonych i niezerowych wariancjach są niezależne, to są też nieskorelowane. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Suma niezależnych zmiennych losowych. X i Y to niezależne zmienne losowe odpowiednio o dystrybuantach F X (x) i F Y (y). Wówczas Z = X + Y ma rozkład o dystrybuancie F X+Y (z) = Jest to tzw. splot dystrybuant (miar). F X (z y)df Y (y). Jeśli X i Y mają rozkłady ciągłe ogęstościach odpowiednio f X (x) i f Y (y), to Z = X + Y też ma rozkład ciągły ogęstości f X+Y (z) = f X (z y)f Y (y)dy =(f X f Y )(z). 39

40 Modele fizyki statystycznej z prawdopodobieństwem klasycznym: Rozważamy układ n cząstek. Każda cząstka zajmuje jeden z N poziomów energetycznych. Układ znajduje się w stanie (k 1,...,k N ),gdydokładnie k i cząstek zajmuje i-ty poziom energetyczny, i =1,...,N,(zatemmusibyć k k N = n). Szukamy prawdopodobieństwa p k1,...,k N znalezienia się układu w stanie (k 1,...,k N ). Możliwe są następujące przypadki: cząstki są rozróżnialne albo nierozróżnialne; obowiązuje lub nie zasada wyłączności (in. zasada Pauliego), tzn. zasada, że na jednym poziomie energetycznym może znajdować się co najwyżej jedna cząstka. 1. Przypadek, gdy cząstki są rozróżnialne i obowiązuje zasada wyłączności. Ω = {(i 1,...,i n ), gdzie i j to numer poziomu energetycznego zajmowanego przez cząstkę nr j, bez powtórzeń}, F =2 Ω, P to prawdopodobieństwo klasyczne. N! #Ω = (N n)!. 2. Przypadek, gdy cząstki są rozróżnialne i nie obowiązuje zasada wyłączwtorek, 13 marca 2012 Stan (k 1,...,k N ) to ciąg zerijedynekzdokładnie n jedynkami. Zdarzenie A = {układ jest w stanie (k 1,...,k N )} = = {zdarzenia elementarne utworzone z n numerów miejsc z jedynkami}. #A = n! (liczba permutacji zbioru tych numerów). Stąd p k1,...,k N = P (A) = #A #Ω = n! N! (N n)! stanów. = 1 N n. Jest ono takie samo dla wszystkich 40

41 2. Przypadek, gdy cząstki są rozróżnialne i nie obowiązuje zasada wyłączności: model Maxwella Boltzmanna. Ω = {(i 1,...,i n ), gdzie i j to numer poziomu energetycznego zajmowanego przez cząstkę nr j, możliwe powtórzenia}, F =2 Ω, P to prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = N n. Zdarzenie A = {układ jest w stanie (k 1,...,k N )} = = {zdarzenia elementarne zawierające k 1 jedynek, k 2 dwójek,..., k N N-ek}. #A = n n k1 k 1 k 2... n (k k N 1 ) n! k N = (liczba możliwości wyboru k 1!k 2!...k N! miejsc na jedynki, miejsc na dwójki, itd.). Stąd p k1,...,k N = P (A) = #A #Ω = n! k 1!k 2!...k N!N. n 41

42 3. Przypadek, gdy cząstki są nierozróżnialne i obowiązuje zasada wyłączności: model Fermiego-Diraca. (dobrze opisuje zachowanie elektronów, protonów, neutronów) Ω = {{i 1,...,i n }, gdzie jest to zbiór numerów poziomów energetycznych zajmowanych przez cząstki, bez powtórzeń}, F =2 Ω, P to prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = N n. Stan (k 1,...,k N ) to ciąg zerijedynekzdokładnie n jedynkami. Zdarzenie A = {układ jest w stanie (k 1,...,k N )} = = {zdarzenie elementarne utworzone z n numerów miejsc z jedynkami}. #A =1. Stąd p k1,...,k N = P (A) = #A #Ω = 1 N n. Jest ono takie samo dla wszystkich stanów i takie samo jak dla przypadku cząstek rozróżnialnych. 4. Przypadek, gdy cząstki są nierozróżnialne i nie obowiązuje zasada wyłączności: model Bosego-Einsteina. (dobrze opisuje zachowanie fotonów, jąder atomowych, atomów zawierających parzystą liczbę cząstek elementarnych) Ω = {{i 1,...,i n }, gdzie jest to zbiór numerów poziomów energetycznych zajmowanych przez cząstki, możliwe powtórzenia}, F =2 Ω, P to prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = N+n 1 n. Zdarzenie A = {układ jest w stanie (k 1,...,k N )} = = {zdarzenie elementarne zawierające k 1 jedynek, k 2 dwójek,..., k N N-ek}. #A =1.. Jest ono takie samo dla wszystkich sta- Stąd p k1,...,k N = P (A) = #A #Ω = 1 n nów. N+n 1 42

43 cząstkę nr j, możliwe powtórzenia}, F =2 Ω, P to prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = N n. Zdarzenie A = {układ jest w stanie (k 1,...,k N )} = = {zdarzenia elementarne zawierające k 1 jedynek, k 2 dwójek,..., k N N-ek}. #A = n n k1 k 1 k 2... n (k k N 1 ) n! k N = (liczba możliwości wyboru k 1!k 2!...k N! miejsc na jedynki, miejsc na dwójki, itd.). Stąd p k1,...,k N = P (A) = #A #Ω = n! k 1!k 2!...k N!N. n 3. Przypadek, gdy cząstki są nierozróżnialne i obowiązuje zasada wyłączności: model Fermiego-Diraca. (dobrze opisuje zachowanie elektronów, protonów, neutronów) Ω = {{i 1,...,i n }, gdzie jest to zbiór numerów poziomów energetycznych zajmowanych przez cząstki, bez powtórzeń}, F =2 Ω, P to prawdopodobieństwo klasyczne. #Ω = N n. Stan (k 1,...,k N ) to ciąg zerijedynekzdokładnie n jedynkami. Zdarzenie A = {układ jest w stanie (k 1,...,k N )} = = {zdarzenie elementarne utworzone z n numerów miejsc z jedynkami}. #A =1. Stąd p k1,...,k N = P (A) = #A #Ω = 1 N n. Jest ono takie samo dla wszystkich stanów i takie samo jak dla przypadku cząstek rozróżnialnych. 43