Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 3 Nr: 1 Metody obliczeniowe wykład nr 3 aproksymacja i interpolacja pojęcie modelu regresji

Transkrypt

1 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Metody oblczeowe wykład r 3 aproksymacja terpolacja pojęce modelu regresj

2 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja daa jest ukcja jedej zmeej określoa a przedzale [ab] ukcja moŝe być zadaa w postac dyskretej zboru puktów { }... wzoru aaltyczego F F aleŝy dobrać taką ukcję F aby w sese przyjętego kryterum ukcja F moŝlwe dokłade przyblŝała przebeg ukcj w określoym przedzale

3 Nr: 3 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja - zadae aproksymacj lowej - ukcja aproksymowaa określoa a pewym przedzale doberamy { φ k } zbór ukcj tzw. ukcj k bazowych

4 Nr: 4 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja - zadae aproksymacj lowej - ukcja aproksymowaa określoa a pewym przedzale doberamy { φ k } zbór ukcj tzw. ukcj k bazowych poszukwaa ukcja aproksymująca postac: c... c ckφk k kombacja lowa ukcj bazowych zadaem wyzaczee wartośc współczyków c...c Przykład: {... } ukcje bazowe przyblŝee welomaem k c k k

5 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: 5 Aproksymacja - zadae aproksymacj lowej zadae: wyzaczee wartośc współczyków c...c dla wyraŝea ukcja aproksymowaa daa w postac dyskretej dae są wartośc ukcj w puktach satk... m tworzymy układ rówań: m m m m c c c c c c c c c φ φ φ φ φ φ φ φ φ L L L L φ c c c k k k... jeśl m > lczba puktów satk wększa od lczby poszukwaych współczyków p. m to jedye w szczególych przypadkach moŝe być spełoa rówość φ we wszystkch puktach satk układ rówań azywamy wówczas adokreśloym. Otrzymujemy przyblŝoe spełee rówań jeśl m to układ ma zwykle dokłade jedo rozwązae przypadek terpolacj

6 Nr: 6 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja - adokreśloość poprzez uŝyce adokreśloośc doprowadzamy do tzw. wygładzaa ukcj adae krzywej gładszego kształtu mędzy puktam zredukowae skutków błędów losowych błędów pomaru jeśl dae są wykam pomarów

7 Nr: 7 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja średokwadratowa ukcj Zadae aproksymacj średokwadratowej PrzyblŜamy ukcję ukcją aproksymującą postac Określamy współczyk c...c tak aby wyraŝee: przypadek cągły: [ ] przypadek dyskrety: było jak ajmejsze c... c ckφk C a b { } m k b a m d

8 Nr: 8 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja średokwadratowa ukcj terpretacja geometrycza przypadek dyskrety m 4 3 mmalzacja sumy kwadratów tych odległośc 3 4

9 Nr: 9 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja średokwadratowa ukcj terpretacja geometrycza przypadek cągły b a d mmalzacja kwadratów pól powerzch pomędzy ukcjam

10 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Aproksymacja średokwadratowa ukcj ukcj rozwązae zadaa przypadek dyskrety metoda ajmejszych kwadratów Gauss Legedre 86 Ozaczea satka węzłów dae: pukty węzłowe ukcje bazowe...m...m... k k k Iloczy skalary: dla dowolych ukcj g przy daej satce węzłów loczyem skalarym azywać będzemy wyraŝee g jeśl <g> to ukcje g azywamy ortogoalym. : m c... c c φ g jeŝel < j > dla j j {...} < > {...} to ukcje { } azywamy układem rodzą ukcj ortogoalych.

11 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: Aproksymacja średokwadratowa ukcj JeŜel ukcje bazowe są lowo ezaleŝe to zadae aproksymacj lowej średokwadratowej ma jedye rozwązae. Rozwązae to speła układ rówań: c c c L M L L L L L L L... c Zadae: zapsz kod programu realzujący metodę ajmejszych kwadratów dla bazy { } Aproksymacja średokwadratowa ukcj JeŜel ukcje bazowe są rodzą ukcj ortogoalych to rozwązae upraszcza sę do współczyk c azywamy wówczas współczykam ortogoalym:

12 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Metoda ajmejszych kwadratów - przykład dae są wyk pomarów: aleŝy zaleźć ukcję aproksymującą postac: c c ukcje bazowe: {}

13 Nr: 3 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Metoda ajmejszych kwadratów - przykład dae są wyk pomarów: aleŝy zaleźć ukcję aproksymującą postac: c c ukcje bazowe: {} <φ > φ φ <φ >-.-.9*3-.6*4.6*6.9*7.7 <φ φ > 5 <φ φ > 3467 <φ φ >

14 Nr: 4 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Metoda ajmejszych kwadratów - przykład dae są wyk pomarów: aleŝy zaleźć ukcję aproksymującą postac: c c ukcje bazowe: {} <φ > <φ >-.-.9*3-.6*4.6*6.9*7.7 <φ φ > 5 <φ φ > 3467 <φ φ > otrzymujemy układ rówań: 5 c c. c.7 c φ φ y

15 Nr: 5 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Postać ukcj aproksymującej problem doboru ukcj do zestawu daych: aturalym sposobem uŝyce welomau postać welomau e adaje sę gdy wykres ukcj ma ostre załamaa osoblwośc przypadk ecągłośc jest okresowy aproksymacja ukcją złoŝoą z kawałków ukcj prostej postac ukcją okresową ukcją wykładczą przekształcee zmeych p. log log adają sę lepej do aproksymacj Ŝ sama ukcja zamaa zmeych zamaa współrzędych moŝe zmejszyć stote koszt oblczeń dobór stopa welomau wykorzystae eksperymetalych zaburzeń pukty w eloma stopma w eloma 6 stopa

16 Nr: 6 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Iterpolacja Daa jest pewa ukcja oraz puktów węzłowych { } poszukujemy takej ukcj g spośród wszystkch ukcj pewej klasy aby g... Klasy ukcj terpolujących: welomay ukcje wymere welomay trygoometrycze ukcje sklejae

17 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: 7 Iterpolacja welomaowa ukcja przyblŝaa satka węzłów Dla dowolych róŝych puktów węzłowych steje dokłade jede weloma terpolacyjy P stopa co ajwyŝej tak Ŝe dla... Sposoby wyzaczaa współczyków welomau terpolacyjego: P a a...a rozwązae układu rówań lowych... P a a a a a a a a a L L L L

18 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: 8 Iterpolacja welomaowa wzór Lagrage a macerz Lagrage a Dla dowolych róŝych puktów węzłowych wyzaczamy dla kaŝdego... wyraŝee to jest welomaem co ajwyŝej -tego stopa. Ozaczmy: Zapsując w postac macerzowej otrzymujemy macerz L azywamy macerzą Lagrage a: { } k k k k δ j j j a δ [ ] a a a a F L X L wzór Lagrage a k k k k k k k k L δ δ k k k δ

19 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: 9 Iterpolacja welomaowa wzór Lagrage a dla węzłów rówoodległych: h: h s:- /h hs...!!!! s s s s s s s s s s s s s s s h s s s s s h h h h h h h h h h h hs h hs h hs h hs hs h h h h h h h h h h hs h hs h hs h hs hs L k k k k

20 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Fukcje sklejae określee ukcj sklejaych 3 stopa cubc sple zachowaa cągłość ukcj jej pochodych do stopa włącze wykresy welomaów stopa co ajwyŝej druge pochode rówe 3 4

21 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Fukcje sklejae przedzał [ ] dzelmy a podprzedzały w kaŝdym podprzedzale [ - ]...: 3 s a b c d... łącze 4 współczyków - ewadomych wartośc w węzłach zewętrzych spełają waruek terpolacj : s s wartośc drugch pochodych w węzłach zewętrzych spełają waruek aturalośc : s s w węzłach wewętrzych wartośc ukcj wartośc perwszych pochodych wartośc drugch pochodych są rówe są rówe :... s s... s s... s s

22 Nr: Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Fukcje sklejae porówae z terpolacją welomaową ukcja s klejaa w eloma terpolujący ukcja s klejaa w eloma terpolujący

23 Nr: 3 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Krzywa Bézera krzywa welomaowa Perre Bézer 97 powszeche stosowae w programach do projektowaa Ŝyerskego - programach CAD-owskch Najczęścej uŝywae są krzywe trzecego stopa leŝące a płaszczyźe. Deując krzywą trzecego stopa określamy 4 pukty tzw. pukty kotrole A B C D których połoŝee wyzacza przebeg krzywej. Krzywa ma swój początek w pukce A skerowaa jest w stroę puktu B. Następe zmerza w stroę puktu D dochodząc do ego od stroy puktu C. Odcek AB jest styczy do krzywej w pukce A atomast odcek CD jest styczy w pukce D Krzywą Bézera trzecego stopa określa astępujące rówae: Pt At 3 3Btt 3Ct t Dt 3 dla t. Czyl: P t A t 3 3B tt 3C t t D t 3 P y t A y t 3 3B y tt 3C y t t D y t 3 Krzywa ma swój początek w pukce A t koec w pukce D t. Zadae: zapsz kod programu wyzaczający w oparcu o podae współrzęde puktów kotrolych krzywą Bézera. Przebeg krzywej przedstaw a rysuku umeszczając a m róweŝ odck AB BC CD.

24 Nr: 4 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Powerzche sklejae ajprostszy sposób: przyblŝae powerzch sklejaym guram płaskm wykorzystae powerzch -go stopa kwadryk powerzch bkubczych

25 Nr: 5 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Płaty Bézera deowae ogracza sę do wskazaa satk puktów kotrolych KaŜda satka puktów kotrolych deująca płat Bèzera posada werszy m kolum. Szczególym przypadkem płata Bèzera jest postać bkubcza płat jest 3 stopa w obu kerukach mamy 6 puktów kotrolych.

26 Nr: 6 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Iterpolacja a aproksymacja proces terpolacj zwłaszcza terpolacj welomaowej jest wraŝlwy a wybór węzłów terpolacj zaburzea wartośc ukcj w puktach terpolacj mogą bardzo zacze zmeać ukcję terpolującą jeśl mamy moŝlwość wyboru rozmeszczea węzłów ajmejszy błąd terpolacj dostajemy doberając węzły mejsca zerowe welomau Czebyszewa przy sprowadzeu przedzału terpolowaych wartośc do przedzału [-] aproksymacja jest mało wraŝlwa a wybór węzłów aproksymacj jeśl lczba węzłów jest wystarczająco duŝa pukty w eloma 6 s topa pukty w eloma 6 stopa

27 Nr: 7 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Model regresj celem pomarów wykryce opsae za pomocą ukcj aaltyczych zaleŝośc y... medzy ezaleŝym parametram... oraz parametrem od ch zaleŝym y wykryce stea zaleŝośc korelacja ustalee postac ukcj która ją opsuje regresja zadae polega a wyzaczeu zaleŝośc ukcyjej p. regresja jedowymarowa: zaleŝość ukcyja y jedowymarowa regresja lowa: zaleŝość ukcyja y a a zbadau arzędzam rachuku prawdopodobeństwa jakośc wyzaczoego modelu regresj

28 Nr: 8 Regresja lowa Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 teoretycza la regresj odosząca sę do populacj geeralej: y a a emprycze rówae regresj rówae regresj w próbce: y b b aproksymując teoretyczą prostą regresj za pomocą empryczego rówaa rozpatrujemy współczyk b b jako realzacje pewej zmeej losowej B B przyjmujące w kokretej próbe take lub e wartośc 8 emprycza prosta regresj rodza prostych kaŝdą z ch otrzymuje sę poprzez kokretą realzację próby

29 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: 9 Regresja - badae korelacj współczyk korelacj Pearsoa wyraŝa stopeń zaleŝośc lowej mędzy zmeym losowym oszacowae współczyka korelacj a podstawe realzacj próby wartość z przedzału [-]: y y y y r

30 Nr: 3 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa wyzaczee rówaa regresj z próby próba -elemetowa y... y Dla kaŝdego... y wartość z próby y b b wartość oblczoa y y róŝca pomędzy wartoścam metoda ajmejszych kwadratów SSE-suma kwadratów błędów SSE Φ b b y b b m

31 Nr: 3 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa wyzaczee rówaa regresj z próby próba -elemetowa y... y Dla kaŝdego... y wartość z próby y b b wartość oblczoa y y róŝca pomędzy wartoścam metoda ajmejszych kwadratów SSE-suma kwadratów błędów SSE Φ b b y b b m ukcja Φab osąga ajmejszą wartość dla b b wyzaczoych z układu rówań: Φ b Φ b y y b b b b

32 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Nr: 3 Regresja lowa wyzaczee rówaa regresj z próby Rozwązując układ rówań otrzymujemy: b y b y y y y b

33 Nr: 33 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa - badae jakośc wyzaczoego modelu Mary jakośc przyjętego modelu współczyk determacj przyjmuje wartośc z zakresu od do gdy R : dae leŝą dokłade a l" regresj zmeość jest wyjaśoa w %; R : regresja czego e wyjaśa dae są eskorelowae; 9 R < : dopasowae bardzo dobre 8 R <9 : dopasowae dobre 7 R <8 : dopasowae zadawalające w ektórych zastosowaach. zwróćmy takŝe uwagę ze mówmy p.: "regresja wyjaśa 93 % zmeośc gdy R 93. SST całkowta suma kwadratów SSR suma kwadratów zwązaa z regresją SSE suma kwadratów błędów Zadae: zapsz ukcję ScLaba oblczającą współczyk determacj. Jako dae wejścowe podać: lczba prób losowych X Y wektory współrzęde puktów pomarowych ukcja regresj. Przetestuj a daych odaych a slajdze r 85 SSE SST R SSR SST y y b y b SST SSE SST y y yˆ y yˆ b b SST SSR SSE

34 Nr: 34 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa - badae jakośc wyzaczoego modelu werykacja statystycza werykacja hpotezy o braku zaleŝośc w prostej regresj lowej testy stotośc dla parametrów regresj aalza waracj test F-Sedecora wyzaczee obszaru pasa uośc Y y3.-. -α.98 -α X przyjmując określoy pozom uośc p-α p. p95 obszarem uośc azywamy obszar w którym z prawdopodobeństwem rówym pozomow uośc zajduje sę ezaa teoretycza la regresj dla populacj geeralej wyzaczee obszaru pasa predykcj przyjmując określoy pozom uośc p-α p. p95 obszarem predykcj azywamy obszar w którym z prawdopodobeństwem rówym pozomow uośc dla kokretej wartośc p zajduje sę wartość zaleŝego parametru y.

35 Nr: 35 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa przykład Dokoao aalzy próbek grutu merząc a róŝych głębokoścach procetową zawartość pasku aalza przy uŝycu MS Ecel % głębokość zawartośc Nr próbk cm pasku % pasku aalza próbek grutu głębokość cm

36 Nr: 36 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa przykład Dokoao aalzy próbek grutu merząc a róŝych głębokoścach procetową zawartość pasku aalza przy uŝycu MS Ecel % głębokość zawartośc Nr próbk cm pasku % pasku aalza próbek grutu y R głębokość cm

37 Nr: 37 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa przykład Dokoao aalzy próbek grutu badao zaleŝość dwóch parametrów stopa plastyczośc spójośc grutu zaleŝość wyzaczoo w oparcu 7 próby prób s to peń plas tyczoś c - s pó jość y R y R.85 7 próby

38 Nr: 38 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa przykład - cd s to peń plas tyczoś c - s pó jość y R prób

39 Nr: 39 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Regresja lowa przykład - wykorzystae paketu Statstca Wy kres rozrzut u - model lowy y * ; 95 Prz.U. Wykres rozrzutu - regresja welomaem kwadratowym Zm y *3787*^; 95 Prz.Pred.; 95 Prz.U Zm3 spójość Wy kres rozrzutu - regresja lowa y *; 95 Prz.Pred.; 95 Prz.U spójość 5 5 stopeń plastyczośc stopeń plasty czośc

40 Nr: 4 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 ukcje ScLaba chepol - oblczae wartośc welomaów Czebyszewa cshepd eval_cshepd - wymarowa terpolacja ukcjam sklejaym dla węzłów e tworzących satk prostokątej terp oblczee wartośc terpolującej ukcj sklejaej terpd terp3d terpolacja ukcjam sklejaym terpl rozwązae zadaa terpolacj lowej a płaszczyźe lsq rozwązae rówaa postac AXB metodą ajmejszych kwadratów lsq_sple aproksymacja średokwadratowa sześceą ukcją sklejaą lear_terp rozwązae zadaa -wymarowej terpolacj lowej spl spld spl3d oblczee współczyków ukcj sklejaej terpolującej podae pukty węzłowe regl regress wyzaczee współczyków regresj lowej

41 Nr: 4 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Podsumowae Aproksymacja terpolacja pojęce modelu regresj Aproksymacja ogóla postać zadaa aproksymacj. Zadae aproksymacj lowej pojęce ukcj bazowych postać rozwązaa układ rówań lowych adokreśloy wygładzae ukcj Zadae aproksymacj średokwadratowej: metoda ajmejszych kwadratów loczy skalary ukcj ukcje ortogoale własośc welomaów Czebyszewa. Zadae aproksymacj jedostajej: sormułowae zadaa Twerdzee Weerstrassa Zadae terpolacj terpolacja welomaowa wzór Lagrage a postać macerzy Lagrage a wzór Lagrage a dla węzłów rówoodległych wzór Iterpolacyjy Newtoa.

42 Nr: 4 Metody oblczeowe - Budowctwo semestr - wykład r 3 Podsumowae - cd. Aproksymacja terpolacja pojęce modelu regresj Fukcje sklejae własośc ukcj sklejaych 3 stopa cubc sple Krzywa Bézera Model regresj opsae problemu podstawowe pojęca statystyk: populacja geerala jedostka statystycza cechy statystycze próbka badae częścowe pojęce zmeej losowej jej realzacj teoretycza la regresj a emprycze rówae regresj badae korelacj a podstawe realzacj próby sposób wyzaczea rówaa regresj metodą ajmejszych kwadratów mary jakośc przyjętego modelu regresj waracja resztkowa współczyk determacj werykacja statystycza przyjętego modelu regresj obszary uośc predykcj Modele elowe regresj sprowadzae do modelu lowego