CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Transkrypt

1 CAŁKOWANIE NUMEYCZNE Zad. ozumnie wybraną metodą numeryczną oblicz wartość całki Oraz błąd jej wyznaczenia. ln(cos x ) dx Podana jest funkcja i granice w jakic należy ją scałkować. Jak wiadomo wynikiem całkowania jest pole pod wykresem funkcji. Pierwszym krokiem w obliczeniu tej wartości będzie dobranie odpowiedniego skoku z jakim powinny zmieniać się x. Skok ten należy tak rozumnie dobrać aby nie był za duży ani za mały. Zbyt mały oznacza wydłużenie obliczeń potrzebnyc do uzyskania wyniku całkowania, zbyt duży da niedokładną wartość całki. Następnie podstawiając do powyższego wzoru x uzyskamy wartości funkcji podcałkowej y= ln cos x Kolejnym krokiem będzie stworzenie tablicy różnic skończonyc (progresywnyc) [ patrz materiały pomocnicze na stronie Katedry], którą wykorzystamy do oszacowania błędu. węzły x y y y y y -,6,5 -,6 -,788 -,97 -,876 -, -,96,96 -,66,77,5-5,976 7,66 -,558,5-9,88 -,75 -,,9,,75 5,5 -, -,8867 -,995,,5 6 -, -,55 -,56 -, -,7 7,5 -, -,679 -,79 8 -,85 W zależności od liczby węzłów należy dobrać metodę całkowania. Istnieje bardzo wiele metod całkowania numerycznego, Do obliczenia tyc zadań zostaną wykorzystane tylko te metody, które zostały omówione na zajęciac, i tak: dla wszystkic Metoda Trapezów, dla parzystej liczby węzłów Metoda Simpsona i dla liczby węzłów podzielnej przez Metoda Newtona. Z powyższej tablicy odczytana liczba węzłów równa się 8, zatem można wybrać Metodę Trapezów (uniwersalna) oraz Metodę Simpsona. Do dalszyc obliczeń zostanie wykorzystana Metoda Simpsona dlatego, iż jest ona metodą dającą dokładniejszy wynik niż Metoda Trapezów. Wzór ogólny dla całki wygląda następująco:

2 ln(cos x ) dx = ( y + y + ( y + y + y ) + ( y + y + y y )) to skok, czyli wartość z jaką zmieniają się x. 7 NALEŻY PAMIĘTAĆ, IŻ DANY Y NIE MOŻE W TYM WZOZE WYSTĘPOWAĆ DWA AZY NP. Y 8 JEST WYAZEM OSTATNIM I NIE MOŻE!!! BYĆ WZIĘTY JAKO PAZYSTY WĘZEŁ DO NAWIASU Z WATOŚCIAMI OPISANYMI PAZYSTYMI WĘZŁAMI!!! Podstawiając do wzoru konkretne wartości otrzymujemy wynik:,5 ln(cos x) dx = = 5, ( + (,85) + ( (,) + (,75) + (, ) + ( (,6) + ( 5,976) + (,) + (,) )) Przedostatnim krokiem będzie oszacowanie błędu. Do obliczenia błędu wykorzystujemy ( b a) wzór: y 8 Gdzie: y to ednia różnic skończonyc czwartego rzędu funkcji podcałkowej. y = (,9+(-,55)+,9+(-,995)+(-,6))/5=,68 b i a to granice całkowania, podstawiając do wzoru otrzymujemy: ( ),68, 8 Ostatnim krokiem jest odpowiednie zapisanie wyniku (zgodnie z zasadami zaokrąglania) ln(cos x ) dx = 5, ±, Obliczenie błędu (reszty) jest możliwe też drogą znalezienia czwartej pocodnej f IV funkcji podcałkowej, co nawet dla funkcji z tego zadania( y= ln cos x) okazałoby się bardzo pracocłonne. Zad. Obliczyć wartość całki i podać błąd jej wyznaczenia.,, sin x x dx

3 Tworzymy tablicę różnic skończonyc (progresywnyc): węzły x y y y y y,,79,8,,,9,756,,6,767,955 -,76,7 -,79,8,578,6 -,8,97 -,56,85 -,6 -,7,6 -,9 5,,96 -,65 -,57 6,,7 Liczba węzłów równa 6, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla warunków tego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:, sin x dx = ( y + y6 + ( y + y ) + ( y + y + y5 )), x Podstawiając odpowiednie wartości uzyskujemy wynik:, sin x, dx = x, y =,78 (,,) (,79 +,7 + (,767 +,85) + (, +,578 +,96) ) =, (,78),898 8, sin x dx =,58558 ±,9 x, Zad. Oblicz Drogi Studencie wartość całki i podaj błąd jej wyznaczenia:, x cos x dx,

4 Tworzymy tablicę różnic skończonyc (progresywnyc): węzły x y y y y y,,56 -,9,5,7,9 -,6 -,,6,8,9,96 -,5,76,7,55,85 -,5 -,68 -,77,8,987 -,9,5 -,6,65 5,9,77,7 -,5 -,87 -,89 6,5 -,6,9 -,, 7,,7 -,5 -,8 8,,9 Liczba węzłów równa 8, liczba parzysta, podzielna przez, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla warunków tego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco: ( y + y + ( y + y + y ) + ( y + y + y y )) x cos x dx = Podstawiając dane z tabeli uzyskujemy następujący wynik: x cos x y =,, dx = (,,) (,56 +,9 + (,8 +,897 +,5) + (,7 +,55 +,77 +,7) ),,86(6) 8,, x cos x dx =,6975 ±,9 =,6975() Tą samą całkę obliczymy dodatkowo METODĄ TAPEZÓW aby ukazać różnice w uzyskanyc wynikac.

5 Wzór METODY TAPEZÓW wygląda następująco dla tego zadania:, y y8 x cos x dx = + y + y + y + y + y5 + y6 + y7 +, Podstawiając dane do wzoru uzyskujemy następujący wynik:,,56,9 x cos x dx =, +,7 +,8 +,55 +,897 +,77 +,5 +,7 + =, =,697 (liczymy bardzo podobnie jak w Metodzie Simpsona z tą różnicą, że tu wykorzystujemy ednią różnic skończonyc drugiego rzędu funkcji podcałkowej) y =,86 (,,) (,86),57,, x cos x dx =,697 ±,6 Komentarz: Oba rozwiązania mieszczą się w granicac swyc błędów. Widać, iż błąd METODY TAPEZÓW jest o rząd większy od błędu METODY SPIMPSONA a zatem metoda ta daje mniej dokładne wyniki. Zad. Obliczyć wartość całki i podać błąd jej wyznaczenia.,, sin( x ) dx x Tworzymy tablicę różnic skończonyc (progresywnyc): węzły x y y y y y,,79,67,,6 -,6, -,7,5,87 -,,,8 -,6,6,95 -,9,5 -, -,,7,6 -,, -,7, 5,8,9 -,8, -,9, 6,9,8 -,5,5 -,,75 7,5 -,75 -,5 8, -,95

6 Liczba węzłów równa 8, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla warunków tego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:,, sin( x ) dx = x ( y + y + ( y + y + y ) + ( y + y + y + y )) Podstawiając dane z tabeli uzyskujemy:, sin( x ), dx = 5 x, (,79 + (,95) + (,87 +,6 +,8 ) + (,6 +,95 +,9 +, )) = =,67 y =,9 (,,),9,77 8, sin( x ) dx =,7 ±, x, Zad.5 Oblicz Drogi Studencie racjonalnie wybraną metodą numeryczną wartość całki i podaj błąd jej wyznaczenia. e x, xdx Tworzymy tablicę różnic skończonyc (progresywnyc): węzły x y y y y y,,97,79,,56 -,6,8,6,,589 -,65 -,6,8,5,5,557 -, -, -,,,6,55 -,77, -,79,6 5,7,56 -, -, -,,5 6,8,76 -,86 -, -,96, 7,9, -,5 -,5 8,679

7 ,, = Liczba węzłów równa 8, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA (coć równie dobrze moglibyśmy wybrać Metodą Trapezów). Dla warunków naszego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco:,, e x xdx = Podstawiając dane z tabeli uzyskujemy:, = e x xdx, y =,65 ( y + y + ( y + y + y ) + ( y + y + y y )) (,97 +,679 + (,589 +,55 +,76) + (,56 +,557 +,56 +,) ) (,,) (,65),6 8 e x, xdx =,9766 ±,7 7 Zad.6 Obliczyć wartość całki na podstawie niżej podanej funkcji dyskretnej i podać błąd jej wyznaczenia. węzły x y y y y y,, -,6,5,8,58 -, -,,7,77,8,7, -,,9,9,5,,9 -,,,, -,, -, 5,,,, 6,5,57

8 Zadanie dość nietypowe ponieważ nie znamy postaci funkcji podcałkowej, mamy ją daną w postaci funkcji dyskretnej. Liczba węzłów równa 6, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Liczba ta jest też podzielna przez co pozwala nam na wykorzystanie METODY NEWTONA. Dla warunków naszego zadania wzór METODY SIMPSONA przedstawia się następująco:,5 f ( x) dx = ( y + y6 + ( y + y ) + ( y + y + y5 )), Podstawiając wartości z tabeli uzyskujemy wynik:,5, f ( x) dx =, y =,() (,5,) (, +,57 + (,77 +, ) + (,8 +,9 +,) ) =, 6667,(),8 8,5 f ( x) dx =,667 ±,8, Zad.7 Obliczyć pracę wykonaną przez rozprężający się gaz, którego ciśnienie opisane jest poniższą funkcja stabelaryzowaną oraz oszacować błąd wyznaczenia tej wielkości. W = pdv węzły x y y y y y 9, -,,5 6,8,9 -,9,5 5,,9 -,8 -, -,6,5 5, -,7,6 -,7,6,5, -,5 -,8 -,5 5,5, -, -,86 6,5 Gdzie x to V [m ] a y to p [Pa]

9 Liczba węzłów równa 6, liczba parzysta, zatem wybieramy METODĘ SIMPSONA. Dla warunków naszego zadania wzór tej metody przedstawia się następująco: W = pdv = 6 + ( y + y + ( y + y ) + ( y + y y )) 5 Podstawiając wartości z tabeli uzyskujemy wynik:,5 W = pdv = y =,66(6) ( ) (,66(6) ),( ) 8 ( 9, +,5 + ( 5, +,5) + ( 6,8 + 5, +,) ) = 5,98( )J = W pdv = 5,98 ±, 5J Ściśle praca objętościowa dana jest wzorem W wartość bezwzględna W. k = p pdv, ale sam wynik jest obliczany jako