Jozef Lipták. a 2. i = A i = B 0 i = C 6 a. i = D

Transkrypt

1 Řešení písemné práce z Klasické elektrodnamik Jozef Lipták Úloha Na obrázku je průběh potenciálů Φ A,, Φ D pro čtři sférick smetrické nábojové hustot ρ A,, ρ D Pro r a se všechn potenciál shodují a platí, že Φ = /πɛ 0 r Pro 0 r < a je Φ A lineární funkce radiální souřadnice r, Φ C = konst a pro Φ B a Φ D pak platí Φ B r <a = 3a r πɛ 0 a 3, Φ D r <a = r πɛ 0 a a π ϵ0 a π ϵ0 3 a π ϵ0 a A B C Určete všechn objemové ρ A,, ρ D, plošné σ A,, σ D a bodové q A,, q D náboje, které budí potenciál Φ A, Φ B, Φ C a Φ D Určete celkové hodnot A,, D těchto nábojů D 0 0 a a a Objemovou hustotu náboje spočteme za pomoci Poissonov rovnice ρ = ɛ 0 Φ, kde pro sférick smetrický potenciál je nejsnazží spočíst fr = rf /r Pro r > a dostáváme samozřejme ρr > a = 0, v okolí počátku pak ρ i r < a = ɛ 0 U 0 ra 3 a i = A i = B 0 i = C 6 a i = D, kde U 0 = πɛ 0 a Plošné nábojové hustot se projeví nespojitostí elektrického pole a ted první derivace potenciálu To nastává pro případ C a D na sféře r = a To, že plošná nábojová hustota je dána nespojitostí radiální složk elektrického pole, je ve sférick smetrické situaci obzvlášt dobře patrné: náboj uvnitř sfér o poloměru r je dán přímo součinem ploch a elektrické indukce r = πr ɛ 0 E r r Konkrétně E C r a = 0, ED r a = U 0 a e r a protože těsně nad povrchem koule je pokaždé E r r a + = U 0 /a máme σ A = σ B = 0, σ C = 0 ɛ 0U 0 a = ɛ 0U 0 a, σ D = ɛ 0U 0 = 3 ɛ 0U 0 a a Protože elektrická intenzita v počátku je konečná, nemůže tam sídlit nenulový bodový náboj Nepřítomnost bodového náboje ovšem nezaručuje, že nábojová hustota je konečná, jak je vidět na příkladě nábojové hustot ρ A b Celkový náboj sídlí vžd v kouli r a a je ve všech čtřech případech roven To lze spočíst jednak sečtením nábojů plošných a objemových i = πa σ i + a 0 ρ i πr dr, a nebo mnohem snáze přímo z tvaru potenciálu pro r > a, který odpovídá právě poli bodového náboje

2 Úloha Dvě kuličk z vodivé a nestlačitelné kapalin o poloměrech nikoli průměrech 30 mm resp 50 mm se vzdáleností středů 0 mm se nacházejí na potenciálech 30 V resp +680 V vzhledem k nekonečnu V důsledku vzájemného elektrostatického přitahování se posléze obě spojí do jedné větší kulové kapk Nalezněte její elektrický potenciál taktéž vzhledem k nekonečnu Za každou platnou cifru výsledku dostanete 3 bod nanejvýš ovšem 5 Označíme-li poloměr kuliček a a b pak pro kuličku vzniklou splnutím máme c = 3 a 3 + b 3 Pro náboj bude platit c = a + b ; pro další výpočt zvolíme jednotk náboje [] = Vmm tak, že položíme πɛ 0 =, ted pro kapacitu kuličk o poloměru a máme C a = a Komplikace úloh spočívá v tom, že neznáme náboje, ale pouze napětí na kuličkách V nejnižší aproimaci při zanedbání jejich vzájemného ovlivňování dostaneme, že náboje jsou a = C a U a a b = C b U b, a ted U c = c /c = au a + bu b / 3 a 3 + b 3 Zadání je zvoleno tak, že tento výsledek dá právě jednu platnou cifru výsledku Na cvičení jsme nalezli matici kapacit zahrnující první opravu: a ab/d C AB = πɛ 0 ab/d b ted c = au a + bu b ab/du a + U b Na dalším cvičení jsme nalezli vztah pro posloupnost fiktivních nábojů, která dokáže udržet ekvipotenciál ve tvaru sfér se zadanými poloměr a napětími Nejprve jsme umístili náboje q 0 = au a a q 0 = bu b do vzdálenosti d a poté jsme mezi ně přidali fiktivní náboje s polohami a velikostí a s i = d s, s b i =, i d s i a q i = d s i q i, q i b = q i d s i Hledané c pak představuje jejich součet c = i q i + q i Na pět platných cifer potřebujeme: q i = { 000, 38, 80, 8, }Vmm, q i = {3000, 59, 65, 9, }Vmm, případně q i = { 39, 0579, 00089, 000, 0000}nC, q i = {3783, 09, 009, 000, 0000}nC, s i = {0, 055, 07, 073, 073}mm, s i = {0, 5688, 5708, 57087, 57087}mm Výsledné napětí sečtením šesti členů vjde 7555 V

3 Úloha 3 Nalezněte kapacitu kondenzátoru tvořeného dvěma koncentrickými elektrodami ve tvaru rotačních elipsoidů Vnitřní elektroda má rovníkový poloměr cm a polární poloměr 5cm, vnější elektroda má rovníkový poloměr 5cm a polární poloměr 7cm Rotační elipsoid, ze kterých je kondenzátor vtvořem, se dostanou rotací elips se zadanou hlavní a vedlejší polosou okolo hlavní poloos V prvním kroku si pro obě elips spočteme vzdálenost l ohnisek od středu Z vlastnosti elips, že součet vzdáleností od ohnisek je na elipse konstantní, aplikované na bod na osách, plne P = R + l Dosazením číselných hodnot pro vnitřní elipsoid R i = cm, P i = 5cm a pro vnější elipsoid R o = 5cm, P o = 7cm zjistíme, že pro oba elipsoid dostáváme stejnou hodnotu l = Pi Ri = Po Ro = cm Obrázek k úloze 3 Vertikální osa je osou aiální smetrie kondenzátoru Elisoid jsou tak konfokální: elips, které je generují mají stejná ohniska Na cvičení jsme nalezli skalární potenciál od nabité tčk a ukázali, že jeho ekvipotenciál jsou přesně konfokální elipsoid s ohnisk na krajích tčk Pole tčk tak lze též chápat jako vnější pole nabitého vodivého protáhlého elipsoidu Uvnitř takového elipsoidu je potenciál konstantní Pole dvou konfokálních elipsoidů pak dostaneme prostou superpozicí Zde vužíváme, že každý z elipsoidů leží na ekvipotenciále pole druhého elipsoidu Pro jeden elipsoid nabitý nábojem je pole vně elisoidu dáno vzorcem odvozeným na cvičení, φ = cosh η + log 8πε o l cosh η, kde eliptická souřadnice η je spojena se vzdálenostmi od ohnisek r, r + vztahem cosh η = r + r + l Součet vzdáleností od ohnisek je ale přesně dvojnásobek hlavní poloos P příslušné elips, ted cosh η = P l Tento vztah lze také přímo včíst z trasformací definujících tto křivočaré souřadnice, na pólu musí platit z = P = l cosh η, na rovníku na ose pak = R = l sinh η Na některých cvičeních jsme pak používali zkratku s = l cosh η Uvnitř elipsoidu je potenciál konstantní s hodnotou potenciálu danou spojitostí s polem vně Superpozicí polí elipsoidu o polosách R i, P i s nábojem + a elipsoidu o polosách R o, P o s nábojem mezi oběma elipsoid dostaneme φ = log cosh η + 8πε o l cosh η log cosh η o + cosh η o Vně vnějšího elipsoidu a na něm je potenciál nulový, uvnitř vnitřního elipsoidu a na něm je potenciál konstantní daný V = log cosh η i + 8πε o l cosh η i log cosh η o + cosh η o Použitím vztahu pro cosh η a spojením logaritmů dostaneme V = 8πε o l log P i + lp o l P o + lp i l Toto je též napětí mezi oběma částmi kondenzátoru Kapacita elipsoidálního kondenzátoru ted je C = V = 8πε ol log P i + lp o l = πɛ 0 + O l P o + lp i l P i P 0 P Poslední výraz reprezentuje rozvoj v bezrozměrné výstřednosti l P Dominantní člen má ilustrovat, že pro malé výstřednosti dostaneme známý vztah pro kapacitu kulového kondenzátoru Tento rozvoj však není obecně užitečný pro zadané hodnot Pro t dosazením do přesného výrazu dostáváme C = 38pF

4 Úloha Mějme náboje rozložené ve vrcholech a středu pravidelného šestiúhelníku jak je znázorněno na obrázku Vzdálenost nábojů ve vrcholech od počátku je a Určete tenzor dominantního multipólu pro toto rozložení a pomocí něj zapište skalární potenciál v závislosti na radiální vzdálenosti a směrovém vektoru e Po té nalezněte skalární potenciál φ a elektrickou intenzitu E ve sférických souřadnicích r, ϑ, ϕ 6 q Rozložení nábojů Poloh nábojů lze pomocí kartézských jednotkových vektorů zapsat: náboj q i průvodič r i člen r i r i 6q 0 0 q a e a e e q a e + a 3 e e e + 3 e e + e e + 3 e e q a e a 3 e e e 3 e e + e e + 3 e e q a e a e e q a e + a 3 e e e + 3 e e + e e + 3 e e q a e a 3 e e e 3 e e + e e + 3 e e Celkový náboj je nulový Dík středové smetrii nábojového rozložení je dipólový člen též nulový Druhý moment nábojového rozložení je pro diskrétní náboje dán sumou = i q i r i r i Dosazením dostáváme = 3qa e e + e e Dominantní člen multipólového rozložení je ted kvadrupól Tenzor, který ho charakterizuje, je dán bezestopou částí druhého momentu, K = 3 = 3 q Stopa momentu je = c c = 6qa a pro bezestopou část dostáváme K = 3qa e e e e + e z e z Skalární potenciál kvadrupólu je φ = πε o r 3 e K e V kartézských souřadnicích je jednotkový směrový vektor e = r e + e + z e z a potenciál tak je φ,, z = q a 3 πε o r 5 + z = q a 3 3 z πε o r 3 r Dosadíme-li směrový vektor vjádřený pomocí sférických úhlů e = sin ϑ cos ϕ e + sin ϑ sin ϕ e + cos ϑ e z, nalezneme skalární potenciál ve sférických souřadnicích, φr, ϑ, ϕ = q a 3 πε o r 3 3 cos ϑ = q a 3 πε o r 3 3 cosϑ +

5 Obra zek nı z e zobrazuje ekvipotencia l v r ezech = 0, = 0, z = 0, u hlova za vislost potencia lu pr i r = konst je zna zorne na v s e Derivacı podle sour adnic r, ϑ, ϕ se zahrnutı m Lame ho koeficientu h dostaneme komponent i elektricke intenzit, ~ ϑ, ϕ = q a 9 3 cos ϑ ~er + sinϑ ~eϑ Er, πεo r z z Ekvipotencia l skala rnı ho potencia lu v rovinna ch z = 0, = 0, = 0 U hlova za vislost skala rnı ho potencia lu