i = A i = B 0 i = C i = D Plošné nábojové hustoty se projeví nespojitostí elektrického pole a tedy první derivace potenciálu.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "i = A i = B 0 i = C i = D Plošné nábojové hustoty se projeví nespojitostí elektrického pole a tedy první derivace potenciálu."

Paulina Karczewska
5 lat temu
Przeglądów:

1 Řešení písemné práce Klscké elektrodnmk Klár Ševčíková Úloh N obráku je průběh potencálů Φ A,, Φ D pro čtř sférck smetrcké nábojové hustot ρ A,, ρ D Pro r se všechn potencál shodují pltí, že Φ = /4πɛ 0 r Pro 0 r < je Φ A lneární funkce rdální souřdnce r, Φ C = konst pro Φ B Φ D pk pltí Φ B r < = r 4πɛ 0, Φ D r < = r 4πɛ 0 Určete všechn objemové ρ A,, ρ D, plošné σ A,, σ D bodové A,, D náboje, které budí potencál Φ A, Φ B, Φ C Φ D Určete celkové hodnot A,, D těchto nábojů 4 π ϵ0 4 π ϵ0 4 π ϵ0 A B C D 0 0 Objemovou hustotu náboje spočteme pomoc Possonov rovnce ρ = ɛ 0 Φ, kde pro sférck smetrcký potencál je nejsnží spočíst fr = rf /r Pro r > dostáváme smořejme ρr > = 0, v okolí počátku pk ρ r < = ɛ 0 U 0 r = A = B 0 = C = D 4r r, kde U 0 = 4πɛ 0 Plošné nábojové hustot se projeví nespojtostí elektrckého pole ted první dervce potencálu To nstává pro přípd C D n sféře r = To, že plošná nábojová hustot je dán nespojtostí rdální složk elektrckého pole, je ve sférck smetrcké stuc obvlášt dobře ptrné: náboj uvntř sfér o poloměru r je dán přímo součnem ploch elektrcké ndukce r = 4πr ɛ 0 E r r Konkrétně E C r = 0, ED r = U 0 e r protože těsně nd povrchem koule je pokždé E r r + = U 0 / máme σ A = σ B = 0, σ C = 0 ɛ 0U 0 = ɛ 0U 0, σ D = / ɛ 0U 0 = ɛ 0U 0 Protože elektrcká ntent v počátku je konečná, nemůže tm sídlt nenulový bodový náboj Nepřítomnost bodového náboje ovšem neručuje, že nábojová hustot je konečná, jk je vdět n příkldě nábojové hustot ρ A b Celkový náboj sídlí vžd v koul r je ve všech čtřech přípdech roven To le spočíst jednk sečtením nábojů plošných objemových = 4π σ + 0 ρ 4πr dr, nebo mnohem snáe přímo tvru potencálu pro r >, který odpovídá právě pol bodového náboje

2 Úloh Dvě kulčk vodvé nestlčtelné kpln o poloměrech nkol průměrech 40 mm resp 50 mm se vdáleností středů 600 mm se ncháejí n potencálech 40 V resp +800 V vhledem k nekonečnu V důsledku vájemného elektrosttckého přthování se poslée obě spojí do jedné větší kulové kpk Nleněte její elektrcký potencál tktéž vhledem k nekonečnu Z kždou pltnou cfru výsledku dostnete bod nnejvýš ovšem 5 Ončíme-l poloměr kulček b pk pro kulčku vnklou splnutím máme c = + b Pro náboj bude pltt c = + b ; pro dlší výpočt volíme jednotk náboje [] = Vmm tk, že položíme 4πɛ 0 =, ted pro kpctu kulčk o poloměru máme C = Komplkce úloh spočívá v tom, že nenáme náboje, le poue npětí n kulčkách V nejnžší promc př nedbání jejch vájemného ovlvňování dostneme, že náboje jsou = C U b = C b U b, ted U c = c /c = U + bu b / + b Zdání je voleno tk, že tento výsledek dá právě jednu pltnou cfru výsledku N cvčení jsme nlel mtc kpct hrnující první oprvu: b/d C AB = 4πɛ 0 b/d b ted c = U + bu b b/du + U b N dlším cvčení jsme nlel vth pro posloupnost fktvních nábojů, která dokáže udržet ekvpotencál ve tvru sfér se dným poloměr npětím Nejprve jsme umístl náboje 0 = U 0 = bu b do vdálenost d poté jsme me ně přdl fktvní náboje s polohm velkostí s = d s, s b =, d s = d s, b = d s Hledné c pk předstvuje jejch součet c = + N pět pltných cfer potřebujeme: = {600, 667, 76, 5, 0}Vmm, = {40000,,, 6, }Vmm, přípdně = {5, 0967, 00085, 0007, 0}nC, = {44506, 06, 0048, 00007, 0000}nC, s = {0, 6667, 685, 6854, 6854}mm, s = {0, 4667, 485, 4854, 4854}mm Výsledné npětí sečtením šest členů vjde 4576 V

3 Úloh Nleněte kpctu kondenátoru tvořeného dvěm koncentrckým elektrodm ve tvru rotčních elpsodů Vntřní elektrod má rovníkový poloměr 4cm polární poloměr 4cm, vnější elektrod má rovníkový poloměr 8cm polární poloměr cm Rotční elpsod, e kterých je kondenátor vtvořem, se dostnou rotcí elps se dnou hlvní vedlejší polosou okolo vedlejší poloos V prvním kroku s pro obě elps spočteme vdálenost ohnsek od středu Z vlstnost elps, že součet vdáleností od ohnsek je n elpse konstntní, plkovné n bod n osách, plne R = P + Dosením číselných hodnot pro vntřní elpsod R = 4cm, P = 4cm pro vnější elpsod R o = 8cm, P o = cm jstíme, že pro ob elpsod dostáváme stejnou hodnotu = R P = Ro Po = 80cm Obráek k úloe Vertkální os je osou ální smetre kondenátoru Elsod jsou tk konfokální: elps, které je generují mjí stejná ohnsk N přednášce jsme nlel sklární potencál od nbtého vodvého ploštělého elpsodu ukál, že jeho ekvpotencál jsou přesně konfokální elpsod Umístění druhého vodče n tkovou ekvpotencálu toto pole nemění dojde k prosté superpoc polí obou elpsodů Pro jeden elpsod nbtý nábojem je pole vně elsodu dáno vorcem odvoeným n přednášce, φ = π 4πε o rctn snh η, kde elptcká souřdnce η je spojen se vdálenostm od ohnsek r, r + vthem cosh η = r + r + Součet vdáleností od ohnsek je le přesně dvojnásobek hlvní poloos R příslušné elps, ted cosh η = R R snh η = = P Tento vth le tké přímo včíst trsformcí defnujících tto křvočré souřdnce, n pólu musí pltt = P = snh η, n rovníku n ose pk = R = cosh η Uvntř elpsodu je potencál konstntní s hodnotou potencálu dnou spojtostí s polem vně Superpocí polí elpsodu o polosách R, P s nábojem + elpsodu o polosách R o, P o s nábojem me oběm elpsod dostneme φ = rctn snh η o rctn snh η 4πε o Vně vnějšího elpsodu n něm je potencál nulový, uvntř vntřního elpsodu n něm je potencál konstntní dný V = rctn P o 4πε o rctn P, kde jsme použl vth pro snh η Toto je ted též npětí me oběm částm kondenátoru Kpct elpsodálního kondenátoru ted je C = V = 4πε o rctn P o rctn P = 4πɛ 0 + O P P 0 P Poslední výr repreentuje rovoj v beroměrné výstřednost P Domnntní člen má lustrovt, že pro mlé výstřednost dostneme námý vth pro kpctu kulového kondenátoru Tento rovoj všk není obecně užtečný pro dné hodnot Pro t dosením do přesného výru dostáváme C = 9pF

4 Úloh 4 Mějme náboje roložené ve vrcholech středu prvdelného osmstěnu jk je náorněno n obráku Vdálenost nábojů ve vrcholech od počátku je Určete tenor domnntního multpólu pro toto roložení pomocí něj pšte sklární potencál v ávslost n rdální vdálenost směrovém vektoru e Po té nleněte sklární potencál φ elektrckou ntentu E ve sférckých souřdncích r,, ϕ Roložení nábojů Poloh nábojů le pomocí krtéských jednotkových vektorů pst: náboj průvodč r člen r r 0 0 e e e e e e e e e e e e e e + e e e + e e e + e e + e e + e e e e e e e e e e + e e e + e e e + e e + e e + e e Celkový náboj je nulový Dík středové smetr nábojového roložení je dpólový člen též nulový Druhý moment nábojového roložení je pro dskrétní náboje dán sumou = r r Dosením dostáváme = e e e e + e e Domnntní člen multpólového roložení je ted kvdrupól Tenor, který ho chrkteruje, je dán beestopou částí druhého momentu, K = = Stop momentu je = c c = pro beestopou část dostáváme K = e e + e e + e e + e e e e Sklární potencál kvdrupólu je φ = 4πε o r e K e V krtéských souřdncích je jednotkový směrový vektor e = r e + e + e potencál tk je φ,, = 4πε o r 5 6 = 4πε o r r 6 r

pr r = konst je n orne n v s e Dervcı podle sour dnc r,, ϕ se hrnutı m Lme ho koefcentu h dostneme komponent elektrcke ntent,!

5 Dosdı me-l sme rov vektor vj dr en pomocı sfe rck ch u hlu ~e = sn cos ϕ ~e + sn sn ϕ ~e + cos ~e, nleneme skl rnı potenc l ve sfe rck ch sour dncı ch, φr,, ϕ = cos sn snϕ = sn snϕ + 4πεo r 4πεo r Obr ek nı e obruje ekvpotenc l v r eech = 0, = 0, = 0, u hlov vslost potenc lu pr r = konst je n orne n v s e Dervcı podle sour dnc r,, ϕ se hrnutı m Lme ho koefcentu h dostneme komponent elektrcke ntent,! ~, ϕ = cos sn snϕ ~er + sn + snϕ ~e + sn cosϕ ~eϕ Er, 4πεo r4 Ekvpotenc l skl rnı ho potenc lu v rovnn ch = 0, = 0, = 0 U hlov vslost skl rnı ho potenc lu

Podobne dokumenty

Jozef Lipták. a 2. i = A i = B 0 i = C 6 a. i = D

Jozef Lipták. a 2. i = A i = B 0 i = C 6 a. i = D Řešení písemné práce z Klasické elektrodnamik Jozef Lipták Úloha Na obrázku je průběh potenciálů Φ A,, Φ D pro čtři sférick smetrické nábojové hustot ρ A,, ρ D Pro r a se všechn potenciál shodují a platí,