Symulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego wybrane aspekty. Grzegorz Szwałek Katedra Matematyki Stosowanej Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu

Transkrypt

1 Symulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego wybrane aspekty Grzegorz Szwałek Katedra Matematyki Stosowanej Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu

2 Plan prezentacji 1. Opis metody wyceny opcji rzeczywistej metodą Datara-Mathewsa, oraz jej rozszerzenie, 2. Opis metody skorelowania zmiennych losowych oraz wpływu skorelowania zmiennych na uzyskiwane wyniki, 3. Analiza przykładowej inwestycji z uwzględnieniem macierzy przejścia stanów implementacja metodologii CreditMetrics do analizy inwestycji w czasie

3 Metoda Datara-Mathews a Metoda została opracowana na potrzeby firmy Boeing przez Prof. Vinaya Datara z Seattle University oraz Scotta Matthewsa, Została opatentowana w 2005 roku, Metoda została opisana w 2007r. w Journal of Applied Corporate Finance

4 Metoda Datara-Mathews a

5 Metoda Datara-Mathews a

6 Zakładamy 3 scenariusze planowanych przepływów finansowych: 1. Pesymistyczny 2. Realistyczny 3. Optymistyczny Następnie na ich podstawie generujemy trójkątne rozkłady prawdopodobieństwa planowanych przepływów finansowych dla każdego z etapów projektu. Pesymistyczna Najbardziej prawdopodobny scenariusz Optymistyczna $0 M $100 M $200 M

7 c z ę s t o ś ć Najbardziej prawdopodobny scenariusz 67% Dodatni wynik finansowy $0 M Strata Wartość projekt inwestycji u Średnia $200 M

8 Jak widaćna rysunku prawdopodobieństwo zwrotu początkowych nakładów na projekt wynosi ok. 25%. Wartośćoczekiwana po odjęciu kosztów wynosi 24,73, stąd wartość opcji wyznaczonej metodą Datara- Mathews a wynosi 6,36.

9 Metoda DM z uwzględnieniem scenariuszy. 1. W oryginalnej metodzie DM scenariusze optymistyczny oraz pesymistyczny mają po 10% prawdopodobieństwa. 2. Sposób generowania zmiennych losowych prowadzi do paradoksu, zwiększając udziałprocentowy scenariusza optymistycznego (do pewnej wartości) zmniejszamy wartość opcji. Pesymistycz na Najbardziej prawdopodobn y scenariusz Optymistycz na $0 M $10 0 M $20 0 M

10 Inne podejście do metody Datara Mathewsa z generowaniem przychodów i kosztów W tym podejściu używając metody Monte Carlo generujemy trójkątne rozkłady przychodów oraz kosztów wg trzech scenariuszy a następnie uzyskujemy rozkład NPV w każdym z etapów projektu Przychody w 1 roku zdyskontowane stopą Koszty w 1 roku zdyskontowane stopą r W wyniku otrzymujemy przewidywany DCF 1

11 Postępujemy analogicznie jak w przykładzie z generowaniem NPV, lecz generujemy dwa rozkłady trójkątne przychodów i kosztów. Następnie dyskontujemy uzyskane zmienne losowe na czas t = 0 przy użyciu dwóch różnych stóp procentowych a następnie obliczamy NPV projektu w danym roku: Dla kosztów (bardziej realne) stosujemy stopęwolnąod ryzyka Dla przychodów (obarczone większym ryzykiem) stosujemy tzw. stopę procentową projektu, która jest większa od stopy wolnej od ryzyka. Dla każdego roku inwestycji postępujemy analogicznie. W rezultacie uzyskamy ostateczny rozkład NPV projektu składający sięz sumy poszczególnych lat. Wartośćopcji realnej wyznaczamy z równania: ROV = E(max(Zdysk. Przychody - Koszt projektu>0,0) ROV=Średnia[Max(Przychody-Koszt projektu>0,0)] Excel ROV = E(Przychody>Koszt projektu)*prawdopodobieństwo zwrotu nakładów ROV = Średnia(P>K)*Prawdopodobieństwo zwrotu nakładów Excel

12

13 Problem skorelowania zmiennych O skorelowaniu zmiennych losowych z danymi z analogicznego projektu wspomina autor metody w swoim artykule opisującym zastosowanie opcji rzeczywistych.

14 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1) o wariancji równej 1

15 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych z rozkładu N(0,1) o różnych wariancjach

16 Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych Metoda klasyczna macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli w przypadku dwuwymiarowym Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) współczynnik korelacji =0,7

17 Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych

18 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

19 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

20 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

21 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

22 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

23 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe

24 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,7

25 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe Współczynnik korelacji =0,8 Współczynnik korelacji =0,9

26 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,9

27 Wpływ korelacji na generowane zmienne losowe Współczynnik korelacji =0,2 Współczynnik korelacji =0,9 34% 49%

28 Analiza porównawcza róŝnych wersji metody Datara-Mathewsa Dane wejściowe projektu: 1.Czas trwania inwestycji 1 rok 2.Czas trwania projektu 7 lat 3.Stopa wolna od ryzyka dyskonto kosztów 5% 4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7% 5.Współczynnik korelacji = 0, korelacja z poprzednim rokiem 6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela

29

30 Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami inwestycji brak korelacji

31 Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami inwestycji typ AR(1), wsp. korelacji = 0,7

32 Wyniki uzyskane przy zastosowaniu kopuli gaussowskiej, typ AR(1)

33 Wykres skorelowania przychodów pomiędzy poszczególnymi latami inwestycji typ const, wsp. korelacji = 0,7

34

35 Wyniki uzyskane przy zastosowaniu kopuli gaussowskiej, typu stałego porównanie z typem AR(1)

36 Wykres przedstawia histogram NPV projektu z uwzględnieniem scenariuszy

37

38 Z czym moŝemy skorelować planowane przychody projektu 1. Z ceną rynkową 2. Z indeksem giełdowym 3. Z analogicznym projektem zrealizowanym w przeszłości

39 Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM 1. Jeżeli do skorelowania użyjemy rozkładu o podobnej wartości oczekiwanej oraz wariancji wtedy ograniczymy wpływ współczynnika korelacji na wartość opcji. Wartość opcji maleje, ale w niewielkim zakresie. W każdym z analizowanych okresów rozkład planowanych przepływów byłzbliżony do rozkładu, z którym byłkorelowany

40 Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM 2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartość opcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.

41 Wpływ skorelowania zmiennych losowych na wartość opcji DM 2. Jeżeli do skorelowania zmiennej losowej użyjemy rozkładu o większej wariancji, zauważamy dużo większy wpływ współczynnika korelacji na wartość opcji. Wycena przeprowadzona w ten sposób jest o wiele bardziej wrażliwa i wartość opcji maleje prawie do zera.

42 Macierz przejścia dla korelacji z historycznymi projektami Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0 Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 2, korelacja = 0,7

43 Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 3, korelacja = 0,7 Macierz przejścia pomiędzy rokiem 1 a 7, korelacja = 0,7

44 Przykładowe obliczenia wraz z zastosowaniem macierzy przejścia Dane wejściowe projektu: 1.Czas trwania inwestycji 1 rok 2.Czas trwania projektu 7 lat 3.Stopa wolna od ryzyka dyskonto kosztów 5% 4.Stopa dyskontowa przepływów finansowych 7% 5.Współczynnik korelacji = 0,85, korelacja z poprzednim rokiem 6.Wielkość przypływów oraz NPV projektu przedstawia poniższa tabela :15 wycinek ekranu

45

46

47

48

49

50

51 Wnioski Jeżeli do korelacji posłużymy się rozkładem niezmiennym w czasie, to wartość opcji nie zależy od współczynnika korelacji. Duży wpływ na wartość opcji ma typ rozkładu (bazowego) z którym będziemy korelować zmienne w poszczególnych okresach. Współczynnik korelacji skupia zmienne wokółwartości oczekiwanej, w związku z tym wpływa znacząco na zanikanie wartości ekstremalnych, co skutkuje zmniejszaniem się wartości opcji wraz ze wzrostem korelacji. Największe znaczenie na uzyskane rezultaty w tej metodzie ma zmienność, gdyż dzięki niej uzyskujemy duże wartości w ogonie rozkładu. Korelacja z poprzednim okresem znacząco wpływa na wzrost wartości opcji obliczanej metodą DM. Do wyceny projektu, bez informacji z czym i jak skorelowano zmienne, musimy podejśćz rezerwą.

52 Nieklasyczne metody oceny ryzyka Miara Expected Shortfall Badania, które doprowadziły do sformułowania pojęcia Expected Shortfall mają swój początek w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie, jak jest wartośćoczekiwana straty, którą możemy ponieść w α najgorszych przypadkach. W pracy Acerbi i Taschego (2001) autorzy wyszli od pojęcia ES próbkowego, który jest naturalnym estymatorem dla oczekiwanej straty. Expected Shortfall próbkowy wyraża się wzorem:

53 Nieklasyczne metody, oceny ryzyka Wskaźnik Racheva jest to stosunek oczekiwanego zysku uzyskanego na podstawie prawego ogona rozkładu zmiennej X o grubości α, do oczekiwanej straty wyznaczonej na podstawie lewego ogona rozkładu zmiennej X o grubości β. Parametry αi βdobiera subiektywnie inwestor. ( w szczególnym przypadku można przyjąć, że są równe)

54

55 Dziękuję za uwagę

56 Nieklasyczne metody, oceny ryzyka Wskaźnik Farinelli-Tibiletti- oceniający wyniki inwestycyjne przy zastosowaniu jednostronnej miary ryzyka dla dowolnego momentu częściowego rzędu pi qoraz progu m określającego próg zysku i straty gdzie

57 Nieklasyczne metody oceny ryzyka Wskaźnik d odpowiedniego rzędu p i q określony jest przez iloraz zdarzeń pozytywnych związanych z osiągnięciem zakładanego zysku i zdarzeń negatywnych przynoszących stratę. Wskaźnik ma interpretacjęekonomicznąw postaci nadwyżkowej stopy zwrotu przypadającej na jednostkę ryzyka związanego z jej osiągnięciem.

58 Przykładowe obliczenia Parametry αi βustalamy na 0,2 i 0,8 stąd mamy wartośćwskaźnika Ra-ratio

59 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli R.Doman Zastosowanie Kopuli w modelowaniu dynamiki zależności na rynkach finansowych UE Poznań 2011

60 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli

61 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli 1 Kopula (u,v) 0 1 (u,v) 0 1

62 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli 1 Kopula (u,v) 0 1 (u,v) 0 1

63 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli 1 Kopula (u,v) 0 1 (u,v) 0 1

64 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli Udowodnijmy teraz jeden z tych warunków

65 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli

66 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli

67 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli

68 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli

69 Skorelowanie dwóch zmiennych losowych przy zastosowaniu Kopuli R.Doman Zastosowanie Kopuli w modelowaniu dynamiki zależności na rynkach finansowych UE Poznań 2011

70 Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych Metoda klasyczna macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli w przypadku dwuwymiarowym Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) współczynnik korelacji =0,7

71 Różnice pomiędzy metodami skorelowania zmiennych Metoda klasyczna macierz wariancji Metoda przy zastosowaniu kopuli w przypadku dwuwymiarowym Załóżmy że korelujemy dwa symetryczne rozkłady trójkątne (90,100,110) wsp. korelacji =0,7