α o ROZWIĄZANIE PRANDTLA dla uplastycznionego klina gruntu 1. ZałoŜenia i dane

Transkrypt

1 ROZWIĄZNIE PRNDTL dla uplastycznionego klina gruntu 1. ZałoŜenia i dane Modelem gruntu jest ośrodek Coulomba: 1) niespoisty (c =, ϕ > ) i niewaŝki (γ = ), ) w płaskim stanie odkształcenia, 3) zalegający w postaci nieskończonego klina opisanego kątami: ε (do poziomu) β (do pionu), 4) spełniający w kaŝdym punkcie klina równania równowagi statycznej, 5) spełniający w kaŝdym punkcie klina warunek stanu granicznego (uplastycznienie), 6) obciąŝony równomiernie na krawędziach: = const pod kątem α o do normalnej, -ϕ < α o < ϕ 1 = const pod kątem δ do normalnej, -ϕ < δ < ϕ, przy czym zakładamy, Ŝe > 1. Szczegóły przedstawiono na rys.1. ω z x ρ + δ α o ε + β Rys.1. Prezentacja zagadnienia.. WaŜne uwagi Jedna z liczb albo 1 jest znana, natomiast druga jest do wyznaczenia. W modelu spręŝystym oba obciąŝenia mogłyby być dowolne, tutaj są one powiązane warunkiem uplastycznienia, analogicznie jak napręŝenie okólne i osiowe w trójosiówce w stanie plastycznego płynięcia próbki. Wszystkie pozostałe parametry muszą być znane, kąty dodatnie mają zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara, napręŝenia ściskające są dodatnie. Równaniami równowagi statycznej są równania róŝniczkowe cząstkowe: σ, + τ, = γ = σx, x + τ, z = Warunkiem stanu granicznego jest równanie algebraiczne: z z x (1) ( σ + σ ) sin ϕ ( σz σ x ) + 4 τ = z x () 1

2 Poza kilkoma prostymi przypadkami (np. parcia gruntu wg Coulomba), nie udaje się rozwiązać równań (1),() drogą analityczną tym bardziej dla γ >. MoŜna to jednak zrobić w sposób przybliŝony metodami numerycznymi, tzw. metodą charakterystyk. Wynika z tych rozwiązań w szczególności, Ŝe zadanie jest sformułowane nieprawidłowo (!). Wolno bowiem przyjąć, Ŝe jest znane i stałe wzdłuŝ krawędzi, ale wcale nie wiadomo, dlaczego szukane 1 na krawędzi miałoby wyjść równieŝ stałe. Obliczenia numeryczne wykazują, Ŝe obciąŝenie to jest trochę zmienne wzdłuŝ tej krawędzi klina: ma wartość asymptotyczną 1, ale stopniowo trochę maleje przy zbliŝaniu się do naroŝa. Poszukiwanie stałej wartości 1 wzdłuŝ całej krawędzi klina jest więc tylko postępowaniem przybliŝonym. 3. ZałoŜenie Prandtla ZałoŜenie, Ŝe poszukiwane 1 = const na całej krawędzi ma znacznie szerszy kontekst. Prandtl wprowadził walcowy (biegunowy) układ współrzędnych D z odległością ρ od naroŝa oraz z kątem ω liczonym do pionu, rys.1. Nie wchodząc w szczegóły: równania (1) zawierają wówczas przetransformowane składowe napręŝenia σ ρ, σ ω, τ ρω zamiast σ z, σ x, τ ; odpowiednio pochodne cząstkowe w nowych zmiennych / ρ oraz / ω zamiast / z oraz / x. Podstawowym uproszczeniem Prandtla jest załoŝenie, Ŝe wszystkie składowe napręŝenia w całym klinie nie zaleŝą od promienia ρ. Tak jest juŝ z załoŝenia wzdłuŝ krawędzi,, bo to teŝ są (skrajne) promienie. Jest to do przyjęcia równieŝ dla kątów ω pośrednich, zawartych między krawędziami klina. W takim razie, w klinie pozostaje wyłącznie zaleŝność napręŝeń od jednej zmiennej kąta ω. zatem układ równań róŝniczkowych cząstkowych (1),() przekształca się w układ równań róŝniczkowych zwyczajnych, bo znikają wszystkie pochodne / ρ a zostają jedynie / ω. Jest to zagadnienie znacznie prostsze do rozwiązania co nie znaczy, Ŝe jest proste. 4. Rozwiązanie Prandtla Z podobieństwa (jednokładności) wszystkich kół Mohra, stycznych do obwiedni τ = σ tgϕ, moŝna się spodziewać, Ŝe 1 jest proporcjonalne do i rzeczywiście, rozwiązaniem otrzymanym przez Prandtla jest: 1 a a jest współczynnikiem parcia gruntu wg Prandtla. Definiujemy waŝny parametr Θ zwany kątem wachlarza Prandtla: = (3) Θ = ω αo + α o ωδ + δ + + ε β (4) gdzie ω αo obliczamy z równania: sin(ω αo ) = sin(α o )/sin(ϕ) ω δ obliczamy z równania: sin(ω δ ) = sin(δ)/sin(ϕ)

3 Jeśli Θ (zazwyczaj tak jest), to: Jeśli Θ, to: a cosδ cosωδ a = exp{ Θ tgϕ} (5a) cosα + cosω cosδ cosωδ = cosα + cosω o o αo αo cos(n) cos(m) (5a) cos(n) + cos(m) gdzie kąt n obliczamy z równania: sin(n) = sin(ϕ) sin(m) przy czym m = π/ + Θ. 5. Interpretacja kinematyczna Tak jak w trójosiówce, uplastycznieniu towarzyszy płaszczyzna ścięcia (poślizgu) pod kątem π/4 ± ϕ/ względem napręŝeń głównych σ i. W klinie te kierunki główne σ i są jednak zmienne i lokalne poślizgi w sąsiednich punktach składają się na linie o dosyć złoŝonym kształcie, rys.. 1 w w Rys.. Linie poślizgu Występują dwie rodziny prostoliniowych równoległych linii poślizgu (ścięcia): klin odporu W klin parcia W oraz strefa przejściowa w w zwana wachlarzem Prandtla (promienie z naroŝa oraz spirale logarytmiczne), która w sposób ciągły i gładki (ciągłe styczne) łączy te dwie rodziny z sąsiadujących klinów. Wartość kąta w w wynosi Θ, czyli kąt Θ jest rozwartością wachlarza Prtandtla. Dla przypadku Θ, wachlarz Prandtla fizycznie nie występuje, linie poślizgu są w całości liniami prostymi, przechodzącymi z klina odporu do klina parcia. Te kliny, w pewnym sensie, przenikają się. PoniewaŜ uplastycznienie jest zakładane w kaŝdym punkcie klina, więc narysowane powyŝej linie poślizgu de facto występują nieskończenie gęsto. 3

4 6. Przykłady zastosowań Przykład 1: Zgodność z teorią Coulomba dla parcia czynnego. W tym przypadku ε =, β =, α o =, δ =. lin gruntu jest ćwiartką dolną płaszczyzny, tj. x >, z >. Zatem równieŝ ω αo =, ω δ = i w końcu we wzorze (4) jest Θ =. Znane jest, a szukane jest 1, przy czym 1 < i zachodzi stan graniczny, czyli 1 oznacza dokładnie parcie czynne gruntu e a na gładką, pionową ścianę. ezpośrednie podstawienie do (5) potwierdza, Ŝe: 1 = 1+ 1 = a, co pokrywa się ze wzorem Coulomba: e a = a (γ z + ) = a. π/4+ϕ/ Zwykły klin parcia czynnego wg Coulomba składa się tutaj z klina parcia przy ścianie i klina odporu przy powierzchni, ale w sumie dają one jeden trójkąt. Wachlarz Prandtla nie występuje, redukuje się do jednej linii o zerowej grubości. 4

5 Przykład : W teorii Prandtla odpór bardzo łatwo wynika z parcia Dotychczas zakładano, Ŝe zadane jest, a szukane jest 1, przy czym 1 <, oraz Ŝe cały klin jest uplastyczniony. W domyśle: jest przyłoŝonym obciąŝeniem gruntu, a 1 jest mniejszym od niego parciem gruntu na ścianę, która ma moŝliwość przemieszczeń od gruntu (parcie gruntu na ścianę zmaleje, bo zaczyna on pracować na ścinanie). Nic nie stoi na przeszkodzi, aby odwrócić sytuację: zadane jest 1, a szukane jest, przy czym jak poprzednio 1 <, oraz Ŝe cały klin jest uplastyczniony. W domyśle: 1 jest przyłoŝonym obciąŝeniem gruntu, a jest większym od niego odporem gruntu na ścianę, która ma moŝliwość przemieszczeń do gruntu (parcie gruntu na ścianę wzrośnie, bo trzeba pokonać opór gruntu na ścinanie). zatem od razu z (3) otrzymuje się = (3*) lub po prostu 1 a 1 = 1 p gdzie p = Zachodzi więc (jak i u Coulomba): p a = 1, co nie jest prawdziwe u Ponceleta i Mullera-reslaua (teŝ PN-83/-31). W odróŝnieniu od teorii Rankine a, Coulomba, czy Ponceleta, odpór i parcie są u Prandtla właściwie tym samym przypadkiem, problem tylko jak obrócić klin gruntu (co jest znane, a co szukane). Dobrze koresponduje to z doświadczeniem, bo ścięcie (poślizg) w próbce jest jednym zjawiskiem fizycznym i jedno jest graniczne koło Mohra. Czy nazwać to stanem czynnym, czy stanem biernym, decyduje dla σ 1 > σ 3 : σ z = σ 1 oraz σ x = σ 3 ten przypadek oznacza parcie σ x = σ 1 oraz σ z = σ 3 ten przypadek oznacza odpór. a 5

6 Przykład 3: Z klinem waŝkim są kłopoty (prawie) nie do pokonania CięŜar własny γ > wyklucza dopuszczalność załoŝenia Prandtla z pkt.3, bo napręŝenia rosłyby z głębokością (kierunek pionowy jest jednym z promieni ρ), więc metoda sypie się. 1) Jeśli obciąŝenia zewnętrzne lub 1 są bardzo duŝe w stosunku do obciąŝeń od cięŝaru własnego γ > (np. cienka warstwa gruntu lub niska ściana oporowa), to całkowite pominięcie cięŝaru własnego mogłoby być czasem dopuszczalne. ) Zwykle jednak tak nie jest, a wtedy wpływ γ > szacuje się inną metodą (dla = ) i dodaje do wpływu z rozwiązania Prandtla. Takim szacowaniem moŝe być równieŝ całkowanie rozwiązania Prandtla dla = const, co jest przedstawione poniŝej. h d d d Niech będzie ε =. Jeśli za stałe obciąŝenie (pionowe) przyjąć d = γ dz i przyłoŝyć je na pewnej głębokości wewnątrz klina, to poniŝej tego poziomu wystąpi w przybliŝeniu parcie na ścianę d 1 = d a wg wzoru (3). Potem naleŝy wysumować działanie wszystkich takich pasków d w całym zakresie wysokości. MoŜna uznać to za przybliŝenie bezpieczne, bo w rzeczywistości d nie są stałe na danym poziomie trochę maleją przy ścianie (część obciąŝeń pionowych przeniósł juŝ odcinek ściany leŝący powyŝej rozpatrywanego paska). zatem d 1 jest (lekko) zawyŝone. W warunkach Coulomba jest to oczywiście metoda ścisła. Jest więc w przybliŝeniu (raczej dla kątów β nachylenia ściany bliskich zeru): h a d = a γ dz = a γ h = aγ γ l (wykres po trójkącie), 1 gdzie przyjęto zmienną l jako długość odcinka, a takŝe a γ = a cosβ. Dygresja: Takie dodawanie rozwiązań w ramach stanów granicznych, czy ogólniej plastyczności, wymaga ostroŝności w odróŝnieniu od np. liniowej spręŝystości. Na ogół bowiem zasada superpozycji tutaj nie zachodzi. Jeśli klocek o cięŝarze N 1 leŝy na poziomej szorstkiej powierzchni o współczynniku tarcia µ, a siła T 1 = µ N 1 przesuwa go ruchem jednostajnym w prawo, to jest to stan graniczny (poślizg). Oczywiście, siła T = µ N 1 będzie tak samo przesuwała w lewo (poślizg) klocek o cięŝarze N 1. Jeśli skleić ze sobą takie dwa klocki (cięŝar N 1 ) i przyłoŝyć obie siły poziome, to nie spowoduje to stanu granicznego, poniewaŝ T = T 1 + T =. Suma stanów granicznych nie jest tutaj stanem granicznym. W przypadku, gdy obie siły działają w tę samą stronę, suma stanów granicznych jest stanem granicznym, bo: T = µ N, jeśli T = T 1 + T, N = N 1, przy czym tutaj T 1 = µ N 1, T = µ N 1. ardziej serio: to samo przenosi się na napręŝenia, jeśli kierunki główne są identyczne (oba σ 1 są równoległe i oba σ 3 są równoległe wzajemnie do siebie - nie dotyczy σ 1 równoległego do σ 3 oraz σ 3 równoległego do σ 1, tj. rotacji o 9 o dlaczego?). 6

7 Przykład 4: Nośność ławy fundamentowej Q fn Nie od razu to widać, ale powszechnie stosowany (normowy) wzór na nośność Q fn wynika z rozwiązania Prandtla dla klina. Wyprowadza się go w wersji dla napręŝeń, czyli dla fn = Q fn /, tj.: fn = c N c + γ D D min N D + γ N 1. Zakładamy, Ŝe c =. Jeśli tak nie jest, to N c łatwo otrzymać z tzw. zasady odpowiadających stanów napręŝeń (następny wykład), N c = ctgϕ (N D 1). Uwzględnienie c > następuje w sposób ścisły i ten wpływ się sumuje.. Zakładamy, Ŝe γ =. Przypadek γ > moŝna uwzględnić wyłącznie metodami przybliŝonymi, co zasygnalizowano w poprzednim przykładzie. Sumowanie tego wpływu jest tylko przybliŝone (róŝne źródła mogą zatem przyjmować np. róŝną postać współczynnika N ). 3. Trzeba wykazać, Ŝe fn = γ D Dmin N D, czyli wyznaczyć N D. ObciąŜenie fn przedłuŝa się do nieskończoności, bo o nośności ławy decyduje i tak strona przeciwna, gdzie 1 jest mniejsze (D min wg normy). W tym przypadku znane są: 1 = γ D D min, ε =, β = -π/, α o =, δ =. Zatem równieŝ ω αo =, ω δ = i w końcu we wzorze (4) jest Θ = (-π/) = π/ >. Oczywiście szukamy = fn > 1. lin Prandtla jest wyprostowany i tworzy półpłaszczyznę o poziomej krawędzi. 1 w w Na podstawie (3*) z Przykładu otrzymuje się po prostu 1+ N D = exp{ π tgϕ}. 1 1 N D = p =, czyli z (5a): a 7