STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne I. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne II 7. Regresja liniowa 8. Regresja nieliniowa 9. Określenie jakości dopasowania równania regresji liniowej i nieliniowej 10. Korelacja 11. Elementy statystycznego modelowania danych 12. Porównywanie modeli 13. Analiza wariancji 14. Analiza kowariancji 15. Podsumowanie dotychczasowego materiału, wspólna analiza przykładów, dyskusja

2 WSTĘP 1. Korelacja liniowa Pearsona obliczanie testowaie korelacja wielokrotna 2. Korelacja rangowa Spearmana obliczanie Testowanie 3. Inne miary korelacji

3 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

4 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - definicja r y n n i1 y y i n 2 y y i i1 i1 oryginalne odchylenia masa tłuszcz masa tłuszcz odchylenia od średniej: n i yi y i średnia: i i 2

5 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - definicja r y n n i1 y y i n 2 y y i i1 i1 i i 2 1. Miara zależności pomiędzy 2ma zmiennymi (,y) 2. Założenia: ciągłe wartości zmiennych normalny rozkład zmiennych mierzy zależność liniową 3. Wartości [ -1, 1 ]

6 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - przykłady y y r y = -1 r y = -0.9 y r y = r y = 1 15 y

7 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - przykłady y11 1 r y = y11 1 r y = y11 1 r y = y11 1 r y =

8 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - przykłady PRÓBA DANYCH MASA CIAŁA ZAW. TŁUSZCZU r =

9 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA - testowanie 1. Hipotezy H 0 : brak korelacji między masą ciała, a zaw. tłuszczu H 1 : istnieje korelacja między masą ciała, a zaw. tłuszczu H 0 : r = 0 H 1 : r 0 2. Założone maksymalne prawdopodob. błędu a MAX = Test: t = r n 2 1 r 2 ~t n 2 4. Prawdopodobieństwo błędu dla t=7.47 wynosi a T = a MAX > a T. H 1 7. Występuje dodatnia korelacja między masą ciała, a zawartością tłuszczu

10 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI WIELOKROTNEJ - definicja 1. Miara jak daną zmienną można przewidzieć stosując liniową funkcję innych zmiennych 2. Mierzy jedynie siłę lecz nie kierunek zmian 3. Wartości [ 0, 1 ]

11 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA

12 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA - definicja y 1. Miara zależności pomiędzy 2ma zmiennymi (,y) 2. Brak założeń dotyczących rozkładu zmiennych 3. Brak założeń dotyczących liniowej zależności pomiędzy zmiennymi 4. Mierzy zależność monotoniczną 5. Wykorzystuje ranking obserwacji i1 1 2 N n N d 2 i 1 różnica w rankingu zmiennych i y. Wartości [ -1, 1 ]

13 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA - przykłady y11 1 y = y11 1 y = y11 1 y = y11 1 y =

14 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA- przykłady objętość [cm 3 ] częstotliwość [Hz] PRÓBA DANYCH samców Fregata magnificens 2. Powiązanie objętości worka z częstotliwością wydawanego dźwięku = - 0.7

15 WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI SPEARMANA - testowanie 1. Hipotezy H 0 : brak korelacji między objętością, a częstotliwością H 1 : istnieje korelacja między objętością, a częstotliwością H 0 : = 0 H 1 : 0 2. Założone maksymalne prawdopodob. błędu a MAX = Test: 4. Prawdopodobieństwo błędu dla t=-4.8 wynosi a T = a MAX > a T. H 1 t N ~ t N 7. Występuje ujemna korelacja między objętością worka, a częstotliwością dźwięku 2

16 y y y WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA vs. SPEARMANA y y y y y y P S P S P S

17 INNE MIARY KORELACJI

18 WSPÓŁCZYNNIK TAU (Kendall) τ = n c n d n(n 1) 2 objęt ość [cm 3 ] częstotliw ość [Hz] Ranga 1 Ranga 2 # zgodnych rang # niezgodn ych rang Suma rang Miara korelacji oparta na rangach τ [ 1,1] τ = (18 1) 2 τ = 0.57

19 WSPÓŁCZYNNIK TAU (Kendall) 1. Hipotezy H 0 : brak korelacji między objętością, a częstotliwością H 1 : istnieje korelacja między objętością, a częstotliwością H 0 : t = 0 H 1 : t 0 2. Założone maksymalne prawdopodob. błędu a MAX = Test: z = 4. Prawdopodobieństwo błędu dla z=-3.30 wynosi a T = a MAX > a T τ 0 2(2n + 5) 9n(n 1) = = 3.30 ~N(0,1). H 1 7. Występuje ujemna korelacja między objętością, a częstotliwością

20 WSPÓŁCZYNNIK GAMMA (Goodman i Kruskal) γ = n c n d Miara korelacji oparta na rangach n c + n d Podobna do t γ [ 1,1] 3. Test: z = 3γ n(n 1) 2(2n + 5) = = 3.17 ~N(0,1) 4. Prawdopodobieństwo błędu dla z=-3.17 wynosi a T = a MAX > a T. H 1 7. Występuje ujemna korelacja między objętością, a częstotliwością

21 LITERATURA

22 1. Korelacja liniowa Pearsona obliczanie testowaie korelacja wielokrotna 2. Korelacja rangowa Spearmana obliczanie Testowanie 3. Inne miary korelacji