Wyznaczenie momentu bezwładności przy uŝyciu

Transkrypt

1 Wyznaczenie momentu bezwładności przy uŝyciu wahadła torsyjnego

2 Wahadło torsyjne Równanie ruchu obrotowego krąŝka d α I dt M M Dα I moment bezwładności krąŝka M moment siły D moment kierujący r drut d α D + α dt I Równanie oscyatora harmonicznego α α A sin( ωt + ϕ) Częstość kołowa Okres drgań ω π D I I D T R ) Informacja o momencie bezwładności ) Informacja o własnościach spręŝystych drutu

3 Wahadło torsyjne Nowy moment bezwładności z tw. Steinera: I I + [ m( R r) + mr π I D T ] r w Dwa wace o masie m Moment bezwładności waca wzgędem osi I w /mr I D T π R Wyznaczając doświadczanie T oraz T znajdziemy D oraz nieznany moment bezwładności I Podczas drgań wahadła zachodzi odkształcenie drutu poegające na ścinaniu

4 Odkształcenia spręŝyste SpręŜystość (eastyczność) własność powodująca, Ŝe odkształcone ciało dąŝy do stanu początkowego. Da ideanie spręŝystych ciał napręŝenia w nich wywoływane są jednoznacznymi funkcjami odkształceń. Przy niewiekich odkształceniach własności ciał stałych moŝna opisywać traktując je jak ciała ideanie spręŝyste, wtedy, jak to wykrył R. Hooke da prostych odkształceń, odkształcenie jest proporcjonane do napręŝenia (sprawdźmy czy ono działa ). a potem zajmijmy się przypadkiem odkształcenia postaci bez zmiany objętości jakim jest tzw. ścinanie

5 Ścinanie RozwaŜmy kostkę prostopadłościenną przykejonej do podłoŝa * γ σ t γ KaŜdy eement górnej powierzchni kostki poddany jest napręŝeniu stycznemu σ t F S F siła działająca stycznie do górnej powierzchni kostki S powierzchnia górnej ścianki kostki Odkształcenie kostki poega przesunięciu górnej ścianki w kierunku napręŝenia, bez zmiany kształtu tej ścianki. Ścianka przednia i tyna przyjmują kształt równoegłoboków, ścianki boczne pochyają się o kąt γ W tym wypadku prawo Hooke a ma postać: γ σ t G G moduł sztywności * Aby napręŝenia powstające na brzegach nie miały znaczenia wysokość kostki powinna być znacznie mniejsza od pozostałych wymiarów

6 Skręcanie (ścinanie) pręta -F z dr r γ ϕ Pręt dzieimy na rurki o promieniu r i grubości dr Górny koniec rurki jest zamocowany. Do donego końca przykładamy parę sił o tej samej wartości i przeciwnych zwrotach tworzą one moment skręcający pręt, który równowaŝą napręŝenia ścinające powstałe w pręcie. rϕ F z KaŜdy eement rurki uega ścinaniu o kąt γ PoniewaŜ γ γ σ t G rϕ G moduł sztywności ϕ - kąt skręcenia końca rurki długość rurki Zatem napręŝenie ścinające: rϕ σ t G

7 Moment sił spręŝystości równowaŝący moment sił zewnętrznych: dm dm dm dm dm Fr σ S t r σ πr dr t r rϕ G πr dr π G 3 ϕ r dr Skręcanie pręta σ t F S F siła styczna S powierzchnia przekroju rurki Sumując przyczynki od rurek o róŝnych promieniach dostajemy całkowity moment sił spręŝystości równowaŝący moment sił zewnętrznych πg R 4 G πr M ϕ r dr ϕ Dϕ σ γg t rϕ G z definicji napręŝenia ścinającego G πr 4 3 D J G D moment kierujący J geometryczny moment bezwładności J S r ds

8 Badając drgania torsyjne wahadła fizycznego moŝemy wyznaczyć moduł sztywności G materiału, z którego wykonany jest drut Materiał Moduł sztywności GPa Współczynnik Poissona guma miedź sta 8.9 wofram 3.7 szkło

9 Skręcanie wałów napędzających maszyny Moc przekazywana przez wał napędowy: PMω Zamiast wałów stosuje się czasem rury ) ( 4 4 R R 3 J G R R G dr r G M r ϕ ϕ π ϕ π R ω ω ω ω ω ω M dt d I dt d I I dt d E dt d P k ) ( ) ( dt d I M ω ) ( 4 4 R R J r π Jaki powinien być promień zewnętrzny R rury o promieniu wewnętrznym R, aby dawała ona taki sam moment skręcający jak pręt o promieniu R R ) ( R R R π π,9 4 R R R S S R R Warto uŝywać pustych wałków!

10 SpręŜyna Przy rozciąganiu spręŝyny drut, z którego jest ona wykonana uega skręceniu o kąt α (nie jest to jednak tak proste jakby się wydawało trudno zauwaŝyć skręcenie drutu, gdy rozciągamy spręŝynę jak to się dzieje - patrz dodatek). ϕ h R s Skręcenie to wywoła pojawienie się momentu siły: M πr M 4 G ϕ R F s R s promień spręŝyny r promień drutu długość drutu Moment sił spręŝystości równowaŝy moment siły zewnętrznej F przyłoŝonej dokładnie wzdłuŝ osi spręŝyny Łącząc powyŝsze wzory i biorąc pod uwagę, Ŝe długość drutu spręŝyna wynosi πnr s (gdzie N iczba zwojów spręŝyny) dostajemy ostatecznie: F 4 Gr 4R N 3 s h F z k h k 4 Gr 3 4R N s

11 F n Rozciąganie drutu WydłuŜenie wzgędne: ε Prawo Hooke a (da niewiekich odkształceń): ε σ σ E F n S PrzewęŜenie wzgędne: σ- napręŝenie normane E moduł Younga F n SE t d Da odkształceń spręŝystych: ε µε t ub F n µ - współczynnik Poissona d ε d ε t µ ε

12 Moduł Younga Materiał Moduł Younga (E) GPa Materiał Moduł Younga (E) GPa guma,-, Poietyen (LDPE), Poipropyen (PP),5-, Osłonka wirusa -3 Poi(tereftaan etyenu) (PET),-,5 Poistyren (PS) 3,-3,5 Nyon -4 Drewno dębowe (wzdłuŝ włókien) Szkło (SiO, NaCO3, CaCO3) Mosiądz (Cu, Zn) i Brąz (Cu, Sn) Tytan (Ti) 5- Kompozyt z włókna węgowego 5 śeazo kute i sta 9- Wofram (W) 4-4 Węgik krzemu (SiC) 45 Beton wysokiej wytrzymałości (ściskany) 3 Węgik tytanu (TiC) Miedź -5 Magnez (Mg) 45 Cynk 84 Stop ginu (auminium) (A) Szkło (SiO, NaCO3, CaCO3) Ołów 6 Cyna 47 Nanorurka [] > Diament (C) 5-

13 Współczynnik Poissona Materiał µ Guma,46-,49 Ołów,45 Auminium,34 Sta,9 Szkło,-,3 Kwarc, Wofram,7

14 Zmiana objętości pręta przy rozciąganiu z x y + r + r r Zmiana obj to ci przy rozci ganiu: Zmiana objętości przy rozciąganiu: ) ( π π ) ( ) π( µ σ σ µ σ E V E E V r r r r r r V Doświadczenie pokazuje, Ŝe V/V µ /

15 Wzgędna zmiana objętości: p ε ε µ t V p p Odkształcenie objętości p p p δ K V V κ κp p ciśnienie κ- współczynnik ściśiwości K moduł ściśiwości Doświadczenie myśowe: - kaŝda z krawędzi uega skróceniu o czynnik (-p/e) - jednocześnie w wyniku działania ciśnienia w kierunku poprzecznym poissonowskiemu wydłuŝeniu w stosunku (+µp/e)(+µp/e) Długość krawędzi po deformacji: 3 6 (-p/e)(+µp/e) 3 p µ p p µ p 3( µ ) + V ( 3 )( + 6 ) V p E E E E E V 3( µ ) V E p κ 3( µ ) E ub K E 3( µ )

16 Związek pomiędzy modułem Younga i modułem sztywności. RozwaŜmy ścinanie płytki (w poziomie i w pionie, płyta się nie obraca ) a F a γ a F D a a γ π + γ a F γ F d grubość płytki Wypadkowa siła wzdłuŝ przekątnej, do powierzchni przekroju płytki wzdłuŝ przekątnej NapręŜenie styczne: σ t F ad NapręŜenie normane: γ F F σ n σ t ad ad π γ bo w efekcie ścinania w pionie i poziomie kąt ścięcia est dwa razy większy σ n σ t

17 NapręŜenia normane rozciąga przekątną Zmiana kąta pomiędzy bokami γ σ t G G moduł sztywności D a Zmiana długości przekątnej: - rozciąganie podłuŝne -ściskanie poissonowskie γ tg γ a a / a a γ σ t G D σ n σ n + µ D + µ D σ nd E E E a σ t a G + µ a σ ta E σ t + µ σ t G E a + µ E σ t G a E ( + µ ) Czyi: ograniczenie na G mniejsze niŝ E (od /3 do / E) µ > wsp. Poissona

18 Zginanie beki Popatrzmy jak odkształca się gumka myszka, napisy na papierze h - przed odkształceniem przekroje p, q były równoegłe (odegłe od punktu zamocowania o x, x+ x - po ugięciu przekroje tworzą kąt ϕ - warstwa V znajdująca się w odegłości y od warstwy W (neutranej) wydłuŝa się o ϕy - eement beki o długości x i grubości y i szerokości b jest odkształcany pod wpływem siły F n σ A ( A poe przekroju poprzecznego warstwy V) H. Szydłowski Pracownia Fizyczna (PWN)

19 F n σ A Eε A Powierzchnia eementu V : Ab y WydłuŜenie wzgędne (rysunek): Stąd: F n ϕy E b y x Moment tej siły wzgędem warstwy W y ε ϕ x ϕ M y Fn E by y x Sumując przyczynki od wszystkich warstw mamy: ϕ h / M E ϕ by dy E J x h / x gdzie geometryczny moment bezwładności (eement powierzchni zamiast masy) J h / by dy h / A y da

20 Da beki o przekroju prostokątnym (zginanej prostopade do h) J bh 3 y h Moment sił spręŝystości wytworzony w eemencie beki o długości x : ϕ M E J x Bekę odkształca moment siły zewnętrznej F b ϕ M ( x) F M EJ x F ϕ ( x) x EJ PoniewaŜ pomiędzy stycznymi do beki w punktach p, q wynosi ϕ, to przyczynek S do ugięcia beki S wyniesie: S ϕ( x) F S ( x) x EJ

21 Sumując ugięcia od wszystkich przyczynków x dostajemy: F F 3 S ( x) dx EJ 3 EJ Da beki o przekroju prostokątnym: 3 4 S F 3 bh E Ugięcie zaeŝy od kształtu przekroju! J t J p J r π 4 R 4 4 π ( R R 4 4 ) 3 3 ( DH dh ) R R R Im większy moment Geometryczny, tym trudniej zginać! Materiał powinien być więc jak najdaej od osi zginania. Puste w środku wytrzymasze? Mosty, konstrukcje i kości d/ D h H

22 Podparcie (niewaŝkiej ) beki z F/ dwóch końców F/ F Beka zamocowana z jednej strony S Beka podparta z dwóch stron F 4 ( / ) 3 bh EJ S ( / ) / 6 F S 3 bh EJ Czyi znacznie mniej się ugina! Spróbujcie sami znaeźć ugięcie beki zamocowanej z dwóch stron

23 J x E M ϕ Moment siły jeszcze raz R x ϕ R x ϕ Promień krzywizny ) ( ) ( x R EJ x M z Z matematyki wiadomo, Ŝe krzywizna y 3 / + x z x z R x z R Da małych ugięć: Stąd moŝna uzyskać informacje kształcie beki

24 M ( x) z x F EJ EJ ( z x x) z F ( x) + C x EJ F 3 z( x) ( x) + Cx + D 6 EJ warunki brzegowe równanie na kształt beki z da x z, x F C EJ F D 6 EJ 3 Strzałka ugjęcia beki zamocowanej na jednym z końców F z ( ) 3 EJ 3 Wyboczenie beki (warto sprawdzić) z M ( x) EJ x F F

25

26 Mikroskop AFM mikroskop optyczny z kamerą AFM ~5cm podstawa MutiMode AFM +Nanoscope IIIa Digita Instruments (obecnie Veeco)

27 Budowa mikroskopu AFM: ruchoma próbka Mikroskop optyczny z kamerą Reguacja połoŝenia dźwigni w płaszczyźnie Skaner Uchwyt dźwigni Głowica Mocowanie skanera Wyświetacz Przewody Baza Podstawka

28 Dźwignia tapping mode Długość 5 µm Szerokość 3 µm Grubość 3 µm Wysokość µm Stała spręŝystości N/m Częstość rezonansowa ~3 khz Promień krzywizny nm Kąt rozwarcia stoŝka 3

29 Tryb kontaktowy ( contact mode )

30 Tryb kontaktowy ( contact mode )

31 (TappingMode TM AFM)

32 EFM Eectric Force Microscopy (Kevin Probe Microscopy) F( x) F( x ) + F x ( x x )... + ω F ω x k Siła eektryczna (gradient) zmiana częstości rezonansowej Pęta sprzęŝenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu Przyciąganie Spadek częstości Odpychanie Wzrost częstości Doświadczenie w skai makro z cięŝarkiem na brzeszczocie i magnesami

33 Dioda Schottky ego Au/GaN (złącze meta-półprzewodnik) topografia granica półprzezroczystej warstwy Au potencjał

34 GaN GaN LT Buffer sapphire.µm potecjał (KPFM) topografia (AFM)

35 MFM Magnetic Force Microscopy F( x) F( x ) + F x ( x x )... + ω F ω x k Siła magnetyczna (gradient) zmiana częstości rezonansowej Pęta sprzęŝenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu Przyciąganie Wzrost częstości Odpychanie Spadek częstości

36 Mikroskop sił magnetycznych (MFM)

37 Nanorurki węgowe L. Forroro et a. Eectronic and mechanica properties of carbon nanotubes,

38 Moduł Younga da nanorurki? L. Forroro et a. Eectronic and mechanica properties of carbon nanotubes (Wikipedia) A. Voodin et a.,phys. Rev. Lett. 84, 334 () Paaci et a., Phys. Rev. Lett. 94, 755 (5)

39