Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1)
|
|
- Izabela Krzemińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1) 1 Wprowadzenie Celem wykładu jest omówienie (znanego z wcześniejszych zajęć) modelu produkcji typu input-output w postaci pozwalającej na zaprogramowanie w pakiecie GEMPACK. Dla uproszczenia model 1 jest modelem gospodarki zamknietej, tj. nie obejmuje importu i eksportu. 2 Oznaczenia Przyjęte oznaczenia odpowiadają oznaczeniom stosowanym w modelu MINIMAL (tj. modelu, na podstawie którego wykonywane będą projekty). Zgodnie z przyjętą konwencją, WIELKIMI LITERAMI oznaczane są poziomy zmiennych, natomiast małe litery symbolizują procentowe przyrosty. W modelu występują dwa zbiory - gałęzi (IND) oraz nabywców (USER): IND = {P rodukty, Uslugi} USER = {P rodukty, Uslugi, F inalny} W modelu występują następujące : i IND X1T OT i - produkcja globalna w gałęzi i (w ujęciu ilościowym), i IND V 1T OT i - produkcja globalna w gałęzi i (w ujęciu wartościowym), i IND X ij - popyt nabywcy j na produkty gałęzi i (w ujęciu ilościowym), i IND USE ij - popyt nabywcy j na produkty gałęzi i (w ujęciu wartościowym). Powyżej zapisano zmienne na poziomach ; te same symbole zapisywane małymi literami wyrażają procentowe przyrosty poszczególnych zmiennych. 1
2 3 Model 3.1 Postać z poziomami zmiennych Model składa się z dwóch grup równań. Pierwsza z nich to tzw. równania bilansowe produkcji, mówiące, że produkcja danej gałęzi jest równa sumie popytu na jej wyroby: i IND X1T OT i = X ij (1) Druga grupa równań opisuję technologię produkcji. W modelu input-output wyrażają one założenie, że nakłady materiałowe (zużycie pośrednie) na jednostkę produkcji danej gałęzi są stałe (in. nakłady materiałowe są proporcjonalne do produkcji gałęzi). Nakłady materiałowe na jednostkę produkcji wyrażane są przez współczynniki bezpośrednich nakładów, oznaczane w analizie input output symbolem a ij (uwaga - dla podkreślenia, że współczynniki bezpośrednich nakładów są stałymi, a nie zmiennymi, zapisujemy je jako ā ij ). Równania nakładów materiałowych mają postać: i IND j IND X i,j = ā ij X1T OT j (2) 3.2 Przekształcenie do postaci z procentowymi przyrostami zmiennych W przekształceniu korzystamy z dwóch elementarnych reguł linearyzacji: Równanie na poziomach Y = X + Z Y = αx Równanie na procentowych przyrostach Y y = Xx + Zz y = x Na podstawie powyższych reguł możemy przekształcić równania 1-2 do postaci: i IND X1T OT i x1tot i = X ij x ij (3) i IND j IND x i,j = x1tot j (4) Warto zauważyć, że w równaniu 4 po linearyzacji znika stała ā ij, co oznacza, że do rozwiązania modelu produkcji input-output w postaci z procentowymi przyrostami zmiennych nie trzeba obliczać współczynników bezpośrednich nakładów materiałowych. 4 Dane Przykładowe dane do modelu, zapisane w formie I i II ćwiartki tablicy input-output, są następujące: P rodukty U slugi F inalny P rodukty Uslugi Powyższa macierz to jednocześnie macierz [USE ij ]. Warto też zauważyć, że wartość produkcji globalnej można obliczyć sumując wiersze tej macierzy, tj. V 1T OT i = USE ij. 2
3 5 Normalizacja cen i ostateczna postać modelu W modelu w postaci zlinearyzowanej wielkości zapisywane wielkimi literami należy traktować jako stałe (reprezentujące tzw. rozwiązanie początkowe), wyznaczane na podstawie danych. Dla podkreślenia tego faktu będziemy dalej zapisywać Jednak dane zawarte w tablicy input-output wyrażone są w ujęciu wartościowym (pieniężnym), podczas gdy X1T OT i i X ij, występujące we wzorach 3-4, wyrażają ilości. Dane w ujęciu ilościowym nie są zwykle dostępne. W takiej sytuacji rozwiązanie polega na zastosowaniu tzw. normalizacji cen. Przyjmując umownie, że wyjściowe ceny produktów i usług są równe 1 w rozwiązaniu początkowym, mamy X1T OT i = V 1T OT i oraz X ij = USE ij, gdzie kreska nad symbolem zmiennej oznacza jej poziom początkowy, tj. wielkość pochodzącą z danych. Wówczas nieobserwowane ilości można w równaniach 3-4 można zastąpić obserwowanymi wartościami pieniężnymi, uzyskując w ten sposób finalną postać modelu: i IND V 1T OT i x1tot i = USE ij x ij (5) i IND j IND x i,j = x ij (6) Zauważmy, że normalizacja cen jest założeniem, które nie wnosi dodatkowej informacji, tj. nie pozwala z danych pieniężnych uzyskać ilości produktów i usług w konkretnych jednostkach fizycznych, takich jak np. sztuki, tony, godziny itp. Ponieważ jednak w rozwiązaniu modelu interesują nas tylko procentowe zmiany (produkcji i popytu), jednostki fizyczne nie mają znaczenia. Np. gdy mówimy o wzroście produkcji o 10%, nie jest ważne, czy mierzymy tę produkcję w kilogramach czy w tonach - istotne jest natomiast, że mamy na myśli ilość, nie zaś np. wartość. Równania 5-6 zapisane w kodzie TABLO wyglądają następująco: Equation E_x1tot # Rownanie bilansowe produkcji # (all,i,ind) V1TOT(i)*x1tot(i) = sum{j, USER, USE(i,j)*x(i,j)}; Equation E_x # Zuzycie posrednie proporcjonalne do produkcji # (all,i,ind)(all,j,ind) x(i,j) = x1tot(j); Pliki z pełnym kodem modelu i założeniami symulacji można znaleźć na stronie w materiałach ćwiczeniowych. 6 Przykładowa symulacja W przykładowej symulacji zakładamy wzrost popytu na Produkty o 20% (w ujęciu ilościowym). Zakładamy, że popyt finalny na Usługi nie zmienia się. Po rozwiązaniu w pakiecie GEMPACK 1 otrzymujemy następujące zmiany procentowe popytu, wyrażone 1 Ten niewielki model łatwo rozwiązać także na kartce. 3
4 w postaci zmiennej x ij : P rodukty U slugi F inalny P rodukty U slugi oraz procentowe zmiany produkcji, wyrażone w postaci zmiennej x1tot i : P rodukty 8.57 Uslugi 2.86 Powyższe liczby stanowią komplet wyników symulacji, wyznaczonych poprzez rozwiązanie układu równań 5-6. Mimo to można pogłębić interpretację wyników i rozumienie modelu dzięki podstawieniu uzyskanych liczb do wybranych równań. Podstawmy np. wyniki do równania bilansowego produkcji (5) dla pierwszej gałęzi (Produkty): V 1T OT P rodukty x1tot P rodukty = USE P rodukty, P rodukty x P rodukty, P rodukty +USE P rodukty, Uslugi x P rodukty, Uslugi +USE P rodukty, F inalny x P rodukty, F inalny Pod wartości współczynników podstawiamy liczby z bazy danych: 10 x1tot P rodukty = 1 x P rodukty, P rodukty +6 x P rodukty, Uslugi +3 x P rodukty, F inalny Dzieląc obustronnie przez 10 otrzymujemy: x1tot P rodukty = 0.1 x P rodukty, P rodukty +0.6 x P rodukty, Uslugi +0.3 x P rodukty, F inalny Z powyższego widać, że procentową zmianę produkcji w gałęzi Produkty można wyznaczyć jako ważoną sumę procentowych zmian popytu na Produkty ze strony poszczególnych nabywców. Podstawiają do powyższego równania wyniki symulacji otrzymujemy: x1tot P rodukty = = 8.57 Wynik 8.57 był już oczywiście znany, ale dzięki podstawieniu do równania uzyskujemy dekompozycję tego wyniku. Interpretacja jest następująca: produkcja gałęzi Produkty wzrasta o 8.57%, przy czym wzrost popytu finalnego na Produkty bezpośrednio przyczynia się do wzrostu produkcji o 6%, wzrost popytu na Produkty ze strony sektora 4
5 Usług przyczynia się do wzrostu produkcji o 1.716%, a wzrost zużycia wewnętrznego w sektorze Produkty - do zwiększenia produkcji o 0.857%. Podobną dekompozycję można przeprowadzić dla zmian produkcji gałęzi Usługi. Z kolei równania 6 można zinterpretować następująco: procentowy przyrost zużycia materiałów pochodzących z gałęzi i w produkcji gałęzi j jest równy procentowemu przyrostowi produkcji w gałęzi j. Na przykład: x P rodukty, Uslugi = x1tot Uslugi = 2.86 tj. popyt gałęzi Uslugi na Produkty wzrasta o 2.86% - dokładnie o tyle, o ile wzrasta produkcja gałęzi Uslugi. 5
Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1)
Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1) 1 Wprowadzenie Celem wykładu jest omówienie (znanego z wcześniejszych zaję) modelu produkcji typu input-output w postaci pozwalającej na zaprogramowanie
Bardziej szczegółowoWykład 3 - model produkcji i cen input-output (Model 2)
Wykład 3 - model produkcji i cen input-output (Model 2) 1 Wprowadzenie W ramach niniejszego wykładu opisujemy model 2, będący rozszerzeniem znanego z poprzedniego wykładu modelu 1. Rozszerzenie polega
Bardziej szczegółowoStosowane modele równowagi. Wykład 1
Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE) Wykład 1 Literatura Horridge M., MINIMAL. A Simplified General Equilibrium Model, 2001, http://www.copsmodels.com/minimal.htm dowolny podręcznik do mikroekonomii
Bardziej szczegółowoEkonometria. Przepływy międzygałęziowe. Model Leontiefa. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Przepływy międzygałęziowe Model Leontiefa
Ekonometria Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 1 / 22 Outline 1 2 Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 2 / 22 Oznaczenia i definicje Numeracja gałęzi: i, j = 1, 2,,
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych
dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia
Bardziej szczegółowoProsty model równowagi ogólnej dla gospodarki zamkniętej (Model 3)
Prosty model równowagi ogólnej dla gospodarki zamkniętej (Model 3) Jakub Boratyński 1 Wprowadzenie Dotychczas omawiane modele model 1 i model 2 nie były modelami równowagi ogólnej w ścisłym znaczeniu tego
Bardziej szczegółowoModel przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa)
Model przepływów międzygałęziowych (model Leontiewa) Maciej Grzesiak Przedstawimy tzw. analizę wejścia-wyjścia jako narzędzie do badań ekonomicznych. Stworzymy matematyczny model gospodarki, w którym można
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoModele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoPodstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko
Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoElementarne reguły linearyzacji
Elementarne reguły linearyzacji lub Z X Y = z x y + = Z X Y / = z x y = Z X Y + = z Z x X y Y + = z S x S y Z X + = Z X Y = z Z x X y Y = ( - stała) ( - stała) Z X Y = z Z x X y Y = α X Y = α X Y = α α
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Projekt dofinansowała Fundacja mbanku UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CZĘŚĆ I Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamrą, np.: x + 0 Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoAnaliza tworzenia i podziału dochodów na podstawie modelu wielosektorowego
UNIWERSYTET ŁÓDZKI PRACE DOKTORSKIE Z ZAKRESU EKONOMII I ZARZĄDZANIA 1/ JAKUB BORATYNSKI Analiza tworzenia i podziału dochodów na podstawie modelu wielosektorowego B 372130 UU WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoAnaliza progu rentowności
Analiza progu rentowności Próg rentowności ( literaturze przedmiotu spotyka się również określenia: punkt równowagi, punkt krytyczny, punkt bez straty punkt zerowy) jest to taki punkt, w którym jednostka
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowo4 Analiza input-output i jej zastosowania w modelowaniu ekonomiczno-ekologicznym
Mariusz Plich Budowa i wykorzystanie wielosektorowych modeli ekonomiczno-ekologicznych Wydawnictwo Uiniwersytetu Łódzkiego 2002 4 Analiza input-output i jej zastosowania w modelowaniu ekonomiczno-ekologicznym
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Bardziej szczegółowoPrognozowanie popytu. mgr inż. Michał Adamczak
Prognozowanie popytu mgr inż. Michał Adamczak Plan prezentacji 1. Definicja prognozy 2. Klasyfikacja prognoz 3. Szereg czasowy 4. Metody prognozowania 4.1. Model naiwny 4.2. Modele średniej arytmetycznej
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoPrzemysł spożywczy w Polsce analiza z wykorzystaniem tablic przepływów międzygałęziowych
Przemysł spożywczy w Polsce analiza z wykorzystaniem tablic przepływów międzygałęziowych Zakład Ekonomiki Przemysłu Spożywczego Warszawa, 21 kwietnia 2017 r. Plan wystąpienia Bilans tworzenia i rozdysponowania
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoProgramowanie strukturalne i obiektowe. Funkcje
Funkcje Często w programach spotykamy się z sytuacją, kiedy chcemy wykonać określoną czynność kilka razy np. dodać dwie liczby w trzech miejscach w programie. Oczywiście moglibyśmy to zrobić pisząc trzy
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowo9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoRachunki narodowe ćwiczenia, 2015
Obliczanie (zmian) wolumenów (na przykładzie PKB). Przykład opracowany na podstawie Understanding, ćwiczenie 3, str. 40. PKB, podobnie jak wiele innych wielkości makroekonomicznych, może być przedstawiany
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoUkłady równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoLekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu
Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Prąd płynący w gałęzi obwodu jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły elektromotorycznej E, a odwrotnie proporcjonalne do rezystancji R umieszczonej
Bardziej szczegółowo2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowo2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH
WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład 8. Rachunek dochodu narodowego i model gospodarki
Wykład 8. Rachunek dochodu narodowego i model gospodarki 1. Makroekonomia. Makroekonomia bada gospodarkę narodową jako całość i wpływające na nią wielkości makroekonomiczne oraz ich powiązania. Najważniejszym
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowo1. Czy poniższa para liczb spełnia równanie 6x + 4y = 23? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. x = 4,5, y = 1 TAK NIE
1. Czy poniższa para liczb spełnia równanie 6x + 4y = 23? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. x = 0,5, y = 5 TAK NIE x = 3, y = 1 TAK NIE x = 7, y = 5 TAK NIE x = 4,5, y = 1 TAK NIE 2. Sprawdź, czy para
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowopunktów 0 2 punktów oznaczenie i wyskalowanie osi wykresu narysowanie odcinka łączącego punkty o współrzędnych (0 m; 0 J) i (31,25 m; J)
Egzamin gimnazjalny cz. matematyczno-przyrodnicza ROZWIAZANIA I SCHEMAT PUNKTACJI Zadania zamknięte 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 A A C B C B D C C D C D C A B A B C D C C D D
Bardziej szczegółowo