Minimalizacja funkcji jednej lub wielu zmiennych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Minimalizacja funkcji jednej lub wielu zmiennych"

Kinga Makowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 Mnmlzj funj jednej lu welu zmennyh Otymlzj wyznzene mnmum funj rzezywstej welu zmennyh w dnym oszrze (wrz z untem w tórym to mnmum wystęuje). Jeśl funj jest nelnow zwer wele mnmów lolnyh zdne jest trudne do rozwązn. Wyn lolnyh roedur teryjnyh (tóre oerją sę n lneryzj mnmlzownej funj w otozenu wyrnego untu w rzestrzen n- wymrowej) jest slne uzleżnony od wyoru modelu strtowego.

2 Wstę Rozoznemy od metod mnmlzj ągłej funj unmodlnej tj tej tór w rzedzle [] m tylo jedno mnmum lolne. Jeżel zdn funj ne osd tej włsnoś nleży znleźć jej rzedzły unmodlnoś zstosowć osywną metodę do żdego z nh. Jeśl funj f() osd ohodną f () to mnmum znjduje sę w une w tórym f (). ym smym zgdnene znlezen mnmum funj f() zostło zstąone znlezenem mejs zerowego funj gf (). Zdne to może zostć rozwązne dowolną z oznnyh metod rozwązywn równń nelnowyh jednej zmennej oznnyh n MN (n. metod sej seznyh styznyh). N. dl tej osttnej wzór: zstęujemy wzorem: F( ) ' F ( ) f ( ) f ( ) ozywśe tylo w wydu gdy stneje drug ohodn funj f(). Metod złotego odzłu Jeśl dl < < zhodzą wrun f() > f() f() < f() to: - funj m w rzedzle [] mnmum w une - otrze trzeh untów do zlolzown mnmum Funj ągł f w rzedzle [] osd dołdne jedno mnmum. Mnmum to możn znleźć orzez olejne odzły zdnego rzedzłu. W tym elu nleży olzyć wrtoś funj w dwóh unth R th że < < R < nstęne zdć h weloś: - Jeżel f( ) > f( R ) to szune mnmum znjduje sę w rzedzle [ ]. - Jeżel f( ) < f( R ) to szune mnmum Przedzły [ R ]. [ ] zhodzą n see. Przedzł jest zwężny w stosunu [ R ]./ [] znjduje sę w rzedzle [ R ]. R

3 Welość otrzymnego w wynu owyższego ostęown rzedzłu o n roh wynos: ( (n) (n) ) n gdze jest stłym wsółzynnem o tóry zmnejszn jest welość rzedzłów w olejnyh roh lgorytmu. Wrtość wsółzynn jest dorn w t sosó y rzy olejnyh terjh wyorzystywć olzoną w orzednm rou wrtość funj jednej z dwóh róe (f( ) lu f( R )). Olzmy tę wrtość: R R zyl R onewż f( ) > f( R ) zwężmy rzedzł do [ ]. R R R ) (.68 5 Strtegę olzn mnmum funj możn zsć: Jeśl: Jeśl to SOP w rzewnym wydu owtórz unt.

4 Metod nterolj rolznej ( ) d( ) d Funj wystrzjąo głd: w olżu mnmum funj wdrtow jest dorym rzylżenem rol dosown do dowolnyh trzeh untów 3 ownn wszć w jednym rou mnmum 4 lo rzynjmnej w jego lse otozene. Jeśl ( ) to ( ) ( ) Rozwjją dowolną funję f() w szereg ylor otrzymujemy ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) K wdć że dl mmy ( ) rol lolne rzylż f() Dl trzeh untów ( y ) ( y ) ( y ) rol rzehodzą rzez te unty ędze mł ostć: y gdze y ( ) ( ) Ponewż dl ozostłyh dwóh untów mmy: ( ) ( ) y ( ) ( ) y y y możemy wyznzyć wrtoś rmetrów : C C gdze [( ) ( y y ) ( ) ( y y )] [ ( )( y y ) ( )( y y )] C orz wrtość rol w msmum ( )( ) ( )( ) ( ) y

5 Metod Brndt (wyorzystują metodę złotego odzłu nterolj rolznej. Wyznzmy rzedzł [ ].. Wyznzmy metodą złotego odzłu unt leżąy w jego wnętrzu ędąy erwszym rzylżenem mnmum 3. Ponowne stosujemy złoty odzł y znleźć zdefnowć nowy zwężony rzedzł 4. Wyznzmy rolę wyznzmy jej mnmum 5. Jeśl leży w osttno zdefnownym rzedzle orz gdy zmn ołożen mnmum j mł mejse rzy wyonnu osttnej terj ył mnejsz od ołowy zmny ołożen mnmum w rzedosttnej terj ońzymy roedurę jeśl tóryś z wrunów ne jest sełnony owrót do untu 3. Metody mnmlzj funj n zmennyh (mnmlzj w rzestrzen n-wymrowej) Numeryzne metody oszuwn mnmum funj welu zmennyh możn odzelć n nstęująe lsy: metody oszuwń rostyh te j metod Hoo-Jeves metod Rosenro metody orwy erunów wśród tóryh możemy wyróżnć nstęująe gruy: metody ezgrdentowe w rzydu tóryh do znlezen mnmum otrzene jest wyznzne jedyne wrtoś funj f() n. metod Guss-Sedel metod Powell metody grdentowe dl tóryh w roese oszuwn mnmum orzystmy z wyznznyh wrtoś mnmlzownej funj f() orz jej grdentu n. metod njszyszego sdu metod grdentu srzężonego; metody newtonowse qus-newtonowse gdze oszuwne mnmum rzerowdzmy z wyznznem w olejnyh unth wrtoś funj jej grdentu orz hesjnu

6 Dl wszysth tyów metod nleżąyh do lsy metod orwy erunów wyorzystujemy wsólny shemt rowdzen olzeń teryjnyh. Poleg on n tym że do untu odowdjąego mnmum funj f() dohodzmy w olejnyh roh oszuwn mnmum wzdłuż odowedno wyznzonyh erunów d w rzestrzen n-wymrowej zwnyh erunm oszuwń. Jeżel o - roh otymlzj osągnęto unt oszuwń - to w olejnym -tym rou rzerowdz sę mnmlzję wzdłuż rostej wyznzonej rzez unt - wetor erunu d tj. znjdujemy tą otymln wrtość α że ( α d) α : mn f α wę rozwązujemy zgdnene mnmlzj funj jednej zmennej - tą zmenną jest α Kerun te mogą yć stłe w tre łego teryjnego roesu oszuwń mnmum ądź też mogą ulegć zmne n olejnyh eth w zleżnoś od wrtoś mnmlzownej funj jej grdentu lu równeż hesjnu. Iteryjne lgorytmy otymlzj mją nstęująe fzy: wyór untu ozątowego oszuwń wyznzene olejnego untu stnowąego rzylżene mnmum ; unt ten wyznzmy rzez oszuwn wzdłuż erunu d tórego oreślene j równeż odległość rzesunę w tym erunu są zleżne od wyrnej metody otymlzj; olejny unt ędąy nowym (leszym) rzylżenem untu mnmlzująego funję f() jest wyznzny z zleżnoś: α d srwdzene wrunów zeżnoś (ryterum osągnę untu mnmlnego wsźn joś) w zleżnoś od wynu ontynuowne oszuwń teryjnyh lo h zońzene. Wżn uwg: Punt ozątowy wyerny jest n odstwe osdnyh nformj dotyząyh ołożen mnmum (zęsto o rostu losowny). W rzydu mnmlzj funj welu zmennyh doór untu ozątowego oszuwń może w znząy sosó rzyseszyć lu oóźnć znlezene mnmum wsźn joś lo wręz zdeydowć o możlwoś znlezen mnmum glolnego funj.

7 Mnmlzj wzdłuż erunów wsółrzędnyh Wetorom zy e N rzysujemy erun w tóryh odywć sę ędze mnmlzj (t j dl rzydu zmennej). e lgorytm:. Z untu strtowego mnmlzujemy funję wzdłuż rostej wyznzonej rzez e wyznzmy mnmum w une. Z untu mnmlzujemy funję w erunu e wyznzmy olejny unt 3. Kontynuujemy wzdłuż olejnyh os osttezne znjdujemy unt N 4. Powrmy do mnmlzj wzdłuż erunu e owtrzmy roedurę olejny rz 5. Mnmlzj ońzy sę gdy sełnony jest wrune: f ( ) f ( ) < ε f ( ) t n n n gdze ε jest dołdnośą rerezentj mszynowej lz użytą w olzenh t rmetrem doernym ndywdulne. e Metod erunów srzężonyh (Powell') Metod erunów srzężonyh jest ezgrdentową teryjną metodą otymlzj ez ogrnzeń. Dl form wdrtowyh jest on zeżn w N roh. W metodze Powell' z zmen sę w tre wyonywn lgorytmu. Modyfj zy oleg n stworzenu dodnu do nej nowego srzężonego erunu równozesnym usunęu z nej tego erunu wzdłuż tórego nstąło njwęsze rzesunęe. u v Perwszy ro 3 5 zstęujemy erune drug (v ) erunem u (owstje u ) tworzymy erune wzdłuż - (owstje v ) u 4 3 v Drug ro 3 4 5

8 Metod erunów srzężonyh (Powell') lgorytm:. :. Dl żdego z erunów... N wyermy otymlny ro m doonują mnmlzj jednowymrowej wzdłuż erunu e 3. : m e m e... m N e N 4. Wyznz erune srzężony e odstwmy N : m N e N gdze m N jest otymlnym roem uzysnym w wynu mnmlzj funj g(m N )f(m N e N ) 5. Jeżel < ε (zhodz wrune stou) to one olzeń 6. : 7. wyznzmy numer erunu ( N) w tórym nstąło njwęsze rzesunęe (erune dl tórego m yło njwęsze) 8. Jeżel m d ε (wyznzn dl nowej zy - stoeń lnowej nezleżnoś - jest ezezne duży) to zmeń zę: e : e N d : m d 9. rzejdź do t. Metod njszyszego sdu srzężonyh grdentów N oząte l defnj twerdzene: Rozwżmy ułd równń lnowyh gdze jest merzą rzezywstą dodtno oreśloną ston n tzn.: Ilozyn slrny w R n y y > dl > n y Włsnoś lozynu slrnego: użyty owyżej jest zdefnowny jo: y y α y β z α y β z y y

9 Weźmy N wetorów N tóre są wzjemne -srzężone. Mogą one yć zą w rzestrzen R N. Możn rozwązne ułdu równń zsć w ost: N α Mówmy że erune u jest -srzężony z erunem v jeśl v u v u v u v u v u y olzyć wsółzynn α ostęujemy nstęująo: N α N α α o erun są srzężone α

Podobne dokumenty

Minimalizacja funkcji jednej lub wielu zmiennych. Wykład 13

Minimalizacja funkcji jednej lub wielu zmiennych. Wykład 13 Minimlizj funji jednej lu wielu zmiennyh Wyłd 3 Optymlizj = wyznzenie minimum funji rzezywistej wielu zmiennyh w dnym oszrze (wrz z puntem w tórym to minimum występuje). Jeśli funj jest nieliniow i zwier