PROSTE A POZYTECZNE NIERÓWNOśCI MACIERZOWE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PROSTE A POZYTECZNE NIERÓWNOśCI MACIERZOWE"

Transkrypt

1 PROSTE A POZYTECZNE NIERÓWNOśCI MACIERZOWE TOMASZ TKOCZ Streszczenie. Tekst zawiera notatki do referatu z Seminarium Fizyki Teoretycznej. Jest to w zasadzie tłumaczenie(z uzupełnionymi pewnymi skrótami myślowymi i innym podejściem do triku Weyla) odpowiedniego rozdziału książki[3]. 1. Wstęp W fizyce statystycznej kluczowe znaczenie ma suma statystyczna. W mechanicekwantowejmaonapostaćz=tre β(ĥ µˆn) (β= 1 kt,ĥ hamiltonianukładu,µ potencjałchemiczny, ˆN operatorliczbycząstek jeśli w układzie jest ona zachowana). Zatem bardzo ważne znaczenie jest umiećszacowaćwyrażeniatre A,gdzieAjestmacierząiniechtobędziedla nas motywacją, choć nie wiem jaka ona była naprawdę, żeby sobie dzisiaj obejrzeć kilka klasycznych nierówności. Przyjrzymy się nierównościom: Peierlsa Bogolubowa Höldera Goldena Thompsona O ich zastosowaniach nie będzie tu wspomniane. Aby jednak wszystkich (pragmatyków?) uspokoić: nierówności te stosują się! Hasłowo, niektóre zastosowania, to dowody wypukłości różnych ważnych funkcji termodynamicznych, np. energii swobodnej dowody istnienia granicy termodynamicznej oszacowania i porównywanie sumy statystycznej różnych modeli(np. Isinga i Heisenberga przykład z[3]) dowód braku uporządkowania dalekiego zasięgu w modelu Hubbarda(w wymiarach 1 i 2 i temperaturach dodatnich) twierdzenie Komy Tasakiego(por.[2]) ostro też te nierówności stosuje Pan Wojtkiewicz podając oszacowania(zgóryizdołu)sumystatystycznejwmodeluhubbarda(por. [4]) Chciałbym podziękować Panu J. Wojtkiewiczowi opiekunowi referatu za pokazanie mi tytułowych nierówności. 1

2 2. Nierówność Peierlsa Bogolubowa RozważaćbędziemyoperatorylinioweA: C n C n (omacierzya)oraz na C n mamyzadanyiloczynskalarny<,>.przypomnijmysobiekilkafaktów z algebry liniowej. Twierdzenie 1 (spektralne).jeśliajestsamosprzężony(a =A),to istniejebazaortonormalnau 1,...,u n orazliczbyrzeczywisteλ 1,...λ n takie, że Ax= λ k <x,u k >u k. Definicja1.NiechA operatorsamosprzężony.dlaf:r Rdefiniujemyoperatorf(A): C n C n f(a)x:= f(λ k )<x,u k >u k. Uwaga1.Jeślifrozwijasięwotoczeniu0wszereg(f(x)= f (k) (0) k=0 k! x k, x R),tof(A)= f (k) (0) k=0 k! A k,dlaatakiego,że A R.Zatempodanaadhocdefinicjaf(A)dlapożądnychfpokrywasięztąznanąskądinąd (np.dlafunkcjie,ln, ). Dowód.Rozwijamyf(λ k )wszeregmającnauwadze,że A =max 1in λ i R f (l) (0) f(a)x = f(λ k )<x,u k >u k = λ l l! k<x,u k >u k l=0 f (l) (0) = λ l f (l) (0) l! k<x,u k >u k = A l. l! l=0 Koniec przypomnienia. Przechodzimy do sedna tego paragrafu. Twierdzenie2.Niechf: R Rbędziefunkcjąwypukłą,Aoperatorem samosprzężonym. Wówczas dla dowolnego x, x = 1 zachodzi l=0 f(<ax,x>)<f(a)x,x>. Dowód. Mamy wobec rozkładu spektralnego dla A, że ( ) ( n ) f(<ax,x> = f < λ k <x,u k > =f <x,u k > 2 λ k <x,u k > 2 f(λ k )=<f(a)x,x>, gdzieskorzystaliśmyznierównościjensena(dlawag <x,u k > 2 sumującychsiędo x 2 =1). 2

3 Z powyższego mamy natychmiast Wniosek1.Jeśli(v k )jestbaząortonormalną,to trf(a) f(<av k,v k >). Dowód.Wystarczyzauważyć,żeogólnie<Av k,v k >jestwspółrzędną(k,k) macierzyoperatoraawbazie(v k ),więc trf(a)= <f(a)v k,v k > f(<av k,v k >). Twierdzenie 3(Nierówność Peierlsa Bogolubowa). Dla operatorów samosprzężonycha,bifunkcjiwypukłejf: R Rzachodzi trf(a)e B ( ) trae B tre B f tre B. Dowód.Niech(v k )będziebaząorotonormalnąztwierdzeniaspektralnego dlab,zaśµ 1,...,µ k odpowiadającymiimwartościamiwłasnymi.mamy wobec nierówności z twierdzenia 2 i nierówności Jensena, że trf(a)e B tre B = = f 1 n e µ k ( n <f(a)e B v k,v k > e µ k e µ k <f(a)v k,v k > e µ k e µ k <Av k,v k > ) e µ k e µ k f(<av k,v k >) ( ) trae B =f tre B. Identycznie dowodzimy(ale nie wynika ono z powyższego twierdzenia, bo niekonieczniee A+B =e A e B ) Twierdzenie 4(Nierówność Peierlsa Bogolubowa ). Dla operatorów samosprzężonych A, B zachodzi tre A+B ( tr(ae B ) tre B exp ) tre B. Dowód.Zpoprzedniegodowoduwidać,żetre B jesttylkoczynnikiemnormującym,więcmożnabezutratyogólnościzałożyć,żetre B =1(wrazie czego rozważając zamiast B operator B + ci, dla odpowiedniej stałej c). 3

4 Wówczas((v k ),(µ k )matosamoznaczeniecopowyżej) tre A+B = = <e A+B v k,v k > = exp e µ k e <Av k,v k > exp ( ) tr(ae B ). e <(A+B)v k,v k > ( n e µ k <Av k,v k > ) Jako ciekawostkę zauważmy na zakończenie tego paragrafu takie przyjemne zastosowanie głównego narzędzia twierdzenia 2 Wniosek2.NiechC: C n C n będzieoperatoremdodatniookreślonymi samosprzężonym. Wówczas detc n c kk, gdzie[c ij ]jestmacierzącwbaziestandardowej(e k ). Dowód.Dodatniaokreślonośćoznacza,żedlakażdegox 0<Cx,x>>0, więc w szczególności wartości własne C są liczbami rzeczywistymi dodatnimi orazc kk >0.Biorącf(x)= lnxwtwierdzeniu2mamy <lnce k,e k >=<f(c)e k,e k >f(<ce k,e k >)= lnc k k, więclnc kk <lnce k,e k >ipowysumowaniu n n ln c kk trlnc= lnλ k =ln λ k =lndetc, czyli teza. 3. Nierówność Höldera Będziemy chcieli odejść na chwilę od operatorów samosprzężonych. Ale w ogólności jest też coś na kształt twierdzenia spektralnego(gdy dim V = i operator jest zwarty nazywa się to rozkładem Schaudera). Niech więc A będzieterazdowolnymendomorfizmemprzestrzeni C n.bierzemyt:=a A. Wtedy T jest oczywiście samosprzężony, ale też nieujemny, bo <Tx,x>=<Ax,Ax>= Ax 2 0 (widaćpocoa AzamiastAA ).Zatemztwierdzeniaspektralnegoistnieje bazaortonormalna(u k )iwartościwłasnenieujemne(λ k )dlat.możemy więc zdefiniwać A := T= A A. 4

5 Mamy (1) A x 2 = < A x, A x>=< A A x,x>=< A 2 x,x> = <A Ax,x>=<Ax,Ax>= Ax 2, czylidefiniującu:im A imawzoremu( A x):=axmamypoprawnie określoną(boker A =kera wobec(1))izometrięnaswójobraz,którą łatworozszerzamydoizometrii C n.zatem ( n ) Ax = U( A x)=u λ k <x,u k >u k = λ k <x,u k >Uu k = λ k <x,u k >v k, gdzie(v k )pewnabazaortonormalna(obrazbazy(u k )przyu).zatemzachodzi Wniosek3.DlaA: C n C n istniejąbazyortonormalne(u k ),(v k )iliczby µ 1 (A)...µ n (A)0 wartościwłasne A zwanewartościami osobliwymi A takie, że Ax= Uwaga2.µ k (A )=µ k (A) µ k (A)<x,u k >v k Dowód.WobecU A =AjestA = A U imamy AA v k =A A U v k =A A u k =Aµ k (A)u k =µ k (A) 2 v k, więc A v k =µ k (A)v k,cooznacza,że A, A majątesamewartościwłasne. Definicja2. A p :=(tr A p ) 1/p, p [1, ]. Uwaga 3. ( n ) (tr A p ) 1/p 1/p = µ k (A) p = (µ 1 (A),...,µ n (A)) p max µ k (A) p k = µ 1 (A)= A = A, czyli A = A. Możemy już teraz sformułować główne twierdzenie tego rozdziału Twierdzenie5(NierównośćHöldera).Dlar,p,q [1, ]takich,że 1 r = 1 p +1 q idowolnychoperatorówa,b: Cn C n zachodzi AB r A p B q 5

6 Dowód można łatwo przeprowadzić w oparciu o zwykłą(dla p-tych norm ciągów) nierówność Höldera jeśli tylko udowodnimy, że (2) µ k (AB) r µ k (A) r µ k (B) r, bowiemwówczasstądiuwagi3mamy AB r r = µ k (AB) r µ k (A) r µ k (B) r ( n ) r/p ( n µ k (A) r ) p/r Dowód(2)zaśwynikazdwóchrzeczy µ k (B) r ) p/r ) r/p = A r p B r q. Lemat1.Dlaliczbrzeczywistych0a 1...a n,0b 1...b n, takich,żedlakażdego,...,n k b j k a j zachodzi dlakażdego,...,n. k b j a j, Dowód. Jest to w zasadzie zasada majoryzacyjna Hardy ego Littlewooda Póly zastosowana do funkcji exp. Dowód można znaleźć w[1] lub(bardziej geometryczny) w[3]. Lemat2.DladowolnychoperatorówA,B: C n C n ikażdego,...,n zachodzi k k µ j (AB) µ j (A)µ j (B). Dowód. Użyjemy sztuczki Weyla z algebrą przekształceń antysymetrycznych,potożebyzgrabniewydobyćiloczyn k µ j (A).Wprzestrzeniodwzorowańk-liniowychantysymetrycznych k (C n ) definiujemydlaoperatoraa: C n C n jegok-tąpotęgędziubkowąa k : k (C n ) k (C n ) wzorem (A k ω)(v 1,...,v k ):=ω(av 1,...,Av k ), dlaϕ k (C n ),v 1,...,v k C n.(możnaotymmyślećnp.jakopool backu stałejformyωprzyprzekształceniua).zauważmyteż,żedlatapotęga dziubkowa operatora A staje się jego zwykłym sprzężeniem Banachowskim. Pocotowszystko?Mamy (3) µ 1 (A k ) = największawartośćwłasna A k (5) = największawartośćwłasna A k (4) = µ 1 (A )... µ k (A )=µ 1 (A)... µ k (A), 6

7 skąd k µ j (AB) (3) = µ 1 ((AB) k) =µ 1 (B k A k ) = B k A k B k k =µ 1 (B k )µ 1 (A k ) k k µ j (A) µ j (B), (3) = czyli teza lematu. Pozostaje jeszcze udowdnić (4) największawartośćwłasna A k =µ 1 (A)... µ k (A). (5) A k = A k Dla dowodu(4) weźmy operator S samosprzężony nieujemny(takim jest zawsze A )owartościachwłasnychλ 1...λ n 0dlabazyortonormalnej(u k )(tzn.su k =λ k u k ).Zauważmy,że(pamiętamy,żejeśli(du k ) oznaczabazędualnądo(u k ),todu i1... du ik,1i 1 <...i k njest baząortonormalną k (C n ) ) ales du l =λ l du l,więc S k du i1... du ik =(S du i1 )... (S du ik ), S k du i1... du ik =λ i1... λ ik du i1... du ik, czylis k mawektorywłasnedu i1... du ik owartościachwłasnychλ i1... λ ik.ponieważjestichtylecodim k (C n ),więcsątowszystkiewektory własne,więciwszystkiewartościwłasne,anajwiększa,toλ 1... λ k ito trzeba było tu pokazać. (5)udowodnimywdwóchmałychkrokach.Popierwsze(A k ) =(A ) k, bo wystarczy sprawdzić, że <A k ω,η>=<ω,a k η>, ω,η k (C n ), aletęrównośćwystarczysprawdzićnabazieortonormalnejω=dx I,η= dx J dualnejdobazystandardowej(e k )(używamydalejmultiindeksówi= (i 1,...,i k ));wówczas,skoro(det I (v 1,...,v k )oznaczawyznacznikmacierzy powstałejprzezwybraniewierszyi 1,...,i k zkolumv 1,...v k ) A k dx I = L det L (Ae i1,...,ae ik )dx L, to <dx I,(A ) k dx J > = det I (A e j1,...,a e jk )=det I (A T e j1,...,a T e jk ) = det J (Ae i1,...,ae ik )=<A k dx I,dx J >. 7

8 Po drugie A k = = (A k ) (A k )= (A ) k A k (AA ) k =( 4 AA ) k = A k. 4. Nierówność Goldena Thompsona Celem tutaj jest dowód następującego Twierdzenie 6(Nierówność Goldena Thompsona). Dla operatorów samosprzężonycha,b:c n C n zachodzi Potrzebne będzie kilka lematów. tre A+B tr(e A e B ). Lemat3.DlaoperatorówsamosprzężonychA,B:C n C n dodatnich(tzn. <Ax,x>>0,dlakażdegox 0)zachodzi AB p sp A p B p s, p1,s2. Dowód.Ustalmyp,sjakwzałożeniachioznaczmyC :=A p,d:=b p, f(α):= C α D α s/p funkcjaciągłana(0,1].sprawdźmyczyprzedłuża sięonana[0,1],tzn.chcemyobliczyćlim α 0+ f(α).szacujemy C α D α s/α Hölder C α 2s/α D α 2s/α = (trctrd) α/2s α 0+ 1, dalej, biorąc za v dowolny jednostkowy wektor własny dla D o wartości własnej µ mamy z drugiej strony C α D α s/p porównaniep-tychnormciągów C α Dα = C α D α C α D α v = µ α λ α k<v,u k >u k ( µ min 1kn λ k ) α α 0+ 1, gdzie korzystaliśmy jeszcze z twierdzenia spektralnego dla C(oczywiście (u k )oznaczabazęortonormalnawektorówwłasnychodpowiadającychwartościomwłasnym(λ k )).Zatemf(0)=1.Zauważmy,żeteza,tonierówność ( 1 f f(1)=f(1)f(0), p) co równoważnie można zapisać jako ( ( 1 f p ) ) 0 p 8 f(1) 1/p f(0) 1 1/p,

9 czyli wystarczy udowodnić wypukłość funkcji ln f. Wobec jej ciągłości wyniknie, to z nierówności ( ) α+β (6) f f(α) 1/2 f(β) 1/2. 2 Do jej dowodu przydadzą się trzy rzeczy. (7) X p pq=(tr X pq ) 1/q = X p q, p,q1 X dowolny (8) XY p YX p, X,Y dowolnetakie,żexysamosprzężony, bo wobec lematu 1(zasady majoryzacyjnej) i definicji p-tej normy macierzowejwystarczypokazać,żedlakażdego,...,n Jednak mamy k k µ j XY µ j YX. k µ j (XY) = µ 1 (XY) k )=maxmodułówwartościwłasnychy k X k = r(y k X k )=r(x k Y k )=r((yx) k ) (YX) k =µ 1 ((YX) k) k = µ j YX, gdzie przez r(x) oznaczamy promień spektralny operatora X i korzystamy zeznanychfaktów,żeogólnier(xy)=r(yx),boxyiyxmajątesame wartościwłasneorazr(x) X,bojeśliujestjednostkowymwektorem własnymowartościwłasnejλ,to λ = Xu X. (9) X p = X p, oczywiste, wobec uwagi 2. Wracamydodowodu(6).Bezutratyogólnościzałóżmy,żeβα.Mamy ( ) α+β f = C α+β 2 D α+β (7) 2 2 2s/(α+β) = C α+β 2 D α+β 2 2 s/(α+β) = D α+β 2 C α+β C α+β 2 1/2 s/(α+β) = Dα D β α C α+β D α+β 2 2 (8) = D α C α+β D β 1/2 Hölder s/(α+β) D α C α 1/2 s/α Cβ D β 1/2 s/β (9) = f(α) 1/2 f(β) 1/2. Przy okazji można stąd udowodnić taki przyjemny 9

10 Wniosek 4. Przy założeniach lematu 3 zachodzi także nierówność tr(ab) n tr(a n B n ). Dowód. Korzystając z cykliczności śladu otrzymujemy tr(ab) n = tr A 1/2 (A 1/2 BA 1/2 )... (A 1/2 BA 1/2 ) A 1/2 B }{{} n 1 = tr(a 1/2 BA 1/2 )=tr B 1/2 A 1/2 2n = B 1/2 A 1/2 2n 2n lemat 3 B n/2 A n/2 2 2=tr(A n/2 B n A n/2 )=tr(a n B n ). Lemat4.DladowolnychoperatorówX,Y:C n C n zachodzi e X+Y = lim n (e1 n X e 1 n Y ) n = lim (e 1 2n X e 1 n Y e 1 2n X ) n, n gdzie zbieżność jest w normie operatorowej. Dowód.NiechA n :=e 1 n X e 1 n Y,B n :=e 1 n (X+Y).Chemyudowodnić,że A n n B n n n 0,ale An, Bn e 1 n ( X + Y ) A n B n C n 2, bo pierwsze wyrazy odpowiednich szeregów się redukują i stała C zależy tylkoodoperatorówx,y(niezależyodn).mamystąd A n n Bn n = An n 1 (A n B n )+An n 2 (A n B n )B n +An n 3 (A n B n )Bn A n (A n B n )Bn n 2 +(A n B n )Bn n 1 ne X + Y A n B n C n e X + Y n 0. Dowód drugiej równości jest identyczny. Lemat5.DlaoperatorówsamosprzężonychA,B: C n C n zachodzi Dowód.Niechnajpierwp2;wtedy ale lewa strona wynosi e A+B p e A e B p, p1. e 1 2n A e 1 2n B 2n lemat 3 2np e A e B p, e 1 2n A e 1 2n B 2n p = (e 1 2n B e 1 n A e 1 2n B ) n lemat4 p n e( A+B), skąd teza w tym przypadku. 10

11 Jeśli1p<2,tomamyzpoprzedniegoprzypadku e A+B p = e A+B 2 2 2p e 1 2 A e 1 2 B 2 2p = e 1 2 A e 1 2 B 2 p = e 1 2 B e A e 1 2 B p (8) e A e B p. Teraz łatwo zakończyć dowód wyjściowego twierdzenia. Dowód twierdzenia 6. Pamiętając, że założenia A + B jest też samosprzężony, mamy tre A+B = e 1 2 (A+B) 2 lemat 5 2 e 1 2 A e 1 2 B 2 2 ( = tr e 1 2 B e A e 1 B) 2 =tr(e A e B ). Jako zastosowanie wszystkiego podamy jeszcze bardzo ważny Wniosek5.Funkcjaf:{operatorysamosprzężone ( C n C n } Rzadanawzoremf(A):=ln tre A) jestwypukła. Dowód. Po prostu sprawdzamy definicję wypukłości f(αa+(1 α)b) = ln Golden Thompson (tre αa+(1 α)b) ( ) ln tr(e αa e (1 α)b ) Hölder ln ((tre A ) α (tre B ) 1 α) = αf(a)+(1 α)f(b). Literatura [1] M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Cauchy s equation and Jensen s inequality, Prace naukowe Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, nr 489, Państwowe Wydawnictwo Naukowe i Uniwersytet Śląski, Warszawa Kraków Katowice 1985 [2] T. Koma, H. Tasaki, Decay of Superconducting and Magnetic Correlations in One and Two Dimensional Hubbard Models, Phys. Rev. Lett. 68, 2348(1992) [3] B. Simon, The tatistical Mechanics of Lattice Gases, Princeton, New Jersey, Princeton University Press [4] J. Wojtkiewicz, Estimations of free energy for the Hubbard model 11

Nierówności macierzowe

Nierówności macierzowe Nierówności macierzowe Tomasz Tkocz KMISMaP Uniwersytet Warszawski Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2009, 3.IX.2009r. Plan 1 2 3 4 Zadanko na rozgrzewkę Zadanie NiechA = [a ij ] i,j=1,...n będziemacierząn

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Zliczanie Podziałów Liczb

Zliczanie Podziałów Liczb Zliczanie Podziałów Liczb Przygotował: M. Dziemiańczuk 7 lutego 20 Streszczenie Wprowadzenie Przez podział λ nieujemnej liczby całkowitej n rozumiemy nierosnący ciąg (λ, λ 2,..., λ r ) dodatnich liczb

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Zastosowania twierdzeń o punktach stałych

Zastosowania twierdzeń o punktach stałych 16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0 Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}

Bardziej szczegółowo

Wokół nierówności Dooba

Wokół nierówności Dooba Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych

Bardziej szczegółowo

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia stacjonarne

Zagadnienia stacjonarne Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. x + 1 = x, x + y = (x + y). ( y + (z + w) ) + w = x + (d) jeśli (x) = 1, to x = 1,

ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. x + 1 = x, x + y = (x + y). ( y + (z + w) ) + w = x + (d) jeśli (x) = 1, to x = 1, ĆWICZENIA Z ARYTMETYKI TEORETYCZNEJ 1. LICZBY NATURALNE. Dodawanie liczb naturalnych. Przypomnijmy, że dodawanie "+" jest działaniem scharakteryzowanym jednoznacznie przez warunki: (1 + ) (2 + ) x + 1

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk 10 13 listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo