Nierówności macierzowe

Transkrypt

1 Nierówności macierzowe Tomasz Tkocz KMISMaP Uniwersytet Warszawski Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2009, 3.IX.2009r.

2 Plan

3 Zadanko na rozgrzewkę Zadanie NiechA = [a ij ] i,j=1,...n będziemacierząn norzeczywistych współczynnikach. Udowodnić, że n deta j=1i=1 aij 2.

4 Zadanko na rozgrzewkę Zadanie NiechA = [a ij ] i,j=1,...n będziemacierząn norzeczywistych współczynnikach. Udowodnić, że Rozwiązanie n deta j=1i=1 aij 2. det A = objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory kolumnowemacierzya iloczynichdługości.

5 Zadanko na rozgrzewkę Przypadki szczególne Dlan =2,A = [ rs tu ]: ru st r 2 +t 2 s 2 +u 2 (nierównośćschwarza), dlan =3,A = [ r s t ] uvw : xy z rvz +swx +tuy tvx wyr zsu r 2 +u 2 +x 2 s 2 +v 2 +y 2 t 2 +w 2 +z 2.

6 Morał i motywacja Morał W macierzach można szukać(ładne) nierówności.

7 Morał i motywacja Morał W macierzach można szukać(ładne) nierówności. Motywacja ważne zwierzę w fizyce statystycznej, to suma statystyczna postacitre A (A operatorliniowysamosprzężony) bardzo ważne są jej różnorakie oszacowania

8 Morał i motywacja Morał W macierzach można szukać(ładne) nierówności. Motywacja ważne zwierzę w fizyce statystycznej, to suma statystyczna postacitre A (A operatorliniowysamosprzężony) bardzo ważne są jej różnorakie oszacowania

9 Morał i motywacja Morał W macierzach można szukać(ładne) nierówności. Motywacja ważne zwierzę w fizyce statystycznej, to suma statystyczna postacitre A (A operatorliniowysamosprzężony) bardzo ważne są jej różnorakie oszacowania

10 Morał i motywacja Morał W macierzach można szukać(ładne) nierówności. Motywacja ważne zwierzę w fizyce statystycznej, to suma statystyczna postacitre A (A operatorliniowysamosprzężony) bardzo ważne są jej różnorakie oszacowania Umowa Naprzestrzeni C n mamyzadanyiloczynskalarny<,>.

11 Nierówność Peierlsa Bogolubowa Twierdzenie DlaoperatorówliniowychsamosprzężonychA,B : C n C n zachodzi tre A+B ( ) trae B tre B exp tre B. Wszczególności(B =I) 1 n trea e 1 n tra.

12 Nierówność Goldena Thompsona Twierdzenie DlaoperatorówliniowychsamosprzężonychA,B : C n C n zachodzi ( tre A+B tr e A e B), a nawet więcej tre A+B tr (e A/m e B/m) m tr ( e A e B), 0<m Z.

13 Dryf do szkicu dowodu tre A+B (e A e B) tr

14 Dlaczego operatory samosprzężone są przyjemne? Twierdzenie(Spektralne) JeślioperatorliniowyA: C n C n jestsamosprzężony a (A =A),toistniejebazaortonormalnau 1,...,u n orazliczby rzeczywisteλ 1,...λ n takie,że Au k =λ k u k,k =1,...,n. a przeza oznaczamyhermitowskiesprzężenieoperatoraa

15 Dlaczego operatory samosprzężone są przyjemne? Twierdzenie(Spektralne) JeślioperatorliniowyA: C n C n jestsamosprzężony a (A =A),toistniejebazaortonormalnau 1,...,u n orazliczby rzeczywisteλ 1,...λ n takie,że Au k =λ k u k,k =1,...,n. a przeza oznaczamyhermitowskiesprzężenieoperatoraa Definicja NiechA operatorsamosprzężony.dlaf:r Rdefiniujemy operatorf (A): C n C n określonynabazieu 1,...,u n z twierdzenia spektralnego wzorem f (A)u k =f (λ k )u k.

16 Klucz Twierdzenie DlaoperatorasamosprzężonegoA: C n C n nieujemnego a, funkcjiwypukłejf:[0, ) Ribazyortonormalnejv 1,...,v n zachodzi trf (A) f (<Av k,v k >). a dlakażdegox C n zachodzi<ax,x> 0

17 Klucz Twierdzenie DlaoperatorasamosprzężonegoA: C n C n nieujemnego a, funkcjiwypukłejf:[0, ) Ribazyortonormalnejv 1,...,v n zachodzi trf (A) f (<Av k,v k >). a dlakażdegox C n zachodzi<ax,x> 0 DlaX : C n C n dowolnegooperatoraliniowegoweźmy f (x) =x m,m Z +,A =X X.

18 Klucz Twierdzenie DlaoperatorasamosprzężonegoA: C n C n nieujemnego a, funkcjiwypukłejf:[0, ) Ribazyortonormalnejv 1,...,v n zachodzi trf (A) f (<Av k,v k >). a dlakażdegox C n zachodzi<ax,x> 0 DlaX : C n C n dowolnegooperatoraliniowegoweźmy f (x) =x m,m Z +,A =X X. Mamy ( ) m tr X X <X Xv k,v k > m = <Xv k,xv k > m

19 = ( k-takolumnamacierzy [x ij ]operatorax wbazie (v k ) 2) m

20 = ( k-takolumnamacierzy [x ij ]operatorax ( wbazie (v k ) 2) m ) m = x lk 2 l=1

21 = ( k-takolumnamacierzy [x ij ]operatorax ( wbazie (v k ) 2) m ) m = x lk 2 x kk 2m l=1

22 = ( k-takolumnamacierzy [x ij ]operatorax ( wbazie (v k ) 2) m ) m = x lk 2 x kk 2m l=1 x 2m kk

23 = ( k-takolumnamacierzy [x ij ]operatorax ( wbazie (v k ) 2) m n ) m = x lk 2 x kk 2m l=1 x 2m kk = trx 2m. Zadanie domowe DlaoperatoraliniowegoX : C n C n istniejebazaortonormalna (v k )przestrzeni C n wktórejmacierztegoprzekształceniajest górnotrójkątna.

24 = ( k-takolumnamacierzy [x ij ]operatorax ( wbazie (v k ) 2) m ) m = x lk 2 x kk 2m l=1 x 2m kk = trx 2m. Lemat DlaoperatoraliniowegoX : C n C n zachodzi trx 2m m, tr (X X) m Z+.

25 Wniosekznierówności trx 2m tr ( X X ) m Lemat DlaoperatorówliniowychsamosprzężonychX,Y : C n C n zachodzi tr (XY ) 2m tr (X 2m Y 2m), m Z +.

26 Wniosek z nierówności tr (XY ) 2m tr ( X 2m Y 2m) Dla A, B operatorów samosprzężonych kładziemy X =I A,Y =I + 1 m 2 B. m

27 Wniosek z nierówności tr (XY ) 2m tr ( X 2m Y 2m) Dla A, B operatorów samosprzężonych kładziemy X =I A,Y =I + 1 m 2 B.Ufając,że m (XY ) 2m = = X 2m Y 2m = (( I + 1 )( 2 ma I + 1 )) 2m 2 mb ( I + 1 ) 2 2 m AB) ( 1 2 m(a +B) + 2 m ( I + 1 ) 2m( 2 ma I + 1 ) 2m 2 mb m e A+B, m e A e B,

28 Wniosek z nierówności tr (XY ) 2m tr ( X 2m Y 2m) Dla A, B operatorów samosprzężonych kładziemy X =I A,Y =I + 1 m 2 B.Ufając,że m (XY ) 2m = = X 2m Y 2m = (( I + 1 )( 2 ma I + 1 )) 2m 2 mb ( I + 1 ) 2 2 m AB) ( 1 2 m(a +B) + 2 m ( I + 1 ) 2m( 2 ma I + 1 ) 2m 2 mb m e A+B, m e A e B, otrzymujemy ( tre A+B tr e A e B).

29 Bibliografia S. Golden, Lower Bounds for the Helmholtz Function, Physical Review 137, B (1965) B. Simon, The statistical Mechanics of Lattice Gases, Princeton, New Jersey, Princeton University Press M. Suzuki, Quantum Statistical Monte Carlo Methods and Applications to Spin Systems, Journal of Statistical Physics 43, (1986) C. J. Thompson, Inequality with Applications in Statistical Mechanics, Journal of Mathematical Physics 6, (1965)

30 Dziękuję!

31 Pytania?