ZGINANIE I SKRĘCANIE BELEK O PRZEKROJU MONO-SYMETRYCZNYM

Transkrypt

1 CZASOPISO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIII, z. 63 (1/I/16), stczeń-marzec 2016, s Roman IJAK 1 Grzegorz KOŁODZIEJ 2 ZGINANIE I SKRĘCANIE ELEK O PRZEKROJU ONO-SYETRYCZNY W prac przedstaiono metodę miaroania zginanch i sręcanch bele monosmetrcznch opracoaną na podstaie [1]. Uzględnia ona teorię sręcania Własoa i proadza pojęcie bimomentu. oment zginając zględem osi słabszej analizoano onfiguracji odształconej [2]. W celu znaczenia ąta sręcenia przeroju sorzstano ze zoró teorii Własoa, zaartch prac Ruteciego [3]. Słoa luczoe: bela podsunicoa, bimoment, sręcanie, przerój monosmetrczn 1. Wmiaroanie przerojó monosmetrcznch Celem tej prac jest przedstaienie sposobu miaroania bele podsunicoch o przeroju monosmetrcznm (ogólne elementó duierunoo zginanch i sręcanch). Posłużono się tlo darmomi programami omputeromi (LTeam [4], PropSection [5]) oraz aruszem alulacjnm. Wpł sręcania g teorii Własoa uzględniono za pomocą funcji bimomentu. Sformułoanie dla przerojó bismetrcznch przedstaione pracach [2], [6], otrzmujem bezpośrednio ze zoró dla przerojó monosmetrcznch. Interacjną formułę spradzenia nośności elementu zginanego i sręcanego możem zapisać za pomocą zoru (1) [1]: χ LT,R 1 C mz z,r 1 z,r α 1 1,0 (1) gdzie:,r, z,r nośności charaterstczne przeroju poprzecznego prz 1 Autor do orespondencji/corresponding author: Roman ija, dr inż., Politechnia Śiętorzsa, Kielce, al. Tsiąclecia Państa Polsiego 7, tel , r.bija@tu.ielce.pl 2 Grzegorz Kołodziej, mgr inż., KYOTEC POLSKA sp. z o.o., Warszaa, atalionu Plateróe 3, gsm@poczta.onet.pl

2 316 R. ija, G. Kołodziej zginaniu odpoiednio zględem osi i z, γ 1 częścio spółcznni bezpieczeństa, χ LT spółcznni zichrzenia, C mz spółcznni rónoażnego stałego momentu [8]. Nośność przeroju ze zględu na bimoment obliczam ze zoru (2): = W f (2),R gdzie: W cino saźni trzmałości, f granica plastczności. Rs. 1. a) Parametr geometrczne przeroju, b) onfiguracja przeroju poprzecznego po deformacji Fig. 1. a) Geometric parameters of the section, b) deformed configuration of cross-section Na sute sręcenia przeroju o ąt φ, stępuje dodatoe zginanie przeroju zględem osi z (rs. 1b) momentem φ. Wartość obliczenioa momentu zginającego nosi zatem [2]: = ϕ (3) d gdzie: φ d jest ątem sręcenia od obciążeń obliczenioch. Pozostałe parametr znaczam ze zoró (4 a,b,c) [1]: 0,2 = 0,7,,R 1 z =1, z,r1 α = 1 1 / cr (4a,b,c) Spradzenie nośności przeroju zaresie sprężstm możem zapisać za pomocą formuł interacjnej (5) [2]:,R 0 z,r 0,R 0 1 (5) gdzie: γ 0 częścio spółcznni bezpieczeństa.

3 Zginanie i sręcanie bele o przeroju mono-smetrcznm 317 Analogicznie ja przpadu momentu zginającego siłę poziomą onfiguracji po deformacji znaczam ze zoru (6) [2]: H = H Q ϕ (6) gdzie: φ (x) ąt sręcenia od obciążenia charaterstcznm momentem sręcającm T. O miarach przeroju beli podsunicoej często decduje ugięcie poziome bele podsunicoch [6]. Dla puntu P o spółrzędnej pionoej a z możem je oszacoać za pomocą zoru (7) (Rs. 1a): = max 0 x L (i) { v ( x) a ( x) } L / 600 z ϕ (7) gdzie: doln indes oznacza artości charaterstczne i-tego obciążenia, φ (x) ąt sręcenia ołan momentem sręcającm T, v (x) przemieszczenie ołane obciążeniem poziomm beli H (por. Tablica 1). 2. Wmiaroanie duteonió bismetrcznch g [2, 6] Przedstaione pożej zależności można prosto przeształcić, uzsując zor przedstaione pracach [2,6]. W tm celu zastąpim bimoment parą przecinie sieroanch momentó zginającch półi duteonia zględem osi z (rs. 2a): ( x) ( x) = (8) h0 Nośność sprężsta półi duteonia prz zginaniu zględem osi z nosi:,r = W f (9) fz gdzie: W fz = tb 2 /6 sprężst saźni trzmałości półi duteonia zględem osi z (t, b odpoiednio grubość i szeroość półi). Zależność pomiędz bimomentoą nośnością przeroju a nośnością,r pojednczej półi prz zginaniu zastępczm momentem przedstam formie: I tb h / 24 = h (10) 3 2 0,R W f = f = f = ωmax bh0 / 4,R gdzie: I cino moment bezładności przeroju. 0

4 318 R. ija, G. Kołodziej Rs. 2. a) Para momentó zginającch półę rónoażna bimomentoi, b) schemat statczn obciążenia supionego Fig. 2. a) ending moment couple, equivalent to bimoment, b) static diagram for concentrated load Uzględniając zor (8,10) arune nośności elementu duierunoo zginanego i sręcanego duteonia bismetrcznego możem zapisać za pomocą przeształconego zoru (1): χ LT,R 1 Cmz z,r 1 z α,r 1 1,0 (11a) 0,2 = 0,7 (11b),R 1 We zorach (11a, b) postaiam plastczne nośności przeroju prz zginaniu zględem osi i z, a nośność,r znaczam ze zoru (9) podstaiając plastczn saźni trzmałości W fz =tb 2 /4. Nośność przeroju zaresie plastcznm znaczam na podstaie zoru (12) [2]:,R 0 2 z,r 0,R (12) 3. Wzor analitczne dla podparcia idełoego Wzor na rozład sił przerojoch niającch z teorii Własoa przjęto na podstaie siążi Ruteciego [3]. W Tabeli 1 przedstaiono funcję przemieszczenia poziomego od obciążenia siłą supioną H oraz funcje ąta sręcenia φ(x), bimomentu (x) i momentu sręcającego St.Venanta.

5 Zginanie i sręcanie bele o przeroju mono-smetrcznm 319 Tabela 1. Funcje przemieszczeń i sił przerojoch od obciążenia supionego (Rs. 2b) Table 1. Analtic functions for displacements and internal forces in case of point load (Fig. 2b) Le przedział (0 x<a) Pra przedział (a<x L) H b x H a x v( x) = ( L b x ) v( x) = ( L a x ) 6EI L 6EI L z T b sinh( b) T a sinh = x ( ( a) ϕ ( x) sinh x) ϕ ( x) GIT L sinh( L) x GIT L sinh( L) T sinh ( b) T sinh ( x) EI sinh ( x) ( a) = GI ( x) = EI T sinh ( L) GI T sinh ( L) b sinh( b) a sinh = ( ( a) v ( x) T cosh x) L sinh( L) v ( x) T L sinh( L) gdzie: x = L x, = GI / EI ) T ( z ( ) = sinh x sinh ( x ) = cosh( x), I T moment bezładności sręcania St. Venanta, E, G odpoiednio moduł sprężstości podłużnej i poprzecznej. 4. Przład obliczenio Rozpatrzm belę podsunicoą o przeroju złożonm z duteonia HEA4502L100x16, dla dóch schemató statcznch przedstaionch na rs. 3 [7]. Przjęto sznę dźigoą A75/SD75 o soości h=85mm. W celu uproszczenia obliczeń pominiem obciążenie ciężarem łasnm beli i szn. Obciążenia obliczenioe otrzmano mnożąc ielości charaterstczne (Rs. 3) przez spółcznni obliczenio 1,35. Za pomocą programu PropSection [5] znaczono charatersti przeroju: z G =26,74cm (Rs. 1a), I =80521cm 4, I z =38729cm 4, W el, =3011,3cm 3, W el,z =1549,2cm 3, I t =309,6cm 4, I =8297,6*10 3 cm 6, z S =12,99cm, β z = 15,34cm. Współrzędne przłożenia sił supionch (Rs. 1a) znaczono następująco: a =25mm, a z = ,4-129,985=127,7mm. oment sręcając dla poszczególnch przpadó znaczono ze zoru: T=Q a H a. oment rtczn znaczono za pomocą programu LTeam [4] (α LT =0,76). W celu spradzenia arunó nośności i użtoania użto arusza alulacjnego. W tabeli 2 przedstaiono charatersti przjętego profilu. W tabelach 3 oraz 4 odpoiednie parametr dla schematu statcznego nr 1, natomiast tabelach 5 i 6 dla schematu statcznego nr 2. Dopuszczalne ugięcie poziome nosi L/600=7500/600=12,5mm. z

6 320 R. ija, G. Kołodziej Rs. 3. a) Schemat statczn nr 1, b) schemat statczn nr 2 Fig. 3. a) Static diagram no. 1, b) static diagram no. 2 Tabela 2. Charatersti przeroju złożonego HEA4502L100x16 Table 2. Cross-sectional properties of combined HEA4502L100x16 section GI T [Nm 2 ] EI [Nm 4 ] [1/m],R [Nm] z,r [Nm],R [Nm] 250,8 1742,1 0, ,7 364,1 33,6 1,0 1, Spradzenie arunó nośności i użtoania dla schematu statcznego 1 (rs. 3a) Wznaczm ąt sręcenia dla x=3m (b 1 =4,5m, b 2 =1,5m) jao sumę ątó sręcenia od poszczególnch charaterstcznch momentó sręcającch (Tabela 1, le przedział): 4,73 4,5 sinh(4,5 ) ( ) ϕ 1 T 1 = 3 sinh(3) = 0,0123 (13a) 250,8 7,5 sinh(7,5) 0,27 1,5 sinh(1,5 ) ϕ 1 ( T 2 ) = 3 sinh(3) = 0,0004 (13b) 250,8 7,5 sinh(7,5) Kąt sręcenia dla obciążeń charaterstcznch nosi 0,0127rad, natomiast dla obciążeń obliczenioch 0,0127*1,35=0,0172rad. Poniżej zestaiono pozostałe parametr (C mz =0,95). Tabela 3. Rezultat dla beli ze schematu statcznego g rs. 3a Table 3. Calculated results for beam shon in Fig. 3a cr,rd [Nm] [Nm] [Nm] [Nm] [Nm 2 ] ,4 34 7,41 γ 0 γ 1

7 Zginanie i sręcanie bele o przeroju mono-smetrcznm 321 Tabela 4. Rezultat dla beli ze schematu statcznego g Rs. 3a (cd.) Table 4. Calculated results for beam shon in Fig. 3a (continued) χ LT z α (1) (5) (7) 0,820 0,656 0,907 1,098 0,79 0,77 3,6 mm 4.2. Spradzenie arunó nośności i użtoania dla schematu statcznego 2 (rs. 3b) Wznaczm ąt sręcenia dla x=3m (b 1 =4,5m, b 2 =1,5m) analogicznie ja (13a, b): ϕ 1 ( T 1 ) = 0, 0131, ϕ 1 ( T 2 ) = 0, Kąt sręcenia dla obciążeń charaterstcznch nosi ięc 0,0149, natomiast dla obciążeń obliczenioch 0,0149*1,35=0,0201. Poniżej zestaiono pozostałe parametr (C mz =0,90). Tabela 5. Rezultat dla beli ze schematu statcznego g Rs. 3b Table 5. Calculated results for beam shon in Fig. 3b cr [Nm] [Nm] [Nm],Rd [Nm 2 ] [Nm] ,2 50,6 55,8 7,9 Tabela 6. Rezultat dla beli ze schematu statcznego g Rs. 3b (cd.) Table 6. Calculated results for beam shon in Fig. 3b (continued) χ LT z α (1) (5) (7) 0,831 0,653 0,847 1,071 0,72 0,75 4,2mm 5. Uagi i niosi W prac przedstaiono metodę miaroania monosmetrcznch elementó zginanch i sręcanch, tórej aruni rónoagi znaczam onfiguracji po deformacji (po uzględnieniu sręcenia przeroju). Proadzi to do zięszenia zaróno momentu zginającego zględem osi słabszej ja i poziomego przemieszczenia elementu. Zaproponoana metoda pozala na poprane znaczenie sił przerojoch i przemieszczeń zgodnch z teorią Własoa. Wzor na rozład sił przerojoch i przemieszczeń zaczerpnięte z prac Ruteciego [3] są proste i łate do orzstania doolnm aruszu alulacjnm. Wpł odształceń stcznch od sręcania St. Venanta uzględniam poprzez zmniejszenie nośności dla sił poprzecznch g zoru (6.28) z [8] (τ t,ed = v,ed t /I T, gdzie: t grubość środnia). W rozpatranch

8 322 R. ija, G. Kołodziej przerojach jest on pomijaln (V Ed /V Rd <0,3). Dzięi małm poziomm przemieszczeniom popraia się jaość prac sunic i zmniejsza jej aarjność. Ab uzsać spełnienie arunu na ugięcia poziome dla przeroju duteoego należałob przjąć profil HE700 (ugięcie poziome ooło 12mm). Literatura [1] PN-EN : Projetoanie onstrucji staloch Część 6: Konstrucje sporcze dźignic. [2] Hughes A.F., Iles D.C., ali A.S. (2011), Design of steel beams in torsion, Steel Construction Institute, Sliood Par, Ascot, Publication Number SCI P385, ershire, 2011 [ : dostęp 20 maj 2015]. [3] Ruteci J. Wtrzmałość onstrucji cienościennch, Wdanicto Nauoe PWN, Warszaa [4] Galéa Y.: oment critique de déversement élastique de poutre fléchies Présentation du logiciel LTEA. Revue Construction étallique.ctic, 2003(2). [5] PropSection v1.0.3,.cticm.com/content/propsection-v103, dostęp [6] ija R., Chodor L.: Zginanie i sręcanie duteonió bismetrcznch, Konstrucje betonoe i metaloe, Wdanicta Uczelniane Unierstetu Technologiczno-Przrodniczego dgoszcz, [7] Żmuda J.: Konstrucje sporcze dźignic, PWN, Warszaa [8] PN-EN :2006. Projetoanie onstrucji staloch Część 1-1: Reguł ogólne i reguł dla budnó. DIENSIONING OF ONOSYETRIC EAS WITH FORK SUPPORTS UNDER ENDING AND TORSION S u m m a r In presented paper it as shon method of calculation beams of monosmmetric crosssection, under simultaneous bending and torsion, elaborated on basis of standard [1]. The method taes into account Vlasov s theor of torsion and introduces concept of bimoment. ending moment about the minor axis of inertia (=axis of smmetr) is analzed ith respect to deformed configuration of section [2]. Analtic formulas for angle of tist are based on Vlasov s formulas shon in Ruteci s boo [3]. Keords: crane girder, bimoment, torsion, monosmmetric cross-section Przesłano do redacji: r. Przjęto do druu: r. DOI: /rb