Porównanie wielu rozkładów normalnych

Transkrypt

1 Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia:. X i N(µ i, σi 2 ), i =,..., k 2. X,..., X k są niezależne Czy µ = = µ k? Czy σ 2 = = σ 2 k? Próby: X i,..., X ini, i =,..., k X i, varx i, s 2 i = varx i n i ; i =,..., k W Z Statystyka 6.

2 H 0 : µ = = µ k Założenie σ 2 = = σ 2 k Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 a S 2 e S 2 a = k k n i ( X i X) 2 i= S 2 e = N k k n i (X ij X i ) 2 i= j= X i = n i n i j= X ij, X = N k i= n i j= X ij N = k i= n i W Z Statystyka 6.2

3 Jeżeli F emp > F (α; k, N k), to hipotezę H 0 : µ = = µ k odrzucamy. Wniosek praktyczny: przynajmniej jedna ze średnich µ,..., µ k jest inna od pozostałych Model analizy wariancji X ij = µ i + ε ij Błąd losowy ε ij N(0, σ 2 ) Przykłady Plenność kilku odmian pewnej rośliny uprawnej Wydajność pracowników kilku zakładów pracy Zarobki kilku grup społecznych Czynnik: odmiana, zakład, grupa Poziomy czynnika: badane odmiany, badane zakłady, badane grupy W Z Statystyka 6.3

4 Model analizy wariancji X ij = µ + a i + ε ij a i efekt i tego poziomu czynnika: k i= a i = 0 H 0 : a = = a k = 0, H 0 : Tabela analizy wariancji k a 2 i = 0 i= Źródło Stopnie Sumy Średnie F emp zmienności swobody kwadratów kwadraty Czynnik k vara S 2 a = vara k Błąd losowy N k vare S 2 e = vare N k Ogółem N vart S2 a/s 2 e vara = k n i ( X i X) 2, vare = i= k n i (X ij X i ) 2, i= j= k n i vart = (X ij X) 2, i= j= vara + vare = vart W Z Statystyka 6.4

5 Grupy jednorodne podzbiory średnich, które można uznać za takie same Procedury porównań wielokrotnych postępowanie statystyczne zmierzające do podzielenia zbioru średnich na grupy jednorodne Procedury: Tukeya, Scheffégo, Bonfferroniego, Duncana, Newmana Kuelsa i inne. Ogólna idea procedur porównań wielokrotnych (n = = n k ) N IR najmniejsza istotna różnica Jeżeli X i X j < NIR, to uznajemy, że µ i = µ j. Jeżeli X i X j < NIR X i X l < NIR X l X j < NIR, to uznajemy, że µ i = µ j = µ l. Badając w ten sposób wszystkie pary średnich próbkowych otrzymujemy podział zbioru średnich na grupy jednorodne. W Z Statystyka 6.5

6 Procedura Tukeya Założenie: n = = n k = n NIR = t(α; k, N k)s e n t(α; k, N k) wartość krytyczna studentyzowanego rozstępu Przypadek nierównolicznych prób Jedna z modyfikacji procedury Tukeya NIR ij = t(α; k, N k)s e 2 ( n i + n j ) W Z Statystyka 6.6

7 Przykład. Przeprowadzić analizę porównawczą wyników punktowych klasówki w grupach studenckich. Populacje Możemy wyodrębnić dziesięć populacji indeksowanych numerami grup studenckich Cecha X Ilość punktów uzyskanych na klasówce Założenia cecha X ma w i tej populacji rozkład N(µ i, σ 2 i ) (i =,..., 0) σ 2 = = σ 2 0 Formalizacja weryfikacja hpotezy H 0 : µ = = µ 0 Techniki statystyczna Jednoczynnikowa analiza wariancji Porównania szczegółowe Poziom istotności 0.05 W Z Statystyka 6.7

8 Obliczenia i n i xi x 2 i i n i x i n i ( x i x) 2 varx i N =300 x= vara= vare= vart = /300 = W Z Statystyka 6.8

9 Tabela analizy wariancji Źródło Stopnie Sumy Średnie Femp zmienności swobody kwadratów kwadraty Grupa Błąd losowy Ogółem Wartość krytyczna F (0.05; 9, 290) =.92 Odpowiedź: hipotezę H 0 : µ = = µ 0 odrzucamy Wniosek: przynajmniej jedna grupa uzyskała inną średnią liczbę punktów niż pozostałe W Z Statystyka 6.9

10 Wyznaczenie grup jednorodnych Procedura Tukeya (α = 0.05) Wartość krytyczna: t(0.05; 0, 290) = NIR = = i x i W Z Statystyka 6.0

11 W Z Statystyka 6.

12 Porównanie wariancji Cecha X i ma rozkład normalny N(µ i, σi 2) Średnie µ i oraz wariancje σi 2 są nieznane H 0 : σ 2 = = σ 2 k Test Bartletta (poziom istotności α) Statystyka testowa M = (N k) ln ( N k k k (n i )Si 2 i= ) i= (n i ) ln S 2 i S 2 i = n i n i j= (X ij X i ) 2 Jeżeli M > m(α), to H 0 : σ 2 = = σ 2 k odrzucamy. W Z Statystyka 6.2

13 m(α) = c c [(c c 3 )m (α; k, c ) + (c 3 c)m 2 (α; k, c )] c = k i= n i N k c 3 = k i= (n i ) 3 (N k) 3, c = c 3 /k 2, m (α; k, c ), m 2 (α; k, c ) są stablicowane Jeżeli wszystkie n i > 4, to statystyka testowa M + c /(3(k )) ma w przybliżeniu rozkład chi kwadrat z k stopniami swobody. Jeżeli c = 0, to m (α; k, c ) = m 2 (α; k, c ) = χ 2 (α; k ) W Z Statystyka 6.3

14 Przypadek n = = n k = n Test Cochrana (poziom istotności α) Statystyka testowa G = S 2 max S S2 k S 2 max = max{s 2,..., S 2 k} Jeżeli G > g(α; k, n), to H 0 : σ 2 = = σ 2 k odrzucamy Wartości krytyczne g(α; k, n) są podane w tablicach W Z Statystyka 6.4

15 Przypadek n = = n k = n Test Hartleya (poziom istotności α) Statystyka testowa F max = S2 max S 2 min S 2 min = min{s 2,..., S 2 k} Jeżeli F max > f max (α; k, n), to H 0 : σ 2 = = σ 2 k odrzucamy Wartości krytyczne f max (α; k, n) są podane w tablicach W Z Statystyka 6.5

16 Przykład. W celu porównania zróżnicowania cen targowiskowych na jaja w czterech województwach w Polsce z każdego województwa wylosowano pewne ilości targowisk i zanotowano przeciętne ceny jaj na tych targowiskach. Po odpowiednich przeliczeniach uzyskano nastepujące wyniki Województwo Liczba targowisk n i Wariancja s 2 i Czy można na tej podstawie uznać, że zróżnicowanie cen w badanych województwach jest takie same? Populacje Są cztery populacje: targowiska w badanych województwach Cecha X przeciętna cena jaj na targowisku Założenie cecha w i tej populacji ma rozkład N(µ i, σ 2 i ) (i =, 2, 3, 4) W Z Statystyka 6.6

17 Formalizacja Miernikiem zróżnicowania cechy jest jej wariancja. Zatem problem analizy porównawczej zróżnicowania cen można zapisać jako zagadnienie weryfikacji hipotezy H 0 : σ 2 = = σ 2 4 Technika statystyczna Test Bartletta (poziom istoności α = 0.05) Obliczenia n i (n i )s 2 i (n i )lns 2 i /(n i ) /(n i ) Razem M = (26 4) ln ( ) = c = c 3 = (26 4) = 0.74 (26 4) 3 = 0.03 c = = W Z Statystyka 6.7

18 Wartość krytyczna m(0.05) = m (0.05; 4, 0.74) = m 2 (0.05; 4, 0.74) = ( ) ( ) = Odpowiedź: nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy Wniosek: zróżnicowanie cen targowiskowych w badanych województwach można uznać za takie same. W Z Statystyka 6.8