Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-2)
|
|
- Mateusz Krzemiński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Jacek Złydach (JW) Wstęp Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-) Implementacja praktyczna Poniższa praktyczna implementacja stanowi uzupełnienie teoretycznych rozważań na temat interpolacji za pomocą krzywych sklejanych drugiego stopnia. Wykorzystuje ona kod omówiony dokładnie w III sprawozdaniu z Metod Numerycznych (metody numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych). Funkcje Poniżej umieściłem garść funkcji pomocniczych dokładnie omówionych w trzecim sprawozdaniu (między innymi faktoryzacja LU). sklej_macierze_poziomo( lhs, rhs) := ( ) wydziel_macierz_lewa( lhs, leftcols) := for i.. cols( rhs) cols lhs lhs ( ) + i lhs leftmatrix i if rows( lhs) rows( rhs) rhs i for i.. leftcols leftmatrix lhs i wydziel_macierz_prawa( lhs, leftcols) := for i leftcols.. cols( lhs) rightmatrix i leftcols rightmatrix lhs i b last( b) podstawienia_u( A, b) := x last( b) A last( b), last( b) for i last( b).. x i last( b) b i j = i+ x A i, i ( A x i, j j ) str. /9
2 Jacek Złydach (JW) b podstawienia_l( A, b) := x A, for i.. last( b) x i i b i j = x ( if ( i j, A x, i, j j )) A i, i gaussian_lu( A) := for i.. rows( A) for r i +.. rows( A) A r, i A i, i for j i.. cols( A) A A A r, j r, j i, j A r, i A wydziel_l( A) := for i.. rows( A) for j.. i L A if i j i, j i, j L i, j L otherwise wydziel_u( A) := for i.. rows( A) for j i.. cols( A) U A i, j i, j U Wstęp do interpolacji krzywą SPLINE- Zagadnienie interpolacji rozpatrzyłem na przykładzie poniższych dwóch funkcji: f( x) := + 5x Przedział badania funkcji to: x f( x) := e + x str. /9
3 Jacek Złydach (JW) x := 5 step :=. x := 5 x := x, x + step.. x Do interpolacji użyłem węzłów równoodległych: 4 3 w := y := f( = y := f( = Obie funkcje wraz z zaznaczonymi węzłami można zobaczyć na poniższym wykresie: Interpolowane funkcje Funkcja Funkcja Węzły funkcji Węzły funkcji str. 3/9
4 Jacek Złydach (JW) W celu umożliwienia elastycz nego badania krzywych oraz optymalizacji czasu obliczeń postanowiłem, że wszystkie punkty wielomianu interpolacyjnego w zadanym wyżej zakresie zostaną wyliczone raz i nie będą przeliczane przy odświeżaniu wykresu. Dlatego zdefiniowałem poniższą funkcję pomocniczą: W( x, C, w, y) := ktory last( i = wynik C x w ktory ktory wynik ( ) if x > w x w, i, i i+ ( ) C x w ktory+ ( ktory ) ( ) + if x > w, last(, last( + + y ktory Funkcja ta oblicza wartość krzywej SPLINE- w punkcie x na podstawie wektora współczynników C oraz węzłów w i wartościach w węzłach y. Poniższa funkcja tworzy wektor wartości wielomianu SPLINE- na podanym przedziale: S( C, w, y, x, step, x) := licznik for p x, x + step.. x wynik W( p, C, w, y) licznik licznik licznik + wynik Dodatkowa pomocnicza funkcja tworząca wektor wartości x w podanym przedziale: X( x, step, x) := licznik for p x, x + step.. x wynik p licznik licznik licznik + wynik Poniższa funkcja oblicza odległość między węzłami: dist( k, := w w k+ k Równanie macierzowe SPLINE- We wstępie teoretycznym opisałem dokładne wyprowadzenie macierzowych równań dla krzywej SPLINE-; poniżej znajduje się implementacja tego układu: Funkcja poniżej tworzy fragment macierzy współczynników odpowiedzialny za n-tą parę równań ciągłości. rmax oznacza całkowita liczbę równań. str. 4/9
5 Jacek Złydach (JW) R( n, rmax, := A dist( n, n, n A dist( n, n, ( n) + A dist( n, ( n) +, n A ( n) +, ( n) + A ( n) +, ( n) + 3 A rmax, rmax A Poniższa funkcja tworzy fragment macierzy współczynników odpowiedzialny za ostatni wielomian składowy SPLINE- i ostatni węzeł interpolacyjny. Przyjęty jest wariant z parametryzowaną pochodną w ostatnim węźle. Rost( n, := A dist( n, n, n A dist( n, n, ( n) + A dist( n, ( n+ ), n A ( n+ ), ( n) + A Poniższa funkcja tworzy fragment macierz wyrazów wolnych B odpowiedzialny za n-tą parę równań ciągłości. B( n, rmax, w, y) := B y y n, n+ n B rmax, B ( n) +, B Zapewnienie właściwego rozmiaru macierz y potrzebnego do sumowania. Poniższa funkcja oblicza współczynniki krzywej SPLINE- dla podanych węzłów w i wartości y w tych węzłach oraz wartości ostatniej pochodnej d przez bezpośrednie rozwiązanie równania macierzowego. S_mat( w, y, d) := A B last( i = last( i = B last( r A B r R( i, last(, + Rost( last(, B( i, last(, w, y) d Parametryzacja pochodnej str. 5/9
6 Jacek Złydach (JW) Współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla funkcji i przy ostatniej pochodnej równej : smat_ := S_mat( w, y, ) = smat_ := S_mat( w, y, ) = Wektor X potrzebny do wykresu: X_mat := X( x, step, x) Wartości SPLINE- dla dwóch funkcji: Y_mat_ := S( smat_, w, y, x, step, x) Y_mat_ := S( smat_, w, y, x, step, x) Wykresy przedstawiające rezultat interpolacji SPLINE-: str. 6/9
7 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_mat_ x, w, X_mat str. 7/9
8 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_mat_ x, w, X_mat (brak dodatkowego formatowania wykresów wynika po raz kolejny z błędów Mathcada) Powyższe wykresy dość dobrze ilustrują problem z krzywymi SPLINE-: występują w nich czasem bardzo potężne oscylacje, które czynią interpolację tymi krzywymi praktycznie bezużyteczną praktycznie. W powyższym wykresie ostatnia pochodna została ręcznie ustawiona na wartość, która jest bliska wartości pochodnej w tym punkcie dla obu interpolowanych funkcji. Można jednak sprawdzić, że dla wartości ostatniej pochodnej znacznie różniących się od wartości pochodnej interpolowanej funkcji także z prawej strony wykresu pojawią się pokaźne oscylacje. Faktoryzacja LU W części teoretycznej wysunąłem twierdzenie, jakoby przekształcone równanie krzywej SPLINE- nadawało się do faktoryzacji LU, pozwalając dla danego zestawu węzłów wyliczyć dane pośrednie. Obliczenia te pozwalają na szybsze wyliczenie współczynników krzywej SPLINE- dla dowolnej funkcji, którą roz patrujemy w tych węzłach. Poniższy fragment sprawozdania przeznaczyłem na praktyczne sprawdzenie tego zagadnienia: Zmodyfikowana macierz współczynników: str. 8/9
9 Jacek Złydach (JW) R_LU( n, rmax, := A dist( n, n, n A dist( n, n, ( n) + A ( n) +, n A ( n) +, ( n) + A ( n) +, ( n) + 3 A rmax, rmax A Rost_LU( n, := A dist( n, n, n A dist( n, n, ( n) + A ( n+ ), n A ( n+ ), ( n) + Zmodyfikowana macierz wyrazów wolnych B: B_LU( n, rmax, w, y) := B y y n, n+ n A B rmax, B ( n) +, B y y n+ n dist( n, Faktoryzacja LU macierzy współczynników dla węzłów równo odległych: A_LU_przed := last( i = R_LU( i, last(, + Rost_LU( last(, A_LU := gaussian_lu( A_LU_przed) Obliczenie macierzy współczynników B dla obu interpolowanych funkcji: B_LU_ := B_LU_ := last( i = last( i = B_LU( i, last(, w, y) B_LU( i, last(, w, y) B_LU_ := (ostatnia pochodna) last( B_LU_ := (ostatnia pochodna) last( Poniższa funkcja oblicza współczynniki krzywej SPLINE- dla podanych macierzy A i B wyliczonych z procesu str. 9/9
10 Jacek Złydach (JW) faktoryzacji LU. S_LU( A, B) := y podstawienia_l( wydziel_l( A), B) r podstawienia_u( wydziel_u( A), y) Obliczone współczynniki: r slu_ := S_LU( A_LU, B_LU_) = slu_ := S_LU( A_LU, B_LU_) = Wartości SPLINE- dla dwóch funkcji: Y_lu_ := S( slu_, w, y, x, step, x) Y_lu_ := S( slu_, w, y, x, step, x) Wykresy interpolacji faktoryzacją LU: str. /9
11 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_lu_ x, w, X_mat str. /9
12 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_lu_ x, w, X_mat Przewidywanie okazało się słuszne, wzory dla faktoryzacji LU sprawdzone. W powyższym przykładzie macierz współczynników policzyliśmy tylko raz, wobec czego złożoność obliczeniowa spadła z n 3 do n. Wynika z tego, że gdybyśmy mieli k funkcji do interpolowania przy użyciu SPLINE- na tych samych węzłach, każdorazowe rozwiązanie równania miałoby łączną złożoność kn 3, a w przypadku metody LU uzyskalibyśmy złożoność kn. Przy k porównywalnym z n taka oszczędność ma duże znaczenie. Wzory jawne dla krzywej SPLINE- Jeszcze szybszą od faktoryzacji LU metodą obliczenia współczynników krzywej SPLINE- jest wykorzystanie wzorów rekurencyjnych wyprowadzonych w części teoretycznej. Poniższa funkcja oblicza współczynniki b wielomianów składowych SPLINE-: str. /9
13 Jacek Złydach (JW) wzory_b( w, y, lastb) := b lastb dodatkowy współczynnik b last( + for i last(, last( 3.. i ktory floor ( ) b b + i i+ b y y ktory+ ktory w w ktory+ ktory Po rekurencyjnym wyliczeniu współczynników b można użyć ich do obliczenia współczynników a. Poniższa funkcja realizuje to zadanie, uzupełniając przekazaną macierz o konieczne współczynniki: wzory_a( w, y, b) := for i last(, last( 4.. i ktory floor b b i+ 3 i+ b i w w ktory+ ktory b ( ) Współczynniki SPLINE- obliczone dla obu funkcji: swzory_ := swzory_ := wzory_a( w, y, wzory_b( w, y, ) ) wzory_a( w, y, wzory_b( w, y, ) ) swzory_ = swzory_ = str. 3/9
14 Jacek Złydach (JW) Y_wz_ := S( swzory_, w, y, x, step, x) Y_wz_ := S( swzory_, w, y, x, step, x) Wykresy interpolacji wzorami jawnymi: f( x) y Y_wz_ x, w, X_mat str. 4/9
15 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_wz_ x, w, X_mat Ciekawe problemy Poniżej zaprezentowałem doświadczalnie kilka zagadnień wspomnianych w części teoretycznej a związanych z krzywymi SPLINE-: Dobór ostatniej pochodnej Żeby zilustrować, jak dobór pochodnej w ostatnim punkcie wpływa na całą interpolację, rozważyłem kilka krzywych SPLINE- dla funkcji : S_dv := S_dv := S_dv3 := S_dv4 := Y_dv := Y_dv := Y_dv3 := S_mat( w, y, 4) S_mat( w, y, ) S_mat( w, y, 5) S_mat( w, y, linear_derv) S( S_dv, w, y, x, step, x) S( S_dv, w, y, x, step, x) S( S_dv3, w, y, x, step, x) Przybliżenie pochodnej na końcu przy użyciu dwóch ostatnich węzłów: y y last( y) last( y) linear_derv := w w last( last( =.69 str. 5/9
16 Jacek Złydach (JW) Y_dv4 := S( S_dv4, w, y, x, step, x) f( x) y Y_dv Y_dv Y_dv3 Y_dv x, w, X_mat Powyższa mozajka kolorystyczna pokazuje, że w zależności od doboru ostatniej pochodnej znacząco zmienia się zarówno kształt krzywej SPLINE- jak i dokładność, z jaką interpoluje ona zadaną funkcję. Zapętlenie pochodnej Ostatnią pochodną możemy też zdefiniować w taki sposób, by jej wartość była równa wartości pochodnej w pierwszym węźle. Wymaga to modyfikacji równania macierzowego, opisanej dokładniej w części teoretycznej. Modyfikacja została zaimplementowana poniżej: Rost_loop( n, := A dist( n, n, n A dist( n, n, ( n) + A ( n+ ), n A ( n+ ), ( n) + A n+, A str. 6/9
17 Jacek Złydach (JW) S_loop( w, y) := A B last( i = last( i = B last( r A B Wyliczenie współczynników: r R( i, last(, + Rost_loop( last(, B( i, last(, w, y) W tym miejscu współczynnik musi przyjąć wartość sloop_ := S_loop( w, y) = sloop_ := S_loop( w, y) = Y_loop := Y_loop := S( sloop_, w, y, x, step, x) S( sloop_, w, y, x, step, x) str. 7/9
18 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_mat_ Y_loop x, w, X_mat str. 8/9
19 Jacek Złydach (JW) f( x) y Y_mat_ Y_loop x, w, X_mat Warto przy tym zauważyć, że w przypadku funkcji uzyskaliśmy SPLINE- okresową, gdyż wartości w pierwszym i ostatnim węźle były takie same. str. 9/9
Metody numeryczne. Ilorazy różnicowe. dr Artur Woike. Wzory interpolacyjne Newtona i metoda Aitkena.
Ćwiczenia nr 3. Ilorazy różnicowe Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości f (x 0 ),..., f (x n ). Definiujemy rekurencyjnie ilorazy różnicowe: f (x i, x i+1 ) = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i, i =
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Motywacja Metody wielokrokowe sa
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O
Bardziej szczegółowoInterpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji
27 styczeń 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 3 Slajd 1 Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji 27 styczeń 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 3 Slajd 2 Plan zajęć
Bardziej szczegółowoDOPASOWYWANIE KRZYWYCH
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 6
Metody numeryczne Wykład 6 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Interpolacja o Interpolacja
Bardziej szczegółowoVII. WYKRESY Wprowadzenie
VII. WYKRESY 7.1. Wprowadzenie Wykres jest graficznym przedstawieniem (w pewnym układzie współrzędnych) zależności pomiędzy określonymi wielkościami. Ułatwia on interpretację informacji (danych) liczbowych.
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.
Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)
Bardziej szczegółowoNarzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody
Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Piotr Przymus Krzysztof Rykaczewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 1 of 24 18 marca 2009 Cel referatu
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:
Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych - zajęcia 9
Poniższy dokument zawiera informacje na temat zadań rozwiązanych w trakcie laboratoriów. Elementy metod numerycznych - zajęcia 9 Tematyka - Scilab 1. Labolatoria Zajęcia za 34 punktów. Proszę wysłać krótkie
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoZwięzły kurs analizy numerycznej
Spis treści Przedmowa... 7 1. Cyfry, liczby i błędy podstawy analizy numerycznej... 11 1.1. Systemy liczbowe... 11 1.2. Binarna reprezentacja zmiennoprzecinkowa... 16 1.3. Arytmetyka zmiennopozycyjna...
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowox a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
Bardziej szczegółowoSiły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Interpolacja. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Interpolacja P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Interpolacja Dana jest funkcja w postaci stabelaryzowanej x i x 1 x 2 x 3... x n f i = f(x i ) f 1 f 2 f 3...
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3
ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań
Bardziej szczegółowoMATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący
MATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący Laboratorium 12: Zagadnienia zaawansowane Cel: Poznanie metod rozwiązywania konkretnych problemów Czas: Wprowadzenia 10 minut, ćwiczeń
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I
Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoZadania z rysowania i dopasowania funkcji
Spis treści 1 Zadania z rysowania i dopasowania funkcji 1.1 Znajdowanie miejsca zerowego funkcji 1.2 Wczytywanie danych i wykres 1.3 Dopasowywanie krzywej do danych i wykres 1.3.1 Wskazówki Zadania z rysowania
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowou(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy
u(t) t Dt RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy u(t+dt)=u(t)+f(t,u(t),dt) klasyczna formuła RK4: u(t) k 1 u k 2 k 3 k 4 4 wywołania f na krok, błąd lokalny O(Dt 5 ) gdy f tylko funkcja czasu
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona
Interpolacja Funkcja y = f(x) jest dana w postaci dyskretnej: (1) y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ), y 3 = f(x 3 ), y n = f(x n ), y n +1 = f(x n +1 ), to znaczy, że w pewny przedziale x 1 ; x 2 Ú ziennej niezależnej
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoOkręgi na skończonej płaszczyźnie Mateusz Janus
Okręgi na skończonej płaszczyźnie Mateusz Janus Skończona płaszczyzna, to płaszczyzna zawierająca skończoną liczbę punktów. Punkty utożsamiamy z parami liczb, które są resztami z dzielenia przez ustaloną
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU (realizowanego w module specjalności) Metody numeryczne
KARTA KURSU (realizowanego w module ) Administracja systemami informatycznymi (nazwa ) Nazwa Nazwa w j. ang. Metody numeryczne Numerical methods Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator dr Kazimierz Rajchel Zespół
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoZadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima
Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima pliku, polecenia do wpisywania w programie Maxima zapisane są czcionką typu: zmienna_w_maximie: 10; inny przykład f(x):=x+2*x+5; Problem 1 komorze
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoTypy, klasy typów, składnie w funkcji
Typy, klasy typów, składnie w funkcji Typy w Haskell Każde wyrażenie w Haskell posiada zdefiniowany typ. Dzięki temu już na etapie kompilacji kodu następuje sprawdzenie poprawności kodu i zabezpiecza nas
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 7. Interpolacja. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 7. Interpolacja P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Interpolacja Dana jest funkcja w postaci stabelaryzowanej x i x 1 x 2 x 3... x n f i = f(x i ) f 1 f 2 f
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoExcel w obliczeniach naukowych i inżynierskich. Wydanie II.
Excel w obliczeniach naukowych i inżynierskich. Wydanie II. Autor: Maciej Gonet Sprawdź, jak Excel może pomóc Ci w skomplikowanych obliczeniach! Jak za pomocą arkusza rozwiązywać zaawansowane zadania matematyczne?
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
Bardziej szczegółowo