Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 8. Metody wielokrokowe Metody Verleta
|
|
- Ewa Białek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 8. Metody wielokrokowe Metody Verleta P. F. Góra semestr letni 2006/07
2 Motywacja Metody wielokrokowe sa starsze i bardziej popularne od metod Rugego-Kutty. Sa też prostsze w tym sensie, że nie wymagaja (często żmudnych) obliczeń prawej strony (pochodnej) w niepotrzebnych punktach pośrednich korzystaja wyłacznie z wartości obliczonych w potrzebnych punktach, czyli w punktach, w których chcieliśmy uzyskać rozwiazanie. Jawne metody Adamsa wymagaja tylko jednego obliczenia prawej strony na krok. Wyróżnia się trzy podstawowe typy metod wielokrokowych: 1. Jawne metody Adamsa-Bashfortha, 2. Niejawne metody Adamsa-Moultona, 3. Niejawne metody BDF dla problemów sztywnych. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 2
3 Metody Adamsa ogólne sformułowanie Rozważamy problem Cauchy ego dy = f(x, y), dx y(x) = y 0. (1) Rozwiazanie ma postać y(x n+1 ) = y n + x n+1 x n f(x, y(x)) dx. (2) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 3
4 Klasyczne metody Adamsa polegaja na zastapieniu f(x, y(x)) w (2) przez wzór ekstrapolacyjny (Bashforth) lub interpolacyjny (Moulton) z węzłami interpolacji odległymi o krok całkowania, h, i scałkowaniu tego wzoru. Celem takiego postępowania, podobnie jak w metodach Rungego-Kutty, jest uwzględnienie zmienności pochodnej w obrębie kroku całkowania. Zauważmy, że wynik całkowania wielomianu interpolacyjnego nie zależy od wartości funkcji wartości f(x l, y l ) wchodza jako ustalone wartości interpolowanej funkcji w węzłach. k-krokowe metody Adamsa: Adams-Bashforth: y n+1 = y n + h Adams-Moulton: y n+1 = y n + h k j=1 k 1 j=0 β j f n+1 j + O(h k+1 ), (3) β j f n+1 j + O(h k+1 ). (4) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 4
5 Przykład - wyprowadzenie trzykrokowej metody Adamsa-Bashfortha Funkcję podcałkowa w (2) przybliżam poprzez ekstrapolację wielomianowa z trzech ostatnio obliczonych punktów, odległych od siebie o h: + f(x, y(x)) f extr (x) = (x x n 1 )(x x n ) (x n 2 x n 1 )(x n 2 x n ) f n 2 (x x n 2 )(x x n ) (x n 1 x n 2 )(x n 1 x n ) f n 1 + (x x n 2 )(x x n 1 ) (x n x n 2 )(x n x n 1 ) f n = 1 2h 2(x x n + h)(x x n )f n 2 1 h 2(x x n + 2h)(x x n )f n h 2(x x n + 2h)(x x n + h)f n. (5) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 5
6 Następnie x n+1 x n f(x, y(x)) dx 1 h 2f n 1 h 0 x n+1 x n f extr (x)dx = 1 2h 2f n 2 (z + 2h)z dz + 1 2h 2f n h 0 h 0 (z + h)z dz (z + 2h)(z + h) dz = 1 2h h3 f n 2 1 h h3 f n h h3 f n = h ( ) 23fn 16f 12 n 1 + 5f n 2. (6) Proszę to porównać z wyrażeniem (7c) poniżej. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 6
7 Idea konstrukcji metod Adamsa: rysunek nie jest wierny, jako że pochodnej w punkcie x n+1 nie oblicza się za pomoca prostej interpolacji/ekstrapolacji metoda niejawna metoda jawna f n+1 impl f n+1 expl f(x n ) = y (x n ) f n f n-2 fn-1 x n-2 x n-1 x n x n+1 x 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 7
8 Metody Adamsa-Bashfortha (jawne) y n+1 = y n + hf n + O(h 2 ) (7a) y n+1 = y n + 2 h ( ) 3fn f n 1 + O(h 3 ) (7b) y n+1 = y n + 12 h ( ) 23fn 16f n 1 + 5f n 2 + O(h 4 ) (7c) y n+1 = y n + h 24 ( 55fn 59f n f n 2 9f n 3 ) + O(h 5 ) (7d) y n+1 = y n + h 720 ( 1901fn 2774f n f n f n f n 4 ) + O(h 6 ) (7e) y n+1 = y n + h 1440 ( 4277fn 7923f n f n f n f n 4 475f n 5 ) + O(h 7 ) (7f) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 8
9 Metody Adamsa-Moultona (niejawne) y n+1 = y n + hf n+1 + O(h 2 ) (8a) y n+1 = y n + 2 h ( ) fn+1 + f n + O(h 3 ) (8b) y n+1 = y n + 12 h ( ) 5fn+1 + 8f n f n 1 + O(h 4 ) (8c) y n+1 = y n + h 24 y n+1 = y n h + O(h 6 ) ( ) 9fn f n 5f n 1 + f n 2 + O(h 5 ) (8d) ( ) 251fn f n 264f n f n 2 19f n 3 y n+1 = y n + h 1440 ( 475fn f n 798f n f n 2 173f n f n 4 ) + O(h 7 ) (8e) (8f) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 9
10 Metody BDF, Backward Differentiation Formula (niejawne) Dla układów sztywnych, pochodna obliczana tylko w prawym krańcu przedziału. y n+1 = y n + hf n+1 + O(h 2 ) (9a) y n+1 = 1 ( ) 3 4yn y n hf n+1 + O(h 3 ) (9b) y n+1 = 11 1 ( ) 18yn 9y n 1 + 2y n hf n+1 + O(h 4 ) (9c) y n+1 = 1 25 y n+1 = ( ) 48yn 36y n y n 2 3y n hf n+1 + O(h ( 5 ) )(9d) 300yn 300y n y n 2 75y n y n hf n+1 + O(h6 ) (9e) y n+1 = ( 360yn 450y n y n 2 225y n y n 4 10y n 5 ) hf n+1 + O(h7 ) (9f) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 10
11 Podane wyżej metody sa wszystkimi metodami wielokrokowymi o stałym kroku, opartymi o interpolację/ekstrapolację wielomianowa. Zgodność metod Adamsa jest oczywista. Zgodność metod BDF też, po prostych rachunkach, okazuje się być oczywista. Dla przykładu, dla drugiej z metod BDF otrzymujemy 3 y n+1 y n h y n y n 1 h = 2f n+1. (10) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 11
12 Stabilność metod wielokrokowych Stabilność metod wielokrokowych bada się nieco inaczej niż stabilność metod jednokrokowych typu metod Rungego-Kutty. Dla przykładu pokażemy jak badać stabilność k-krokowej jawnej metody Adamsa-Bashfortha; stabilność niejawnych metod Adamsa-Moultona i BDF bada się zupełnie podobnie. Rozważmy równanie (3), w którym wszystkie y l zostały zaburzone: y l y l +ε l. Mamy y n+1 +ε n+1 = y n +ε n +h y n +ε n +h k j=1 k β j j=1 β j f ( x n+1 j, y n+1 j + ε n+1 j ) f n+1 j + f y ε n+1 j n+1 j.(11) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 12
13 Wszystkie k jakobiany w równaniu (11) oblicza się w różnych punktach. Jeśli jednak krok h jest mały, możemy przyjać, że w przybliżeniu sa one sobie równe, podobnie jak to robiliśmy przy analizie stabilności metod Rungego-Kutty. (Założenie to nie jest spełnione w miejscach, w których funkcja zmienia się bardzo gwałtownie.) Wobec czego przechodzimy do reprezentacji, w której jakobian jest diagonalny zastępujemy jakobian f/ y jego wartościa własna λ, natomiast błędy ε l zastępujemy odpowiednia składowa ε l. Formalnie rzecz biorac, analizę taka trzeba powtórzyć dla wszystkich λ i odpowiadajacych im składowych błędów, okaże się jednak, że nie jest to konieczne. Z równania (11) otrzymujemy zatem ε n+1 = ε n + hλβ 1 ε n + hλβ 2 ε n hλβ k ε n+1 k. (12) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 13
14 Macierz wzmocnienia Oznaczmy hλ = z. Równanie (12) możemy przepisać w postaci macierzowej czyli ε n+1 ε n ε n 1. ε n+2 k = 1+β 1 z β 2 z β 3 z... β k 1 z β k z ε n ε n 1 ε n 2. ε n+1 k (13a) ε n+1 = G ε n (13b) Zwracam uwagę, że ε n z równania (11) i ε n z równania (13b) to sa zupełnie różne wektory. Badanie stabilności metody (3) sprowadza się teraz do znalezienia wartości własnych macierzy wzmocnienia G. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 14
15 Wartości własne macierzy wzmocnienia Oznaczmy W k = det(g gi). Rozwijajac względem ostatniej kolumny (patrz (13a)) otrzymujemy W k = gw k 1 + ( 1) k+1 β k z det 1 g g (14) Wyznacznik macierzy wypisanej jawnie w równaniu (14) wynosi 1. Postępowanie to łatwo iterować. Ostatecznie otrzymujemy następujace równanie charakterystyczne dla macierzy wzmocnienia (uwaga: zmienna jest g): 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 15
16 g k (1 + zβ 1 )g k 1 zβ 2 g k 2 zβ k 1 g zβ k = 0. (15) Metoda Adamsa-Bashfortha rzędu k jest stabilna jeśli wszystkie pierwiastki równania (15) leża wewnatrz okręgu jednostkowego. Ogół takich z, dla których pierwiastki (15) leża wewnatrz okręgu jednostkowego, nazywam obszarem stabilności metody. Zauważmy, że analizujac obszar stabilności, uwalniamy się niejako od równania różniczkowego, obecnego tu formalnie tylko poprzez wartości własne jakobianu, a skupiamy się na samej metodzie, podobnie jak to było dla metod Rungego-Kutty. Wyprowadzenie równań opisujacych stabilność niejawnych metod Adamsa- Moultona i BDF przebiega w sposób analogiczny. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 16
17 Obszar stabilności metod Adamsa-Bashfortha maleje wraz ze wzrostem rzędu metody. Dwie pierwsze metody Adamsa-Moultona sa A-stabilne, obszary stabilności pozostałych maleja wraz ze wzrostem rzędu metody. Metody BDF sa stabilne poza pewnym obszarem ograniczonym, który rośnie wraz ze wzrostem rzędu metody. Żadna metoda wielokrokowa oparta o interpolację/ekstrapolację wielomianowa z k > 6 nie jest stabilna! Można konstruować stabilne metody wielokrokowe wyższych rzędów, ale dla nich nie obowiazuje już paradygmat ekstrapolowania pochodnej na podstawie zachowania w poprzednich węzłach nie sa to więc metody Adamsa. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 17
18 Zaledy metod wielokrokowych Koncepcyjna prostota, łatwość zaimplementowania. Szybkość (zwłaszcza dla metod jawnych). Uzyskanie wysokiego rzędu jest obliczeniowo tanie. Popularność, bardzo duża ilość gotowych kodów. Wady metod wielokrokowych Wymagaja inicjalizacji. Maja kiepskie własności stabilności. Kłopotliwa zmiana kroku. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 18
19 Metody predyktor-korektor (predictor-corrector) Jeśli problem nie jest sztywny, bardzo często pewna jawna metodę Adamsa- Bashfortha (7) stosuje się jednocześnie z niejawna metoda Adamsa-Moultona (8) o tym samym rzędzie. Za pomoca metody jawnej przewiduje się rozwiaza- nie, które potem poprawia się za pomoca metody niejawnej. Można to dalej powtarzać, poprawiajac poprawione. Uzyskana metoda jest oczywiście jawna unika się rozwiazywania układu równań algebraicznych, na ogół nieliniowych. Metody predyktor-korektor sa bardzo popularne w praktycznych zastosowaniach metody Adamsa występuja prawie wyłacznie w tym zestawieniu. Vide grabit nagrabljennoje. Ale ja ich nie lubię 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 19
20 Przykład: predyktor: ỹ n+1 = y n h ( ) 3f n f n 1, (16a) korektor: y n+1 = y n h ( ) f(x n+1, ỹ n+1 ) + f n, (16b) f n+1 = f(x n+1, y n+1 ). (16c) Niekiedy krok korektora powtarza się (iteruje) w celu uzyskania samouzgodnionego (self-consistent) rozwiazania nieliniowego równania algebraicznego. Na ogół jednak dokonuje się tylko jednego lub dwóch kroków korektora. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 20
21 Metody Verleta motywacja Ponieważ klasyczne równania ruchu (równania Newtona) maja postać równań różniczkowych drugiego rzędu, w praktyce bardzo ważna jest umiejętność numerycznego rozwiazywania równań postaci m i ẍ i = F i, i = 1, 2,..., N, czyli d 2 x = a(t, x(t)), (17) dt2 gdzie x, a R 3N, N jest ilościa czastek. Równanie tej postaci można łatwo przekształcić do układu równań pierwszego rzędu, ale szczególnie efektywne powinny być metody od razu dostosowane do równań rzędu drugiego. Niekiedy ruch jest z przyczyn fizycznych ograniczony do przypadku dwu- lub jednowymiarowego. Wówczas zamiast 3N w (17) mamy odpowiednio 2N lub N. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 21
22 Pewien bardzo zły algorytm Równanie (17) rozwiazujemy z pewnym stałym i niewielkim krokiem h. Naiwne rozumowanie może doprowadzić do wniosku, że dla odpowiednio małych h, siła a więc i przyspieszenie, czyli prawa strona równania (17) nie zmienia się, a więc układ w ciagu jednego kroku zachowuje się tak, jakby był układem jednostajnie przyspieszonym. Wobec tego x n+1 = x n + v n h a nh 2, (18a) v n+1 = v n + a n h, (18b) gdzie v n, a n sa, odpowiednio, prędkościa i siła obliczana w chwili t n. Równanie (18a) jest, w gruncie rzeczy, rozwinięciem Taylora x(t n + h), nie jest zatem dziwne, że algorytm (18) jest zgodny z równaniem (17). Można to jednak także 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 22
23 pokazać w nieco inny sposób: Odejmijmy stronami równanie (18a) i to samo równanie cofnięte o jeden krok w czasie. Dostaniemy x n+1 x n = x n x n 1 + (v n v n 1 )h (a n a n 1 )h 2. (19) Z równania (18b) dostajemy v n v n 1 = a n 1 h. (20) Po podstawieniu do (19) i po uporzadkowaniu dostajemy x n+1 x n h x n x n 1 h h W granicy h 0 + odtwarzamy równanie (17). = 1 2 (a n + a n 1 ). (21) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 23
24 Jeśli przyspieszenie w (17) nie zależy od prędkości, macierz wzmocnienia dla metody (18) ma postać [ I + 1 G = 2 Jh 2 ] h, (22) Jh I gdzie J ij = a i / x j tn jest Jakobianem przyspieszeń po położeniach. Widać, iż metoda (18) może mieć bardzo poważne problemy ze stabilnościa. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 24
25 Klasyczny algorytm Verleta Spróbujmy wyprowadzić metodę całkowania równania (17) w sposób bardziej systematyczny. Zakładamy, że przyspieszenia nie zależa od prędkości. Dokonujemy następujacych rozwinięć w szereg Taylora: x(t n +h) = x(t n ) + dx h + 1 dt tn 2 x(t n h) = x(t n ) dx dt tn h d 2 x dt 2 h tn 6 d 2 x dt 2 tn h d 3 x dt 3 h 3 + O(h 4 )(23a) tn d 3 x dt 3 tn h 3 + O(h 4 )(23b) Po dodaniu równań (23) stronami i uporzadkowaniu wyrazów otrzymujemy x n+1 = 2x n x n 1 + a n h 2 + O(h 4 ). (24) Algorytm (24) zwany jest metoda (algorytmem) Verleta (Verlet 1967). 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 25
26 Zauważmy, iż metoda Verleta jest metoda wielokrokowa do obliczenia przyszłej wartości x potrzebna jest znajomość obecnej oraz poprzedniej wartości x. W celu pokazania, iż algorytm Verleta jest zgodny z równaniem (17), przekształcamy równanie (24) do postaci x n+1 x n h x n x n 1 h h = a n. (25) I znów, w granicy h 0 + odtwarzamy równanie (17). 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 26
27 Z uwagi na to, że jest to metoda wielokrokowa, stabilność algorytmu Verleta bada się nieco inaczej niż stabilność dotad poznanych algorytmów. Dla uproszczenia notacji przyjmijmy na chwilę, iż interesuje nas wyłacznie przypadek jednowymiarowy. Propagacja błędu opisana jest wówczas równaniem ε n+1 = (2 + λ)ε n ε n 1, (26) gdzie λ = da/dx tn h 2. Równanie (26) możemy przedstawić w postaci [ εn+1 ε n ] = G [ εn ε n 1 ] = [ 2 + λ ] [ εn ε n 1 ]. (27) Wielokrokowa propagacja błędu jest jednokrokowa w przestrzeni o odpowiednio większej ilości wymiarów! 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 27
28 Widać zatem, iż algorytm Verleta jest stabilny, jeżeli g ± = 1 2 4λ 2 + λ ± + λ 2 < 1. (28) Rozważmy trzy przypadki: 1. 4 λ 0. Wówczas 4λ + λ λ g ± = λ ± i + λ 2, g ± 2 = = 1 + λ λ λ + λ 2 = 1 + λ λ2 1 4 (4λ + λ2 ) 1. Algorytm jest zatem neutralnie (marginalnie) stabilny, co oznacza, że błędy nie sa co prawda tłumione, ale też nie narastaja i nie prowadza do rozbieżności. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 28
29 2. λ > 0. Wówczas g + > λ < 4. Wówczas g < 1. Rekapitulujac, dla ruchu jednowymiarowego klasyczny algorytm Verleta jest marginalnie stabilny dla da/dx tn h 2 [ 4, 0] i niestabilny poza tym przedziałem. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 29
30 Wady algorytmu Verleta Dziwne traktowanie prędkości prędkość w kroku n znana jest dopiero po obliczeniu położenia w kroku n + 1. W symulacjach znajomość prędkości nie jest potrzebna do obliczania sił, ale jest potrzebna do obliczania energii kinetycznej, temperatury, ciśnienia itp. Prędkość obliczana jest ze wzoru v n = x n+1 x n 1, (29) 2h We wzorze (24) różnica dwu dużych wyrażeń rzędu O(h 0 ) jest dodawana do małego wyrażenia rzędu O(h 2 ), co może prowadzić do znacznej utraty dokładności numerycznej. Zauważmy, że wyrażenie (29) jest symetryczne w czasie; próba obliczania v n = (x n x n 1 )/h łamałaby symetrię odwrócenia w czasie, a przecież równania mechaniki (bez sił zależnych od prędkości) sa mikroskopowo odwracalne! 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 30
31 Algorytm leap frog ( żabiego skoku ) Spsobem na obejście (niektórych) trudności z algorytmem Verleta jest algorytm leap frog (Hockney 1970), w którym prędkości obliczane sa w czasach pośrednich pomiędzy położeniami : v ( t n h) = v ( t n 1 2 h) + ha n, (30a) x n+1 = x(t n + h) = x n + hv ( t n h). (30b) Prędkości obliczane sa według wzoru v n = 1 2 [ v ( tn 1 2 h) + v ( t n h)]. (31) Żaby wcale tak nie skacza. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 31
32 Zgodność algorytmu leap frog Aby sprawdzić czy algorytm leap frog jest zgodny, należy z (30) wyeliminować prędkości. Po podstawieniu pierwszego z równań (30) do drugiego dostajemy x n+1 = x n + hv ( t n 1 2 h) + h 2 a n. (32) Drugie z równań (30) przesunięte w tył w czasie daje Ostatecznie hv ( t n 1 2 h) = x n x n 1. (33) x n+1 = 2x n x n 1 + h 2 a n. (34) Równanie (34) ma taka sama postać co równanie (24), widzimy zatem, iż algorytm leap frog jest algebraicznie równoważny algorytmowi Verleta, a więc jest zgodny z równaniem (17). Nie oznacza to jednak, iż numeryczne rezultaty zastosowania obu tych algorytmów sa takie same! 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 32
33 Stabilność algorytmu leap frog Wyrażenia na propagację błędu w algorytmie leap frog maja postać η n+1/2 = η n 1/2 + h Jε n, (35a) ε n+1 = ε n + h η n+1/2, (35b) gdzie J ij = a i / x j tn. Pod względem propagacji błędu metoda leap frog zachowuje się jak metoda pół-niejawna! Ostatecznie macierz wzomocnienia ma postać G = [ I hi h J I + h 2 J ]. (36) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 33
34 Dla przypadku jednowymiarowego otrzymujemy stad g ± = 2 + λ ± 4λ + λ 2 2, (37) gdzie, jak poprzednio, λ = da/dx tn h 2. Jest to identyczne z analogicznym wyrażeniem dla metody Verleta, a zatem własności stabilności metody leap-frog i metody Verleta sa co najmniej w przypadku jedowymiarowym identyczne. Co nie dziwi wobec algebraicznej równoważności tych metod. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 34
35 Cechy algorytmu leap frog: Różnica dwu dużych wielkości nie jest porównywana z mała. Prędkość w chwili t n jest znana w chwili t n, nie dopiero w chwili t n+1. Algorytm wymaga inicjalizacji (na przykład metoda Eulera z krokiem połówkowym). Przyspieszenia (siły) nie moga zależeć od prędkości. Prędkości nadal obsługiwane sa dość dziwacznie. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 35
36 Algorytm velocity Verlet Problemy z dziwacznym tarktowaniem prędkości rozwiazuje kolejna modyfikacja algorytmu Verleta, zwana velocity Verlet (Swope et. al. 1982): x n+1 = x n + h v n h2 a n, (38a) v n+1 = v n h ( a n + a n+1 ). (38b) Algorytm ten nie nadaje się do sił (przyspieszeń) zależnych od prędkości. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 36
37 Uogólniony algorytm velocity Verlet Okazuje się, że algorytm velocity Verlet można łatwo uogólnić (PFG): x n+1 = x n + h v n + αh 2 a n, (39a) v n+1 = v n + h ( α a n + (1 α)a n+1 ), (39b) gdzie α [0, 1]. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 37
38 Zgodność algorytmu (39) z równaniem (17) pokażemy eleiminujac z (39) prędkości. Odejmujac od pierwszego z równań (39) to samo równanie cofnięte o krok w czasie, dostajemy x n+1 = 2x n x n 1 + h ( v n v n 1 ) + αh 2 ( a n a n 1 ). (40) Z kolei na mocy drugiego z równań (39), v n v n 1 = h ( α a n 1 (1 α)a n ). (41) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 38
39 Ostatecznie x n+1 = 2x n x n 1 + h 2 ( α a n α a n 1 + α a n 1 + (1 α)a n ) = 2x n x n 1 + h 2 a n, (42) a więc znów dostajemy algebraiczna równoważność (uogólnionego) algorytmu velocity Verlet i klasycznego algorytmu Verleta. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 39
40 Propagacja błędu dla sił niezależnych od prędkości ma postać ε n+1 = ε n + hη n + αh 2 Jε n, (43a) η n+1 = η n + hα Jε n + h(1 α) Jε n+1, (43b) J jest jakobianem w kroku n, J jest jakobianem w kroku n+1. Jako macierz wzmocnienia dostajemy G = [ I + αh 2 J hi αh J + (1 α)h J(I + αh 2 J) I + (1 α)h 2 J ]. (44) W przypadku jedowymiarowym, niezależnie od wartości parametru α, dostajemy takie same współczynniki wzmocnienia, jak w metodach Verleta i leap frog, a zatem własności stabilności uogólnionej metody velocity Verlet sa takie same, jak i innych metod Verleta. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 40
41 Dla α = 1 algorytm (39) można stosować gdy przyspieszenia zależa od prędkości! x n+1 = x n + h v n + h 2 a n, (45a) v n+1 = v n + h a n, (45b) co można też zapisać jako v n+1 = v n + h a n, (46a) x n+1 = x n + h v n+1. (46b) W tym wypadku macierz wzmocnienia ma postać [ I + h G = 2 J x h I + h 2 J v h J x I + h J v ], (47) 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 41
42 gdzie J x, J v oznaczaja, odpowiednio, jakobiany po położeniach i prędkościach. W przypadku jednowymiarowym dostajemy ( ) g ± = λ + γ ± 4λ + (λ + γ) 2, (48) gdzie λ = a/ x tn h 2, γ = a/ v tn h. Dla γ = 0 (przyspieszenia nie zależa od prędkości) daje to oczywiście to samo, co inne metody Verleta, czyli marginalna stabilność dla λ [ 4, 0], γ = 0. Dla γ < 0 i λ < 0 otrzymujemy ograniczony obszar absolutnej stabilności. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 42
43 Obszar stabilności dla uogólnionej metody velocity Verlet w przypadku jednowymiarowym γ λ 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 43
44 Inna modyfikacja algorytmu velocity Verlet Opublikowano kilka modyfikacji algorytmu Verleta przeznaczonych do rozwia- zywania równań z przyspieszeniami (siłami) zależnymi od prędkości. Najczęściej używana pochodzi z pracy R. D. Groot, P. B. Warren, Dissipative particle dynamics: Bridging the gap between atomistic and mesoscopic simulations, J. Chem. Phys. 107, 4423 (1997). Jest to algorytm typu predyktor-korektor: x n+1 = x n + hv n h2 a n, (49a) predyktor: ṽ = v n + βha n, (49b) ã = a ( x n+1, ṽ ), (49c) korektor: v n+1 = v n h ( a n + ã ), (49d) gdzie β [0, 1]. W przeciwieństwie do algorytmu (45), algorytm (49) wymaga dwu obliczeń przyspieszenia na krok czasowy. 8. Metody wielokrokowe. Metody Verleta 44
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Motywacja Metody wielokrokowe sa
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metody wielokrokowe. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metody wielokrokowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Liniowe metody wielokrokowe Często przywoływana wada metod Rungego-Kutty jest konieczność
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych
Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012/13 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Problem Cauchy ego dy dx = f(x, y) (1) y(x
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 6. Metoda diagramowa. Obszary stabilności. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Metoda diagramowa Ręczne wyprowadzanie równan wiaż acych współczynniki
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Metody DIRK Jeśli spodziewamy się problemów ze stabilnościa, w szczególności jeśli
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych
Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 9 maja 2015 M. Jenczmyk XXX Sesja KNM Metody numeryczne R.R.Z. 1 / 18 Omawiany problem dotyczyć będzie numerycznego
Bardziej szczegółowoMetody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMetoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku
Metoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku Cel: Dla zadanej tolerancji e wybrać minimalną liczbę węzłów, wystarczającą do utrzymania globalnego błedu w ramach tolerancji. Błąd globalny trudny
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018 Tomasz Chwiej 22 stycznia 2019 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoużyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter
Liniowe metody wielokrokowe dla równań zwyczajnych starsze niż RKo50lat użyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoP. F. Góra semestr letni 2006/07
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 9. Równania algebraiczno-różniczkowe zarys problematyki Równania różniczkowe z niezmiennikami P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowou(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy
u(t) t Dt RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy u(t+dt)=u(t)+f(t,u(t),dt) klasyczna formuła RK4: u(t) k 1 u k 2 k 3 k 4 4 wywołania f na krok, błąd lokalny O(Dt 5 ) gdy f tylko funkcja czasu
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA RUCHU MECHANIKI KLASYCZNEJ Janusz Adamowski
V. RÓWNANIA RUCHU MECHANIKI KLASYCZNEJ Janusz Adamowski 1 1 Wstęp Rozważamy ruch jednej cząstki klasycznej w jednym wymiarze. Otrzymane wyniki będzie można łatwo uogólnić na przypadek pojedynczej cząstki
Bardziej szczegółowoWykład X Rozwiązywanie zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych
Wykład X Rozwiązywanie zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych Postawienie zadania i podstawowe idee jego rozwiązania Metody samostartujące (Eulera, Rungego-Kutty) Metody niesamostartujące
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne
Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β
Bardziej szczegółowoLaboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Skrypt do ćwiczeń
PJWSTK/KMKT-07082006 Laboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Katedra Metod Komputerowych Techniki Polsko Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych I. KINETYKA Kinetyka zajmuje się ruchem ciał
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Metoda gradientów sprzężonych motywacja Rozważmy funcję f : R N R f(x) = 1 2
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Źródła błędów numerycznych Wyniki obliczeń numerycznych obarczone sa błędami. Ich najważniejszymi
Bardziej szczegółowoAnaliza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne
Analiza szeregów czasowych: 7. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Liniowe modele stochastyczne Niech {y n } N n=1 będzie pewnym ciagiem danych
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowo