Ruch Browna. Ilona Kosińska Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej Politechnika Wroc lawska. 29 listopada 2008

Transkrypt

1 Ruch Browna Ilona Kosińska Instytut Inżynierii Biomedycznej i Pomiarowej Politechnika Wroc lawska 29 listopada 2008

2 Wst ep Obserwacje ruchu py lków roślinnych w wodzie przez Roberta Browna (1827): dynamiczny i nieregularny ruch, nie jest przejawem życia. Robert Brown ( ) botanik szkocki

3 Ruch Browna - obserwacje Analiza wyników doświadczalnych: rodzaj czastek nie odgrywa istotnej roli (py lki roślin, czastki nieorganiczne), szybkość ruchu wieksza dla mniejszych czasteczek, zależność od rodzaju cieczy (lepkość), ruchy szybsze w wyższej temperaturze.

4 Ruch Browna Albert Einstein ( ) fizyk Jako pierwszy ruch ten objaśni l A. Einstein w pracy: Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. Phys. 17, (1905).

5 Ruch Browna Dwa g lówne punkty rozumowania Einsteina: Ruch jest spowodowany przez bezgranicznie czeste zderzenia czastki py lku z wiecznie poruszajacymi sie czastkami p lynu, w którym jest ona zanurzona. Ruch tych czastek jest tak skomplikowany, że ich wp lyw na ruch py lku może być jedynie opisany probabilistycznie poprzez niezwykle czeste, statystycznie niezależne zderzenia. Poczatek stochastycznego modelowania zjawisk naturalnych.

6 Ruch Browna Marian Smoluchowski ( ) fizyk polski Niezależnie to samo wyjaśnienie poda l M. Smoluchowski: Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen, Ann. Phys. 21, (1906). Smoluchowski dobrze zna l prace doświadczalne, natomiast Einstein wiedzia l jedynie, że ruchy Browna sa obserwowane, ale nie zna l szczegó lów prac doświadczalnych.

7 Ruch Browna Rozumowanie Einsteina: ruch każdej czastki jest niezależny od pozosta lych, przemieszczenia tej samej czastki w różnych przedzia lach czasu sa niezależnymi procesami tak d lugo jak wybrane przedzia ly obserwacji nie sa zbyt ma le, rozważamy przedzia l τ, który jest bardzo ma ly w porównaniu do czasów obserwacji, ale wciaż na tyle duży, żeby w dwóch kolejnych odstepach τ ruch czastki móg l być traktowany jako zdarzenia niezależne.

8 Ruch Browna n ca lkowita liczba czastek zanurzonych w roztworze, w przedziale τ X owe wspó lrzedne poszczególnych czastek zmienia sie o, które dla każdej z nich ma różna (dodatnia badź ujemna) wartość. liczba dn czastek, których przemieszczenie jest z przedzia lu {, + d } jest dana równaniem: gdzie dn = nφ( )d, φ( )d = 1. φ( ) - oznacza gestość prawdopodobieństwa, że X owa wspó lrzedna czastki zmieni sie o. Jest ona różna od zera dla bardzo ma lych wartości oraz spe lnia warunek: φ( ) = φ( ).

9 Ruch Browna Kolejnym krokiem jest śledzenie zależności wspó lczynnika dyfuzji od φ( ). ograniczamy sie do przypadku, w którym liczba czastek ν na jednostke objetości zależy jedynie od x i t: ν = f (x, t). Obliczenie rozk ladu czastek w chwili t + τ na podstawie znajomości rozk ladu w chwili t: na podstawie definicji φ( ) dostajemy liczb e czastek, które w chwili t + τ maja x-owe wspó lrzedne z przedzia lu x, x + dx: f (x, t + τ)dx = dx f (x +, t)φ( )d. odpowiednik równania Chapmana Kolmogorova: niezależność wartości przemieszczenia od historii ruchu; wystarczy znać po lożenie cz astki w chwili t, żeby znaleźć po lożenie cz astki w chwili t + τ

10 Ruch Browna Ponieważ τ jest wciaż bardzo ma le, możemy rozwinać funkcje f (x, t + τ) w szereg: f (x, t + τ) = f (x, t) + τ f (x, t). t Dalej, możemy rozwinać f (x +, t) w potegach : f (x, t) f (x +, t) = f (x, t) f (x, t) x 2! x

11 Ruch Browna Po podstawieniu otrzymujemy: f + f τ τ = f φ( )d + f x + 2 f x 2 Z uwagi na φ( ) = φ( ), ca lka 2 2 φ( )d. φ( )d = 0. Korzystamy z warunku normalizacji: φ( )d = 1, φ( )d

12 Ruch Browna k ladac znajdujemy 1 τ 2 φ( )d = D, 2 f t = D 2 f x 2, Otrzymane równanie różniczkowe opisuje dyfuzj e cz astki, a sta la D jest wspó lczynnikiem dyfuzji.

13 Ruch Browna Rozwiazanie jest postaci: f (x, t) = n e x2 /4Dt. 4πD t Średnie przemieszczenie λ x w kierunku x: λ x = x 2 = 2Dt.

14 Ruch Browna Wyprowadzenie Einsteina jest oparte na za lożeniu, że zderzenia maja miejsce w chwilach 0, τ, 2τ, 3τ,... i otrzymane równanie na rozk lad f (x, t) i jego rozwiazanie sa rozumiane jako przybliżenia, w których τ jest tak ma ly, że t może być uważane za ciag l a zmienna.

15 Proces Wienera Ruch Browna - to ruch, który jest bardzo nieregularny, trajektoria nie ma stycznej: co matematycznie oznacza, że trajektoria jest prawie wszedzie ciag la, ale nigdzie nie jest różniczkowalna (Wiener, 1923). Proces Wienera W (t) (reprezentujacy po lożenie czastki Browna) spe lnia poniższe równanie: 2 t p(w, t w 0, t 0 ) = 1 2 w 2 p(w, t w 0, t 0 ) i jest to dok ladnie to samo równanie różniczkowe, które wyprowadzi l Einstein (funkcja f (x, t) w wyprowadzeniu Einsteina jest w istocie prawdopodobieństwem warunkowym p(w, t 0, 0)), gdzie D = 1. Proces Wienera jest zatem ruchem Browna.

16 Proces Wienera nieregularność oś y: proces W(t), oś x: t nieróżniczkowalność pojedyncza trajektoria W (t) jest ciag la (gdy t 0, W (t + t) W (t)), ale prawie nigdzie nie jest różniczkowalna ( (W (t + t) W (t))/ t ) oznacza, że pr edkość cz astki Browna jest prawie zawsze nieskończona. PROBLEM!

17 Proces Ornsteina-Uhlenbecka Rozwiazanie: Analiza ruchu czastki Browna przy użyciu mniejszej skali czasowej. Przedzia ly czasu t uważa sie za niewielkie w porównaniu z czasem, w którym nastepuje relaksacja predkości. Sa one jednak nadal duże w porównaniu z czasem trwania pojedynczego zderzenia badanej czastki z czastkami rozpuszczalnika. Ten bardziej realistycznym model ruchu Browna (lub też czastki Reyleigha) jest nazywany procesem Ornsteina-Uhlenbecka, który otrzymujemy poprzez dodanie liniowego wyrazu opisujacego dryft czastki do równania dyfuzji: p(v, t) = γ t v (vp(v, t)) D 2 p(v, t) v 2 gdzie γ jest sta l a, V (t) - jest procesem opisujacym predkość czastki.

18 Proces Ornsteina-Uhlenbecka Dla zespo lu identycznych czastek Browna, które w t = 0 wszystkie znajduja sie w po lożeniu x = 0 i których predkości maja rozk lad zgodny z rozk ladem równowagowym po lożenie X (t) jest procesem losowym danym przez X (t) = t 0 V (t )dt. Proces X (t) jest procesem gaussowskim. Jest ca lkowicie określony przez podanie jego pierwszego i drugiego momentu. Nie jest to jednak proces Wienera! Co wiecej proces X (t) nie jest nawet procesem markowowskim, gdyż X (t) jest zwiazany z opisem w ma lej skali czasowej, charakterystycznej dla czastki Rayleigha.

19 Proces Ornsteina-Uhlenbecka W wielkiej skali czasowej jedynie różnice czasu dużo wieksze od czasu t lumienia predkości równego 1/γ sa dozwolone, a zatem: t 2 t 1 1 γ. W tym przybliżeniu X (t) jest tożsame z rozwi azaniem dla ruchu Browna.

20 Równanie Langevina Langevin zaprezentowa l nowa metode rozwiazania zagadnienia, ca lkowicie różna od Einsteina. Swoje rozumowanie opar l na poniższych przes lankach: Paul Langevin ( ) fizyk francuski z mechaniki statystycznej (równowaga termiczna): 1 2 mv 2 = 1 2 kt gdzie T - temperatura bezwzgl edna, k - sta la Boltzmanna.

21 Równanie Langevina Na czastk e o masie m dzia laja si ly: tarcie lepkie opisane tym samym wyrażeniem co w makroskopowej hydrodynamice: 6πηa dx dt gdzie η jest lepkościa a a jest średnica sferycznej czastki (za lożenie kszta ltu) inna fluktuuj aca si la R, która reprezentuje nieustanne zderzenia czastek roztworu z czastk a Browna. Wszystko co sie o niej zak lada to to, że powinna z równym prawdopodobieństwem przyjmować dodatnie jak i ujemne wartości.

22 Równanie Langevina Równanie ruchu jest dane równaniem Newtona z si l a losowa R: m d 2 x dt 2 = 6πηadx dt + R, po pomnożeniu przez x, mamy: m 2 d 2 dt 2 (x 2 ) mv 2 = 3πηa d(x 2 ) + xr, dt gdzie v = dx/dt. Nastepnie średniujemy po dużej liczbie różnych czastek i otrzymujemy: m d 2 x 2 2 dt 2 + 3πηa d x 2 = kt, dt gdzie wyraz xr = 0 - na podstawie nieregularności wielkości R

23 Równanie Langevina Znajdujemy rozwiazanie: d x 2 dt = kt /(3πηa) + Ce 6πηat/m, gdzie C jest dowolna sta l a. Langevin oszacowa l, że eksponenta daży do zera w czasie rzedu 10 8 s (znaczaco szybko) - pomijamy ten wyraz, mamy: x 2 x 2 0 = [kt /3πηa] t, co jest tożsame z równaniem otrzymanym niezależnie przez Einsteina przy uwzgl ednieniu, że: D = kt /(6πηa).

24 Równanie Langevina m d 2 x dt 2 = 6πηadx dt + R Każde z rozwiazań równania Langevina reprezentuje inna losowa trajektorie. Korzystajac z podstawowych w lasności funkcji losowej R możemy otrzymać mierzalne rezultaty.

25 Równanie Langevina Porównanie Einstein za loży l explicite, że w wystarczajaco dużej skali czasu zmiana jest niezależna od poprzedniej wartości (markowowskość). U Langevin a zawarte implicite poprzez po lożenie xr = 0 (nieregularność funkcji R) oraz za lożenie o statystycznej niezależności x i R.

26 Ruch Browna - komentarz rozróżnienie pomiedzy szumem wewnetrznym a zewnetrznym w uk ladzie: szum zewn etrzny - sa to fluktuacje, które powsta ly w uk ladzie pod każdym wzgledem deterministycznym wskutek przy lożenia si ly losowej, o której zak ladamy, że znamy jej w lasności stochastyczne; szum wewnetrzny - sam uk lad jako taki sk lada sie z oddzielnych czastek, a szum jest w laściwy dla samego mechanizmu, który wywo luje ewolucje stanu uk ladu i nie można go oddzielić od równań ruchu; Przyk lad. Cz astka Browna wraz z otaczajac a ja ciecza stanowi zamkniety uk lad fizyczny z szumem wewnetrznym. Jednakże Langevin potraktowa l te czastk e jako uk lad mechaniczny, na który dzia la si la wywierana przez ciecz. Si l e te roz loży l na deterministyczna si l e t lumienia oraz na si l e losowa, która traktowa l jako si l e zewnetrzn a.

27 Literatura C.W.Gardiner, Hanbook of stochastic methods (1983) N. G. van Kampen, Procesy stochastyczne w fizyce i chemii (1990) P.F. Góra, Sto lat teorii ruchw Browna (2005)