XXV OLIMPIADA FIZYCZNA (1975/1976). Stopień III, zadanie teoretyczne T3.

Transkrypt

1 5OF_ III_T KO OF Szczeci: XXV OLIMPIADA FIZYCZNA (1975/1976). Stopień III zadaie teoretycze T. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Adrzej Szymacha: Olimpiady Fizycze XXV-XXVI WSiP Warszawa Nazwa zadaia: Promień kątowy łuku tęczy Działy: Optyka geometrycza Słowa kluczowe: Współczyik załamaia widmo widziale długość fali zjawisko tęczy wysokość kątowa Słońca prawo Selliusa Zadaie teoretycze T zawody teoretycze III stopia XXV OF. Nad rozległą poziomą rówią rozpyloo z samolotu ciekły bezbarwy środek owadobójczy o współczyikach załamaia dla skrajych obszarów widma widzialego rówych: cz 16 (dla czerwiei) i f 17 (dla fioletu). Zaim kropelki cieczy opadły a ziemię ad rówią zaobserwowao tęczę związaą z występowaiem tych kropelek w powietrzu. Wyzacz promień kątowy czerwoego i fioletowego łuku tęczy. Jakie ograiczaie a wysokość kątową Słońca ad horyzotem wika z faktu że tęczę w ogóle zaobserwowao? Zakładamy że Słońce jest puktowym bardzo odległym od Ziemi źródłem światła. Wskazówka: Wykaż że dla różych długości fali ekstremale wartości kąta pod jakim promień opuszcza kropelkę po jedokrotym wewętrzym odbiciu są róże. Wykaż że maksimum atężeia daej barwy odpowiada ekstremalej wartości wspomiaego wyżej kąta. Efektów związaych z wielokrotymi odbiciami promiei w kropelkach oża ie rozpatrywać. Rozwiązaie Zjawisko tęczy wiąże się z rozszczepieiem światła przy załamaiu a kroplach cieczy rozpyloej w powietrzu. Zaczijmy od zbadaia zjawiska przechodzeia promieia światła przez przezroczystą kulkę bez wewętrzego odbicia. Z rysuku 1 odczytujemy że kąt odchyleia promieia φ (α β). Iteresuje as zależość φ (α) którą możemy uzyskać po skorzystaiu z prawa załamaia si α si β. Ostateczie siα ϕ α - arcsi. (1) W celu zbadaia przebiegu tej fukcji obliczymy jej pochodą 1 si 1 cosα 1 α ( 1) ( 1) + cos α + cosα + si α cosα si α. () Oprac. PDFiA US 9-1/9 -

2 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Rys. 1 Widać wprost z postaci tej pochodej że ie jest oa igdy rówa zeru i że jest zawsze dodatia. Kąt φ jest zatem mootoiczie rosącą fukcją kąta α. W tej sytuacji maksymala wartość kąta φ odpowiada ajwiększej możliwej wartości kąta padaia tj. α 9. Ta maksymala wartość wyosi 1 ϕ max 18 - arcsi. () Wartość ta zależy od współczyika załamaia a więc i od barwy światła i mogłoby się wydawać że te proces właśie jest odpowiedzialy za powstawaie tęczy. Zauważymy jedak ze atężeie światła ugiętego pod kątem bliskim φ max szybko spada do zera. Odpowiedziale są za to aż dwa efekty. Po pierwsze przy kątach padaia bliskich 9 (a tym wartościom kąta α odpowiada odchyleie o kąty bliskie φ max ) bardzo mała ilość eergii światła wika do ośrodka optyczie gęstszego większość ulega odbiciu a powierzchi kuli. Po wtóre ze względu a skończoą wartość pochodej awet dla α 9 skończoemu przedziałowi kąta dφ odpowiada skończoa wartość przedziału kąta. Przy iemal styczym padaiu promieia ustaloemu iewielkiemu przedziałowi kąta odpowiada bardzo małe pole powierzchi paska w płaszczyźie prostopadłej do promieia a tym samym do bardzo mała ilość eergii (ilość ta dąży do gdy α 9 ). Najlepiej wyjaśia to rysuek. Oprac. PDFiA US 9 - /9 -

3 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Rys. Trzy wiązki A B i C odpowiadają temu samemu przedziałowi lecz różymi α. Wiązka A odpowiadająca wartości α 9 jest tak wąska że a aszym rysuku reprezetuje ją jeda kreska! Ostateczie dochodzimy do wiosku że kąty φ bliskie φ max są ieiteresujące bo pada tam bardzo mało światła. Jeżeli teraz ograiczymy się do kątów iezbyt bliskich φ max to zauważymy że dla daej wartości φ i dla każdej wartości z iewielkiego przedziału (a więc dla każdej barwy światła) istieje takie α że zaobserwujemy promień ugięty pod tym właśie kątem φ. A zatem patrząc w daym kieruku oko asze będzie rejestrowało rówocześie światło o wszystkich możliwych barwach. W efekcie pod każdym kątem (a przyajmiej tam gdzie pada zauważala ilość światła ugiętego) ujrzymy jaśiejsze bądź ciemiejsze światło szare. Zobaczymy po prostu oświetloą mgłę. Żeby uzyskać efekt tęczy musimy rozpatrzyć astępy co do stopia złożoości bieg promieiowaia wikającego i wychodzącego z kropli. Będzie to promień który uległ jedokrotemu odbiciu od wewętrzej stroy powierzchi kuli (rys. ). Rys. Oprac. PDFiA US 9 - /9 -

4 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Twierdzeie o kącie zewętrzym zastosowaie do trójkąta AOC daje 1 β α β + ( 18 ϕ) Czyli ϕ 18 + α β. Korzystając z prawa załamaia dostajemy jawą zależość φ od α: siα β arcsi siα ϕ 18 + α arcsi. () Zależość ta różi się od aalogiczej zależości dla promieia ie ulegającego odbiciu wewątrz kropli przede wszystkim tym że kąt φ osiąga wartość miimalą dla pewego kąta α < 9. Iymi słowy jest takie α i takie φ mi że a to właśie ozacza pojawieie się tęczy co wykażemy za chwilę dokładiej. Na razie postarajmy się wyzaczyć te wartości przez zbadaie pochodej fukcji φ(α) określoej rówaiem (): cosα α α 1. (5) si α 1 Przyrówując do zera i ozaczając tę szczególą wartość kąta α dla której to d α zachodzi przez α dostajemy rówaie które łatwo rozwiążemy stosując elemetare przekształceia 1 cosα (6) si α 1 si α cosα si α cos α cos α + si α cos α + cos α + si α 1+ cos α cos 1 α 1 cosα. (7) Oprac. PDFiA US 9 - /9 -

5 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Rozwiązaie to ma ses dla wszystkich 1. Dla > dostalibyśmy cos α > 1 zależość φ(α) byłaby zów mootoicza. Zając cos α łatwo obliczymy si α : siα który po wstawieiu do wzoru () pozwoli am obliczyć φ mi : mi 18 arcsi arcsi ϕ +. (8) Naszkicujemy wykres fukcji φ(α). Łatwo przekoać się że dla α φ() 18. Ustaliliśmy rówież że dla α α φ osiąga wartości φ mi. Zatem wykres musi wyglądać astępująco (rys. ); Rys. Zastaówmy się teraz ad stosukami eergetyczymi w świetle ugiętym Promieie świetle padające pod ustaloym kątem α a kropę tworzą okrąg o promieiu b ( rys. 5). Oprac. PDFiA US 9-5/9 -

6 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Rys. 5 Promień tego okręgu b R si α (9) Każdy z tych promiei ulegie odchyleiu o te sam kąt φ(α) zatem w dużej odległości od kropli promieie te będą rozchodzić się jako tworzące stożka o kącie miedzy osią a tworzącą rówym φ(α) (rys. 6). Rozpatrzymy teraz ie te jede stożek lecz zbiór promiei odpowiadający pewemu przedziałowi kątów α zwartych między α a α +. Będą to wszystkie promieie jakie padają a pewie pasek kulki którego fragmet zakreskowao a rysuku 5. Promieie padające które spełiają te waruki tworzą jakby rurę o promieiu R siα i grubości ściaki R() cos α Co łatwo zrozumieć rzutując łuk R (zazaczoy a rysuku 5) a kieruek prostopadły do kieruku padaia światła. Po ozaczeiu atężeia światła (ilość eergii a jedostkę powierzchi) padającego przez I dostajemy całkowitą eergię rozpatrywaej wiązki rówą iloczyowi I i pola przekroju rury rówego π R siα możoe przez R cosα. Ostateczie d I I π R siα cosα. (1) Oprac. PDFiA US 9-6/9 -

7 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Rys. 6 Po rozproszeiu całe to światło płyie rówomierie w obszarze między dwoma stożkami z których jede scharakteryzoway jest kątem φ(α + ) drugi kątem φ(α). Zgodie z defiicją pochodej różica tych kątów wyosi (dla bardzo małych ). ϕ ( α ) ϕ ( α + d α ). Rozpatrzmy teraz oko ludzkie (lub iy detektor światła D) o iewielkiej powierzchi S umieszczoe w odległości l od kropli. Na detektor te pada taki ułamek eergii di daej wzorem (1) jakim ułamkiem pola zaczerioego paska jest pole detektora S (rys. 6). Pole tego paska łatwo obliczyć ds π l siφ dφ. Ostateczie ilość eergii wpadająca do detektora wyosi πl S di siϕ S I π siα cosα π l siϕ R S I π R siα cosα. l Poieważ φ może być rosącą albo malejącą fukcją kąta α ujeme. Dlatego powiiśmy użyć wartość bezwzględą. może być dodatie lub Oprac. PDFiA US 9-7/9 -

8 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Ostateczie Ilość światła S I l I π R siα cosα. (11) siϕ d α Wyprowadzeie powyższe jest uiwersale słusze rówież dla poprzediego przypadku odchyleia światła bez wewętrzego odbicia. Wzór te dokładiej precyzuje dlaczego przy różej od zera pochodej dostaliśmy zerowe atężeie przy kątach φ którym d α odpowiada kąt α 9. Zika wtedy cos α w licziku wyrażeia (11). W przypadku załamaia światła połączoego z odbiciem przekoaliśmy się że d α zika dla α α czyli dla φ φ mi. W tym kieruku oko zaobserwuje ieskończoe atężeie światła (ze względu a efekty dyfrakcji ilość ta będzie skończoa ale bardzo duża). Jest to sytuacja typowa dla zjawiska ogiskowaia. Gdybyśmy pod tym kątem rozpatrzyli działaie a przykład zwierciadła kulistego wklęsłego a które pada rówoległa do osi wiązka światła to ze względu a zjawisko aberracji sferyczej a małym ekraie ustawioym w ogisku prostopadle do osi oświetloe byłoby ie tylko ogisko ale i jego otoczeie. Obliczając atężeie światła aalogiczie jak w powyższym przypadku taż uzyskalibyśmy wyik że w ogisku atężeie byłoby ieskończoe. W praktyce asz oko mogłoby odbierać wrażeie że aprawdę oświetloy jest tylko jede pukt ogisko. Z tych samych powodów w zjawisku tęczy w praktyce wydaje am się że ugięte światło dochodzi do as z jedego tylko kieruku wyzaczoego przez φ mi. Ale wartość φ mi zależy od (wzór (8)) a więc od barwy światła. Tym samym róże składowe barwe będziemy widzieli pod różymi kątami. Takie jest wyjaśieie zjawiska tęczy. Obliczmy teraz dla aszej substacji wartości φ mi odpowiadające światłu czerwoemu i fioletowemu ϕ mi ( czerwoe ) 18 + arcsi ( 16) ϕ mi arcsi ( fioletowe) 18 ( 16) ( 16) 15 + arcsi ' '' 16 ( 17) ( 17) ( 17) ' '' arcsi Łatwo możemy powiązać promień kątowy tęczy (dla daej barwy) z odpowiedią wartością φ (rys. 7). Oprac. PDFiA US 9-8/9 -

9 5OF_ III_T KO OF Szczeci: Rys. 7 Ze względu a symetrię względem osi Słońce obserwator te ostati będzie widział światło daej barwy dochodzące od wszystkich kropelek dla których kieruek obserwacji tworzy z kierukiem do przeciwobrazu Słońca ( pod horyzotem) S kąt 18 - φ. Kropelki te tworzą a sferze iebieskiej łuk okręgu o promieiu kątowym 18 - φ czyli r cz r f Obserwator a Ziemi widzi oczywiście tylko część okręgu tęczy. Waruek by jakikolwiek fragmet tego okręgu był widoczy jest oczywisty. Kąt 18 - φ γ s który charakteryzuje kątową wysokość ad horyzotem ajwyższego puktu łuku tęczy (rys. 7) musi być dodati zatem γ s < 18 φ r. Kiedy Słońce właśie zachodzi (lub wschodzi) wtedy γ s i widzimy połówkę tęczy czyli ajwiększy fragmet jaki możemy zaobserwować z powierzchi Ziemi. Z samolotu możemy zobaczyć awet peły okrąg. Na zakończeie obliczymy 18 - φ dla wody φ mi r tęczy. Uwagi Zadaie powyższe wypadło bardzo słabo mimo wskazówki jedozaczie wytyczającej drogę postępowaia. Jest rzeczą zaskakującą że zdecydowaa większość uczestików w ogóle ie czyta wskazówek. Dotyczy to zadań wszystkich stopi. A przecież jak widać z rozwiązań zadań publikowaych w książeczkach poświęcoych Olimpiadom Fizyczym wskazówki zawsze upraszczają rozwiązaie. Oprac. PDFiA US 9-9/9 -