Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
|
|
- Zbigniew Nawrocki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku
2
3 Rozdział Oznaczenia W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia oznacza kwantyfikator ogólny "dla każdego" oznacza kwantyfikator szczegółowy "istnieje" Sumy Maj ac dany skończony ci ag,,, sumȩ jego elementów zapisujemy jako Niezbyt formalnie możemy to zapisać Jako przykład zastosujmy symbol sumy do zapisu wzoru na sumę ci agu arytmetycznego) oraz wzoru na sumę ci agu geometrycznego) %$' ( (wzór (2) jest słuszny dla każdego Bȩdziemy też używać zapisu typu )* )! ",+ 0 98:9;9<:= 6 3 () (2)
4 )( )( ' )( 4 Rozdział Oznaczenia W tym przypadku zbiór indeksów określony jest za pomoc a warunku pod znakiem sumy Warunek określaj acy indeksy, po których należy sumować może być bardziej skomplikowany, na przykład Stosować bȩdziemy także zapis oznaczaj acy sumȩ tych elementów indeksów Na przykład, jeżeli = ; 6, których indeksy należ a do skończonego zbioru, to 8: < Możemy też sumować ciągi, których elementy zależą od dwóch indeksów,!" $% Za pomocą podwójnej sumy możemy na przykład przedstawić uogólnione prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: 54 4+*, ' 54 ' 402, 3 %4 ' (3) a także wzór na podnoszenie sumy do kwadratu: 4 40*, 4 40* 4 5 ' 4+* ' (4) 2 Iloczyny Aby zapisać iloczyn elementów ci agu,,, stosujemy zapis 6 Znów niezbyt formalnie możemy to zapisać jako 6
5 3 Zbiory 3 Zbiory 5 oznacza zbiór pusty, który nie zawiera żadnych elementów oznacza zbiór liczb naturalnych oznacza zbiór liczb całkowitych oznacza zbiór liczb wymiernych oznacza zbiór liczb rzeczywistych oznacza, że elment należy do zbioru,, że elment nie należy do zbioru Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów w nawiasach klamrowych Na przykład zbiór zawiera elementy,2,3 Inny sposób definiowania zbioru polega na podaniu własności, któr a spełniaj a elementy zbioru Na przykład oznacza zbiór liczb naturalnych wiȩkszych od 3 i mniejszych od 7 oznacza moc zbioru, czyli liczbȩ jego elementów oznacza sumȩ zbiorów, czyli zbiór, który zawiera elementy, które należą do lub do : lub A zatem suma zawiera wszystkie elementy zbioru i wszystkie elementy zbioru oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należ a do obu zbiorów naraz i oznacza różnicȩ zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należ a do i nie należ a do Przykład Dla i i mamy: 9! oznacza, że zbior zawiera siȩ w zbiorze, to znaczy wszystkie elementy zbioru należ a do zbioru Dwa zbiory s a równe jeżeli zawieraj a te same elementy, lub inaczej wtedy gdy! i " wtedy i tylko Jak widać kolejność elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia I tak na przykład Taki zbiór dwuelementowy nazywamy czasami par a nieuporz adkowan a W poniższym lemacie zebrano podstawowe własności operacji sumy i iloczynu zbiorów
6 6 Rozdział Oznaczenia Lemat 2 (przemienność sumy) (przemienność iloczynu),, (ł aczność sumy) (ł aczność iloczynu) 4 Różnica symetryczna zbiorów (rozdzielność sumy wzglȩdem iloczynu) (rozdzielność iloczynu wzglȩdem sumy), oznacza różnicȩ symetryczn a zbiorów, która zawiera elementy należ ace tylko do jednego z dwóch zbiorów: Przykład 3 W poniższym lemacie zebrano podstawowe własności różnicy symetrycznej zbiorów Lemat 4 Jeżeli,, to (przemienność) (ł aczność), (rozdzielność wzglȩdem iloczynu) Dowód: Udowodnimy, tylko dwie tożsamości, dowód pozostałych pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie Aby pokazać, że różnica symetryczna jest łączna wystarczy zauważyć, że zbiór lub zawiera te elementy, które należ a do nieparzystej liczby zbiorów, czyli te, które należ a tylko do, plus te, które należ a tylko do, plus te, które należ a tylko do, plus te, które należ a do przekroju Udowodnimy teraz ostatnią implikację Jeżeli, to :
7 5 Iloczyn kartezjański 7 Twierdzenie 5 Różnica symetryczna zbiorów: zawiera elementy, które należ a do nieparzystej liczby spośród zbiorów, Dowód przez indukcjȩ ze wzglȩdu na Twierdzenie jest oczywiste dla Załóżmy teraz, że jest ono prawdziwe dla i rozpatrzmy: + + Zbiór ten zawiera te elementy, które należ a do i nie należ a do +, oraz te, które nie należ a do " i należ a do + W pierwszym przypadku s a to elementy, które nie należ a do + i na mocy założenia indukcyjnego należ a do jakiejś nieparzystej liczby zbiorów spośród W drugim przypadku s a to elementy, które należ a do +, a także do pewnej parzystej liczby zbiorów spośród Razem mamy wszystkie elementy należ ace do nieparzystej liczby zbiorów + spośród 5 Iloczyn kartezjański Para uporz adkowana jest to dwuelementowy ciąg Mamy tylko wtedy gdy oraz Dopuszczalne jest także lub wtedy i oznacza iloczyn kartezjański zbiorów i Jest to zbiór wszystkich uporz adkowanych par, w których i Inaczej Przykład 6 Dla Można łatwo wykazać, że i 6 Rodzina zbiorów mamy Czasami będziemy mieli do czynienia ze zbiorem, którego elementami są zbiory Przez lub będziemy oznaczać zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Przykład 7 Dla
8 6 8 Rozdział Oznaczenia 8 ; jest rodzin a zawieraj ac a cztery zbiory ",, 8 i ;, s a to elementy zbioru Możemy Zbiór zbiorów nazywamy czasami rodzin a zbiorów Na przykład też zapisać Możemy sumować zbiory z rodziny Suma zawiera te elementy, które należ a do któregoś ze zbiorów,,,, czyli 4 47 Inaczej możemy to zapisać: Bȩdziemy też używać zapisu, których indeksy należ a do zbioru Zacho na oznaczenie sumy wszystkich zbiorów dzi wtedy ' Zbiór indeksów sumowania może być określony za pomoc a warunku ; < Możemy też brać przekroje zbiorów z rodziny Przekrój zawiera te elementy, które należ a do wszystkich zbiorów,,,, czyli 4 47 Inaczej możemy to zapisać: '
9 8 6 Bȩdziemy też używać zapisu, których indeksy należ a do zbioru Za na oznaczenie przekroju wszystich zbiorów chodzi wtedy 7 Słowa 9 Zbiór indeksów przekroju może być określony za pomoc a warunku 57"5 8 ; < Przykład 8 Weźmy rodzinȩ złożon a z trzech zbiorów 8 bȩdzie zbiorem indeksów Dla każ ' 9 8 ' Przykład 9 Niech dego określamy zbór Mamy: Słowa, Słowa są to ciągi liter lub symboli z jakiegoś skończonego zbioru Zbiór wtedy alfabetem Zbiór wszystkich słów nad alfabetem oznaczamy przez Wśród słów wyróżniamy słowo puste, które nie zawiera żadnych liter Przykład 0 Na przykład, jeżeli jednoliterowe i, 9, i, 9,, i, cztery słowa dwuliterowe, 5 5 9, nazywamy, to zawiera słowo puste, dwa słowa, i, osiem słów trzyliterowych, i tak dalej Długość słowa jest to liczba jego liter, będziemy ją oznaczać przez Długość słowa pustego Zbiór wszystkich słów długości nad alfabetem oznaczamy przez Dla słów możemy określić operację konkatenacji, lub składania słów Konkatenacja lub złożenie dwóch słów,, oznaczana przez, jest to sklejenie słów i Do słowa dopisujemy na końcu słowo Dla dowolnego słowa zachodzi
10 0 Rozdział Oznaczenia Przykład Konkatenacja słów Słowo jest prefiksem lub przedrostkiem słowa, jeżeli istnieje takie słowo, że Podobnie, słowo jest sufiksem lub przyrostkiem słowa, jeżeli istnieje takie słowo, że i to sówo Przykład 2 Na przykład jest prefiksem słowa 9, a słowo jest sufiksem słowa Słowo puste jest prefixem i sufiksem dowolnego słowa Każde słowo jest swoim własnym prefiksem i sufiksem Zwykle alfabet jest zbiorem uporządkowanym, lub mówiąc inaczej mamy pewną kolejność liter w alfabecie Na przykład w zbiorze litera stoi przed Możemy też wtedy uporządkować zbiór słów nad alfabetem Jeden porządek nazywa się porzadkiem leksykograficznym Jest to porządek słów w słownikach Aby porównać dwa słowa,, szukamy pierwszej pozycji, na której te dwa słowa się różnią Słowo, które ma na tej pozycji wcześniejszą literę, jest wcześniejsze w porządku leksykograficznym Jeżeli takiej pozycji nie ma, to albo, albo jedno ze słów jest prefiksem drugiego, wtedy wcześniejszy w porządku leksykograficznym jest prefiks Przykład 3 W porzadku leksykograficznym słowo a to jest wcześniejsze od jest wcześniejsze od słowa Porządek leksykograficzny jest wygodny, jeżeli zbiór słów jest skończony Zauważmy, że w zbiorze wszystkich słów nieskończenie wiele słów (wszystkie słowa złożone tylko z litery ) poprzedza słowo Dlatego czasami stosuje się inny porządek, tak zwany porzadek kanoniczny Słowo poprzedza słowo w porządku kanonicznym, jeżeli: albo, albo i poprzedza w porządku leksykograficznym uporzadkowane według porzadku kano Przykład 4 Pocz nicznego to: 8 Zaokr aglenia atkowe słowa zbioru Wprowadźmy dwa oznaczenia na zaokr aglenie liczby rzeczywistej Dla dowolnej liczby rzeczywistej oznacza zaokr aglenie w górȩ do najbliższej liczby całkowitej oznacza zaokr aglenie w dół do najbliższej liczby całkowitej Zaokrąglenie nazywamy podłogą z nazywamy sufitem z, a zaokrąglenie,
11 9 Przedrostki Przykład 5 9 Przedrostki W przypadku bardzo dużych lub bardzo małych wartości używa siȩ czasami jednostek miar bȩd acych wielokrotnościami lub podwielokrotnościami podstawowych jednostek Takie jednostki wyraża siȩ przez dodanie do nazwy jednostki odpowiedniego przedrostka, a do oznaczenia tej jednostki dodaje siȩ oznaczenie przedrostka W nastȩpuj acej tabeli zebrano te przedrostki Przedrostek Oznaczenie Wielokrotność exa E < peta P tera T giga G mega M 6 kilo k 8 hekto h deka da Przedrostek Oznaczenie Podwielokrotność decy d centy c mili m 8 mikro 6 nano n piko p femto f < atto a Przykładami tak utworzonych jednostek s a: centymetr (cm), milimetr (mm), hehtopaskal, hektolitr, kilogram (kg), kilowat (kw) Do mierzenia prȩdkości (zegara) procesora używa siȩ megahertzów Jeden megahertz (MHz) to jednostka czȩstości równa milionowi impulsów na sekundȩ Kilobajtów, megabajtów i gigabajtów używa siȩ do mierzenia liczby komórek pamiȩci Czȩsto przyjmuje siȩ, że kilobajt ma bajtów, megabajt bajtów, a gigabajt bajtów 0 Notacja asymptotyczna W analizie jakiegoś algorytmu (programu) ważne jest oszacowanie jego czasu działania Jako przykład weźmy algorytm sortowania bąbelkowego, który ustawia elementy ciągu wejściowego w porządku niemalejącym
12 2 Rozdział Oznaczenia Algorytm sortowania babelkowego Aby posortować ciąg długości : () wykonujemy co następuje razy: (a) wskazujemy na pierwszy element, (b) wykonujemy co następuje razy: porównujemy wskazany element z elementem następnym, jeżeli porównane elementy są w niewłaściwej kolejności, to zamieniamy je miejscami, wskazujemy na następny element W poniższej tabeli zilustrowano zastosowanie algorytmu dla ciągu Kolejne wiersze przedstawiają ciąg po kolejnych porównaniach Element aktualnie wskazany jest zaznaczony daszkiem Poprawność powyższego algorytmu wynika z faktu, że po pierwszym wykonaniu zewnętrznej pętli () największy element ciągu znajdzie się na końcu, po drugim wykonaniu pętli drugi największy element ciągu znajdzie się na przedostatniej pozycji, i tak dalej Po każdym kolejnym wykonaniu pętli () kolejny największy element znajdzie swoją właściwą pozycję Czas działania algorytmu zależy od liczby elementów w ciągu Pętla zewnętrzna () jest wykowywana razy W każdej iteracji pętli zewnętrznej pętla wewnętrzna (b) również jest wykonywana razy W każdym kolejnym wykonaniu pętli wewnętrznej algorytm wykonuje kilka kroków Tak więc, aby posortować ciąg długości algorytm w sumie wykonuje kroków, gdzie jest pewną stałą Czas pracy powyższego algorytmu został oszacowany z dokładnością do stałej Jest to powszechna praktyka i będziemy tak postępować w tej książce Do szacowania czasu pracy algorytmu (jego złożoności czasowej) i do porównywania algorytmów pod względem czasu działania będziemy używać notacji asymptotycznej Niech i będą dwiema funkcjami określonymi na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych Wtedy:
13 8 8 dla prawie wszystkich 0 Notacja asymptotyczna 3, jeżeli istnieje dodatnia stała taka, że, to znaczy istnieje $, takie, że każdego $ W takim przypadku mówimy, że funkcja jest O duże od W takim przypadku mówimy, że funkcja jest o małe od prawie wszystkich duże od, jeżeli funkcja jest Theta duże od, jeżeli istnieje dodatnia stała dla taka, że dla W takim przypadku mówimy, że funkcja jest Omega, jeżeli istnieją dwie dodatnie stałe dla prawie wszystkich takie, że W takim przypadku mówimy, że Jeżeli, to mówimy, że funkcja ogranicza z góry funkcję dokładnością do stałej), albo, że rząd funkcji jest nie większy od rzędu funkcji Przykład 6 Czas działania algorytmu sortowania babelkowego jest dla prawie wszystkich liczb naturalnych Na przykład Będziemy dopuszczać notację asymptotyczną także wobec funkcji, które są dodatnie Jeżeli, to mówimy, że jest niższego rzędu niż Przykład 7 8 Jeżeli Przykład 8, to i są tego samego rzędu, czyli " (z oraz
14 < ; 4 Rozdział Oznaczenia Następujący lemat jest bardzo użyteczny przy szacowaniu asymptotycznym Jego dowód zostawiamy jako ćwiczenie Lemat 9 Jeżeli granica istnieje i jest właściwa (nie jest równa ), to Wniosek 20 Jeżeli, to Następujący przykład pokazuje, że oszacowanie asymptotyczne może być zawodne Przykład 2 Weźmy dwie funkcje oraz Mamy, ale dla wszystkich 8 $ $, czyli dla wszystkich liczb mniejszych od liczby atomów w naszej galaktyce (porównaj podrozdział duże liczby w rozdziale o arytmetyce) Z drugiej jednak strony oszacowanie asymptotyczne wystarczy do naszych celów i jest łatwiejsze do uzyskania Przykład 22 Rozważmy trzy algorytmy: pierwszy działający w czasie, drugi w czasie 8 i trzeci w czasie 8 8 Funkcje te określaja czas działania na pewnym konkretnym komputerze Niech, i 8 oznazczają :( długości wejść, dla których algorytmy dają odpowiedź w ciagu jednej sekundy, to znaczy 8 8 Przypuśćmy teraz, że mamy 000 razy szybszy komputer i pytamy jakie wejścia teraz moga być policzone przez te algorytmy w ciagu jednej sekundy Dla pierwszego algorytmu działajacego w czasie liniowym możemy teraz obliczać 000 razy dłuższe dane wejściowe, ponieważ Dla drugiego algorytmu działajacego w czasie sześciennym możemy teraz obliczać 0 razy dłuższe dane wejściowe, ponieważ ( Dla trzeciego algorytmu działaja cego w czasie wykładniczym możemy teraz obliczać tylko dane wejściowe o 0 dłuższe, ponieważ 8 8 Zadania Oblicz 2 Oblicz 3 Oblicz 4 Niech 5 Niech zbór dla 8 8, i Oblicz,,, bȩdzie zbiorem indeksów Dla każdego określamy Oblicz,, 8 < oraz,, 8 ; <
15 6 Niech 7 Niech zbór, Zadania 5 Wypisz elementy, oraz bȩdzie zbiorem indeksów Dla każdego określamy oraz dzieli Oblicz oraz 8 Uporządkuj następujący zbiór słów [Fragment wiersza Ptasie radio Juliana Tuwima] według porządku leksykograficznego i kanonicznego: słowik, wróbel, kos, jaskółka, kogut, dzięcioł, gil, kukułka, szczygieł, sowa, kruk, czubatka, drozd, sikora i dzierlatka, kaczka, gąska, jemiołuszka, dudek, trznadel, pośmieciuszka, wilga, zięba, bocian, szpak 9 Udowodnij wzór () na sumę ciągu arytmetycznego 0 Udowodnij wzór (2) na sumę ciągu geometrycznego Udowodnij wzór (3) 2 Udowodnij wzór (4) 3 Udowodnij lemat 9, 4 Udowodnij zależności z przykładów 6, 7, 8,
Matematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoŸ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Rekurencja 11 Wieże Hanoi Rekurencja jest to zdolność podprogramu (procedury lub funkcji) do wywoływania samego siebie Zacznijmy
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoJednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów:
Jednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów: Listy rozkładane są do różnych przegródek. O tym, do której z nich trafi koperta, decydują różne fragmenty
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/14 Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym log 10 (k)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowoZasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Potęgi (14 pkt)
2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. otęgi (14 pkt) W poniższej tabelce podane są wartości kolejnych potęg liczby 2: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 k 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ciąg a=(a 0,
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI kilometr hektometr metr decymetr centymetr milimetr mikrometr km hm m dm cm mm µm
MATEMATYKA Spis treści 1 jednostki miar 2 wzory skróconego mnożenia 3 podzielność liczb 3 przedrostki 4 skala 4 liczby naturalne 5 ułamki zwykłe 9 ułamki dziesiętne 9 procenty 10 geometria i stereometria
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY IV W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY IV W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 4 h. Rachunki pamięciowe
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY IV WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE
TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Rachunki pamięciowe dodawanie i odejmowanie 2. O ile więcej, o ile mniej 3. Rachunki pamięciowe mnożenie i dzielenie 4. Mnożenie i dzielenie (cd.) 5. Ile razy więcej, ile
Bardziej szczegółowoRozdział 7 Relacje równoważności
Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoznalezienia elementu w zbiorze, gdy w nim jest; dołączenia nowego elementu w odpowiednie miejsce, aby zbiór pozostał nadal uporządkowany.
Przedstawiamy algorytmy porządkowania dowolnej liczby elementów, którymi mogą być liczby, jak również elementy o bardziej złożonej postaci (takie jak słowa i daty). Porządkowanie, nazywane również często
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ. II. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:
MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Rachunki pamięciowe dodawanie i odejmowanie I. Liczby naturalne w dziesiątkowym
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =
Bardziej szczegółowo1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoAlgebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V. Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 14 lutego 2017r.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE V Temat lekcji Punkty z podstawy programowej z dnia 14 lutego 2017r. Działania pamięciowe Potęgowanie 1) dodaje i odejmuje w pamięci liczby naturalne dwucyfrowe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Kombinatoryka 11 Ci agi Zastanówmy siȩ, ile ci agów długości można utworzyć z elementów zbioru zawieraj acego symboli Jeżeli zbiór
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IV Dział I. Liczby naturalne część 1 Jak się uczyć matematyki Oś liczbowa Jak zapisujemy liczby Szybkie dodawanie Szybkie odejmowanie Tabliczka mnożenia Tabliczka
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowo