Drgania w obwodach RLC i fale elektromagnetyczne

Transkrypt

1 Rozdział 7 Drgania w obwodach RLC i fale elektromagnetyczne 7.1 Drgania elektryczne Obwód LC drgania nietłumione W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojemności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania elektryczne. Rozpatrzymy najpierw tzw. obwód LC, to znaczy obwód złożony z solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 7.1). Będziemy zakładać, że opór elektryczny solenoidu i przewodów łączących go z kondensatorem jest zaniedbywalnie mały. Przyjmijmy, że w chwili początkowej bezwględna wartość ładunków elektrycznych, zgromadzonych na okładkach kondensatora, wynosi q 0 (rys. 7.1a). C q=+q o L C q=0 L C o L o q=0 I q=+q o a) b) c) Rysunek 7.1: 1

2 2 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... Po zamknięciu wyłącznika, na skutek różnicy potencjałów okładek kondensatora, w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było solenoidu, natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ zmniejsza się różnica potencjałów okładek. Indukowana w solenoidzie siła elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do podtrzymania przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wyrównania się potencjałów okładek (rys. 7.1b) a następnie zaczyna maleć. Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości początkowemu ładunkowi q 0, ale o przeciwnych znakach (rys. 7.1c). Następnie opisany proces będzie się powtarzać. W obwodzie LC będą więc zachodzić nietłumione drgania elektryczne. Określimy teraz zależność ładunku na okładkach kondensatora i natężenia prądu od czasu. W dowolnym momencie siła elektromotoryczna E L, indukowana w solenoidzie, jest równa napięciu U C między okładkami kondensatora, E L = U C, (7.1) gdzie Otrzymujemy stąd równanie E L = L di dt, (7.2) U C = q C. (7.3) L di dt + q =0, (7.4) C które, uwzględniając definicję natężenia prądu, I = dq dt, (7.5) można przepisać jako L d2 q dt 2 + q =0. (7.6) C Dzieląc to równanie przez L i wprowadzając oznaczenie ω0 2 = 1 (7.7) LC ([ω 0 ]=s 1 ), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe: d 2 q dt 2 + ω2 0q =0. (7.8)

3 DRGANIA ELEKTRYCZNE 3 Ma ono postać identyczną z równaniem, opisującym nietłumione drgania oscylatora harmonicznego (podrozdział 2.5.1). Rozwiązaniem tego równania jest więc funkcja q = q 0 cos (ω 0 t + ϕ), (7.9) określająca ładunek na okładkach kondensatora. Można to sprawdzić w analogiczny sposób, jak w przypadku drgań harmonicznych, obliczając drugą pochodną ładunku q i podstawiając d 2 q/dt 2 i q do równania (7.8). Korzystając ze wzoru (7.5), otrzymujemy następujące wyrażenie, określające natężenie prądu w obwodzie I = dq dt = ω 0q 0 sin (ω 0 t + ϕ). (7.10) Wprowadzając oznaczenie I 0 = ω 0 q 0, ostatnią zależność można przepisać jako I = I 0 sin (ω 0 t + ϕ). (7.11) Zgodnie ze wzorami (7.9) i (7.11) zarówno ładunki na okładkach kondensatora jak i natężenie prądu w obwodzie zmieniają się sinusoidalnie z czasem (rys. 7.2). W obwodzie LC zachodzą więc elektryczne drgania nietłumione; q 0 i I 0 są odpowiednio maksymalnymi bezwzględnymi wartościami ładunków na okładkach i natężenia prądu a faza początkowa ϕ określa wartości q i I w chwili początkowej (t = 0). Jeżeli np. w chwili t = 0 ładunek q = q 0,to q +q o T/2 3/2 T o T t I +I o T o T/2 3/2 T t Rysunek 7.2:

4 4 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... ϕ = 0. Natomiast ω 0 jest pulsacją (częstotliwością kątową) drgań elektrycznych. Jak wynika ze wzoru (7.7), jest ona równa ω 0 = 1 LC. (7.12) Okres drgań w obwodzie wyraża się natomiast zależnością czyli T = 2π ω 0, (7.13) T =2π LC. (7.14) Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Thomsona (Kelvina). Zgodnie z nim, okres drgań elektrycznych jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z indukcyjności solenoidu i pojemności kondensatora. Rozpatrzymy jeszcze przemiany energii, zachodzące podczas drgań elektrycznych w obwodzie LC (por. rys. 7.1). Przypomnijmy, że zarówno naładowany kondensator jak i solenoid z prądem posiadają określoną energię. W chwili początkowej, gdy prąd nie płynie, cała energia obwodu jest zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora. Energia ta zamienia się stopniowo w energię pola magnetycznego solenoidu. W momencie rozładowania kondensatora cała energia obwodu jest zmagazynowana w polu magnetycznym wewnątrz solenoidu. Następnie jest ona z powrotem zamieniana w energię pola elektrycznego w kondensatorze, itd. Opisany proces jest analogiczny do kolejnych przemian energii potencjalnej drgającego ciała w jego energię kinetyczną i na odwrót (por. podrozdział 2.5.1). Można łatwo wykazać, że w przypadku drgań elektrycznych w obwodzie LC spełniona jest zasada zachowania energii. Energia naładowanego kondensatora jest dana wyrażeniem E pc = q2 (7.15) 2C (podrozdział 4.4.3, wzór (4.80)). Korzystając z zależności (7.9), otrzymujemy E pc = q2 0 2C cos2 (ω 0 t + ϕ). (7.16) Natomiast energia solenoidu, przez który płynie prąd, wynosi E pl = LI2 2 (7.17)

5 DRGANIA ELEKTRYCZNE 5 (podrozdział 6.1.2, wzór (6.24)). Biorąc pod uwagę wzór (7.11), dostajemy E pl = LI2 0 2 sin2 (ω 0 t + ϕ). (7.18) Uwzględniając związek I 0 = ω 0 q 0 i wzór (7.7) łatwo stwierdzić, że stałe czynniki przed funkcjami trygonometrycznymi we wzorach (7.16) i (7.18) są sobie równe: LI0 2 = Lω0q = q0/c. 2 (7.19) Jest teraz widoczne, że suma energii zgromadzonej w kondensatorze i w solenoidzie nie zależy od czasu: E pc + E pl = q2 0 2C = LI (7.20) W otrzymanym wzorze wyrażenia zawierające q 0 i I 0 przedstawiają odpowiednio maksymalną energię kondensatora i solenoidu Obwód RLC drgania tłumione Opisany w poprzednim podrozdziale przypadek drgań elektrycznych nietłumionych w rzeczywistości praktycznie nie występuje. W normalnych warunkach każdy obwód posiada bowiem skończony opór elektryczny i zgromadzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać nazywamy je drganiami tłumionymi. Inną przyczyną utraty energii w obwodzie drgającym jest emisja fal elektromagnetycznych. Zjawisko to rozpatrzymy później. Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pominięcia. Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w obwodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 7.3). Po zamknięciu przełącznika w obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromotoryczna E L, indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia U R na oporze i napięcia U C na kondensatorze, Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami: E L = U R + U C. (7.21) E L = L di dt, (7.22)

6 6 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... R C q=+q o L o Rysunek 7.3: U R = RI, (7.23) U C = q C (7.24) (wzór (7.23) wynika z prawa Ohma). Po podstawieniu tych wyrażeń do równania (7.21) otrzymujemy równanie L di dt + RI + q C z którego, po uwzględnieniu związku wynika równanie różniczkowe =0, (7.25) I = dq dt, (7.26) L d2 q dt 2 + Rdq dt + q =0. (7.27) C Dzieląc ostatnie równanie przez L i wprowadzając oznaczenia ω 2 0 = 1 LC, (7.28) β = R 2L (7.29) ([β 0 ]=s 1 ), otrzymujemy w rezultacie następujące równanie różniczkowe d 2 q dq +2β dt2 dt + ω2 0q =0. (7.30)

7 DRGANIA ELEKTRYCZNE 7 Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych (patrz podrozdział 2.5.2). Zależność ładunku na okładce kondensatora od czasu określa więc wzór q = q 0 e βt cos (ωt + ϕ), (7.31) wktórympulsacja (częstotliwość kątowa) tłumionych drgań ładunku jest dana wyrażeniem ω = ω0 2 β2. (7.32) Można to bezpośrednio sprawdzić, obliczając pierwszą i drugą pochodną ładunku q i podstawiając wielkości d 2 q/dt 2,dq/dt i q do równania (7.30). Czasową zależność natężenia prądu w obwodzie można teraz obliczyć, korzystając z zależności (7.26). Dla uproszczenia rozpatrzymy przypadek drgań słabo tłumionych, gdy β ω, ω 0. Wówczas jak łatwo pokazać wystarczy zróżniczkować tylko funkcję cosinus we wzorze (7.31); otrzymamy wówczas I ωq 0 e βt sin (ωt + ϕ). (7.33) Wprowadzając oznaczenie I 0 = ωq 0 ω 0 q 0 wzór ten możemy przepisać jako I I 0 e βt sin (ωt + ϕ). (7.34) Podobnie, jak w przypadku drgań nietłumionych, początkowa faza ϕ wwyrażeniach (7.31) i (7.34) określa wartości q i I w chwili t = 0. Wykresy czasowego przebiegu ładunku q i natężenia prądu I pokazuje rysunek 7.4. Ze względu na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e βt, drgania elektryczne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im większa jest wartość współczynnika β, zwanegowspółczynnikiem tłumienia, tj. im większa jest wartość stosunku R/L (patrz zależność (7.29)). Uwzględniając wzory (7.28) i (7.29), wyrażenie (7.32) określające pulsację elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako ω = 1 LC Natomiast okres drgań tłumionych dany jest wyrażeniem ( ) R 2. (7.35) 2L T = 2π ω, (7.36) czyli T = 2π ( ). (7.37) 2 1 LC R 2L

8 8 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... q +q o - t qe o T/2 T 3/2 T t o - t qe o I +I o - t Ie o T T/2 3/2 T t o - t Ie o Rysunek 7.4: Porównując ostatni wzór ze związkiem (7.14) można stwierdzić, że okres drgań tłumionych jest dłuższy od okresu drgań nietłumionych podobnie jak w przypadku drgań mechanicznych. Zauważymy jeszcze, że wyrażenie (7.31) stanowi rozwiązanie równania (7.30) tylko w przypadku, gdy β<ω 0,tj.gdyR<2 L/C. Inaczej pod pierwiastkiem we wzorze (7.32) występuje zero lub liczba ujemna. Można wykazać, że dla wartości β ω 0 ładunek na okładkach kondensatora i natężenie prądu w obwodzie stopniowo zanikają bez oscylacji Obwód RLC drgania wymuszone Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, energia zgromadzona w obwodzie RLC zamienia się na ciepło, wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym obwodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z zewnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie w obwód źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej prądnicy (lub elektronicznego generatora) prądu zmiennego (por. podrozdział 6.2.1). Występujące wówczas w obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami wymuszonymi. Rozpatrzymy teraz drgania wymuszone obwodu RLC, do którego zostało włączone szeregowo źródło zmiennej siły elektromotorycznej (rys. 7.5).

9 DRGANIA ELEKTRYCZNE 9 R C L ~ I Rysunek 7.5: Przypadek ten ma duże znaczenie w elektrotechnice i radiotechnice. Założymy, że zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać E = E 0 sin (ωt), (7.38) gdzie E 0 jest amplitudą a ω pulsacją (częstotliwością kątową). Suma siły elektromotorycznej E i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie E L jest równa sumie napięć U R na oporze i U C na kondensatorze, E + E L = U R + U C. (7.39) Ponieważ, jak poprzednio, E L = L di dt, (7.40) U R = RI, (7.41) ze wzoru (7.39) otrzymujemy równanie U C = q C, (7.42) L di dt + RI + q C = E 0 sin (ωt). (7.43) Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu w obwodzie, I = dq dt, (7.44) dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu: L d2 I dt 2 + RdI dt + I C = E 0ω cos (ωt). (7.45)

10 10 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... Będziemy szukać rozwiązania powyższego równania w postaci I = I 0 sin (ωt ϕ). (7.46) Przyjmujemy więc, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrznej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesunięcie fazowe ϕ między prądem i siłą elektromotoryczną (rys. 7.6). Przesunięcie fazowe i amplitudę natężenia prądu I 0 należy tak dobrać, aby funkcja (7.46) była rozwiązaniem równania różniczkowego (7.45). W tym celu obliczymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu: di dt = I 0ω cos (ωt ϕ), (7.47) d 2 I dt 2 = I 0ω 2 sin (ωt ϕ). (7.48) Podstawiając natężenie prądu I i jego pochodne do równania (7.45), otrzymujemy po prostych przekształceniach następujące równanie ( ) 1 I 0 ωc ωl sin (ωt ϕ)+i 0 R cos (ωt ϕ) =E 0 cos (ωt). (7.49) Wprowadzając oznaczenie α = ωt ϕ, z którego wynika, że ωt = ϕ + α i korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie można zapisać w postaci ( ) 1 I 0 ωc ωl sin α + I 0 R cos α = E 0 cos ϕ cos α E 0 sin ϕ sin α. (7.50) Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, muszą być sobie równe wyrazy po obu stronach równania, zawierające sin α oraz cos α. Otrzymujemy stąd wzory I 0 R = E 0 cos ϕ, (7.51) I 0 t Rysunek 7.6:

11 DRGANIA ELEKTRYCZNE 11 ( I 0 ωl 1 ) = E 0 sin ϕ. (7.52) ωc Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań (7.51) i (7.52) i dodając je do siebie otrzymujemy [ ( I0 2 R 2 + ωl 1 ) ] 2 = E0 2 ωc, (7.53) skąd wynika zależność, określająca amplitudę natężenia prądu: I 0 = R 2 + E 0 ( ). (7.54) 2 ωl 1 ωc Natomiast dzieląc stronami równania (7.52) i (7.51) dostajemy wyrażenie, określające przesunięcie fazowe między prądem i zewnętrzną siłą elektromotoryczną: tg ϕ = ωl 1 ωc R. (7.55) Występującą we wzorze (7.54) wielkość Z = R 2 + ( ωl 1 ) 2 (7.56) ωc nazywa się impedancją (oporem pozornym, zawadą) obwodu prądu zmiennego. Wzór (7.54) można więc zapisać jako I 0 = E 0 Z. (7.57) Jest on odpowiednikiem prawa Ohma (które dotyczy obwodu prądu stałego), przy czym impedancja stanowi odpowiednik oporu omowego R. Natomiast wielkości X L = ωl, (7.58) X C = 1 ωc, (7.59) które pojawiają się we wzorach (7.54) - (7.56), nazywamy odpowiednio oporem indukcyjnym (induktancją) ioporem pojemnościowym (kapacitancją). Zależności (7.55) - (7.56) mają prostą interpretację geometryczną. Narysujmy w dodatnim kierunku osi odciętych wektor o długości R, w dodatnim

12 12 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... L L 1 C Z 1 C R Rysunek 7.7: kierunku osi rzędnych wektor o długości X L = ωl a w ujemnym kierunku tej osi wektor o długości X C =1/ωC (rys. 7.7). Wtedy, jak łatwo stwierdzić, długość wypadkowego wektora jest równa impedancji Z obwodu a kąt między tym wektorem i osią odciętych jest równy przesunięciu fazowemu ϕ. Rozważymy teraz napięcia na poszczególnych elementach obwodu. Amplituda napięcia na oporze, zgodnie z prawem Ohma, wynosi U 0R = I 0 R. (7.60) Można wykazać, że amplitudy napięć na solenoidzie i kondensatorze są równe U 0L = I 0 X L = I 0 ωl, (7.61) U 0C = I 0 X C = I 0 ωc. (7.62) Ponadto, zgodnie ze wzorem (7.57), amplituda zewnętrznej siły elektromotorycznej E 0 = I 0 Z. (7.63) Powyższe cztery wielkości są odpowiednio proporcjonalne do oporu omowego R, indukcyjnego X L,pojemnościowegoX C i oporu pozornego Z. Amplitudy napięć na poszczególnych elementach obwodu prądu zmiennego sumują się więc geometrycznie w ten sam sposób, jak ich opory (rys. 7.7), przy czym długość wypadkowego wektora jest równa amplitudzie E 0 siły elektromotorycznej. Zbadamy teraz zależność amplitudy natężenia prądu (7.54) i przesunięcia fazowego (7.55) od pulsacji ω zewnętrznej siły elektromotorycznej. Można

13 DRGANIA ELEKTRYCZNE 13 łatwo stwierdzić, że dla wartości pulsacji ω r, określonej równaniem ω r L 1 ω r C =0, (7.64) czyli dla wartości ω r = 1 LC (7.65) amplituda natężenia prądu ma maksymalną wartość, I 0 = E 0 /R, natomiast prąd pokrywa się w fazie z zewnętrzną siłą elektromotoryczną, ϕ = 0. Należy zauważyć, że pulsacja ω r jest równa pulsacji nietłumionych drgań obwodu LC (wzór (7.12)). Gdy ω ω r, amplituda I 0 natężenia prądu wyraźnie wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu elektrycznego a pulsację ω r nazywa się pulsacją rezonansową. Jeżeli ω 0, to opór pojemnościowy X C =1/ωC. Wówczas I 0 0iϕ π/2. Jeżeli natomiast ω, to opór indukcyjny X L = ωl. W tym przypadku I 0 0iϕ π/2. Wykresy zależności amplitudy natężenia prądu I 0 i przesunięcia fazowego ϕ od pulsacji ω siły elektromotorycznej są przedstawione na rys. 7.8a, b. Jak wynika z wykresów, przy zmniejszaniu się wartości oporu omowego R zmiany wielkości I 0 i ϕ dla pulsacji ω ω r są coraz bardziej gwałtowne. Obliczymy jeszcze moc, wydzielaną w obwodzie prądu zmiennego. Zagadnienie to było już rozpatrywane w podrozdziale przy założeniu, I 0 R> 1 R r R> 1 R 2 0 r 2 a) b) Rysunek 7.8:

14 14 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE... że przesunięcie fazowe między prądem a zewnętrzną siłą elektromotoryczną jest równe zeru. Obecnie rozważymy ogólny przypadek. Korzystając ze wzorów (7.38) i (7.46) dostajemy następujące wyrażenie, określające moc prądu zmiennego w danej chwili czasu P = EI = E 0 I 0 sin (ωt)sin(ωt ϕ). (7.66) Średnia moc prądu zmiennego w ciągu jednego okresu wyraża się wzorem P śr = 1 T 0 P dt. (7.67) Z ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy T P śr = E 0I 0 sin (ωt)sin(ωt ϕ)dt. (7.68) T 0 Powyższą całkę można łatwo obliczyć, korzystając z tożsamości W rezultacie otrzymujemy T sin α sin β = 1 [cos (α β) cos (α + β)]. 2 T 0 sin (ωt)sin(ωt ϕ)dt T = 1 T 2 cos ϕ dt 1 cos (2ωt ϕ)dt = T cos ϕ (7.69) 2 (ostatnia całka we wzorze jest, jak łatwo sprawdzić, równa zeru). Średnia moc prądu zmiennego określona jest więc wyrażeniem P śr = E 0I 0 2 cos ϕ, (7.70) które uwzględniając definicje skutecznych wartości siły elektromotorycznej i natężenia prądu E sk = E 0 / 2, I sk = I 0 / 2, możemy przepisać w postaci P śr = E sk I sk cos ϕ. (7.71) Otrzymane wyrażenia różnią się od wyprowadzonych poprzednio (podrozdział 6.2.1, wzory (6.47) i (6.50)) dodatkowym czynnikiem cos ϕ, zwanym

15 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 15 współczynnikiem mocy. Jeżeli przesunięcie fazowe między natężeniem prądu i siłą elektromotoryczną jest równe zeru, ϕ = 0 (np. w przypadku, gdy w obwodzie znajduje się jedynie opór omowy), to cos ϕ =1ipowyższewzory sprowadzają się do otrzymanych w podrozdziale Warto zauważyć, że jeżeli przesunięcie fazowe ϕ = π/2 lubϕ = π/2 (gdy w obwodzie znajduje się tylko opór indukcyjny lub opór pojemnościowy, patrz wzór (7.55)), to cos ϕ = 0 i w obwodzie nie jest w ogóle wydzielana moc, P śr = Fale elektromagnetyczne W poprzednich częściach wykładu omówiliśmy podstawowe prawa, opisujące zjawiska elektromagnetyczne: prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday a (podrozdział 6.1.1), prawo Ampère a dotyczące pola magnetycznego przewodników z prądem (podrozdział 5.2.3) oraz prawo Gaussa dla pola elektrycznego (podrozdział 4.1.1) i pola magnetycznego (podrozdział 5.1.2). W roku 1864 J.C. Maxwell zauważył, że w przypadku, gdy w przestrzeni istnieje zmienne w czasie pole elektryczne, prawo Ampère a powinno być uzupełnione o dodatkowy wyraz. Otrzymany w ten sposób układ równań opisuje w zasadzie całość zjawisk elektromagnetycznych i nosi obecnie nazwę równań Maxwella. Na podstawie tych równań Maxwell m.in. przewidział istnienie fal elektromagnetycznych i obliczył ich prędkość. Okazała się ona równa prędkości światła, co wskazywało, że światło jest falą elektromagnetyczną. Istnienie fal elektromagnetycznych wykazał doświadczalnie H. Hertz w 1888 r., a więc ok. 20 lat później. Dalej będziemy rozważać wyłącznie równania Maxwella w próżni. Uogólnimy najpierw prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday a. Zgodnie z nim, indukowana w przewodniku siła elektromotoryczna wyraża się wzorem E = d B ds, (7.72) dt S w którym całka po prawej stronie jest strumieniem pola magnetycznego, obejmowanego przez obwód. Jak już wspomniano (podrozdział 6.1.1), zmienne w czasie pole magnetyczne powoduje wytworzenie wirowego pola elektrycznego, zarówno w przewodniku jak i w ośrodku nieprzewodzącym lub w próżni. Korzystając ze związku między potencjałem i natężeniem pola elektrycznego (podrozdział 4.2.3, wzór(4.34)), indukowaną w zamkniętym przewodniku siłę elektromotoryczną można wyrazić wzorem E = E ds, (7.73) C

16 16 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE gdzie E natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika, C dowolna przebiegająca wewnątrz niego zamknięta krzywa. Otrzymujemy stąd równanie E ds = d B ds, (7.74) C dt S zwane I równaniem Maxwella. Równanie to, jakkolwiek wyprowadzone dla przypadku przewodnika, stosuje się do wszystkich ośrodków i do próżni, przy czym przez C należy rozumieć dowolną krzywą zamkniętą a przez S dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej. Rozpatrzymy obecnie prawo Ampère a, określające pole magnetyczne przewodników z prądem. Zgodnie z podanym dotychczas sformułowaniem, zachodzi związek B ds = µ 0 I, (7.75) C gdzie C jest dowolną zamkniętą krzywą a I całkowitym natężeniem prądu, przepływającego przez dowolną powierzchnię, rozpiętą na krzywej C. Łatwo jednak zauważyć, że podane równanie nie jest np. słuszne, gdy obwód z prądem nie jest zamknięty. Jako przykład rozważymy, pokazany na rysunku 7.9, obwód RC. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie popłynie prąd elektryczny, który wytworzy wokół przewodników pole magnetyczne. Jeżeli chwilowe natężenie prądu w obwodzie wynosi I, todlakrzywejc irozpiętej na nim powierzchni S 1 ma miejsce związek (7.75) (przez powierzchnię S 2 E S C S 1 S 2 R -q +q I S E S S C S 1 B a) b) Rysunek 7.9:

17 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 17 E de dt > 0 E de dt < 0 B B a) b) Rysunek 7.10: S 1 płynie prąd I) a dla powierzchni S 2, rozpiętej na tej samej krzywej C, związek B ds = 0 (7.76) C (przez powierzchnię S 2 nie płynie żaden prąd). Otrzymujemy więc, zależnie od wyboru powierzchni, różne wyniki(!). Dla wyjaśnienia powyższej sprzeczności Maxwell przyjął, przez analogię ze zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej, że zmienne w czasie pole elektryczne powoduje wytworzenie wirowego pola magnetycznego (rys. 7.10). Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pole elektryczne rośnie (de/dt >0), zwrot linii sił wytworzonego pola magnetycznego jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej a w przypadku, gdy pole elektryczne maleje (de/dt <0) jest przeciwny. Obszar przestrzeni, w którym istnieje zmienne pole elektryczne można więc traktować tak, jakby płynął w nim prąd elektryczny, wywołujący pole magnetyczne. Maxwell nazwał ten fikcyjny prąd prądem przesunięcia. Równanie (7.76) powinno więc być zastąpione przez równanie B ds = µ 0 I p, (7.77) C gdzie I p oznacza natężenie prądu przesunięcia, płynącego między okładkami kondensatora. Dla zapewnienia niesprzeczności równań (7.75) i (7.77) powinien zachodzić związek I = I p, co oznacza, że w każdej części rozważanego obwodu płynie prąd o jednakowym natężeniu. W celu wyprowadzenia wyrażenia, określającego prąd przesunięcia, skorzystamy z podanego w podrozdziale wzoru (4.82), q = ε 0 ES, (7.78)

18 18 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE wktórymq jest ładunkiem na okładce płaskiego próżniowego kondensatora, E natężeniem pola w kondensatorze a S powierzchniąjegookładki. Ponieważ Φ E = ES (7.79) jest strumieniem elektrycznego pola przez powierzchnię S (i przez całą powierzchnię S 2 ) na rys. 7.9, więc Z definicji natężenia prądu otrzymujemy q = ε 0 Φ E. (7.80) I = dq dt = ε dφ E 0 dt. (7.81) Ponieważ w rozważanym przypadku I = I p, natężenie prądu przesunięcia wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem dφ E I p = ε 0 dt. (7.82) Strumień pola elektrycznego E przez dowolną powierzchnię S jest dany całką Φ E = E ds. (7.83) S Ogólne wyrażenie na prąd przesunięcia ma więc postać d I p = ε 0 E ds. (7.84) dt S Po prawej stronie wzoru (7.75) w ogólnym przypadku powinna występować suma natężenia I p prądu przesunięcia oraz natężenia I prądu przewodzenia: C B ds = µ 0 (I p + I). (7.85) Podstawiając wyrażenie (7.84) do ostatniego wzoru otrzymujemy równanie C d B ds = ε 0 µ 0 E ds + µ 0 I, (7.86) dt S nazywane II równaniem Maxwella. TutajC jest dowolną krzywą a S dowolną rozpiętą na niej powierzchnią.

19 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 19 Jak wspomnieliśmy, w skład równań Maxwella wchodzi jeszcze prawo Gaussa dla pola elektrycznego, S E ds = Q ε 0, (7.87) oraz prawo Gaussa dla pola magnetycznego, B ds =0. (7.88) S Powyższe równania nazywa się odpowiednio III i IV równaniem Maxwella Fala elektromagnetyczna płaska. Prędkość fal elektromagnetycznych Jak wspomniano, równania Maxwella opisują m.in. fale elektromagnetyczne. Będziemy rozważać jedynie fale elektromagnetyczne w próżni i przyjmiemy, że w danym obszarze nie ma ładunków elektrycznych i przewodników z prądem. W równaniach (7.86) i (7.87) należy więc odpowiednio przyjąć I = 0 i Q = 0. Podamy najpierw intuicyjnie wyjaśnienie rozchodzenia się fal elektromagnetycznych (rys. 7.11). Jeżeli np. w pewnym obszarze przestrzeni istnieje zmienne w czasie pole elektryczne, to zgodnie z II równaniem Maxwella (7.86) wytwarza ono zmieniające się z czasem, wirowe pole magnetyczne. E(t) B(t) E(t) B(t) Rysunek 7.11:

20 20 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE y E c z B x Rysunek 7.12: Z kolei zmiany pola magnetycznego powodują, na mocy I równania Maxwella (7.74), powstanie zmiennego, wirowego pola elektrycznego, itd. W przestrzeni przemieszcza się więc fala elektromagnetyczna. Najprostszą postacią fali elektromagnetycznej jest płaska fala harmoniczna, pokazana na rysunku W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej każda płaszczyzna prostopadła do wektora prędkości fali c jest jej powierzchnią falową, na której wektory E i B mają stałą wartość i kierunek. Jak wynika z rysunku, wektory natężenia pola elektrycznego E, indukcji pola magnetycznego B oraz prędkości fali c są w danym punkcie przestrzeni wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawoskrętny. Jest to ogólna cecha dowolnej fali elektromagnetycznej. Fale elektromagnetyczne są więc falami poprzecznymi. Na rys układ współrzędnych wybrano w ten sposób, że wektory c, E i B są odpowiednio równoległe do osi x, y i z. Zgodnie z określeniem fali harmonicznej, wielkości E i B zmieniają się sinusoidalnie ze zmianą współrzędnej x i czasu t. Analogicznie jak w przypadku płaskiej fali harmonicznej w ośrodku sprężystym (podrozdział 2.6.2), rozważaną falę elektromagnetyczną powinny opisywać równania E = E y = E 0 cos [ω (t x/c)], (7.89) B = B z = B 0 cos [ω (t x/c)], (7.90) wktóryche 0 i B 0 są amplitudami natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego, ω pulsacją fali, c prędkością fali elektromagnetycznej w próżni (dla uproszczenia wzorów przyjęto, że faza początkowa fali jest równa zeru). Można wykazać, że funkcje (7.89) - (7.90) stanowią istotnie rozwiązanie równań Maxwella.

21 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 21 Jak już wspomnieliśmy w podrozdziale 5.2.2, prędkość fali elektromagnetycznej w próżni określona jest wzorem c = 1 ε0 µ 0 (7.91) W celu wyliczenia prędkości c wygodnie jest skorzystać ze związku k = 1 4πε 0, (7.92) wktórymk jest współczynnikiem, występującym w niektórych wzorach elektrostatyki (patrz podrozdział 4.2.1). Po prostych przekształceniach zależność (7.91) można zapisać jako 4πk c =. (7.93) µ 0 Ponieważ k = N m 2 /C 2, µ 0 =4π 10 7 N/A 2,więc c = 4π N m 2 /C 2 4π 10 7 N/A 2 = m/s. (7.94) Otrzymana wartość jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni. Rezultat ten doprowadził Maxwella do wniosku, że światło jest falą elektromagnetyczną. W podobny sposób można wyprowadzić wzór, określający prędkość v fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej ε r i względnej przenikalności magnetycznej µ r : v = 1 ε0 ε r µ 0 µ r. (7.95) Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagnetycznych, µ r 1, ze wzorów (7.91) i (7.95) otrzymujemy związek v c εr. (7.96) Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego ε r > 1, prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od prędkości fali w próżni, v<c. Wynik ten jest zgodny z doświadczeniem.

22 22 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Wektor Poyntinga. Natężenie fali elektromagnetycznej Zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne posiada określoną energię (por. podrozdziały i 6.1.2). Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych związane jest więc z przenoszeniem energii pola elektromagnetycznego, podobnie jak rozchodzeniu się fal w sprężystym ośrodku towarzyszy przekazywanie energii mechanicznej. Szybkość przepływu energii fali elektromagnetycznej przez daną powierzchnię opisuje tzw. wektor Poyntinga S (rys. 7.13). Podamy tutaj jego ogólną definicję, stosującą się do ośrodków materialnych i do próżni. Kierunek wektora Poyntinga jest zgodny z kierunkiem wektora v prędkości fali, S v a jego wartość liczbowa jest równa mocy fali, przenoszonej przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora v. Jeżeli więc oznaczyć przez E p energię fali, przechodzącą w czasie t przez niewielką powierzchnię S,towartość S = E p S t, (7.97) przy czym [S] =W/m 2.Energia E p odpowiada energii zawartej w bardzo małym prostopadłościanie o polu podstawy S i wysokości v t (rys. 7.13). Ponieważ całkowita gęstość energii w = w e + w m (w e i w m gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego) wewnątrz prostopadłościanu jest w przybliżeniu stała, więc E p = w V = w S v t (7.98) Rysunek 7.13:

23 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 23 ( V objętość prostopadłościanu), skąd otrzymujemy wzór S = wv. (7.99) Korzystając ze wyrażeń, określających gęstości energii w e i w m (podrozdział 4.4.3, wzór (4.85) i podrozdział 6.1.2, wzór (6.30)), ostatnie wyrażenie można przekształcić do postaci S = E H (7.100) (patrz rys. 7.14), w którym wektor natężenia pola magnetycznego H = B/µ r µ 0. Ze względu na zależność pola elektrycznego i pola magnetycznego fali od czasu, wartość wektora Poyntinga również zmienia się w czasie. Dla harmonicznej fali elektromagnetycznej wygodnie jest wprowadzić pojęcie jej natężenia I, będącego średnią bezwzględną wartością wektora Poyntinga w ciągu jednego okresu T drgań, I = S śr = 1 EHdt (7.101) T 0 ([I] =W/m 2 ). Korzystając z powyższej zależności można wykazać, że natężenie płaskiej fali elektromagnetycznej, opisanej równaniami T E = E 0 cos [ω (t x/c)], (7.102) wynosi H = H 0 cos [ω (t x/c)], (7.103) I = E 0H 0 2. (7.104) Rysunek 7.14:

24 24 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Ponieważ w przypadku fali elektromagnetycznej E 0 H 0, jej natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego lub pola magnetycznego, I E 2 0 H 2 0. (7.105) Promieniowanie fal elektromagnetycznych Zgodnie z poprzednimi podrozdziałami, z obszaru przestrzeni, w którym występuje zmienne w czasie pole elektryczne lub pole magnetyczne, rozchodzi się fala elektromagnetyczna. Wobec tego w zasadzie każdy elektryczny obwód drgający, np. obwód LC, jest źródłem fal elektromagnetycznych. Łatwo stwierdzić, że w celu wytworzenia fal elektromagnetycznych np. o długości rzędu metra częstotliwość ν drgań elektrycznych musi być stosunkowo wysoka. Można obliczyć ją ze wzoru ν = c λ. (7.106) Ponieważ prędkość fali elektromagnetycznej w próżni c = m/s, więc dla długości λ = 1 m częstotliwość ν = MHz. Jak wynika ze wzoru Thomsona (7.14), częstotliwość drgań obwodu LC wynosi ν = 1 T = 1 2π LC. (7.107) Dla osiągnięcia możliwie wysokiej częstotliwości drgań należy więc dążyć do zmniejszenia zarówno indukcyjności L jak i pojemności C obwodu. Ponadto, aby wypromieniowywana przez obwód moc była jak największa, obszar przestrzeni, w którym obwód wytwarza zmienne pole elektryczne i magnetyczne powinien być możliwie duży. Oba cele można zrealizować, przekształcając obwód LC w sposób pokazany na rys. 7.15a-d. Obwód redukuje się wówczas do odcinka przewodnika, posiadającego niewielką indukcyjność i pojemność. Drgania elektryczne w przewodniku mają charakter zbliżony do drgań dipola elektrycznego, tzn. układu dwóch równych, różnoimiennych ładunków +q i q, których odległość zmienia się okresowo w czasie (rys. 7.16). W odróżnieniu od pola elektrycznego nieruchomych ładunków, linie sił pola elektrycznego drgającego dipola odrywają się od ładunków i przybierają kształt pętli, przemieszczających się w przestrzeni (na rysunku pokazano linie sił tylko z jednej strony dipola). Linie sił pola magnetycznego (nie pokazane na rysunku) są prostopadłe do linii sił pola elektrycznego. Mają one kształt współosiowych okręgów o rosnących z czasem promieniach, obejmujących drgający dipol.

25 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 25 C L a) b) c) d) Rysunek 7.15: q q q q q q q q a) b) c) d) Rysunek 7.16: W celu podtrzymywania drgań elektrycznych w rozważanym obwodzie należy doprowadzać do niego energię, np. przez połączenie ze źródłem zmiennej siły elektromotorycznej. W swoich doświadczeniach H. Hertz używał układu złożonego z dwóch przewodzących prętów, rozdzielonych niewielką

26 26 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE Rysunek 7.17: przerwą, zwanego obecnie oscylatorem Hertza (rys. 7.17a). Drgania w oscylatorze Hertza były wzbudzane przez połączenie go ze źródłem powtarzających się impulsów wysokiego napięcia. W momencie, w którym napięcie osiągnie dostateczną wartość, między prętami przeskakuje iskra elektryczna zamykająca obwód, w którym powstają tłumione drgania elektryczne. Do rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz stosował przewodzący pierścień z niewielką przerwą zwany rezonatorem (rys. 7.17b), o częstotliwości drgań własnych identycznej z częstotliwością drgań emitującego falę oscylatora. Na skutek zjawiska rezonansu elektrycznego wymuszone drgania w rezonatorze były na tyle silne, że można je było wykryć, obserwując przeskakującą w przerwie iskrę. Współcześnie do wytwarzania i odbioru fal radiowych i telewizyjnych stosuje się anteny połączone z generatorami drgań elektrycznych (nadajniki) i wzmacniaczami drgań elektrycznych (odbiorniki). Hertz w swoich doświadczeniach udowodnił m.in., że fale elektromagnetyczne ulegają dyfrakcji, interferencji i załamaniu. Udało mu się też wytworzyć stojące fale elektromagnetyczne i zmierzyć ich długość skąd, znając częstotliwość drgań obwodu, mógł wyznaczyć prędkość fali elektromagnetycznej. Okazała się ona zgodna z wynikiem teorii Maxwella, co stanowiło rozstrzygający dowód jej słuszności Widmo fal elektromagnetycznych Fale elektromagnetyczne, występujące w przyrodzie i wytwarzane sztucznie, obejmują b. szeroki zakres długości oraz z uwagi na stałą prędkość ich rozchodzenia się w próżni równie szeroki zakres częstotliwości, przekraczający 16 rzędów wielkości. Natura fal elektromagnetycznych, niezależnie od ich długości, jest jednakowa. Fale o długościach różniących się co najmniej o kilka rzędów mają jednak odmienne właściwości fizyczne. Podziału fal elektromagnetycznych na poszczególne rodzaje dokonuje się głównie ze względu na sposób ich powstawania. Pełne widmo fal elektromagnetycznych

27 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 27 pokazuje rys Granice długości fali między poszczególnymi rodzajami promieniowania elektromagnetycznego, pokazane na rysunku i podane poniżej, mają jedynie orientacyjny charakter. Fale radiowe są wytwarzane za pomocą przyrządów elektronicznych. Do celów radiofonii i radiokomunikacji stosuje się fale o długości od 10 4 mdo10 m. Programy radiowe i telewizyjne przesyłane są na falach ultrakrótkich, o długości od 10 m do 10 1 m. Fale elektromagnetyczne o długości od 10 1 m do 10 4 m noszą nazwę mikrofal. Są one wykorzystywane głównie w technice radarowej oraz radiokomunikacji satelitarnej. Promieniowanie podczerwone, widzialne i nadfioletowe powstaje na skutek zmian energetycznych, zachodzących w zewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Jest ono m.in. emitowane przez ciała ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury. Fale ze stosunkowo wąskiego przedziału, od ok mdook m są bezpośrednio widzialne ludzkim okiem (barwy od czerwonej do fioletowej). Przedział fal o długości od 10 3 mdo m należy do podczerwieni a przedział fal o długości od do 10 9 m do nadfioletu. Ogólnie można stwierdzić, że energia promieniowania elektromagnetycznego rośnie wraz ze zmniejszaniem się długości jego fali, tj. ze wzrostem częstotliwości. Przejawem tego są niektóre własności promieniowania nadfioletowego zaczernia ono klisze fotograficzne, lg [Hz] fale radiowe d³ugie œrednie krótkie mikrofale promienie podczerwone œwiat³o widzialne promienie ultrafioletowe promienie rentgenowskie promienie lg [m] Rysunek 7.18:

28 28 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE powoduje fluorescencję (świecenie) niektórych ciał, zapoczątkowuje szereg reakcji chemicznych. Promienie Roentgena (promienie X) powstają przy hamowaniu wiązki wysokoenergetycznych naładowanych cząstek (głównie elektronów) w ciałach stałych a także podczas przemian energetycznych, mających miejsce w wewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Długość fal promieni Roentgena leży w zakresie od 10 8 mdo10 12 m. Są one bardzo przenikliwe; ich własności fizyczne wykorzystywane są powszechnie w badaniach strukturalnych materiałów, defektoskopii i medycynie. Promieniowanie γ jest emitowane przez pierwiastki promieniotwórcze przy przemianach energetycznych wewnątrz wzbudzonych jąder atomowych. Długość fal promieniowania γ jest mniejsza od maichwłasności fizyczne są zbliżone do własności promieni Roentgena.