ANALIZA MATEMATYCZNA ISTNIENIA JEDNEGO PUNKTU PRZEGIĘCIA UNORMOWANEJ KRZYWEJ UDZIAŁU MATERIAŁOWEGO ABBOTTA FIRESTONE

Transkrypt

1 УДК UDC NLIZ MTEMTYCZN ISTNIENI JEDNEGO PUNKTU PRZEGIĘCI UNORMOWNEJ KRZYWEJ UDZIŁU MTERIŁOWEGO BBOTT FIRESTONE MICHLSKI Jacek Dr inż Politechnika Rzeszowska Rzeszów Polska МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ІСНУВАННЯ ОДНІЄЇ ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ НОРМОВАНОЇ КРИВОЇ ЕББОТТА ФАЄРСТОУНА (ГРАФІЧНОЇ ХАРАКТЕРИСТИКИ ШОРСТКОСТІ МІХАЛЬСКІ Яцек Доктор інженер Жешовська Політехніка Жешув Польща MTHEMTICL NLYSIS OF THE EXISTENCE OF ONE CURVE INFLECTION POINT NORMS FOR PRTICIPTION BERING RE CURVE OF BBOTT-FIRESTONE MICHLSKI Jacek PhD Rzeszow University of Technology Rzeszow Poland Wprowadzenie Ważnym parametrem funkcyjnym chropowatości po obróbce ubytkowej i uszlachetniającej oraz eksploatacji jest udział materiałowy (nazywany; współczynnikiem długości nośnej chropowatości profilu/powierzchni oraz przebieg jego wartości w zależności od poziomu przecięcia profilu/powierzchni określony krzywą udziału materiałowego bbotta Firestone (nazywaną krzywą nośności oraz związany z nią rozkład rzędnych profilu [-6] Wyniki wielu badań dowodzą że eksploatacyjne wskaźniki maszyn i urządzeń polepszają się gdy powierzchnie dwóch współpracujących ze sobą elementów charakteryzują się odpowiednim przebiegiem tych krzywych [7-] Z tego też punktu widzenia matematyczne udowodnienie istnienia jednego punktu przegięcia proponowanej postaci matematycznej R(x [-] oraz jednoznaczność jej określenia za pomocą jej trzech parametrów x i B nabiera ważnego znaczenia poznawczego i utylitarnego naliza literatury W pracy [] przedstawiono sposób aproksymacji unormowanej krzywej udziału materiałowego funkcją trzyparametrową minimalizującą maksymalną odległość punktów dyskretnych otrzymanych z pomiaru krzywej nośności profilu chropowatości powierzchni od tej funkcji Zamieszczono metodykę obliczenia błędu dopasowania uzyskując w 98% z 5 analizowanych powierzchni po gładzeniu błąd aproksymacji mniejszy od błędu pomiaru odciętych i rzędnych krzywej bbotta Firestone Stwierdzono skorelowanie parametrów opis unormowanej krzywej bbotta Firestone parametrami x B ze współrzędnymi charakterystycznych jej punków i pochyleniem Ma miejsce silnie skorelowane parametrów: średniej arytmetycznej rzędnych profilu Ra i wysokość najwyższego wzniesienia profilu Rp wyznaczonych z odpowiedniego pola powierzchni krzywej bbotta Firestone oraz z zarysu profilu chropowatości powierzchni Występują coraz większe ich różnice im mniejsze są od μm parametry Ra i Rp [] naliza krzywej bbotta Firestone umożliwiła jej opis za pomocą współczynnika niepełności Rp/Rt pochylenia unormowanego Rk/Rt i odciętej xrk krzywej bbotta Firestone - charakteryzującej przechodzenia obszaru wzniesień do obszaru wgłębień nierówności powierzchni Określono także interpretację fizyczną proponowanego opisu i jego poprawność [3] Zmieszczono [] poprawność opisu krzywej nośności chropowatości powierzchni gładzi cylindrów parametrami wynikającymi z trzech odmiennych metodyk obliczeniowych za pomocą: niezależności pochylenia rdzenia chropowatości od udziału nośnego wgłębień korelacji między parametrami istotności różnic między wartościami średnimi składowych głównych rozróżnialności procesu technologicznego gładzenia rozrzutu oceny w grupach cylindrów o zbliżonych cechach wytwarzania oraz przydatności w procesie konstruowania wytwarzania eksploatacji i modelowania Zaistniała możliwość matematycznego obliczenia wysokości i udziału materiałowego dla dowolnego/charakterystycznego punktu/obszaru krzywej bbotta Firestone z opracowanego modelu matematycznego [-] Metody opisu krzywej bbotta Firestone zostały przestawione w [ 3] Opis krzywej czterema parametrami k 3 k k k funkcji wielomianu 3 stopnia jest także stosowany [5] Szerokie zastosowanie znalazło przedstawienie krzywej bbotta Firestone w układzie modeli stochastycznych Greenwooda- Williamsona oraz Minkowskiego i Nayaka [6 7 8] Krzywa bbotta Firestone umożliwia także przedstawienie różnych właściwości geometrycznych powierzchni w tym trójwymiarowych Można analizować na jej podstawie pochylenie zboczy profilu/powierzchni wysokości wierzchołków/szczytów 55

2 promienie zaokrąglenia wierzchołków/szczytów [9 ] Stwarza to lepsze możliwości oceny powierzchni od tradycyjnego jej zastosowania oczywiście do rozkładu rzędnych/amplitud Przebieg zmienności oraz istnienie jednego punktu przegięcia aproksymującej funkcji R(x udział materiałowy bbotta Firestone Rozważmynastępujące funkcje f (x f (x (rys opisujące udziału materiałowego (krzywą nośności chropowatości powierzchni po obróbce ubytkowej lub eksploatacji [- ]: f x + arctg[ ( ctg ctg ] ( π tg( Bx f ( x tgb gdzie B x są parametrami Zakładamy tutaj że zmienna x przebiega przedział ( natomiast x ( 56 ( B π Ponadto rozpatrywać będziemy również funkcję R(x opisującą także krzywą udziału nośnego która jest kombinacją wypukłą funkcji f i f Dokładniej z uwzględnieniem wag wpływu funkcji składowych f i f tj funkcję Rx ( 7 f( x + 3 f ( x (rys Zajmiemy się w dalszym ciągu zbadaniem podstawowych elementów związanych z przebiegiem zmienności rozważanych funkcji f (x f (x oraz R(x w zależności od parametrów B x (rys nalizę rozpoczniemy od zbadania pierwszej i drugiej pochodnej funkcji f (x Mamy: π f( x sin sin π + ctg ctg + ctg ctg ( ( sin π x sin sin sin ( + π x x Nietrudno zauważyć że f ( x > dla x ( oraz dla wszystkich dopuszczalnych wartości parametrów B x Oznacza to że funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziale ( Podobnie: { sin sin cos π + sinπ ( x x cosπ ( x x π } f ( x sin xπ sin sin + sin π x x π sin sin sin π [ ( ] x + sin π ( x x + sin π ( x x [ sin sin ] Przeanalizujmy teraz f ( x Zauważmy że: x ( π x ( π sin > π sin < ( Znajdziemy najpierw miejsca zerowe f ( x: f ( x sin sin + sin π x x sin sin + sin ( ( sin sin + sin cos cos sin Stąd: ( cosπ x + sin sin sin cos ( cos + sin sin sin cos sin sin cos cos + sin

3 sin tg cos + sin Ostatecznie otrzymujemy: sin k x arctg + cos x sin x k ± ± ( π π + π Zauważmy dalej że: cos π x + sin ( cos sin + sin cos + ( + sin Stąd widać że wyrażenie w mianowniku ułamka stojącego pod arcus tangens w ( jest kombinacją wypukłą sin oraz cos Ponieważ sin oraz cos i równocześnie nie może być sin i cos (bo sin + cos więc wspomniane wyrażenie w mianowniku jest dodatnie Zatem znak wyrażenia: sin cos + sin (3 zależy tylko od znaku wyrażenia w liczniku Zauważmy teraz że liczba x obliczona ze wzoru ( jest punktem podejrzanym o realizację punktu przegięcia Dla k lub odpowiednio oznaczmy te liczby przez x x x Ogólnie niech x k oznacza liczbę otrzymaną z ( dla ustalonego k Z Zauważmy następnie że ułamek (3 można przekształcić do postaci: tg + ( tg ( Oznaczmy dalej y tg i rozważmy funkcję: y h( y + ( y Nietrudno wywnioskować że gdy x przebiega przedział ( wówczas y przebiega przedział (- + Ze względu na nieparzystość funkcji hh(y wystarczy ją zbadać tylko na przedziale [ + Mamy: ( y h ( y [ + ( y ] Stąd: h ( y > y < a zatem funkcja h jest rosnąca na przedziale Ponadto h ( y < y > a więc funkcja h jest malejąca na przedziale + Ponadto h ( y 57

4 Zatem funkcja h(y osiąga maksimum lokalne (zarazem globalne w punkcie minimum lokalne (globalne w punkcie Wynoszą one: h Ponadto mamy: max y h oraz h arctg π min h ± + arctg( hy arctg π π a b y zaś Rys Rodziny funkcji składowych stosowanych do aproksymacji krzywej nośności profilu: a funkcja f (x dla wybranych wartości parametrów x b funkcja f (x dla B zmiennego < 55> z krokiem ~ 39 Stąd otrzymujemy: * < x < * 3 < x < (5 3 * 5 < x < Teraz biorąc pod uwagę to że odległość pomiędzy liczbami x x x są równe / otrzymujemy następujący wniosek: WniosekFunkcja f( x rysunek a może mieć co najwyżej dwa punkty przegięcia w przedziale ( W dalszym ciągu przeanalizujmy dokładniej mogące się tutaj pojawić przypadki 58

5 Załóżmy najpierw że x ( Wtedy sin > co implikuje że ułamek (3 jest dodatni a więc do przedziału ( należy również punkt x 3 (dokładniej: x natomiast punkt x znajduje się już poza przedziałem ( Oznacza to że w tym przypadku f( x ma dwa punkty x i x podejrzane o realizację punktów przegięcia Załóżmy teraz że x ( x Wtedy z ( otrzymujemy: sin π x < arctg cos + sin skąd: sin tg < cos + sin π Stąd i z faktu że < < < mamy: ( cos + sin sin < sin cos Ostatecznie: f ( x > dla x ( x W podobny sposób pokażemy że f ( x < dla x ( x x a także f ( x < dla x ( x Reasumując otrzymujemy: Jeżeli x to funkcja f x ( ma dokładnie dwa punkty przegięcia x oraz x na przedziale ( Ponadto f jest wypukła na przedziałach ( x i ( x oraz wklęsła na przedziale ( x x Oczywiście analizując dokładnie związki ( ( i (5 łatwo zauważyć że gdy jest niewielkie (blisko to x jest także bliskie Gdy to x Nietrudno też przewidzieć że gdy x to wtedy x < a więc punktami przegięcia są punkty o odciętych x oraz x przy czym < x < zaś 3 < x < Ponadto funkcja f jest wklęsła na przedziale ( x oraz ( x oraz wypukła na przedziale ( x x Stąd otrzymujemy wniosek Jeżeli x to funkcja f x ( ma dokładnie dwa punkty przegięcia x i x na przedziale ( Ponadto f jest wklęsła na przedziałach ( x i ( x oraz wypukła na przedziale ( x x Pozostał jeszcze do przeanalizowania przypadek x Wtedy z (3 mamy że x Dalej na podstawie ( otrzymujemy: x x Ponadto nietrudno sprawdzić że f jest wklęsła na przedziale ( / i wypukła na przedziale (/ Zatem: Jeżeli x to funkcja f( xma dokładnie jeden punkt przegięcia o odciętej równej / Jest ona wklęsła na przedziale ( / oraz wypukła na przedziale (/ Zajmiemy się w dalszym ciągu analizą funkcji f ( x Zauważmy gdy B to otrzymujemy: 59

6 f ( x f Z drugiej strony przy B π otrzymujemy: Dalej mamy: tg( Bx tg( Bx B ( x lim lim x x B tgb B Bx tgb o f ( x f π ( x lim f ( x π π B B 6 tg( Bx dla x < lim tgb dla x B B f ( x tgb cos ( Bx tgb cos ( Bx Ponieważ parametr B przebiega zgodnie z założeniem przedział π to łatwo widać że f ( x > dla x ( Stąd wynika że f jest funkcją ściśle rosnącą na przedziale ( Dalej mamy: B sin Bx f ( x tgb cos ( Bx Pochodną tą można również przedstawić w postaci: B cos B sin Bx f ( x 3 sin B cos Bx Zauważmy że z przyjętych założeń (a mianowicie: x ( B π wynika łatwo że f ( x > dla x ( Ponadto przypomnijmy że f ( x > a wiec funkcja f jest rosnąca i wypukła na przedziale ( Dalej mamy: f ( oraz f ( Zatem wykres funkcji f (x ma kształt jak na rysunku b Zajmijmy się w dalszym ciągu dyskusją drugiej pochodnej funkcji R(x a więc funkcją: R ( x 7 f ( x + 3 f ( x Podstawiając obliczone wcześniej wartości f '' ( x oraz f '' ( xotrzymujemy: R ( x 7 π sin 7π sin sin B cos sin sin + sin π ( x x + sin π ( x x x + sin π ( x x π ( x x π ( x x ( x x [ sin sin + ] sin B cos Bx[ sin sin π ] 3 Bx[ sin sin + sin ] Bx[ sin sin + sin ] [ sin sin + sin π ] B sin Bx 3 tgb cosbx 6B cos B sin + 3 sin B cos Bx Stąd widoczne jest że funkcja R ( xma niezwykle złożoną postać przez co niemożliwym staje się jej analiza klasycznymi metodami rachunku różniczkowego Fakt ten spowodowany jest również tym że funkcja R ( xzależna jest od trzech niezależnych od siebie parametrów B oraz x Niemniej jednak korzystając ze wcześniej ustalonych faktów podamy teraz pewne wnioski dotyczące zachowania się funkcji R ( x a tym samym funkcji R( x Będziemy rozważać trzy przypadki Przypadek x Wtedy jak pokazaliśmy wcześniej funkcja f ( x ma dwa punkty przegięcia x x x < x x oraz wypukła na ( Ponadto f jest wklęsła na przedziałach ( x i ( przedziale ( x x Ponieważ wypukłość funkcji f oznacza w naszym przypadku dodatniości drugiej x +

7 pochodnej f oraz funkcja f jest dodatnia na całym przedziale ( zatem uwzględniając to że R ( x jest wypukłą kombinacją funkcji f i x x funkcja R ( x jest f otrzymujemy że na przedziale ( dodatnia Oczywiście z uwagi na to że f ( x > oraz f ( x > dodatnia na pewnym przedziale ( x x zawierającym przedział [ x x ] Mamy więc: Wniosek:Istnieje taki przedział ( x ( x < że ( x x [ x x] otrzymujemy że R ( x jest oraz funkcja R(x jest wypukła na przedziale ( x x Oznacza to że funkcja R(x ma punkty przegięcia w przedziałach ( x oraz ( x przedziały niepuste Zauważmy dalej że: R ( 7 f ( + 3 f ( 7 f ( 7sin sin sin ( 7π sin sin o ile są to sin ' o Z założenia wynika że π ( π π x a więc sin < R ( < Stąd i z ciągłości funkcji R ( x otrzymujemy że R ( x jest ujemne na pewnym przedziale na prawo od Oznacza to ze funkcja R(x jest wklęsła na tym przedziale zatem musi mieć punkt przegięcia x gdzieś w przedziale ( x Wniosek: Funkcja R(x jest wklęsła na pewnym przedziale ( x ( x ( x oraz ma punkt przegięcia w punkcie x Zauważmy że kwestia czy w przedziale ( x funkcja R(x jest wklęsła jest do rozstrzygnięcia znacznie trudniejsza Możliwe są tylko odpowiedzi w przypadkach szczególnych Załóżmy najpierw że B jest liczbą bliską zera Wtedy jak ustaliliśmy wcześniej f ( x x więc R ( x 7 f ( x Zatem R ( x zachowuje się w przybliżeniu tak jak f ( x więc ma na przedziale ( x punkt przegięcia x a ponadto jest wklęsła w tym przedziale (rys c zwłaszcza dla sytuacji 5 x 5 B Jeżeli natomiast B jest liczbą bliską π/ to f ( jest liczbą bardzo dużą więc to implikuje że wtedy R ( > Oznacza to że R( x jest wypukła w pobliżu x i może więc nie mieć ona punktu przegięcia w przedziale ( x Fakt ten zilustrowany jest odpowiednim wykresem komputerowym gdy x 75 5 B78 (rys b Przypadek x Wtedy rozumując podobnie jak poprzednio łatwo wnioskujemy że funkcja R(x jest wypukła na x x x x Może więc być przedziale ( ( oraz na przedziale ( ( 6

8 a b c Rys Wpływ parametrów x B na kształt krzywej nośności: a x 5 B 78 5 z krokiem 5 oraz 87 5 b 5 B 78 x 5 z krokiem 5 oraz x 87 x 5 c 5 x 5 B l55 z krokiem ~ 39 ewentualnie wklęsła na przedziale ( x x I tak np w przypadku gdy B jest liczbą bliską mamy ze R ( x 7 f ( x a wiec funkcja R(x ma dwa punkty przegięcia x i x Przypadek 3 x 5 Wtedy na podstawie poprzednio ustalonych faktów wnioskujemy że R(x jest funkcją wypukłą na przedziale ( x oraz może być funkcją wklęsłą na przedziale ( x Wynika stąd że w rozważanym przypadku funkcja R może mieć tylko jeden punkt przegięcia x Podsumowanie Funkcja f jest ściśle rosnąca na przedziale ( i może mieć co najwyżej dwa punkty przegięcia w przedziale ( Jeżeli x to funkcja f( x ma dokładnie dwa punkty przegięcia x oraz x na przedziale ( Ponadto f jest wypukła na przedziałach ( x i ( x oraz wklęsła na przedziale ( x x Jeżeli x to funkcja f ( x ma dokładnie dwa punkty x oraz przegięcia x i x na przedziale ( Ponadto f jest wklęsła na przedziałach ( wypukła na przedziale ( x x x i ( Jeżeli x to funkcja f( x ma dokładnie jeden punkt przegięcia o odciętej równej / Jest ona wklęsła na przedziale ( / oraz wypukła na przedziale (/ Z dokonanej analizy wynika że f jest funkcją ściśle rosnącą na przedziale ( proksymowana funkcja unormowanej krzywej bbotta Firestone R ( x zależna jest od trzech niezależnych od siebie parametrów x oraz B ma niezwykle złożoną postać Niemożliwym jest jej analiza klasycznymi metodami rachunku różniczkowego Istnieje taki przedział ( x x < ( że ( x x [ x x ] oraz funkcja R(x jest wypukła na przedziale ( x x Oznacza to że funkcja R(x ma punkty przegięcia w przedziałach ( x oraz ( x o ile są to przedziały niepuste x x x oraz ma punkt Funkcja R(x jest wklęsła na pewnym przedziale ( ( ( przegięcia w punkcie x 6

9 LITERTUR [] bbott EJ; F Firestone: Specifying surface quality: a method based on accurate measurement and comparison Mechanical Engineering Vol [] Górecka R Polanski Z: Metrologia warstwy wierzchniej Warszawa WNT 985 r [3] Nowicki B: Struktura geometryczna Chropowatość i falistość powierzchni Warszawa WNT 99 r [] Oczoś KE Liubimov V : Struktura geometryczna powierzchni - podstawy klasyfikacji z atlasem charakterystycznych powierzchni kształtowanych Rzeszów Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 3 r [5] Pawlus P: Topografia powierzchni: pomiar analiza oddziaływanie Rzeszów Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 5 r [6] damczak S: Pomiary geometryczne powierzchni - Zarysy kształtu falistość i chropowatość Warszawa Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 8 r [7] Kragelskij IV Demkin NB: Opredelenie faktičeskoj ploščadi kasanija Trenie i iznos v mašinách Sbornik XIV Moskva Izd N SSSR 96 r [8] Solski P Ziemba S: Zużycie elementów maszyn spowodowane tarciem Biblioteka Mechaniki Stosowanej Warszawa PN-PWN 969 r [9] Johnson K L: Contact Mechanics Cambridge Cambridge University Press 985r [] Pawlus P: Struktura geometryczna powierzchni cylindrów podczas eksploatacji silnika spalinowego Rzeszów Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 999 r [] Michalski J Pawlus P: Description of the bearing length curve of the inner surface of piston engine cylinders Wear Vol 57 ( 7-99 [] Michalski J: Badania krzywej nośności profilu chropowatości powierzchni po obróbce ubytkowej Postępy Technologii Maszyn i Urządzeń Vol [3] Michalski J Pawlus P: Characterization of the shape of the roughness profile ordinate distribution of honed cylinder surfaces Wear Vol 6 ( [] Michalski J: Badania krzywej nośności chropowatości powierzchni cylindrów po gładzeniu Redakcja Wydawnictw Uczelnianych Politechniki Rzeszowskiej IX Konferencja Międzynarodowa Metody obliczeniowe i badawcze w rozwoju pojazdów samochodowych i maszyn roboczych samojezdnych Zarządzanie i marketing w motoryzacji Rzeszów [5] Prostrednik D Osanna PH: The bbott curie Well known In metrology but not on technical drawings International Journal Machine Tools and Manufacture Vol 38 ( [6] nderberg C Pawlus P Rosén B-G Thomas TR: lternative descriptions of roughness for cylinder liner production Journal of Materials Processing Technology Vol 9 ( [7] Schmähling J Hamprecht F: Generalizing the bbott-firestone curve by two new surface descriptors Wear Vol 6 ( [8] Pawlus P Graboń W: The method of truncation parameters measurement from material ratio curve Precision Engineering Vol 3 ( [9] Whitehouse DJ: ssessment of surface finish profiles produced by multi-process manufacture Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part B: Journal of Engineering Manufacture Vol 99 ( [] Whitehouse DJ: Handbook of surface metrology Bristol Institute of Physics Publishing 99 r STRESZCZENIE MICHLSKI Jacek naliza matematyczna istnienia jednego punktu przegięcia unormowanej krzywej udziału materiałowego bbotta Firestone / MICHLSKI Jacek // Wisnyk Narodowego Uniwersytetu Transportu К: NUT - 3 nalizowano aproksymowaną równaniem matematycznym unormowaną krzywą udziału materiałowego bbotta Firestone Proponowana funkcja R(x jest kombinacją wypukłą dwóch składowych funkcji f (x oraz f (x z odpowiednimi wagami ich wpływu Określono analitycznie przedziały wypukłości i wklęsłości Główną uwagę zwrócono na analityczne udowodnienie istnienia jednego punktu przegięcia proponowanej postaci matematycznej R(x SŁOW KLUCZOWE: UNORMOWN KRZYW UDZIŁU MTERIŁOWEGO R(x BBOTT FIRESTONE PROKSYMCJ PUNKT PRZEGIĘCI WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ WŁŚCIWOŚCI FUNKCJI SKŁDOWYCH f (x I f (x 63

10 РЕФЕРАТ МІХАЛЬСКІ Яцек Математичний аналіз існування однієї точки перегину нормованої кривої Ебботта Фаєрстоуна (графічної характеристики шорсткості / МІХАЛЬСКІ Яцек // Вісник Національного транспортного університету К : НТУ - Вип 3 Проаналізовано апроксимовану математичним рівнянням нормовану криву Ебботта Фаєрстоуна Запропонована функція R(x є опуклою комбінацією двох складових функцій f (x і f (x з відповідними вагами впливу Аналітично визначені інтервали опуклості і увігнутості Основна увага приділяється аналітичним доказам існування єдиної точки перегину пропонованої математичної форми R(x КЛЮЧОВІ СЛОВА: НОРМОВАНА КРИВА ЕББОТА ФАЄРСТОУНА АПРОКСИМАЦІЯ ТОЧКА ПЕРЕГИНУ ОПУКЛІСТЬ І УВІГНУТІСТЬ ВЛАСТИВОСТІ СКЛАДОВИХ ФУНКЦІЙ f (x І f (x SUMMRY MICHLSKI Jacek Mathematical analysis of the existence of one curve inflection point norms for participation bearing area curve of bbott-firestone / MICHLSKI Jacek // Visnyk of the National Transport University - K: NTU 3 We analysed a mathematical equation approximated normalized bearing area curve bbott- Firestone The proposed feature R(x is a convex combination of the two components of the function f (x and f (x with the respective weights of impact nalytically determined intervals protrusions and depressions The main attention was paid to the analysis to prove the existence of a single point of inflection of the proposed mathematical form R(x KEY WORDS: NORMLIZED BERING RE CURVE BBOTT-FIRESTONE PPROXIMTION N INFLECTION POINT CONVEXITY ND CONCVITY PROPERTIES OF THE COMPONENT FUNCTIONS f (x ND f (x UTOR: MICHLSKI Jacek Dr inż Politechnika Rzeszowska Katedra Silników Spalinowych i Transportu l Powstańców Warszawy tel: Rzeszów Polska АВТОР: МІХАЛЬСКІ Яцек доктор інженер Жешовська Політехніка Кафедра двигунів внутрішнього згоряння і транспорту Бульвар Повстанців Варшави tel: Жешув Польща UTHOR: MICHLSKI Jacek PhD Rzeszow University of Technology Department of Internal Combustion Engines and Transport Warsaw Insurgents Boulevard tel: Rzeszow Poland РЕЦЕНЗЕНТИ: ЛЕЙДА Казімеж доктор габілітований професор Жешовська Політехніка завідувач кафедри двигунів внутрішнього згорання і транспорту Жешув Польща Левківський ОП доктор технічних наук професор Національний Транспортний Університет професор кафедри виробництва ремонту та матеріалознавства Київ Україна REVIEWERS: LEJD Kazimierz Doctor of Sciences Professor Rzeszow Polytechnic Head of Department of Internal Combustion Engines and Transport Rzeszow Poland Levkivskyi OP Doctor of Sciences Professor National Transport University Professor of Department of Manufacturing Repair and Materials Engineering Kyiv Ukraine 6