Rys. 1. Powstawanie napięcia Halla V H schemat.

Transkrypt

1 Wprowadzenie Zjawisko alla został odkrte w 1879 przez amerkaoskiego fizka Edwina alla podczas prac nad doktoratem. Polega ono na powstawaniu napięcia (różnic potencjałów elektrcznch) w przewodniku, w którm płnie prąd, a któr jest umieszczon w polu magtcznm (waż jest ab pole magtcz nie bło równoległe do kierunku przepłwu prądu) Rs. 1. Napięcie to zależ od natężenia prądu przepłwającego przez przewodnik (lub półprzewodnik) oraz od wartości zewnętrzgo pola magtczgo. Zjawisko to jest wkorzstwa w wielu dziedzinach nauki i techniki. Np. w przemśle motorzacjnm często stosuje się tzw. czujniki hallotronowe jako czujniki prędkości obrotowej i położenia wału korbowego lub wałka rozrządu, jako czujniki przspieszenia cz czujniki wchlenia kątowego. W dawniejszch rozwiązaniach układów zapłonowch efekt alla bł wkorzstwan jako element nadajnika impulsów zapłonowch (zastępował w tej roli wcześniej użwa mechanicz rozdzielacze zapłonu). B F = e (v B) Rs. 1. Powstawanie napięcia alla V schemat. Teoria Jakościowe wjaśnienie klasczgo zjawiska alla opiera się na obserwacji, że prąd elektrczn I jest uporządkowanm ruchem nośników ładunku. W metalu są to elektron. Jeżeli przewodnik jest umieszczon w polu magtcznm B prostopadłm do kierunku przepłwu prądu I, to na poruszające się elektron działa siła Lorentza prostopadła do prędkości elektronów (a więc także do prądu) oraz do pola magtczgo. Powoduje ona zatem odchlanie strumienia elektronów w jedną stronę przewodnika powodując tam nadmiar ładunku ujemgo, a po przeciwj stronie nadmiar ładunku dodatniego. W efekcie tego rozdzielenia pojawia się pole elektrcz w kierunku prostopadłm do pola magtczgo i prądu. Poniżej jest bardziej szczegółow opis.

2 Opis przbliżon zjawiska alla Jak wiadomo, na ładuk q poruszając się z prędkością w obszarze gdzie wstępuje pole magtcz B działa siła Lorentza F q B. (1) Z tego wzoru wnika m.in. że siła Lorentza jest prostopadła do i B. Wrażenie na siłę we wzorze (1) upraszcza się gd, wektor prędkości i indukcji pola magtczgo są prostopadłe, B. Mam wted wartośd sił F q B. (2) Jak już wspomniano, w przewodniku (lub półprzewodniku), w którm płnie prąd I poruszają się ładunki. Jeżeli taki przewodnik umieścim w zewnętrznm polu magtcznm, najlepiej prostopadłm do odcinka przewodnika, to na poruszające się w nim elektron będzie działad siła o wartości (2) powodująca odchlenie ładunków w jedną stronę przewodnika. Zatem po jedj stronie będzie np. nadmiar elektronów, a po drugiej ich niedobór. Powstaje więc rozdzielenie ładunku powodujące pojawienie się pola elektrczgo E o kierunku prostopadłm do przewodnika (jak się dalej okaże jest to stwierdzenie przbliżo). Pole to oczwiście wtwarza napięcie V (tzw. napięcie alla). Jeżeli przjąd przbliżenie, że pole E jest stałe, a szerokośd przewodnika wnosi L, to otrzmujem (por. Rs. 1) V E L. (3) Wartośd pola E można oszacowad przjmując, że siła (2) zrównuje się z siłą elektrczną pochodzącą od pola elektrczgo, qe q B, zatem qe E B, V BL. (4) Możem teraz wrazid napięcie alla prz pomoc natężenia prądu I. W tm celu załóżm, że przekrój przewodnika jest prostokątem o szerokości L i wsokości d. Wted mam I ( )( Ld), gdzie n jest gęstością nośników ładunku (np. elektronów) w liczbach ładunków elementarnch na objętośd oraz e wartością bezwzględną ładunku elektronu. Stąd mam I / ( Ld ) co po wstawieniu do (4) daje V IB. (5) d Jak widad napięcie alla jest proporcjonal do natężenia prądu i do pola magtczgo, a odwrotnie proporcjonal do wsokości d (grubośd płtki). Zależnośd ta wjaśnia także dlaczego waż jest ab podstawow element czujnika alla bł w postaci cienkiej płtki (małe d powoduje, że napięcie V staje

3 się wstarczająco duże). W praktce taki przewodnik uzskuje się np. naplając na podłoże z izolatora (szkło, polimer) warstwę metalu lub półprzewodnika. 1 Wzór (5) został wprowadzon prz pewnch założeniach i jest przbliżon ale jakościowo dobrze opisuje zjawisko. Przede wszstkim złożono, że pole elektrcz jest stałe i prostopadłe do kierunku przepłwu prądu. Mimo wszstko w standardowch warunkach wzór ten daje dobre rezultat. Dokładn opis i sformułowanie problemu w 2D W celu dokładgo opisu zjawiska alla wkorzstam następując model. Cienka prostokątna metalowa płtka leż na płaszczźnie XY Rs. 2. Górna krawędź ma przłożon potencjał V 0 i leż na prostej, a dolna ma potencjał V0 i leż na prostej. Ta różnica potencjałów powoduje przepłw prądu w kierunku OY. Płtka jest umieszczona w polu magtcznm B [0, 0, B0 ], czli linie pola magtczgo są prostopadłe do płaszczzn XY. Naszm zadaniem jest teraz wznaczenie rozkładu potencjał w płtce, V (, ). Znajomośd pola potencjału da nam w szczególności różnicę potencjałów pomiędz krawędziami pionowmi (czli napięcie alla). Z elektrodnamiki wiadomo, że potencjał w przewodniku metalicznm, w którm płnie stacjonarn prąd musi spełniad równanie Laplace a: 0. (6) Warunki brzegowe na górj i dolj krawędzi są oczwiste (wnikają z przłożogo napięcia): V(, ), V(, ) V. (7) W orginalnm ekspermencie przeprowadzonm przez alla w Johns opkins Universit bła to cienka folia ze złota przmocowana do szklaj płtki. Poprzednie eksperment wkonwa przez prof. Rowlanda (któr bł promotorem alla) zakooczł się niepowodzeniem (nie można bło wkrd powstającego napięcia), gdż przewodnik bł zbt grub.

4 Rs. 2. Geometria i warunki do sformułowania problemu wznaczenia napiecia alla. Ab można bło rozwiązad problem musim jeszcze ustalid popraw warunki brzegowe na krawędziach pionowch (dla 0 oraz L). Podstawowm faktem, któr zostanie wkorzstan jest obserwacja, że żad ładunki nie opuszczają i nie wchodzą do próbki przez te krawędzie! Gd nie wstępuje pole magtcz, to prawo Ohma dla materiału jednorodgo o przewodności właściwej ma postad J E, (8) gdzie J jest gęstością prądu wwołaną polem elektrcznm E. Gd dodatkowo działa pole magtcz B, to oprócz sił elektrczj (Coulomba) działa jeszcze siła magtczna (Lorentza) na jednostkę ładunku, B (por. (1)). Gęstośd prądu jest powiązana z prędkością drftu ładunków następująco, 1 J, zatem dodatkowa siła wnosi J B. Uwzględniają tę siłę w zależności konsttutwj ośrodka izotropowego i jednorodgo, równanie (8) przjmie postad J E J B. (9) Ponieważ zakładam przepłw prądu 2D (płtka jest bardzo cienka), tzn. nie uwzględniam składowch z, więc J [ J, J, 0], E [ E, E,0]. Równanie (9) po wkonaniu operacji ilocznu wektorowego rozpisa na składowe przjmuje postad: B0 B0 E J J 0, E J J 0. (10)

5 Z powższch równao wliczam: J E E E E,. 1 ( ) 1 ( ) B0 B0 J B0 2 B0 2 (11) Teraz możem sformułowad matematcznie waruk brzegow na lewej i prawej krawędzi: składowa strumienia w kierunku OX ( poziomm ) jest równa zero, J (0, ) 0, J ( L, ) 0 dla 0. (12) Wkorzstując równości (11) i (12) warunki wrazim następująco B0 B0 (0, ) (0, ), (, ) (, ). E E E L E L (13) Ponieważ problem jest sformułowan w jęzku potencjału elektrczgo (por. (6), (7)), więc warunki (13) też chcem wrazid prz pomoc potencjału. Wstarcz tlko przpomnied, że w warunkach stacjonarnch zależnośd pomiędz polem elektrcznm a potencjałem elektrcznm jest następująca, E, czli rozpisując na składowe: E, E. Podsumowując mam do rozwiązania następując problem: Dziedzina: (, ) [0, L] [, ], Równanie : 0 dla (, ), Warunki brzegowe : V (, ), V (, ), 0 0 B0 B0 (0, ) (0, ), ( L, ) ( L, ). (14) Przkładowa implementacja w COMSOLu B Z modelu matematczgo (14) widad, że jednm z parametrów układu jest wartośd 0. Dlatego w B COMSOLu będziem posługiwad się wartością 0. Dla dago metalu wielkości i n są da i stałe (zakładam, że układ jest w ustaloj temperaturze). Ładuk elektronu jest także stał, więc współcznnik opisuje wpłw pola magtczgo B, 0 do którego jest proporcjonaln. Warunki brzegowe mają więc postad (0, ) (0, ), ( L, ) ( L, ). (15) Najtrudniejszą kwestią w realizacji w COMSOLu bedzie właśnie wprowadzenie tego warunku. W tm celu będzie wkorzstan dla pionowch krawędzi waruk tpu Flu/Source.

6 1. Uruchamiam program COMSOL i wbieram Model Wizard. 2. W oknie Select Space Dimension wbieram 2D. 3. W oknie Select Phsics rozwijam: u Mathematics Laplace Equation (lpeq), a następnie klikam Add. 4. W oknie Review Phsics Interface w polu Dependent Variable wpisujem V.

7 5. Dalej kilkam Stud i wbieram Stationar, a potem Do. 6. W głównm oknie program wbieram Parameters. 7. W oknie Settings dla Parameters wpisujem wartości jak poniżej: 8. Wbieram w menu głównm wbieram Geometr, dalej w sekcji Primitives wbieram Rectangle. 9. Definujem prostokąt: Width=L, eight=2*. W sekcji Base: =0, =-. Na koocu klikamu Build All Objects. 10. Wbierając w drzewie projektu Laplace Equation przekonujem się, że jest tam już równanie Laplace a w formie: ( ) 0, co jest oczwiście równoważ 0. Nic nie musim robid! 11. Ab zdefiniowad warunki brzegowe wbieram w menu głównm Phsics Boundaries Dirichlet Boundar Condition.

8 12.W oknie projektu (po lewej stronie) powinniśm otrzmad węzeł Dirichlet Boundar Condition 1. Natomiast sekcja Settings jest pusta. Dlatego klikam w oknie Graphics (po prawej stronie) górną krawędź prostokąta. Tu klikam 13. W dolj części okna Settings w polu Prescribed value of V wpisujem V0: 14. Wkonujem jeszcze raz takie same kroki (menu głów Phsics Boundaries Dirichlet Boundar Condition), ale tm razem wbieram w oknie Graphics dolną krawędź i wartośd dla Prescribed value of V równą V Teraz definujem warunki brzegowe na krawędzich pionowch (lewej i prawej). Tm razem jako tp warunku brzegowego musim wbrad Flu/Source. Po wbraniu warunku brzegowego i kliknięciu lewej krawędzi w oknie Graphics rozwijam pole Boundar Absorption/Impedence Term.

9 Chcem zdefiniowad waruk brzegow dla 0, czli na podstawie (15): (0, ) (0, ). Ab to uzskad to wrażenie w oparciu o to co daje nam tu COMSOL, czli n ( ) g qv (taka postad warunku brzegowego widnieje pod polem Show equation assuming, powinniśm wpisad: oraz q 0. Mam więc po uzupełnieniu pól: g lam* V 16. Podobnie definiujem waruk brzegow na prawej krawędzi. Tm razem jest waruk dla L, czli ( L, ) ( L, ). Tm razem będzie bardzo podobnie, ale ze wzgledu na inn kieruk wektora noramlgo nie bedzie minusa. Zatem: g lam* V, q Definujem siatkę. Klikam więc w drzewie projektu Mesh, a następnie w oknie Settings jako Element size wbieram Etra fi. 18. Teraz klikam w drzewie projektu węzeł Stud, a następnie Compute. Po chwili obliczenia się zkoocza, a program sam wgeruje standardow wkres:

10 Przedstawion jest na nim potencjał V (, ). Jak widzim linie stałego potencjału (linie ekwipotencjal) nie są równoległe do poziomch krawędzi! Możem się też łatwo przekonad co się stanie, gd nie będzie B pola magtczgo. Ponieważ 0, wiec brak tego pola oznacza, że 0. Wpisujem zatem w oknie Parameters lam=0 i uruchamiam obliczenia. Otrzmam następując wnik: Widad, że linie ekwipotencjal są równoległe do krawędzi poziomch. Zadanie. Wkonad wkres: (a) potencjał w formie powierzchni; (b) kontur linii ekwipotencjalnch (stałego potencjału); (c) wkres linii sił pole elektrczgo, czli E [ /, / ]; (d) wkres ilustrując linie przepłwu prądu (patrz równanie (9) i (10) (należ wliczd J oraz J ).