Po odkrojeniu zewnêtrznych czêœci ze œcian szeœcianu pozostaj¹ oœmiok¹ty. Boki takiego oœmiok¹ta s¹ parami równoleg³e, a wszystkie k¹ty s¹ równe. Czy

Transkrypt

1 W krainie wieloœcianów WYCIECZKA 1. OD SZEŒCIANU DO OŒMIOŒCIANU n JAN BARANOWSKI Zamierzam przedstawiæ ró ne bardziej i mniej znane wieloœciany i relacje miêdzy nimi. Nie wszystkie zwi¹zki wydaj¹ siê oczywiste, za to niektóre s¹ wrêcz zaskakuj¹ce. Jesteœmy otoczeni prostopad³oœcianami ³atwo ³¹czyæ prostok¹ty, ³atwo do zwyk³ego pokoju wstawiæ meble pasuj¹ce do poziomych pod³óg, pionowych œcian i do siebie wzajemnie. Nieœwiadomie spor¹ czêœæ przestrzeni wokó³ nas postrzegamy, jakby by³a zbudowana z prostopad³oœcianów. Doœæ sugestywnie przyczynia siê do tego opisywanie przestrzeni we wspó³rzêdnych kartezjañskich. Postanowi³em zatem zacz¹æ od szeœcianu (rys. 1), chocia (wbrew przypuszczeniom niektórych) nie jest bry³¹ najprostsz¹. Jest tylko najbardziej opatrzon¹. Czy aby najlepiej znan¹? Bêdziemy z szeœcianu wykrawaæ inne bry³y. Zastanówmy siê, jak mo na szeœcian przeci¹æ p³aszczyznami, jakiego kszta³tu figury zobaczymy w przekrojach. Czy wszystkie efekty s¹ do przewidzenia? Na niektóre w³asnoœci i relacje zwracam uwagê, zadaj¹c pytania. Czytelnik sam znajdzie na nie odpowiedzi, a byæ mo e zada je póÿniej swoim uczniom. Kiedy przygl¹damy siê przekrojom, du o zale y od po³o enia p³aszczyzny ciêcia. Równoleg³e przesuniêcie p³aszczyzny ciêcia czasem istotnie wp³ywa na kszta³t przekroju, czasem nie. Bêdziemy odcinaæ od szeœcianu po kilka przystaj¹cych czêœci. Pamiêtajmy jednak o zachowaniu pewnej symetrii. Cechy symetrii bry³, które wytniemy z wnêtrza szeœcianu, mo na opisywaæ bardzo dok³adnie, ale najpierw trzeba te bry³y poznaæ. Zajmiemy siê p³aszczyznami prostopad³ymi do przek¹tnych szeœcianu. Na rysunku 2 widaæ przyk³adowe p³aszczyzny, na razie jeszcze nieodcinaj¹ce nic z bry³y, przechodz¹ce przez wierzcho³ki szeœcianu. rys. 1 Wieloœciany s¹ tak interesuj¹ce, e czêsto o nich piszemy. Warto tu wspomnieæ np. piêæ czêœci Gawêdy dla wnuczki M. Karpiñca ( Matematyka 5 9/2012). 34 matematyka

2 Po odkrojeniu zewnêtrznych czêœci ze œcian szeœcianu pozostaj¹ oœmiok¹ty. Boki takiego oœmiok¹ta s¹ parami równoleg³e, a wszystkie k¹ty s¹ równe. Czy mo e siê zdarzyæ, e te oœmiok¹ty bêd¹ foremne? rys. 2 Takich p³aszczyzn jest oczywiœcie osiem, pokazanie wszystkich na jednym rysunku spowodowa³oby raczej chaos. Przesuñmy teraz równolegle wszystkie p³aszczyzny nieco do œrodka szeœcianu, tak by ich odleg³oœæ od œrodka by³a taka sama. Ka da z p³aszczyzn tworzy przekrój trójk¹t równoboczny. Zobaczmy kilka takich trójk¹tów. rys. 5 rys. 6 Kiedy wszystkie boki oœmiok¹tów s¹ równe, p³aszczyzny wykrawaj¹ z szeœcianu bry³ê o wszystkich œcianach foremnych szeœciu oœmiok¹tach i oœmiu trójk¹tach. Jest to bry³a archimedesowa 1 o nazwie szeœcian œciêty. rys. 3 rys. 4 1 Bry³a archimedesowa (wieloœcian pó³foremny) wieloœcian o wszystkich œcianach foremnych i przystaj¹cych wierzcho³kach. Uznaje siê, e s¹ to: nieskoñczony ci¹g foremnoœciennych graniastos³upów prostych, nieskoñczony ci¹g foremnoœciennych graniastos³upów skrêconych (czasem nazywanych antygraniastos³upami, lecz jest to niezrêczna kalka z jêzyków obcych, polska terminologia geometryczna jest odrêbna i niewiele nazw importujemy) i 13 wieloœcianów, które powstaj¹ przez poœcinanie fragmentów bry³ platoñskich. Temat wart osobnego artyku³u choæby dlatego, e powy - sze dwa zdania roj¹ siê od uproszczeñ, a wokó³ nich mo na ciekawie podyskutowaæ. 4/

3 rys. 7 rys. 10 Bry³a o szeœciu kwadratowych i oœmiu trójk¹tnych œcianach jest te archimedesowa i nazywa siê szeœcio-oœmioœcian 2. rys. 8 Nie koñczymy obserwacji p³aszczyzn przesuwaj¹cych siê stopniowo ku œrodkowi wyjœciowego szeœcianu. Oœmiok¹ty na dawnych œcianach kurcz¹ siê, trójk¹ty stanowi¹ce przekroje rosn¹. Wierzcho³ki tych trójk¹tów wêdruj¹ po dawnych krawêdziach. Co siê dzieje, kiedy te wierzcho³ki osi¹gn¹ œrodki krawêdzi szeœcianu? Tu, na ka dej krawêdzi szeœcianu, spotykaj¹ siê w jednym punkcie dwa wierzcho³ki trójk¹tnych œcian nowej bry³y. Zatem te dwa trójk¹ty maj¹ wspólny wierzcho³ek. Znik³ istniej¹cy jeszcze przed chwil¹ odcinek bêd¹cy bokiem s¹siednich oœmiok¹tów. Na œcianach dawnego szeœcianu, w miejsce oœmiok¹tów, s¹ teraz kwadraty. Zobaczmy kilka p³aszczyzn i kilka przekrojów. rys. 11 rys. 12 Nazwa ³¹cz¹ca w sobie dwie szeœcian i oœmioœcian nie jest przypadkowa i mo na j¹ wi¹zaæ z ró nymi cechami tego wieloœcianu pó³foremnego. Poprzestañmy na razie na liczbie œcian ka dego rodzaju... P³aszczyzny przekroju przesuwamy wci¹ do œrodka szeœcianu. Kwadraty rys. 9 2 Wskazanie bry³y, która ma jako œciany szeœæ kwadratów i osiem trójk¹tów, nie jest doœæ jednoznaczne. Konieczne jest tu dodanie warunku przystawania wierzcho³ków. 36 matematyka

4 zmniejszaj¹ siê, trójk¹ty zachodz¹c na siebie wzajemnie zmieniaj¹ siê w szeœciok¹ty. Szeœciok¹ty maj¹ pary boków równoleg³ych, k¹ty wszystkie równe. Zatrzymajmy siê, kiedy wszystkie boki szeœciok¹tów bêd¹ równe. rys. 15 rys. 13 rys. 14 Wyciêta z szeœcianu bry³a jest archimedesowa w przystaj¹cych wierzcho³kach spotykaj¹ siê wielok¹ty foremne: osiem szeœciok¹tów i szeœæ kwadratów. Mo emy sobie tê bry³ê wyobraziæ jako oœmioœcian foremny z poobcinanymi rogami. To jest w³aœnie oœmioœcian œciêty. Na pierwszy rzut oka wydaje siê ma³o interesuj¹ca, a jednak... Wieloma przystaj¹cymi egzemplarzami oœmioœcianu œciêtego mo na wype³niæ przestrzeñ, w dodatku jako wype³niacz przestrzeni s¹ bardzo oszczêdne gdyby to zrobiæ z materialnych œcianek, to na ich wyrób posz³oby stosunkowo ma³o surowca. Bry³a o rekordowo ma³ej powierzchni wype³niaj¹ca przestrzeñ, niemaj¹ca p³askich œcian, jest ³udz¹co podobna do oœmioœcianu œciêtego. My jednak tutaj zajmujemy siê tylko bry³ami o p³askich œcianach. rys. 16 Przesuwaj¹ce siê p³aszczyzny uszczuplaj¹ dalej kwadraty, szeœciok¹ty ulegaj¹ deformacji. Wreszcie kwadraty nikn¹, zamieniaj¹c siê w wierzcho³ki kolejnej bry- ³y, ta zaœ ma œciany trójk¹tne. Osiem œcian trójk¹tnych, foremnych, zbiegaj¹cych siê w szeœciu wierzcho³kach to oœmioœcian foremny. Poniewa zaczynaliœmy od szeœcianu le ¹cego w pozycji, w jakiej przywykliœmy go ogl¹daæ, oœmioœcian wpisany weñ jest postawiony na sztorc. Jego wierzcho³ki s¹ œrodkami œcian szeœcianu. rys. 17 rys. 18 4/

5 Oœmioœcian bêd¹cy w tym po³o eniu widzimy zapewne szybciej jako sklejone podstawami dwa ostros³upy prawid³owe czworok¹tne. Gdyby le a³ na œcianie, widzielibyœmy raczej graniastos³up skrêcony trójk¹tny. rys. 19 rys. 20 Przeszliœmy zatem drogê od szeœcianu do oœmioœcianu. W ten sposób mo na te przejœæ od oœmioœcianu do szeœcianu. Obcinaj¹c rogi oœmioœcianu foremnego, otrzymujemy oœmioœcian œciêty, tn¹c g³êbiej, ods³aniamy szeœcio-oœmioœcian, id¹c dalej szeœcian œciêty i wreszcie szeœcian. A wierzcho³ki tego szeœcianu to œrodki œcian oœmioœcianu. Ten zwi¹zek miêdzy szeœcianem i oœmioœcianem (wzajemnie œrodki œcian jako wierzcho³ki, bry³a poœrednia szeœciooœmioœcian) wynika z ich dualnoœci. Ale o tym kiedy indziej. Na razie mo e warto jeszcze policzyæ wierzcho³ki jednej i drugiej bry³y, ich krawêdzie i ich œciany. Rysunki wyeksportowa³em z programu Google SketchUp, w którym najpierw konstruowa³em modele. Te i wiele innych modeli oraz krótki opis programu mo na znaleÿæ na stronie Po zainstalowaniu darmowego programu SketchUp mo na z tej strony pobraæ modele (pliki w formacie.skp), ogl¹daæ je na monitorze lub tablicy interaktywnej jako obiekty przestrzenne, badaæ ich w³asnoœci, modyfikowaæ. q JAN BARANOWSKI redaktor w Oficynie Edukacyjnej * Krzysztof Pazdro ZBIORY MIEJSC ZEROWYCH Niech a bêdzie ustalon¹ liczb¹ rzeczywist¹ ró n¹ od 0. Wykazaæ, e dla ka dego zbioru A zawartego w zbiorze liczb rzeczywistych, do którego nie nale y adna z liczb a oraz -a, istnieje funkcja f : R R która nie ma miejsc zerowych i taka, e zbiorem miejsc zerowych funkcji g(x) = f (x) + f (f (x)) jest zbiór A. Rozwi¹zanie: ÅD GOD [ ]H ]ELRUX $ Rozwa my funkcjê I [ = - D GOD [ = D F GOD SR]RVWDá\FK [ gdzie c jest liczb¹ ró n¹ od 0, od a oraz od -a. Zbiorem miejsc zerowych funkcji g(x) jest zbiór A. Pytanie do Czytelników. Czy dla ka dego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych istnieje funkcja f (x) spe³niaj¹ca warunki zadania? nades³a³ Micha³ Kremzer 38 matematyka