Elementarne reguły linearyzacji

Transkrypt

1 Elementarne reguły linearyzacji lub Z X Y = z x y + = Z X Y / = z x y = Z X Y + = z Z x X y Y + = z S x S y Z X + = Z X Y = z Z x X y Y = ( - stała) ( - stała) Z X Y = z Z x X y Y = α X Y = α X Y = α α x y = x y = α

2 Wolumeny, ceny, wartości X wolumen ( ilość, wielkość realna, wartość wyrażona w cenach stałych). P cena V wartość (w dla procentowych przyrostów) Tożsamość na poziomach : V = XP Tożsamość na procentowych przyrostach : w = x+p W modelu CGE zmiany wartości (np. popytu, produkcji, nakładów pracy) dekomponowane są na zmianę wolumenu i ceny.

3 Zmiana kosztów pracy: Przykład 1 w1lab(i) = x1lab(i) + p1lab Z powyższego równania wynika, że np. jeśli zatrudnienie w sektorze AgricMining wzrasta o 1%, a płaca w gospodarce o 2%, wówczas koszty pracy w sektorze AgricMining wzrastają (w przybliżeniu) o 3%. UWAGA w modelu MINIMAL w większości pomijane są zmienne wyrażające wartości (bo pod względem ekonomicznym wolumeny i ceny bardziej interesujące).

4 Zmiany cen i wolumenów dla agregatów Przykłady zmian cen kategorii zagregowanych: ceny dóbr konsumpcyjnych wzrosły średnio o 3%, ceny (produktów wchodzących w skład) eksportu spadły o 5%, rentowność kapitału w gospodarce zwiększyła się przeciętnie o 1% itp. Przykłady zmian wolumenów kategorii zagregowanych: całkowita realna konsumpcja wzrasta o 4%, realny PKB zwiększył się o 2%, wolumen inwestycji (w całej gospodarce) zmniejszył się o 7% itp.

5 Wyznaczanie agregatowych zmian cen i wolumenów i i X i P P X = ) ( ) ( i i i i i p x P X p x P X + = + ) ( ) ( i i i i p x V p x V + = + i i V i x x V = i i V i p p V = i i S i x x = i i S i p p = lub gdzie S i udziały składników w wartości agregatu

6 Przykład 2 W koszyku dóbr konsumpcyjnych mamy 5 jabłek po 2 zł i 3 pomarańcze po 5 zł: a) Zakładając, że ceny są stałe, ilość jabłek wzrasta o 1 i ilość pomarańczy wzrasta o 1, o ile procent zmienia się łączna realna konsumpcja owoców (odpowiedz na podstawie równania zlinearyzowanego)? b) Zakładając, że ilości są stałe, cena jabłek wzrasta o 3%, a cena pomarańczy zmniejsza się o 4%, o ile procent zmienia się cena koszyka konsumpcji (in.: o ile średnio zmieniają się ceny owoców)?

7 Przykład 3 Dane 2005 (nominalne): konsumpcja 100, akumulacja 30, eksport 50, import 60. Dane 2010 (nominalne): konsumpcja 130, akumulacja 45, eksport 50, import 70. Zmiany wolumenu w okresie konsumpcji 20%; akumulacji 50%; eksportu 10%; importu: 15%. O ile procent zmienia się realny PKB?

8 CGE vs. I-O W modelu MINIMAL m.in.: mechanizm substytucji dóbr krajowych i importowanych, mechanizm substytucji kapitału i pracy, konsumpcja gospodarstw domowych zależna od dochodów i cen, eksport zależny od relacji cen krajowych/światowych, stawki podatków w postaci zwykłych (tj. nie procentowych) przyrostów, więcej zmiennych zagregowanych, więcej współczynników, reprezentujących wielkości użyteczne w interpretacjach.

9 Model 1 Model 2 Model 3 MINIMAL (IO) (IO) (CGE) (CGE)

10 Model 3 vs. 2 Model 2 Powiązania międzygałęziowe Produkcja Ceny Model 3 Powiązania międzygałęziowe Produkcja Ceny Popyt finalny egzogeniczny Popyt na kapitał i pracę proporcjonalny do produkcji Konsumpcja zależna od cen i dochodu Substytucja kapitału i pracy pod wpływem zmian cen Nieograniczona podaż Ograniczone zasoby kapitału w krótkim okresie => ograniczona podaż

11 Dane USE 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja 4 Inwestycje Total 1 Wyroby Uslugi FACTOR 1 Wyroby 2 Uslugi 1 Praca Kapital 3 2

12 Wzrost popytu inwestycyjnego na usługi o 20%. Wyniki makro Description Macros io cge Laczne naklady pracy (zatrudnienie) employ Deflator (indeks cen) PKB od strony popytu p0gdpexp Srednia rentownosc kapitalu p1captot Stawka placy p1lab Srednie ceny inwestycje p2tot Srednie ceny towarow i uslug konsumpcyjnych p3tot Realna placa realwage Nominalny PKB od strony popytu w0gdpexp Nominalny PKB od strony dochodow w0gdpinc Konsumpcja nominalna w3tot Realny PKB od strony popytu x0gdpexp Naklady kapitalu x1captot Inwestycje x2tot Konsumpcja realna x3tot

13 Wyniki makro Wzrost PKB [io] 16x większy niż [cge] Powodem brak ograniczeń podażowych [io], nakł. K i L rosną stosownie do popytu W [cge] nakłady K stałe, więc wzrostowi I towarzyszy spadek C Stała realna płaca dodatkowo ogranicza w [cge] wzrost nakładów pracy (i produkcji); popyt na pracę wzrósłby przy niższej płacy

14 Dekompozycja PKB

15 Wyniki popyt, produkcja io x 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsump4 Inwestycj 1 Wyroby Uslugi cge x 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsump4 Inwestycj 1 Wyroby Uslugi x1tot io cge 1 Wyroby Uslugi

16 Dekompozycja popytu S 1 Wyroby 2 Uslugi 3 Konsumpcja 4 Inwestycje Total 1 Wyroby Uslugi

17 Konsumpcja (all,i,ind) x(i,"konsumpcja") = w3tot - p(i);

18 Wyniki praca, kapitał, produkcja x1lab io cge x1cap io cge 1 Wyroby Wyroby Uslugi Uslugi x1prim io cge x1tot io cge 1 Wyroby Wyroby Uslugi Uslugi

19 Praca, kapitał (all,i,ind) x1prim(i) = x1tot(i); (all,i,ind) x1lab(i) = x1prim(i) + SCAP(i)*(p1cap(i) - p1lab); (all,i,ind) x1cap(i) = x1prim(i) + SLAB(i)*(p1lab - p1cap(i)); skąd można wyprowadzić: x1prim(i) = SLAB(i)*x1lab(i) + SCAP(i)*x1cap(i) a przy x1cap(i)=0 [krótki okres]: x1prim(i) = SLAB(i)*x1lab(i) p1cap(i) = x1lab(i) + p1lab

20 Mechanizmy ujęte w modelu CGE przykład wzrostu popytu cena gałąź A cena gałąź B S S D 1 D 1 D 0 D 0 produkcja produkcja Na skutek szoku zmieniają się poziomy produkcji i cen. Efekty zależą od elastyczności podaży / popytu.

21 Wyniki ceny p io cge 1 Wyroby Uslugi p1cap io cge 1 Wyroby Uslugi

22 Dekompozycja cen S-koszty 1 Wyroby 2 Uslugi 1 Wyroby Uslugi Praca Kapital Total 1 1

23 MINIMAL vs. Model 3 W modelu MINIMAL dodatkowo: Substytucja dóbr krajowych i importowanych (Armington) Substytucja kapitału i pracy bazująca na funkcji CES Eksport zależny od relacji cen krajowych/światowych, Stawki podatków (w postaci zwykłych, tj. nie procentowych, przyrostów)

24 Funkcja produkcji CES CES constant elasticity of substitution. Q [ ] ρ ρ ρ δ 1/ (1 δ K + ) = β L Można sprawdzić, że tego typu funkcja charakteryzuje się stałą elastycznością substytucji σ = 1/(1 + ρ)

25 Funkcja produkcji CES szczególne przypadki Im większa wartość σ tym łatwiejsza zastępowalność czynników produkcji. σ = 0: funkcja produkcji Leontiefa. σ = 1: funkcja produkcji Cobba-Douglasa. σ : doskonale substytucyjne czynniki produkcji.

26 Minimalizacja kosztów K i L Problem decyzyjny minimalizacja kosztów przy danym poziomie produkcji i technologii opisanej funkcją CES: przy warunku min Y K, L K P K + L P [ ] ρ ρ 1/ ρ δ K + (1 δ ) = β L L Produkcja i ceny czynników są ustalone

27 Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów K i L: równania dla % przyrostów Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów równania popytu na K i L: k l = y σ ( p p) K y ( p p) = σ p = S p + K K L S L p L Interpretacja elastyczności substytucji np. jeśli stawka płacy (p L ) wzrośnie o 1% w stosunku do średniej ceny pierwotnych czynników produkcji (p), to popyt na pracę spadnie o σ %.

28 Substytucja K/L przykład liczbowy Załóżmy np. y=7, p K =0, p L =5, S K =0,4; S L =0,6; elastyczność substytucji=0,5. p k l = 0,40 + 0,6 5 = 3 = 7 0,5 = ( 0 3) = 7 + 1,5 8, 5 ( 5 3) = = 7 0,5 = wzrost nakładów czynników spowodowany wzrostem produkcji: 7%; efekt substytucyjny : +1,5% / 1%.

29 Substytucja K/L inna postać Odejmując stronami równania: ( ) k = y σ p K p l = y σ ( p p) L otrzymujemy: k l = σ ( p ) L p K Interpretacja: jeśli relacja cen PL/PK wzrośnie o 1%, to relacja nakładów K/L wzrośnie o σ %.

30 Elastyczność substytucji σ σ wzgledny przyrost ( K / L) wzgledny przyrost ( P L / P K ) d( K / L) K d( P P L L / L / P / P K K )

31 Zmiana produkcji jako ważona zmiana K i L Z rozwiązania problemu minimalizacji kosztów przy technologii opisywanej za pomocą funkcji CES można również wyprowadzić relację: y = SK k + S L l Przykład liczbowy: k=0, l=10, S K =0,4; S L =0,6 => y=6 Przykład ten pokazuje, że w krótkim okresie (tj. przy stałych zasobach kapitału) jednostkowe koszty produkcji rosną wraz ze wzrostem produkcji.

32 ! Excerpt 5 of TABLO input file:!! Demands for capital and labour! Variable (all,i,ind) x1prim(i) # Industry demand for primary-factor composite #; (all,i,ind) p1prim(i) # Price of primary factor composite #; (all,i,ind) x1lab(i) # Employment by industry #; p1lab # Economy-wide wage rate #; (all,i,ind) x1cap(i) # Current capital stock #; (all,i,ind) p1cap(i) # Rental price of capital #; Coefficient (parameter) (all,i,ind) SIGMA1PRIM(i) # CES substitution, primary factors #; Read SIGMA1PRIM from file BASEDATA header "P028"; Equation E_x1lab (all,i,ind) x1lab(i) = x1prim(i) - SIGMA1PRIM(i)*[p1lab-p1prim(i)]; Equation E_x1cap (all,i,ind) x1cap(i) = x1prim(i) - SIGMA1PRIM(i)*[p1cap(i)-p1prim(i)]; Equation E_p1prim (all,i,ind) V1PRIM(i)*p1prim(i) = FACTOR("Labour",i)*p1lab + FACTOR("Capital",i)*p1cap(i);

33 ! Excerpt 6 of TABLO input file:!! Demands for composite inputs to production! Variable (all,i,ind) x1tot(i) # Industry output #; (all,i,ind) a1prim(i) # All primary-factor augmenting technical change #; (all,i,ind) p1tot(i) # Unit cost of production #; Equation E_x1 # demand for commodity composites # (all,c,com)(all,i,ind) x_s(c,i)= x1tot(i); Equation E_x1prim # demand for primary-factor composites # (all,i,ind) x1prim(i) = a1prim(i) + x1tot(i); Equation E_p1tot # cost of production = cost of all inputs # (all,i,ind) V1TOT(i)*[p1tot(i)+ x1tot(i)] = sum{c,com,sum{s,src, USE(c,s,i)*[p(c,s) + x(c,s,i)]}} + FACTOR("Labour",i)*[p1lab + x1lab(i)] + FACTOR("Capital",i)*[p1cap(i)+ x1cap(i)];

34 Import specyfikacja Armingtona Dane empiryczne wskazują, że niemal w każdej grupie produktów współwystępuje produkcja krajowa i import. Odzwierciedlenie w modelu: założenie, że e produkty krajowe i importowane nie są doskonałymi substytutami (model Armingtona). Zakres możliwej substytucji opisywany za pomocą funkcji CES. Funkcja CES jako tzw. agregator. Im wyższa wartość σ, tym bliższymi substytutami są produkty krajowe i z importu.

35 Substytucja D/M ujęcie formalne Oznaczenia: D krajowy, M importowany. Problem decyzyjny minimalizacja kosztów zakupu złożonego produktu (ang. composite, bundle) przy możliwościach substytucji opisywanych za pomocą funkcji CES: przy warunku min D, M X D P D [ ] ρ ρ 1/ ρ δ D + (1 δ ) = β M Popyt na złożony produkt (X) i ceny produktów krajowych/importowanych są ustalone + M P M

36 Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów D i M: równania dla % przyrostów Rozwiązanie problemu minimalizacji kosztów równania popytu na dobra D i M: d m = x σ ( p p) D x ( p p) = σ p = S p + D D S M M p M W modelu MINIMAL specyfikacja Armingtona dotyczy nie tylko popytu na czynniki produkcji (materiały), ale każdego popytu na dobra, z wyjątkiem popytu zagranicy.

37 Funkcja produkcji w modelu MINIMAL Źródło: dokumentacja modelu MINIMAL

38 ! Excerpt 4 of TABLO input file:!! Import/Domestic sourcing decision for all non-export users! Variable (all,c,com)(all,s,src) p(c,s) # User price of good c, source s #; (all,c,com)(all,u,impuser) p_s(c,u) # User price of composite good c #; (all,c,com)(all,u,impuser) x_s(c,u) # Use of composite good c #; Coefficient (parameter) (all,c,com) SIGMA(c) # elasticity of substitution: domestic/imported #; (all,c,com)(all,s,src)(all,u,impuser) SRCSHR(c,s,u) # imp/dom shares #; Read SIGMA from file BASEDATA header "ARM"; Formula (all,c,com)(all,s,src)(all,u,impuser) SRCSHR(c,s,u) = USE(c,s,u)/USE_S(c,u); Equation E_x (all,c,com)(all,s,src)(all,u,impuser) x(c,s,u) = x_s(c,u) - SIGMA(c)*[p(c,s) - p_s(c,u)]; Equation E_p_s (all,c,com)(all,u,impuser) p_s(c,u) = sum{s,src, SRCSHR(c,s,u)*p(c,s)};

39 ! Excerpt 7 of TABLO input file:!! Household demands! Variable p3tot # Consumer price index #; x3tot # Real household consumption #; w3tot # Nominal total household consumption #; Equation E_x3 (all,c,com) x_s(c,"households") + p_s(c,"households") = w3tot; Equation E_x3tot USE_CS("Households")*x3tot = sum{c,com, USE_S(c,"Households")*x_s(c,"Households")}; Equation E_p3tot USE_CS("Households")*p3tot = sum{c,com, USE_S(c,"Households")*p_s(c,"Households")};

40 Mechanizmy ujęte w modelu CGE przykład wzrostu popytu cena gałąź A cena gałąź B S S D 1 D 1 D 0 D 0 produkcja produkcja Na skutek szoku zmieniają się poziomy produkcji i cen. Efekty zależą od elastyczności podaży / popytu.

41 Mechanizmy ujęte w modelu CGE przykład wzrostu podatku cena gałąź A cena gałąź B S t 1 t 0 t 1 t 0 S D D produkcja produkcja

42 Zależność elastyczności podaży i popytu od danych i parametrów modelu Elastyczność podaży (krótki okres): tym większa, im niższy udział K w wartości dodanej, tym większa, im wyższa elastyczność substytucji K/L. Elastyczność popytu: tym większa, im wyższy udział elastycznych składników popytu (np. eksportu) w całkowitym popycie. tym większa, im wyższe elastyczności substytucji D/M (elastyczności Armingtona).