Równanie Schrödingera z potencjałem anharmonicznym. The Schrödinger Equation with Anharmonic Potential. Marcin Michalski

Transkrypt

1 Polteca Wrocławsa Wydzał Podstawowyc Problemów Tec Rówae Scrödgera z potecjałem aarmoczym Te Scrödger Equato wt Aarmoc Potetal arc cals PRACA DYPLOOWA INśYNIERSKA KIERUNEK: FIZYKA TECHNICZNA SPECJALNOŚĆ: FIZYKA KOPUTEROWA W NAUCE I TECHNICE Opeu pracy: dr ab. Ŝ. Włodzmerz Salejda prof. PWr WROCŁAW 009

2 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Rówae Scroedgera werszy Zaczjmy zatem... a reśloe gradet z ps (w trzec wymarac lczoe) to juŝ pęd daje... ta wetor pędu (czytel jest juz bls obłędu). Pęd do wadratu - mus powstaje (dwóc "" loczy mus am daje) a wadrat dwa em druga pocoda ps szczególej uwag goda. JuŜ amltoa prawe w omplece (dodać potecjał moŝa ja wece) eerg lczyć wartośc włase aŝdy węc moŝe. Czy wszysto jase? wtore 4 marca 006 aajed [] Opeuow pracy dr ab. Ŝ. Włodzmerzow Salejdze serdecze dzęuję za eoceoą pomoc oraz pośwęcoy czas podczas realzacj projetu.

3 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 3 Sps treśc. Wprowadzee...4. Rówae Scrödgera Stacjoare rówae Scrödgera Pozomy eergetycze Fucje falowe Rówae Scrödgera z potecjałem armoczym Rówae Scrödgera z potecjałem aarmoczym 0.4. Postać bezwymarowa rówaa Scrödgera..4.. Potecjał armoczy Potecjał aarmoczy Algebracze zagadee włase Potecjał armoczy Wybrae wy umerycze Wy umerycze dla rówaa Scrödgera z potecjałem aarmoczym Porówae wyów umeryczyc z aaltyczym Potecjał aarmoczy wy umerycze wos Studa aarmocza z pojedyczym mmum Podwója studa aarmocza wy wos Wos podsumowae 46 Dodate A etody umerycze rozwązywaa rówaa Scrödgera A.. etoda arta-deaa..47 A.. etoda DWSZ...48 Dodate B Ops programów umeryczyc oraz strucja uŝytowa.50 B.. Bblotea Rowae Scroedgera...50 B.. Program Oscylator armoczy 53 B.3. Program Oscylator aarmoczy...56 Lteratura...58

4 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 4. Wprowadzee ecaa watowa jest cyba ajdzwejszym ajbardzej zasaującym oraz trygującym cągle dzałem fzy. Została stworzoa ezaleŝe przez Werera Heseberga Erwa Scrödgera w rou jest stosowaa w welu zagadeac fzy fazy sodesowaej bądź cem watowej [ ]. oŝa ją sformułować matematyczym rówaam moŝa ją próbować dogłębe pozać uŝywać ale trudo ją w racjoaly sposób zrozumeć [7]. Ne da sę jej opsać za pomocą ej determstyczej teor gdyŝ jest oparta a prawdopodobeństwe probablstyczej aturze samego Wszecśwata. Rówae Scrödgera z potecjałem armoczym (tzw. watowy oscylator) jest ścśle rozwązywale w jedym dwóc trzec wymarac [8]. Z tego względu odgrywa bardzo stotą rolę w mecace watowej [3-6] fzyce fazy sodesowaej [9 0] a w szczególośc fzyce strutur sowymarowyc. Warto zauwaŝyć Ŝe fzya watowa strutur rystalczyc a w szczególośc dyama termodyama sec rystalczej oparta jest o zajomość doładyc rozwązań watowego oscylatora armoczego. Odrębym erozwązywalym ścśle zagadeem watowomecaczym jest rówae Scrödgera z potecjałem aarmoczym tóry uwzględa człoy wyŝszego rzędu Ŝ wadratowe względem wycylea cząst watowej z połoŝea rówowag [ ] V ( ) A G 3. (.) Przegląd metod stosowayc dotycczas do aalzy rozwązań tego problemu zajduje sę w pracac [ ] gdze wsazao taŝe a zastosowaa potecjału aarmoczego do zagadeń dotyczącyc m.. problemu czasu tuelowaa cząste watowyc oraz terpretacj wdm eergetyczyc cał stałyc z wązaam wodorowym. Dodajmy jeszcze Ŝe aarmoczość drgań sec rystalczej jest odpowedzala m.. za ceplą rozszerzalość lową cał stałyc [9 0]. Rówae Scrödgera z potecjałem aarmoczym jest atualym problemem fzy watowej tóry jest wcąŝ przedmotem welu prac [ ]. Do tej pory e steje aaltycze rozwązae tego zagadea. Główym celem ejszej pracy jest umerycza aalza jedowymarowego stacjoarego rówaa Scrödgera dla cząst w polu potecjału aarmoczego (.). Rówaa tóre jest podstawowym zagadeem meca watowej ezbędym arzędzem matematyczym słuŝącym do opsaa terpretacj welu uładów watowyc. etody umerycze stały sę taŝe eodzowym elemetem słuŝącym do rozwązywaa aalzowaa problemów tóre e są ścśle rozwązywale. Praca słada sę z dwóc główyc częśc. Perwsza dotyczy doładejszego opsu zapozaa sę z rówaem Scrödgera tórego zrozumee umoŝlwa przeształcee go do postac wygodej do aalzy umeryczej. Rozdzał te zawera teŝ szczegółową caraterystyę potecjałów będącyc przedmotem pracy oraz opsy metod algorytmów umeryczyc zastosowayc przy opracowywau programów omputerowyc w języu Fortra 77 [34] zajdują sę w dodatu A. Część przedstawa wybrae wy oblczeń umeryczyc przeprowadzoyc za pomocą opracowayc programów z wyorzystaem bezpłatego omplatora Force.0 [5] tóryc doładejszy ops zajduje sę w dodatu B. Do wzualzacj grafczej rezultatów umeryczyc został wyorzystay darmowy program Guplot [6]. Pracę ończą: podsumowae dodat sps lteratury.

5 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 5. Rówae Scrödgera Jest podstawowym rówaem falowej erelatywstyczej meca watowej sformułowaej przez austracego fzya Erwa Scrödgera w 96 rou. Opsuje oo ewolucję uładu watowego w czase. Odgrywa aalogczą rolę ja druga zasada dyam Newtoa w fzyce lasyczej. W mecace watowej sta cząst oreśla fucja falowa ) ( T R Ψ. Rówae Scrödgera umoŝlwa oblczee fucj falowej cząste poddayc dzałau oreśloego pola sły potecjalej. Najczęścej rozpatrywae zagadea dotyczą pojedyczej cząst watowej tórą opsuje fucja falowa odpowadający jej pozom eergetyczy tóry jest wartoścą eerg stau stacjoarego [7 8]... Stacjoare rówae Scrödgera Najbardzej ogóla postać rówaa Scrödgera wygląda astępująco: ) ( ) ( ˆ T Z Y T T Z Y H Ψ Ψ (.) gdze Ĥ jest amltoaem tóry jest operatorem całowtej eerg uładu ) ( T Z Y Ψ jest fucją falową zawerającą całowtą formację o uładze. Warto ostate rówae przepsać w rozwętej postac ( ) ) ( ) ( T Z Y T T Z Y T Z Y U Z Y Ψ Ψ (.) gdze ( ) T Z Y V jest potecjałem opsującym sły dzałające a cząstę. Obe postace (.) (.) rówaa Scrödgera dotyczą uładów trójwymarowyc. Celem tej pracy jest umerycza aalza jedowymarowej wersj powyŝszyc rówań dlatego aleŝy dooać c uproszczea do astępującej postac: ( ) ) ( ) ( T T T T U Ψ Ψ (.3) z tórego aleŝy wyelmować czas.

6 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 6 Aby tego dooać zastosujemy stadardową metodę rozwązywaa cząstowyc rówań róŝczowyc [9] polegającą a szuau rozwązań w postac loczyu fucj z tóryc aŝda zaleŝy tylo od jedej zmeej ezaleŝej. etoda ta azywaa jest separacją zmeyc sprowadza sę do poszuwaa rozwązań a Ψ( T ) w postac loczyu Ψ( T ) ( ) ϕ( T ). (.4) Separacja zmeyc prowadz do wosu Ŝe fucja ( ) jest rozwązaem astępującego rówaa róŝczowego: d ( ) U ( ) ( ) E ( ) (.5) d zwaego rówaem Scrödgera ezaleŝym od czasu lub stacjoarym rówaem Scrödgera. Separacja zmeyc pozwala am zaleźć fucję ϕ(t ) oreślającą zaleŝość czasową fucj falowej. Speła oa proste zwyczaje rówae róŝczowe tórego rozwązaem jest ( T) e ET gdze E jest całowtą eergą cząst [0].... Pozomy eergetycze ϕ (.6) Rozwązae rówaa Scrödgera rówaa dla stacjoarego watowego stau cząst umoŝlwa uzysae swatowayc czyl dozwoloyc wartośc eerg cząst zajdującej sę w stae zwązaym (zloalzowaym).... Fucje falowe Fucja falowa to podstawowa welość opsująca sta uładu watowego (zawera pełą formację o tym uładze) w ujęcu erelatywstyczym lub w prostyc uładac relatywstyczyc (p. cząsta swoboda) []. Fucja falowa Ψ ( R T ) jest a ogół fucją zespoloą tj. Ψ ( R T ) Re Ψ( R T ) Im Ψ( R T ) (.7) e ma bezpośredego sesu fzyczego atomast wadrat modułu fucj falowej ( R T ) ( R T ) *( R T ) [ Re ( R T )] [ Im ( R T )] (.8) (gwazda ozacza sprzęŝee zespoloe odpowadające zmae a ) oreśla prawdopodobeństwo P ( R T ) zalezea sę cząst w ewelm fragmece przestrze w bezpośredm otoczeu putu R zajdującego sę w objętośc V P ( R T ) ( R T ) V (.9) Fucja falowa będąca rozwązaem rówaa Scrödgera speła astępujące waru [8]:

7 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 7. Prawdopodobeństwo zalezea cząst w dowolym puce przestrze jest rówe jedośc węc zgode ze wzorem P( R T ) ( R T ) V zacodzć zaleŝość ( T ) mus R dv (.0) V gdze V ozacza cały dostępy dla cząst obszar. JeŜel fucja Ψ ( R T ) jest rozwązaem rówaa Scrödgera to róweŝ fucja cψ ( R T ). (c jest dowolą lczbą) będze jego rozwązaem.. Ze względu a fzyczy ses fucj falowej w aŝdym puce przestrze mus meć oa sończoą wartość być jedozaczą fucją współrzędyc przestrzeyc. 3. Z matematyczyc własośc rówaa Scrödgera wya Ŝe fucja falowa jej perwsze pocode zwyle są fucjam cągłym. Wyjąte staow sytuacja gdy w pewym obszarze eerga potecjala jest esończoa. Wówczas obszar te jest edostępy dla cząst wewątrz ego Ψ( R T ) 0. Na gracy obszaru pocode fucj falowej względem zmeyc przestrzeyc są wtedy ecągłe. Waru te zapewają Ŝe fucje włase są gładm fucjam a węc merzale welośc fzycze oblczoe a podstawe zajomośc tyc fucj własyc będą taŝe zmeać sę w sposób gład [0]... Rówae Scrödgera z potecjałem armoczym Potecjał oscylatora armoczego jest cągłą fucją połoŝea. Isteje tylo ograczoa lczba potecjałów dla tóryc moŝa rozwązać rówae Scrödgera metodam aaltyczym. odel oscylatora armoczego ma adzwyczaj duŝe zaczee e tylo w fzyce lasyczej ale taŝe w watowej oraz we wszystc dzedzac au opartyc o fzyę poewaŝ jest o prototypem aŝdego uładu wyoującego drgaa. Na przyład drgaa atomów w cząsteczac drgaa atomów cała stałego są w przyblŝeu dla dostatecze małej ampltudy drgaam armoczym. Ogóle rzecz borąc oscylator armoczy moŝe zostać uŝyty do opsu prawe aŝdego uładu w tórym jaaś welość wyouje małe drgaa woół połoŝea trwałej rówowag [80]. Na począte aleŝy przypomeć zaleŝośc opsujące ruc armoczy w mecace lasyczej [8]. Oscylatorem armoczym azywamy cząstę o mase poruszającą sę pod wpływem dzałającej sły F proporcjoalej do wycylea cząst z połoŝea rówowag przecwe serowaej gdze K jest współczyem spręŝystośc. F K (.)

8 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 8 Eerga oscylatora armoczego ma postać (jego wyres przedstawa rys..) U ( ) K. (.) Rys.. Potecjał oscylatora armoczego. Drgaa armocze cząst moŝa tratować jao jej ruc w jedowymarowej stud potecjału. Częstość ątową drgań oreśla wzór K Ω 0. (.3) Rówae Scrödgera z potecjałem armoczym ma postać d K ( ) E ( ) d (.4) Rozwązując to rówae [0] uzysamy wartośc włase oscylatora armoczego E Ω 0 3. (.5) Są to swatowae wartośc włase eerg wyraŝoe przez lasyczą częstotlwość drgań Ω. Dla 0 otrzymujemy E 0 Ω czyl eergę drgań zerowyc w tym potecjale tóryc stee jest zgode z zasadą eozaczoośc. Ta węc asze wyzaczoe eerge moŝa zapsać w postac E Ω 0 3. E 0 Dozwoloe przez mecaę watową wartośc eerg oscylatora armoczego tworzą węc zbór pozomów rówo oddaloyc (patrz rys..) E E E Ω πυ π υ.

9 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 9 Rys.. Przedstawee odległośc pomędzy pozomam oscylatora armoczego KaŜdemu pozomow eergetyczemu odpowada fucja falowa tóra w przypadu oscylatora armoczego daa jest ogólym wzorem [] ( ) ( ) A ( ) e A ( ) e d d! π. (.6) PoŜej a rys..3 przedstawoe jest zobrazowae la pozomów eergetyczyc oraz odpowadającyc m fucj falowyc. Rys..3. Fucje falowe oscylatora armoczego [].

10 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 0 Wartośc lczbowe lu perwszyc eerg własyc wzory a bezwymarowe fucje włase zawarto w poŝszej tabel. Lczba Eerga własa Fucja własa watowa 0 / E 0 ω 0 A0e 3 / E ω A e 5 / E ω A ( ) e / E 3 ω 3 A3 (3 ) e E 4 ω 4 A4 (3 4 ) e E 5 ω 5 A5 (5 0 4 ) e Tab... Eerge fucje włase oscylatora armoczego [8]. / /.3. Rówae Scrödgera z potecjałem aarmoczym W lteraturze źródłowej zazwyczaj defuje sę potecjał oscylatora aarmoczego jao sumę potecjału armoczego oraz sładowej będącej czwartą potęgą wycylea. oŝe to prowadzć do róŝyc teresującyc fzycze rezultatów. W tej pracy potecjał aarmoczy przyjęto w postac V ( ) A G ( 3K ) gdze A G to parametry modelowego potecjału. (.7) oŝa wyróŝć co ajmej trzy typy potecjałów aarmoczyc. Rys..4. Trzy typy potecjałów aarmoczyc

11 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Zlustrowae powyŝej potecjały to: () Potecjał z pojedyczym mmum A > 0 G > 0 () Potecjał z podwójym mmum mający carater podwójej stud potecjalej A < 0 G > 0 (3) Odwrócoa podwója studa potecjału A > 0 G < 0 [3]. Warat () potecjału jest ajprostszym przypadem oscylatora aarmoczego tóry dla A > 0 G 0 jest czym ym ja studą z potecjałem armoczym opsaym w podrozdzale.. Jeda w zaleŝośc od przyjętyc parametrów potecjał moŝe wyazywać zupełe y carater. PoŜej przedstawoe są wyzaczoe umerycze trzy perwsze wartośc włase potecjału (.7) z parametram A G λ tóre zaczerpęto z [4]. Główa lczba watowa 0 E (λ ½) E (λ ) E (λ ) E (λ 5) E (λ 0) Tab... Przypade () odpowada podwójej stud watowej tóry lustruje rys..5. Rys..5. Podwója studa watowa a podstawe [3]. Dla uproszczea potecjał tej postac moŝa przedstawć jao 4 ( ) A V tóry wyazuje podwóją studę w przypadu gdy A < 0. ma tego potecjału zajdują sę w putac A A ± ± a c głęboość wyos V ( ± ) [5]. 4

12 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA.4. Postać bezwymarowa rówaa Scrödgera Sprowadzee zagadea własego jam jest rówae Scrödgera do postac bezwymarowej jest luczowym etapem aalzy umeryczej. Polega oo a pozbycu sę wszystc welośc posadającyc wymar zastąpee c bezwymarowym. Bez sprowadzea do tej postac rozwązae umerycze e byłoby moŝlwe. Na począte przeprowadzmy sprowadzee rówaa Scrödgera do postac bezwymarowej dla przypadu ogólego. gdze Bezwymarowy potecjał w postac ogólej wygląda ja poŝej / ( ) V v( L ) V v( ) V 0 / C 0 (.8) LC jest bezwymarową współrzędą a C L jest caraterystyczym rozmarem lowym uładu lub zasęgem oddzaływaa. Tworzymy satę tj. dysrety zbór putów o współrzędyc oreśloyc wzorem B A A A S ( 0... ) (.9) tórej bezwymarowe współrzęde mają postać a s ( 0... ) (.0) a bezwymarowe współrzęde ońców przedzału całowaa a b oraz bezwymarowy ro s sat wyoszą A a L C B b L C s S L C b a. (.) Wejścowe rówae (.5) łatwo przeształcamy do postac LC d d V 0 V ( L ) V C 0 Ψ V E V 0 ( L ) Ψ( L ) C 0 C. Wprowadzając bezwymarowy parametr sal 0 L C bezwymarową fucję falową ( ) L ( L ) V α (.) bezwymarową eergę własą ε E /V 0 otrzymujemy bezwymarowe rówae Scrödgera [6] C Ψ d α v( ) d C ( ) αε ( ). (.3)

13 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Potecjał armoczy Potecjał oscylatora armoczego ja juŝ było wspomae oreśla wzór ( ) K V Ω a rówae Scrödgera ) ( ) ( E K d d. (.4) Aby otrzymać rówae bezwymarowe aleŝy sostruować tae jedost tóre e będą posadały wymaru. Nec L C gdze jedosta długośc Ω L C (.5) ma wymar metra poewaŝ [ ] m m g s s m g g s J L C Ω. Podobe postępujemy w przypadu eerg. Necaj ε 0 V E (.6) gdze jedostą eerg jest 0 Ω V o wymarze J a 0 V azywae jest caraterystyczą eergą uładu. ZauwaŜmy Ŝe [ ]. 0 J s s J V Ω Podstawając owe zmee do rówaa Scrödgera otrzymujemy ( ) ). ( ) ( ) ( ) ( 0 0 V L d d L V L L d d C C C C ε ε Ω Ω Następe podstawamy sostruowae jedost salujące ) ( ) ( d d ε Ω Ω Ω Ω

14 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 4 po uproszczeu otrzymujemy ostateczy rezultat ) ( ) ( d d ε. (.7) Jest to poszuwaa przez as postać bezwymarowa rówaa Scrödgera z potecjałem armoczym..4.. Potecjał aarmoczy Za put wyjśca do sprowadzaa zagadea własego z potecjałem aarmoczym do postac bezwymarowej weźmemy potecjał armoczy. Wymarowy potecjał aarmoczy ma postać ( ) G G K V Ω (.8) a rówae Scrödgera ) ( ) ( E G K d d (.9) gdze współczy K ma wymar Ω s g m J a współczy [ ] m J G. Aalogcze ja dla potecjału armoczego bezwymarową jedostą połoŝea będze (.5). Bezwymarowy potecjał wygląda astępująco: ( ) ( ) C C C GL KL L V V Rówae Scrödgera atomast przybera postać ) ( ) ( E GL KL d d L C C C z tórego po podzeleu obustroe przez C L otrzymujemy ) ( ) ( 4 E L GL KL d d C C C. Następe dzelmy eergę E przez współczy salujący 0 Ω V aby pozbyć sę wymarowośc tej welośc fzyczej oraz moŝymy przez te sam współczy aby e spowodować zma w samym rówau tym samym otrzymując ) ( ) ( V E V L GL KL d d C C C.

15 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 5 Aalzując doładej wyraŝee 4 KL C docodzmy do wosu Ŝe jest oo bezwymarowe poewaŝ 4 4 Ω Ω Ω Ω Ω K K K KL C. Podobe wyraŝee 0 Ω Ω V L C jest róweŝ bezwymarowe. Ostatecze otrzymujemy ) ( ) ( g d d ε (.30) gdze GL g C [ ] Js g m m L L m J g C C V 0 E ε oraz 0 Ω V. Jest to postać bezwymarowa rówaa Scrödgera z potecjałem aarmoczym. Forma tego rówaa ma tą zaletę Ŝe podstawając pod 0 0 g G otrzymujemy postać bezwymarową dla potecjału armoczego.

16 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 6.5. Algebracze zagadee włase Aby przeształcć rówae Scrödgera do postac algebraczego zagadea własego ajperw aleŝy je przeształcć do postac bezwymarowej co juŝ zostało uczyoe w rozdzale.4. Sposób przejśca z postac bezwymarowej do algebraczego zagadea własego ajperw podobe ja poprzedo poaŝemy a przyładze ogólym a astępe dla potecjału armoczego aarmoczego. ając juŝ bezwymarowe rówae Scrödgera (.3) aleŝy przeprowadzć jego dysretyzację przyblŝając drugą pocodą fucj ( ) w putac... sat (.8) za pomocą formuły trójputowej tóra wygląda astępująco: f f s Stosując ją do aszego zagadea otrzymujemy f f ( II ) ( II ) ( ) f O( s ). (.3) d d Symbol ( s ) ( s) ( ) ( s) ( ) O( s ). O s s O ozacza Ŝe aprosymujemy drugą pocodą w putac sat z doładoścą do wyrazów tóryc wartośc są rzędu W rezultace otrzymujemy uład rówań gdze v( ) s. ( s αv ) s αε (... ) s (.3) v oraz s ja w (.). Jeśl dla uproszczea zapsu wprowadzmy ozaczea ~ ε s αε v ~ s αv (.33) sorzystamy z waruów brzegowyc Ψ( A ) Ψ( B) 0 ( a ) 0 ( ) b tóre przyberają postać to otrzymamy jedorody uład rówań ( v ) ~ ~ ( v ) 3 O ~ ( v ) ~ ~ ε ~ ε ~ ε ~ ( v ) ε w tórym ewadomym są zarówo przesalowaa eerga ε ~ ja wartośc fucj falowej a satce putów. PowyŜszy uład moŝa zapsać w forme macerzowej

17 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 7 ~ ~ ~ ~ ~ v v v v ε O O O O O (.34) będącym algebraczym zagadeem własym dla dysretego operatora eerg H ~ ε ~ ~ H tórego rozwązaam są pary ( ) ε ~ gdze ε ~ s jest aprosymacją wartośc własej zagadea (.3) [9]..5.. Potecjał armoczy Postać bezwymarowa rówaa Scrödgera z potecjałem armoczym ma postać (.7). Ze względu a parzystość potecjału ( ) ( ) V V wyberamy symetryczy przedzał całowaa A A a tórym oreślamy satę putów S A A A. Zastosowae trójputowego przyblŝea (.30) dla drugej pocodej prowadz do rówaa ( ) S ε Ω ( )... a po pomoŝeu obydwu stro powyŝszego rówaa przez S S S ε Ω Ω Ω Ω. (.35) Aby otrzymać bezwymarową dysretą postać rówaa Scrödgera (.7) aleŝy jeszcze pomoŝyć obe stroy rówaa (.35) przez C L co prowadz do rówań ( ) s v s ε ( ) K (.36)

18 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 8 Bezwymarowa eerga rówa jest (.6) potecjał jej ro oreślają wzory v a puty sat a s a a s. (.37) oŝa zauwaŝyć Ŝe a A / LC jest bezwymarową połówową szerooścą przedzału całowaa. Uład rówań (.36) rówowaŝy jest algebraczemu zagadeu własemu w (.34) w tórym v~ s v ~ ε s ε [6]. Aalogcze wygląda przeprowadzee rozwązaa w przypadu algebraczego zagadea własego dla potecjału armoczego zasadcza róŝca jest w postac zapsaa bezwymarowego potecjału v tóry w tym przypadu wyos v c g.

19 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 9 3. Wybrae wy umerycze W tym rozdzale przedstawoe zostaą wybrae rezultaty oblczeń umeryczyc otrzymayc za pomocą opracowayc programów omputerowyc. 3.. Wy umerycze dla rówaa Scrödgera z potecjałem armoczym Wyzaczoe umerycze programem Oscylator armoczy (doładejszy ops programu zajduje sę w dodatu A) pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego przedstawoe zostały w tabelac poŝej Oblczoyc zostało dzesęć pozomów eergetyczyc z róŝym parametram wejścowym. Na podstawe otrzymayc wartośc własyc wyzaczoo perwszyc pęć fucj falowyc (Rys ). Do wzualzacj fucj falowyc został wyorzystay program Guplot. Ozaczea zawarte w tabelac: umer pozomu eergetyczego σ doładość wyzaczaa ε σ ε błąd umeryczy s um ε ( ) róŝca mędzy ε wyzaczoym umerycze a bezwymarowym wyzaczoym aaltycze pozomem (). Przedzał całowaa σ 0 6 ε um ε ε ( ) σ 0 7 <66> ε um ε ε ( ) σ 0 8 ε um ε ( ) E E E E E Tab. 3.. Wyzaczoe umerycze pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego a przedzale <66> z lczbą putów sat N 000. ε

20 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 0 Przedzał całowaa σ 0 6 ε 3 0 um ε ε ( ) σ 0 7 <66> ε um ε ε ( ) σ 0 8 ε um ε ( ) E E E E E E E Tab. 3.. Wyzaczoe umerycze pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego a przedzale <66> z lczbą putów sat N 000. ε Przedzał całowaa σ 0 6 ε um ε ε ( ) σ 0 7 <00> ε um ε ε ( ) σ 0 8 ε um ε ( ) E E Tab Wyzaczoe umerycze pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego a przedzale <00> z lczbą putów sat N 000. ε Przedzał całowaa σ 0 6 ε um ε 0 ε ( ) <00> σ 0 7 ε 0 3 um ε ε ( ) σ 0 8 ε 0 4 um ε ( ) E E E E E E Tab Wyzaczoe umerycze pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego a przedzale <00> z lczbą putów sat N 000. ε

21 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Przedzał całowaa σ 0 6 ε 0 4 um ε ε ( ) <5050> σ 0 7 ε um ε 0 5 ε ( ) σ 0 8 ε 0 6 um ε ( ) Tab Wyzaczoe pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego a przedzale <5050> z lczbą putów sat N 000. ε Przedzał całowaa σ 0 6 ε um ε ε ( ) σ 0 7 <5050> ε um ε ε ( ) σ 0 8 ε um ε ( ) Tab Wyzaczoe pozomy eergetycze watowego oscylatora armoczego a przedzale <5050> z lczbą putów sat N 000. ε PoŜej prezetujemy wyzaczoe fucje falowe a przedzale <00> z doładoścą σ 0 8 dla lczby putów sat N 000.

22 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Rys. 3.. Fucja falowa stau podstawowego watowego oscylatora armoczego. Rys. 3.. Fucja falowa drugego (perwszego wzbudzoego) pozomu eergetyczego armoczego oscylatora watowego

23 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 3 Rys Fucja falowa trzecego pozomu eergetyczego armoczego oscylatora watowego Rys Fucja falowa czwartego pozomu eergetyczego armoczego oscylatora watowego

24 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 4 Rys Fucja falowa pątego pozomu eergetyczego armoczego oscylatora watowego Rys. 3.6a. Porówae fucj falowyc stau podstawowego wyzaczoyc a przedzale <-00> z doładoścą σ 0 8.

25 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 5 Rys. 3.6b. Porówae uormowayc fucj z rys 3.6a. Rys. 3.7a. Porówae fucj falowyc stau podstawowego wyzaczoyc dla róŝyc przedzałów całowaa z doładoścą σ 0 8 oraz lczbą putów podzału sat N 000.

26 Rys. 3.7b. Porówae uormowayc fucj z rys 3.7a. ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 6

27 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Porówae wyów umeryczyc z aaltyczym Rys Wyresy fucj własyc staów podstawowyc oblczoyc umerycze aaltycze Rys Powęszee fragmetu z rys. 3.8.

28 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 8 Rys Wyresy fucj własyc drugc staów eergetyczyc wyzaczoyc umerycze oraz aaltycze Rys. 3.. Wyresy fucj własyc trzecc staów eergetyczyc wyzaczoyc umerycze oraz aaltycze Rys. 3.. Wyresy fucj własyc czwartyc staów eergetyczyc wyzaczoyc umerycze oraz aaltycze Rys Wyresy fucj własyc pątyc staów eergetyczyc wyzaczoyc umerycze oraz aaltycze Wartośc pozomów eergetyczyc oscylatora armoczego oreśla (.5). Aby je porówać z wyam umeryczym aleŝy (.5) zapsać w postac bezwymarowej tj. Ε /V0 gdze V 0 zadaje (.6). Wtedy bezwymarowe pozomy eergetycze rozwęca aaltyczego wyosząε ( 0 3 ). W pracy przyjęto umerowae pozomów od węc powyŝszy wzór moŝa zapsać w postac ε ( 3 ). Ja wdzmy aaltycze wyzaczoe bezwymarowe pozomy oscylatora armoczego są olejym eparzystym lczbam aturalym. Przedstawoe w tabelac (Tab ) wy są rezultatam umeryczym dla ε. Numerycze wyzaczao ~ ε (.34) z róŝym doładoścam σ a ε oblczoo ze wzoru ~ ε ε / s gdze s jest roem sat (.37). Wyzaczoe umerycze pozomy eergetycze moŝa uzać za dosyć dobre przyblŝee aaltyczyc. RóweŜ uzysae uormowae fucje falowe dla lu perwszyc pozomów (Rys ) moŝa porówać z aaltyczym fucjam ( ) (Rys..3.). Kształt carater tyc fucj są zgode moŝa uzać je za poprawe co uzasadają rysu (Rys ) a tóryc to zostały ałoŝoe umerycze wyzaczoe fucje oraz dołade fucje a podstawe wzorów z tabel (..) oraz wzoru (.6). RóŜce wdać a przyładze perwszej fucj falowej (Rys. 3.8.) tórej powęszoy fragmet przedstawa (Rys.

29 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA ). Obserwujemy przesuęce środa masmum umeryczej fucj falowej co jest zwązae z doładoścą wyzaczaa tej fucj. Podsumowując opracoway program do wyzaczaa pozomów eergetyczyc fucj własyc czy to w stopu zadowalającym moŝa go śmało wyorzystać do umeryczej aalzy yc potecjałów Potecjał aarmoczy wy umerycze wos Potecjał oscylatora aarmoczego ma postać (.7) V ( ) a g ( 3K ) Wy dla tego oscylatora zostały podzeloe a sere zaleŝe od współczyów a g. Perwsza sera dayc dotyczy stud aarmoczej z pojedyczym mmum ( a > 0 g > 0 46) a druga podwójej stud a < 0 g > 0. aarmoczej ( ) Studa aarmocza z pojedyczym mmum Do wyzaczea umeryczyc wartośc eerg oscylatora aarmoczego wyorzystao program Oscylator aarmoczy (Dodate A). Wyoao sere oblczeń róŝące sę parametram wejścowym (a g ). Wartośc włase zostały wyzaczoe z doładoścą σ 0 8. Wy oblczeń dla a. g Przedzał całowaa 6 6 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tab Numerycze wyzaczoe wartośc pozomów eergetyczyc przy rosącyc wartoścac parametru g..

30 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 30 4 g Przedzał całowaa 66 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tab Numerycze wyzaczoe wartośc pozomów eergetyczyc przy 4 rosącyc wartoścac parametru g. 6 g Przedzał całowaa 66 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tab Numerycze wyzaczoe wartośc pozomów eergetyczyc przy 6 rosącyc wartoścac parametru g. Dla wartośc g 0 ezaleŝe od wyłada potęg uzysujemy wy odpowadające watowemu oscylatorow armoczemu (Tab. 3..). Zmeając wartośc parametrów a g > wdzmy Ŝe carater potecjału e zmea sę jaoścowo. Obserwujemy modyfacje loścowe ształtu potecjału aarmoczego tj. aarmocza studa jao fucja zmeej przestrze dla zastosowayc wartośc g jest stosuowo płasa (przyjmuje małe wartośc dla <.0 co ozacza bardzo szeroe (rozległe) mmum) gwałtowe rośe dla > przy duŝyc g. Porówując tabele wosujemy Ŝe zwęszając wartość

31 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 3 parametrów g (a stały) studa staje sę bardzej węŝsza stroma a w osewecj oleje pozomy eergetycze są bardzej od sebe oddaloe. Zmaa wartośc wyłada powoduje zacze węszy przyrost wartośc aarmoczego potecjału dla > Ŝ zmaa współczya g. NaleŜy zauwaŝyć Ŝe potecjał aarmoczy V a g ( ) dla a podayc w tabelac wartoścac g przyjmuje wartośc rówe jede dla ± V ( ) 4g g Stosowe oblczea dają ±0 786 dla g ±0 55 dla g 0 (sly aarmozm) ±0 9 dla g 50 (bardzo sly aarmozm). Ja wdzmy w marę wzrostu parametru g studa staje sę coraz węŝsza co aleŝy rozumeć w tym sese Ŝe potecjał aarmoczy osąga wartość rówą jede dla coraz to mejszyc wartośc zmeej. W rezultace obserwujemy loalzowae sę fucj falowyc w coraz to węŝszym przedzale wartośc co lustrują rys Ja wdać wraz ze wzrostem g masmum fucj stau podstawowego rośe co śwadczy o wspomaej wyŝej tedecj do loalzowaa sę cząst watowej. Poadto zauwaŝmy Ŝe ajŝej połoŝoe pozomy eergetycze dla rosącyc wartośc parametrów g e mejszyc od 0 (porówaj wartośc w tabelac zameszczoe w przedostatc ostatc olumac) wyazują tedecje do malea gdy tymczasem wartośc eerg wyŝszyc pozomów zacze wzrastają. Ta perwsza tedecja jest przejawem małyc wartośc człou g gdy < w porówau ze sładem a potecjału aarmoczego. Studa aarmocza dla duŝyc wartośc g (sly aarmozm) oraz < jest moco wypłaszczoa w porówau ze studą odpowadającą g <. Powoduje to zaobserwowae obŝee lu wartośc ajŝszyc pozomów eergetyczyc przy rosącym parametrze g. Zaobserwoway zaczy szyb wzrost wartośc wyŝszyc staów eergetyczyc jest wyem odwrotej tedecj w zacowau sę aarmoczej stud watowej tóra relatywe zwęŝa sę (dla slego aarmozmu). UŜyte tutaj oreślee zwęŝa sę rozumemy astępująco: dla daej wartośc > wartość potecjału jest węsza dla węszej wartośc parametru g.

32 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 3 Rys Fucje falowe stau podstawowego cząst watowej w potecjale aarmoczym. Rys Fucje falowe stau podstawowego cząst watowej w potecjale aarmoczym 50.

33 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 33 Rys Fucje falowe stau podstawowego cząst watowej w potecjale aarmoczym 4 g. 8 Rys Fucje falowe stau podstawowego cząst watowej w potecjale aarmoczym g.

34 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 34 Wy oblczeń umeryczyc dla stałej wartośc parametru g podayc wartośc parametru a otrzymae w wyu całowaa rówaa Scrödgera a bezwymarowym przedzale 6 6 z doładoścą σ 0 8 przedstawamy w tabelac a 0. 0 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tab Numerycze wyzaczoe wartośc perwszyc 0 pozomów eergetyczyc cząst w potecjale aarmoczym dla. a ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tab. 3.. Numerycze wyzaczoe wartośc perwszyc 0 pozomów eergetyczyc cząst w potecjale aarmoczym dla 4.

35 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 35 a ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tab. 3.. Numerycze wyzaczoe wartośc perwszyc 0 pozomów eergetyczyc cząst w potecjale aarmoczym dla 6. Druge olumy tabel (dla a 0.) zawerają dae dotyczące przypadu slego aarmozmu poewaŝ g/a 0. Wartośc eerg własyc wyazują tedecje scarateryzowae w wyŝej przytoczoyc wosac dotyczącyc wyów z tabel Czwarte olumy tabel dotyczą przypadu słabego aarmozmu bo g/a 0. Wzrost wartośc parametru a powoduje zacze mejsze zmay w wartoścac eerg własyc Ŝ opsae wcześej zwęszee parametru g. ały aarmozm jest przyczyą tego Ŝe pozomy eergetycze e są rówoodległe. RóŜce wartośc olejyc pozomów eergetyczyc tj. ε ( a g cost) ε ( a cost) g dla ustaloej wartośc parametru g rosą wraz ze wzrostem parametru a.

36 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 36 Rys Kształt potecjału aarmoczego dla Rys Kształt potecjału aarmoczego dla a 0. g a 00 g Rys Kształt potecjału aarmoczego dla Rys. 3.. Kształt potecjału aarmoczego dla a g 0 a g 50 Rys. 3.. Kształt potecjału aarmoczego dla Rys Kształt potecjału aarmoczego dla a g a g 6

37 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 37 Na rys przedstawoo fucje falowe cząst watowej w polu potecjału aarmoczego dla podayc wartośc parametrów. Rys Porówae wetorów własyc dla potecjału 0.. Rys Porówae wetorów własyc dla potecjału 0.

38 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 38 Rys Powęszoy zazaczoy prostoątem fragmet z rysuu (Rys.3.5.) 4 Rys.3.7. Porówae wetorów własyc dla potecjału a.

39 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 39 8 Rys Porówae wetorów własyc dla potecjału a. Rysu lustrują wyraźą tedecjęe do loalzowaa sę cząst w potecjale aarmoczym dla rosącyc a przy g cost. Ozacza to Ŝe w marę wzrostu a fucja falowa przyjmuje coraz to węsze wartośc a coraz to węŝszym przedzale wartośc zmeej (patrz rys ) Jest to prostą osewecją wzrostu wartośc potecjału dla rosącyc wartośc parametru a Podwója studa aarmocza wy wos Potecjał aarmoczy przy odpowedo dobrayc wartoścac parametrów (a < 0 g ) wyazuje carater podwójej stud watowej co jest bardzo ceawym przypadem stud watowej. Parametry w tyc pomarac starao sę doberać ta aby ja ajlepej odtworzyć podwóją studę a zarazem e uzysać doprowadzć do degeeracj (eucwytej dla oblczeń umeryczyc) ajŝej połoŝoyc pozomów eergetyczyc. a Przedzał całowaa ε ε ε ε ε ε Tab Numerycze wyzaczoe pozomy eergetycze dla g

40 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 40 Jao put odesea oblczeń przyjęto wartość g z tego powodu Ŝ przy odpowedo dobraym parametrze a uzysao ajgłębszą studę podwóją tórej ajŝej połoŝoe pozomy eergetycze cząst watowej e były zdegeerowae. Na podstawe rys wosujemy Ŝe bardzo duŝy wpływ a carater rozpatrywaego potecjału ma ewela zmaa parametru a < 0. Zmejszae wartośc a poczyając od a 0. (Rys 3.9 gdze studa podwója jest eomal ezauwaŝala) aŝ do a 5 (patrz rys. 3.3) pozwala zamodelować wyraźe zarysowaą podwóją studę potecjału. Na podstawe wyresów z rys moŝa obserwować ja ze wzrostem a przesuwają sę połoŝea masmów mmów(głęboośc podwójej stud). Proste racuu przeprowadzoe dla potecjału aarmoczego 4 ( ) a g V a pozwalają wyzaczyć połoŝea masmów ± ± oraz głęboośc a podwójyc stud V ( ± ). Wdzmy Ŝe wraz ze wzrostem modułu a masma 4 stają sę bardzej oddaloe od sebe a stude stają sę wyraźe głębsze. Kształt potecjału ma duŝy wpływ a pozomy eergetycze cząst watowej poddaej jego dzałau. O le dla a 0. oraz a 0.5 wy ewele sę róŝą od przypadu stud z pojedyczym mmum o tyle przypad a oraz a 5 są zacze ceawsze. Dla a perwsze pozomy eergetycze połoŝoe są poŝej os O przyjmują wartośc ujeme. NajŜsze pozomy eergetycze ja wdać z przedostatej olumy tabel 3.3 są bardzo blso sebe połoŝoe a wyŝsze są oddzeloe zacze węszym wartoścam eerg. Jest to przejaw zjawsa tuelowaa cząst w rozpatrywaym potecjale [7]. Dla a 5 podwója studa watowa jest bardzo głęboa. Wtedy ajŝej połoŝoe pozomy eergetycze cząst watowej tworzą pary tj. dwa pozomy są połoŝoe bardzo blso sebe. Odległość pozomów w parze jest a tyle mała Ŝe tyc pozomów e moŝa umerycze oddzelć od sebe. Jest to przypade degeeracj umeryczej poewaŝ róŝca eerg pozomów w parze jest mejsza od przyjętej doładośc wyzaczaa eerg własyc za pomocą opracowayc programów omputerowyc. W rzeczywstośc pozomy te mają róŝe eerge [6]. Warto dodać Ŝe m węsza wartość masmum potecjału aarmoczego oraz odległość dzeląca mma tym blŝej sebe są połoŝoe pozomy eergetycze tworzące daą parę eerg.

41 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 4 Wyresy potecjału aarmoczego w zaleŝośc od zmeającego sę parametru a lustrują rys Rys.3.9. Wyres potecjał aarmoczego dla a 0.. Rys Wyres potecjału aarmoczego dla a 0.5.

42 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 4 Rys Wyres potecjału aarmoczego dla a. Rys Wyres potecjału aarmoczego dla a 5.

43 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 43 PoŜej zameszczoo wybrae wyresy perwszyc czterec fucj falowyc (ajŝszyc pozomów eergetyczyc cząst watowej) dla podayc wartośc 4 parametrów a < 0 potecjału aarmoczego o postac a Rys Fucje falowe stau podstawowego cząst w potecjale podwójej stud watowej. Fucje są symetrycze. Rys Fucje falowe perwszego stau wzbudzoego cząst w potecjale podwójej stud watowej. Wszyste są fucjam eparzystym.

44 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 44 Rys Fucje falowe (parzyste) trzecego stau watowego cząst w potecjale podwójej stud watowej. Rys Fucje falowe (eparzyste) czwartego stau watowego cząst w potecjale podwójej stud watowej..

45 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 45 Rysu reprezetują wpływ (rosącyc) wartośc parametru a a carater fucj falowyc perwszyc czterec ajŝszyc pozomów eergetyczyc cząst watowej w podwójej stud potecjału aarmoczego. Fucje włase odpowadające perwszemu trzecemu pozomow są fucjam parzystym atomast odpowadające drugemu czwartemu są eparzyste. Obserwujemy stotą zmaę carateru fucj falowej stau podstawowego tóra dla małyc wartośc a jest blsa fucj falowej watowego oscylatora armoczego dla a > 0 (porówaj wyresy z rys dla a 0.). Dla a 0.5 a.0 fucja falowa ma dwa masma co wsazuje a duŝe prawdopodobeństwo przebywaa cząst w lewej lub prawej stud podwójej potecjalej. Wdzmy Ŝe w tyc przypadac carater fucj falowej jest dametrale odmey od przypadów opsayc w rozdzale Poadto wszyste fucje falowe wraz ze wzrostem a obejmują coraz to szerszy węszy obszar przedzału wartośc co jest osewecją zacowaa sę potecjału aarmoczego opsaego wcześej.

46 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA Wos podsumowae Główym celem pracy była umerycza aalza jedowymarowego rówaa Scrödgera z potecjałem aarmoczym. Rówae to sprowadzoo przy ałoŝeu oreśloyc waruów brzegowyc zastosowau metody róŝc sończoyc [9] do postac algebraczego zagadea własego z symetryczą macerzą trójdagoalą (rozdzał ). UmoŜlwło to zastosowae szybc efetywyc algorytmów [6] do wyzaczaa wartośc wetorów własyc macerzy trójdagoalej będącyc bardzo dobrym przyblŝeam doładyc wartośc (eerg pozomów watowyc) wetorów własyc (fucj falowyc cząst watowej). Na potrzeby tego projetu zostały opracowae programy omputerowe Oscylator armoczy oraz Oscylator aarmoczy tóre wyorzystao do oblczeń umeryczyc pozomów eergetyczyc fucj falowyc cząst watowej zwązaej w aarmoczej stud watowej. Wyorzystae metod umeryczyc było zabegem oeczym poewaŝ e jest zae rozwązae aaltycze rozpatrywaego zagadea watowmecaczego awet w jedym wymarze. Wyoae oblczea umerycze pozwolły zweryfować poprawość opracowayc programów omputerowyc za pomocą tóryc otrzymao wy zgode z rezultatam aaltyczego rozwązaa watowego oscylatora armoczego (rozdzał 3.). Warto w tym mejscu odotować Ŝe wy oblczeń omputerowyc zameszczoe w rozdzale 3. wyazują oczewae tedecje dotyczące zaleŝośc doładośc wyzaczayc umerycze wartośc własyc od szeroośc przedzału całowaa lczby putów dysretej sat a tórej rozwązujemy algebracze zagadee włase sformułowae w rozdzale.5. W szczególośc wy z tabel wsazują Ŝe wzrost lczby putów N dysretej sat (.37) przy ustaloej szeroośc całowaa <aa> zacze polepsza doładość wyzaczoyc umerycze wartośc własyc oscylatora watowego. Przejawa sę to w maleu róŝc (patrz olumy tabel 3.3.6) pomędzy wartoścam doładym () (za jedostę eerg przyjęto eergę drgań um zerowyc) a wartoścam umeryczym ε podaym w olumac 4 6 tabel ZauwaŜmy Ŝe dla szeroego przedzału całowaa (patrz wy w tabelac ) ustaloej lczby putów sat doładośc wyzaczaa wyŝszyc pozomów eergetyczyc watowego oscylatora dramatycze maleją; p. wartość umerycza dzesątego pozomu eergetycze róŝ sę od wartośc doładej o 0 (patrz ostaa oluma ostat wersz tab. 3.5). Przeprowadzoe oblczea umerycze umoŝlwły zbadae ja zmay wartośc parametrów a b modelowego potecjału aaarmoczego wpływają a jego carater (ształt estrema loale) ) oraz a wartośc wetory włase (rozdzał 3). Oddzele przeaalzowao to w przypadu potecjału aarmoczgo z jedym mmum globalym (a > 0; rozdzał 3.3..) oraz z podwója studą watową (a < 0; rozdzał 3.3..). Wybrae wy oblczeń przedstawoo w rozdzale 3 gdze omówoo je oraz zameszczoo szczegółowe wos. Opracowae programy omputerowe Oscylator armoczy Oscylator aarmoczy są zameszczoe a dołączoej płyce CD gdze jest zapsaa róweŝ treść pracy dyplomowej. Programy te mogą być pomoce zostać wyorzystae przy ewelej bądź teŝ Ŝadej gerecj w od źródłowy do aalzy yc potecjałów.

47 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 47 Dodate A etody umerycze rozwązywaa rówaa Scrödgera W rozdzale tym przedstawoe będą wybrae metody wyzaczaa wartośc wetorów własyc symetryczej macerzy trójdagoalej tóre zostały wyorzystae do opracowaa programów a potrzeby pracy. A.. etoda arta-deaa postac etoda ta jest oparta o twerdzee arta-deaa. Nec U będze cągem macerzy U D z ( K m) (A.) T U D z E U E gdze l R l jest macerzą jedostową o stosowym rozmarze. Z tw. arta-deaa wya Ŝe lczba wartośc własyc l ww ( z) macerzy d e T e O O e O O e d (A.) mejszyc od daej lczby z jest rówa lczbe ujemyc wyrazów w cągu lczbowym e u d z u d z ( K ). (A.3) u Ja wdzmy l ww ( z) wyos gdze ( A) l ( z) ( T z) η( ) η ww u η ozacza lczbę ujemyc wartośc własyc A. PoŜej zameszczoo algorytm arta-deaa wyorzystujący cąg (A.3) do zajdowaa metodą bsecj wartośc własej σ ~. Algorytm arta-deaa [5] d e j z σ ~ z ε : Procedura Wartość_wł_D ( ) Koec. j ε ~ trójdagoalej macerzy symetryczej T z zadaą doładoścą zajduje j-tą wartość własą ( z ~ ε j macerzy T trd(ede) z doładoścą σ z - wstępe oszacowae przedzału zawerającego pojedyczą wartość własą. Powtarzaj: z p : ( z z / ); Jeśl z z ~ σ : ~ : ; Koec; ε z p η T z j : z : z Jeśl ( p ) p w przecwym raze z z ; : p

48 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 48 A.. etoda DWSZ Ne jest zaa uwersala metoda wyzaczaa wetorów własyc macerzy (A.). PoŜej przedstawoa jest metoda zastosowaa a potrzeby tej pracy zapropoowaa przez Dy Wu Spratla Zega zwaa metodą DWSZ [6]. NaleŜy wyzaczyć z zadaą doładoścą j-tą wartość własą j ε ~ algebraczego zagadea własego (.33). Dalej dla uproszczea zapsu pomęty zostae des j. Zajmemy sę problemem umeryczego oblczea współrzędyc wetora własego ( ) T K algebraczego zagadea własego (AZW) 0 ~ ~ d e e e e d ε ε O O O O. (A.4) Zapszmy powyŝszy uład rówań (A.4) w postac e d e e e e d ε ε 0 0 ~ ~ O O O O. (A.5) ( ) ~ e d e ε 0 (A.6) 0 0 ~ ~ O O O O e d e e e e d ε ε. (A.7) Defujemy ( ) lczb Θ Θ K oraz ( ) lczb Θ Θ K : ( ) ~ Θ ε d ( ) ~ Θ Θ e d ε ( ) K (A.8) ( ) ~ Θ ε d ( ) ~ Θ Θ e d ε ( ) K. (A.9) Za pomocą cągów ( ) Θ bądź ( ) Θ moŝemy zapsać rówaa (A.5)-(A.7) a dwa rówowaŝe sposoby: Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ e e e e e e e e (A.0) Wzory zajdujące sę pod resą w (A.0) pozwalają sformułować astępujący algorytm zajdowaa współrzędyc wetora własego odpowadającego wyzaczoej wcześej wartośc własej:

49 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 49 Algorytm DWSZ Procedura Wetor_wł_DWSZ ( e ~ ε σ ) Θ /( d ~ ); d : ε : / ~ K Θ d ε e Θ Θ / ( ~ d ε ); Dla : / ( ~ K Θ d ε e Θ ); Dla ( ); : Wyberz_put_pocz; : : ; Dla K : ; e Θ K : e Θ Dla ; : / ; ormowae wetora r e d ~ ε e ( ) : Jeśl r > σ : : Wyberz_y_put_pocz; dź do ; Koec.

50 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 50 Dodate B Dodate te zawera szczegółowy ops programów sposobu c uŝytowaa oraz elemetów tóre moŝa wewętrze modyfować (doładość oblczeń szybość oblczeń). Dla zmejszea objętośc testu z podawayc odów źródłowyc zostały wycęte ometarze. B.. Bblotea Rowae Scroedgera Bblotea ta jest zborem fucj procedur ezbędyc do poprawego dzałaa pozostałyc programów. Procedura AZW tworzy am wetor dagoaly d(n) dla podawaej w agłówu fucj oscylatora (osc). Jest to fragmet odpowedzaly za algebracze zagadee włase jest przystosoway do oscylatora armoczego aarmoczego. W celu wyorzystaa tej procedury do ego typu potecjału aleŝy zmodyfować stałą sat s oraz stworzyć fucję tóra będze tworzyła wetor v(n) w tórym zajdą sę wartośc potecjału. SUBROUTINE AZW(d e N a b s zm zma osc) IPLICIT NONE INTEGER N DOUBLE PRECISION d(n) e a b s zm zma DOUBLE PRECISION v(n) ETERNAL osc e -.0d0 s.0d0*(b - a)/(n) CALL osc(v N a b s zm zma) DO N d() 0.0d0 d().0d0 v() END DO END Fucja wart_ujeme wyzacza lczbę wartośc ujemyc w cągu (3.3) tóra jest rówa lczbe wartośc własyc macerzy (3.). Ne zawera modyfowalyc elemetów. INTEGER FUNCTION wart_ujeme(d e a N) IPLICIT NONE INTEGER N DOUBLE PRECISION d(n) a e INTEGER DOUBLE PRECISION z u(n) DO N u() 0.0d0 END DO wart_ujeme 0 z a u() d() - z IF (u().lt.0.0d0) wart_ujeme DO N u() d() - z - (e**.0d0) / u(-) IF (u().lt.0.0d0) THEN wart_ujeme wart_ujeme END IF END DO END

51 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 5 ( ) ( ) ( ) Procedura fz jest odpowedzala za wstępe oszacowae przedzału z 0 0 z co jest ezbęde do wyorzystaa algorytmu arta-deaa. Elemetem modyfowalym wewętrze jest doładość wyzaczea przedzału w tórym zajduje sę j-ta wartość własa czyl sgma (σ). NaleŜy pamętać aby doładość wyzaczae przedzałów była mejsza Ŝ doładość wyzaczea wartośc własej aby wyorzystae algorytmu D mało ses. SUBROUTINE fz(d e j z z N ma) IPLICIT NONE INTEGER N j DOUBLE PRECISION d(n) z z ma e INTEGER wart_ujeme DOUBLE PRECISION zp z sgma ETERNAL wart_ujeme sgma.0e-7 zp z z zp sgma 0 CONTINUE IF (zp.gt.ma) THEN RETURN END IF IF ((wart_ujeme(d e z N).EQ.j).OR.(wart_ujeme(d e z & &N).EQ.(j))) THEN z zp z z RETURN ELSE zp z z z sgma GOTO 0 END IF END D jest algorytmem arta-deaa opsaym podrozdzale 3.. a z z oreślają wstępe wyzaczoy przedzał za pomocą fucj fz. odyfowalym parametrem jest sgma czyl doładość wyzaczea j-tej wartośc własej. SUBROUTINE D(d e j z z epslo N) IPLICIT NONE INTEGER j N DOUBLE PRECISION d(n) e z z epslo INTEGER wart_ujeme DOUBLE PRECISION z sgma ETERNAL wart_ujeme sgma.0e-8 0 CONTINUE z (z z) /.0d0 IF ((z - z).le.sgma) THEN epslo z RETURN ELSE IF (wart_ujeme(dezn).eq.(j-)) THEN z z ELSE z z END IF GOTO 0 END

52 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 5 Fucja orma słuŝy do ormalzacj wetora ps(n). Bra modyfowalyc elemetów. DOUBLE PRECISION FUNCTION orma(ps N) IPLICIT NONE INTEGER N DOUBLE PRECISION suma ps(n) suma 0.d0 DO N suma suma ps()** END DO orma sqrt(suma) END Procedura DWSZ to algorytm DWSZ(3.) słuŝący do wyzaczea wetora własego ps(n) dla eerg własej epslo. Elemetem modyfowalym jest sgma doładość wyzaczea wetora własego oraz dobór desu (sposób jego doboru jest opsay w [6]). SUBROUTINE DWSZ(d e N epslo ps) IPLICIT NONE INTEGER N DOUBLE PRECISION d(n) e epslo ps(n) INTEGER DOUBLE PRECISION r sgma teta_m(n) teta_p(n) ma DOUBLE PRECISION orma ps_ma ETERNAL orma sgma.0e-6 DO N teta_m() 0.0d0 teta_p() 0.0d0 END DO teta_m().0d0 / (d() - epslo) DO N - teta_m().0d0 / (d() - epslo - (e**.0d0)*teta_m(-)) END DO teta_p(n).0d0 /(d(n) - epslo) DO N - - teta_p().0d0 / (d() - epslo - (e**.0d0)*teta_p()) END DO 30 CONTINUE IF (.GT.N) RETURN DO N ps() 0.0d0 END DO ps().0d0 DO N ps() -e*teta_p()*ps(-) END DO DO - - ps() -e*teta_m()*ps() END DO

53 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 53 ma 0.0d0 ps_ma orma(ps N) DO N ps() ps() / ps_ma END DO r abs(e*ps(-)(d() - epslo)*ps() e*ps()) IF (r.gt.sgma) THEN GOTO 30 END IF END Zwęszee doładośc wyzaczaa parametrów wąŝe sę ze zaczym wzrostem czasu oblczeń. B.. Program Oscylator armoczy Jest to główy program słuŝący do wyzaczaa wartośc wetorów własyc oscylatora armoczego. Procedura AZW_osc_arm słuŝy do oblczea wetora potecjału armoczego efet jej dzałaa wyorzystuje procedura AZW w bblotece opsaej wcześej. Następa procedura wetor_do oraz wyorzystywae przez ą fucje wetor wetor wetor3 wetor4 wetor5 są olejym pęcoma doładym (aaltyczym) fucjam własym oscylatora armoczego tóre zamplemetowao w celu porówaa wyów umeryczyc aaltyczyc. PROGRA Oscylator_Harmoczy IPLICIT NONE INTEGER N j DOUBLE PRECISION a b epslo Parametr N jest lczbą częśc a jaą zostae podzeloy przedzał <ab>. PARAETER (N 000) DOUBLE PRECISION d(n) e s z z zm zma ps(n) l ETERNAL AZW D fz DWSZ DOUBLE PRECISION ps_do(n) wetor wetor wetor3 wetor4 DOUBLE PRECISION wetor5 ETERNAL wetor_do wetor AZW_osc_arm wetor wetor3 ETERNAL wetor4 wetor5 INTEGER le_ww r_ww DOUBLE PRECISION epslo CHARACTER* aswer Parametry a b oreślają parzysty przedzał całowaa potecjału połówową szerooścą całowaa. a 0.0d0 b 0.0d0 0 CONTINUE call system('cls -af') prt*'*** OSCYLATOR HARONICZNY ***' OPEN (UNIT FILE'osc_ar_wartosc_wlase.dat') OPEN (UNIT FILE'osc_ar_ww_umeryczy.dat') prt*"*******************************" A A gdze ba jest

54 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 54 Tu astępuje wywołae procedury do oblczea wetora dagoalego wyorzystującej stworzoy potecjał AZW_osc_arm. CALL AZW(d e N a b s zm zma AZW_osc_arm) z zm z zma Wczytywae formacj podawayc z lawatury oraz stosowe zabezpeczea 0 CONTINUE prt*"podaj lczbę wartośc własyc do wyzaczea" read(**)le_ww IF (le_ww.lt.) THEN prt*"ussz podać przyajmej jedą wartość do wyzaczea" GOTO 0 END IF 00 CONTINUE prt*"podaj umer wartośc własej dla tórej ccesz oblczyć we &tor własy" read(**)r_ww IF (r_ww.lt.) THEN prt*"ussz podać przyajmej jede wetor do wyzaczea" GOTO 00 END IF IF (r_ww.gt.le_ww) THEN prt*" " prt*"nr wetora własego do oblczea e moŝe być węszy Ŝ& & lczba lczoyc wartośc własyc" GOTO 00 END IF Wywołae w pętl procedury wyzaczającej wartość własą DO jle_ww CALL fz(d e j z z N zma) CALL D(d e j z z epslo N) IF (j.eq.r_ww) epslo epslo z epslo prt*j' Wartość Własa' prt*' ' prt*'wartość Dołada ' *j- prt*'wartość Numerycza 'epslo prt*'wartość Aaltycza 'epslo/(s**.0d0) prt*'' wrte(*)jepslo/(s*s) END DO CLOSE (UNIT) Wywołae procedury wyzaczającej wetor własy -(b-a) CALL DWSZ(d e N epslo ps) DO j N wrte(*) ps(j) l j -(b-a) (.0d0*l*abs(b - a))/ N END DO

55 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 55 JeŜel wyzaczamy tóryś z perwszyc pęcu wetorów własyc to zostaje tworzoy dodatowy pl w tórym zajdują sę dołade wartośc współrzędyc tego wetora. IF (r_ww.eq.) CALL wetor_do(ps_do N a b wetor) IF (r_ww.eq.) CALL wetor_do(ps_do N a b wetor) IF (r_ww.eq.3) CALL wetor_do(ps_do N a b wetor3) IF (r_ww.eq.4) CALL wetor_do(ps_do N a b wetor4) IF (r_ww.eq.5) CALL wetor_do(ps_do N a b wetor5) prt*"\" prt*"utworzoo"r_ww" wetor własy" prt*"utworzoo astępujące pl" prt*" " prt*"potecjal_armoczy.dat" prt*"osc_ar_wartosc_wlase.dat - zawera wyzaczoe wartośc & &włase" prt*"osc_ar_ww_umeryczy.dat - zawera wyzaczoy wetor włas& &y umeryczy" IF ((r_ww.ge.).and.(r_ww.le.5)) THEN prt*"osc_ar_ww_dolady.dat - zawera wyzaczoy wetor własy & & dołady" END IF prt*" " CLOSE (UNIT) prt*"powtórzyć oblczea? (T/N)" read(**)aswer IF ((aswer.eq."t").or.(aswer.eq."t")) GOTO 0 prt*"*******************************" prt*" ***KONIEC PROGRAU***" END

56 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 56 Przyładowy efet ońcowy dzałaa programu Wartość Dołada wartość aaltycze wyzaczoej wartośc własej Wartość Numerycza umerycze wyzaczoa wartość ε Wartość Aaltycza umerycze wyzaczoa wartość ~ ε ε. s Utworzoe pl zajdują sę w folderze z programem główym. B.3. Program Oscylator aarmoczy Scemat programu Oscylator aarmoczy wygląda ta ja scemat programu Oscylator aarmoczy węc e ma potrzeby doładego opsywaa podobego programu. Ne zawera o jeda Ŝadyc zamplemetowayc doładyc wartośc fucj własyc. Pewyc wyjaśeń wymaga atomast procedura AZW_osc_aarm tóra jest odpowedem procedury AZW_osc_arm zawera jedą waŝą modyfację. Jest ą przeształcee wetora potecjału v(n) do postac bardzej ogólej. Zawera o trzy dodatowe parametry d g oraz wyład tóre są olejo odpowedam parametrów a g oraz ze wzoru (.7) SUBROUTINE AZW_osc_aarm(v N a b s zm zma) IPLICIT NONE INTEGER N DOUBLE PRECISION v(n) a b s zm zma g d l COON /parametry/dg OPEN (ut3 fle'potecjal_aarmoczy.dat') DO N v() 0.0d0 v() d*((-(b-a) *s)**.0d0)g*((-(b-a) *s)**(.0d0*)) v() (s**.0d0)*v() l -(b-a) (.0d0*l*abs(b - a))/ N WRITE(3*) v()/(s*s) END DO CLOSE (ut 3) zm v()

57 ANALIZA NUERYCZNA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA 57 zma v() DO N IF (v().lt.zm) THEN zm v() END IF IF (v().gt.zma) THEN zma v() END IF END DO zma 4.0d0 zma END Przyładowy efet ońcowy dzałaa programu Wartość Numerycza umerycze wyzaczoa wartość ε Wartość Numerycza Rzeczywsta umerycze wyzaczoa wartość Utworzoe pl zajdują sę w folderze z programem główym. ~ ε ε. s