SZEŚCIENNIE ZBIEŻNA METODA ROZWIĄZYWANIA UKŁADU NIELINIOWYCH RÓWNAŃ CUBICALLY CONVERGENT METHOD FOR NONLINEAR EQUATION SYSTEMS

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "SZEŚCIENNIE ZBIEŻNA METODA ROZWIĄZYWANIA UKŁADU NIELINIOWYCH RÓWNAŃ CUBICALLY CONVERGENT METHOD FOR NONLINEAR EQUATION SYSTEMS"

Filip Zych
8 lat temu
Przeglądów:

1 RAFAŁ PALEJ SZEŚCIENNIE ZIEŻNA MEODA ROZWIĄZYWANIA UKŁADU NIELINIOWYC RÓWNAŃ CUICALLY CONVERGEN MEOD FOR NONLINEAR EQUAION SYSEMS S t r e s z c z e e A b s t r a c t W artyule przedstawoo metodę rozwązywaa uładu elowyc rówań algebraczyc. Zaprezetowaa metoda jest uogóleem jedej z wersj metody alleya. Metoda ta carateryzuje sę zbeżoścą sześceą wymaga zajomośc pocodyc perwszego drugego rzędu, ezbędyc do wyzaczea macerzy Jacobego essego. Słowa luczowe: uład elowyc rówań algebraczyc, uogóloa metoda alleya, zbeżość sześcea e paper deals wt te metod or solvg systems o olear algebrac equatos. e metod preseted ts paper s geeralzato about oe o alley s metods. s metod s cubcally coverget ad t eeds rst ad secod dervatves order to determe Jacoba ad essas. Keywords: system o olear algebrac equatos, geeralzed alley s metod, cubc covergece Dr ab. ż. Raał Palej, pro. PK, Istytut Iormaty Stosowaej, Wydzał Mecaczy, Polteca Kraowsa.

2 40. Wstęp Koeczość rozwązywaa uładów elowyc rówań algebraczyc pojawa sę często podczas symulacj uładów zyczyc. Waga problemu spowodowała duże zateresowae tą problematyą osób zajmującyc sę metodam umeryczym. Cocaż stora rozwoju metod rozwązywaa rówań uładów rówań elowyc sęga czasów Newtoa, to w lu ostatc deadac moża było odotować dużo artyułów moogra pośwęcoyc tej tematyce. Zdecydowaa węszość metod opera sę a aprosymacj pocodyc [4], cocaż steje pogląd, że operowae aaltyczym postacam pocodyc ma swoje zalety [3]. Pommo wadratowej zbeżośc metody Newtoa, reomedowaej ze względu a swą prostotę [], pojawło sę wele metod cecującyc sę wyższym stopem zbeżośc [5]. Podobe wygląda sytuacja w odeseu do uładu rówań. Cocaż ajprostszą zarazem ajpopularejszą metodą rozwązywaa uładów rówań elowyc jest metoda Newtoa-Rapsoa, carateryzująca sę róweż zbeżoścą wadratową, to pojawają sę owe metody cecujące sę wyższym rzędem zbeżośc []. W artyule przestawoo metodę operającą sę a aaltyczyc wzorac opsującyc pocode perwszego drugego rzędu, ezbęde do wyzaczea macerzy Jacobego essego. Uwzględee we wzorze aylora sładów zawerającyc pocode drugego rzędu spowodowało, że przedstawoa w artyule metoda cecuje sę zbeżoścą sześceą.. Sormułowae problemu Weźmy pod uwagę uład elowyc rówań algebraczyc ze względu a ewadomyc, zapsay w postac: 0, gdze: wetor ewadomyc wetor lewyc stro rówań. Zwąze pomędzy wartoścą -tej ucj w puce, a wartoścam tejże ucj jej pocodyc w puce ozaczającym perwsze przyblżee, dostarcza wzór aylora:, gdze, zaś gradet esja -tej ucj mają astępującą budowę: 3

3 4 4 Relację moża zapsać dla wszystc ucj rówocześe w orme: J 5 gdze: J macerz Jacobego. Poszuując wetora, dla tórego 0, otrzymamy elowy uład rówań a współrzęde wetora w postac: 0 J 6 Zajomość wetora pozwol oreślć wartość drugego przyblżea, a w o- sewecj wyprowadzć wzór teracyjy. 3. Sposób rozwązaa Dla rówae 6 przestawa rówae wadratowe występujące w podejścu alleya podczas rozwązywaa jedego rówaa elowego. Aby uąć wyrażea perwastowego pojawającego sę w ścsłym rozwązau tego rówaa, moża wyo- rzystać rozwązae Newtoa, otrzymując róże odmay metody alleya. Podejśce to zostae zastosowae przy wyprowadzau wzoru teracyjego służącego do wyzaczaa przyblżoego rozwązae uładu rówań. W metodze Newtoa-Rapsoa, operającej sę a wzorze aylora uwzględającym pocode perwszego rzędu, wetor oreśloy jest wzorem: J 7 Podstawając wyrażee 7 do trzecego słada rówaa 6, otrzymamy: J r 0 8

4 4 gdze wetor r ma astępującą budowę: r J J J J J J 9 Rozwązując rówae 8 ze względu a otrzymamy: Druge przyblżee będze oreśloe wzorem: atomast wzór teracyjy przyjme postać: J r, 0 J r, J r,,, Pomjając we wzorze sład r, otrzymamy wzór teracyjy Newtoa-Rapsoa. Z ole dla otrzymamy ze wzoru jedą z odma metody alleya w postac []: 3 3 Moża wyazać, że powyższy wzór teracyjy cecuje sę zbeżoścą sześceą dla dostatecze blsego rozwązaa doładego. gdze: 4. Zbeżość metody Wzór teracyjy moża zapsać w postac: g 4 g J r 5 Wprowadzając pojęce odległośc -tego przyblżea od rozwązaa doładego * wzorem: rówae 4 przyjme postać: * 6 * g * 7

5 43 Rozwjając g w szereg aylora woół putu * z przyrostem, otrzymamy: A g g 8 gdze A * * ozaczają odpowedo macerz Jacobego macerze essego utwo- rzoe z pocodyc elemetów wetora g. Uwzględając zwąze 8 w rówau 7, otrzymamy: A g 9 Poeważ wetor * jest rozwązaem rówaa 0, jest róweż rozwązaem rówaa g, wobec czego rówae 9 oreśla zwąze zacodzący pomędzy odległoścam olejyc przyblżeń w postac: A 0 Wetor g, zdeoway wzorem 5, ma tę własość, że macerz Jacobego A * macerze essego * zerują sę. Ozacza to, że dla dostatecze blsego * cąg olejyc przyblżeń, oreśloy wzorem teracyjym, cecować sę będze zbeżoś- cą sześceą, uwdaczającą sę potrajaem lczby cyr zaczącyc w olejyc te- racjac. 5. Przyład oblczeowy Przedstawoa w artyule metoda zostae zlustrowaa a przyładze uładu, dla tórego wetor lewyc stro rówań ma postać: 0 9 s 5 Rozpatryway uład rówań ma 3 perwast, tóryc loalzację przestawa rys..

6 44 Rys.. Loalzacja perwastów rozpatrywaego uładu rówań Fg.. Locato o te roots o aalyzed set o equatos Dla [ ] otrzymamy astępujący cąg przyblżeń jedego z rozwązań. a b e l a Cyry zaczące w olejyc przyblżeac ewadomej a b e l a Cyry zaczące w olejyc przyblżeac ewadomej Aby zaobserwować rząd zbeżośc, oblczea przeprowadzoo z precyzją 85 cyr. Iteresujące z pozawczego putu wdzea są obszary zbeżośc do poszczególyc perwastów uładu rówań. Oazuje sę, że awet odległe puty startowe mogą prowadzć do wyzaczea przyblżea poszuwaego perwasta. Na rysuu przedstawoo obszary zbeżośc omawaej metody do perwasta * [ ]. Rys.. Obszary zbeżośc do perwasta * [ ] Fg.. Regos o covergece to te root * [ ]

7 45 Obszar zbeżośc słada sę z obszaru główego zawerającego poszuway perwaste oraz szeregu podobszarów o zróżcowayc rozmarac. Pozostałe perwast mają obszary zbeżośc podobe w caraterze do obszaru przedstawoego a rys.. 5. Wos Przedstawoa w artyule metoda carateryzuje sę prostym wzorem teracyjym. Zarówo macerz Jacobego, ja macerze essego moża w łatwy sposób wyzaczyć, orzystając z dowolego programu oblczeń symbolczyc. Z uwag a złożoą budowę słada r metoda ta może być stosowaa do uładu rówań o ewelc rozmarac. Oblczea umerycze poazały, że obszar zbeżośc zaprezetowaej w artyule metody ewele róż sę od obszaru zbeżośc metody Newtoa-Rapsoa, cecującej sę zbeżoścą wadratową. L t e r a t u r a [] D a l q u s t G., j ö r c Å., Numercal Metods Scetc Computg, Vol. I, SIAM, Pladelpa 008. [] o m e e r, A moded Newto metod wt cubc covergece: te multvarate case, Joural o Computatoal ad Appled Matematcs, Vol. 69, 004. [3] K e l l e y C.., Solvg Nolear Equatos wt Newto s Metods, SIAM, Pladelpa 003. [4] O r t e g a J.M., R e b o l d t W.C., Iteratve Soluto o Nolear Equatos Several Varables, SIAM, Pladelpa 000. [5] W e L., o g C., A Ued Framewor or te Costructo o ger-order Metods or Nolear Equatos, e Ope Numercal Metods Joural,, 00.

Podobne dokumenty

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy