Spis treści. Publikacja współinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

Transkrypt

1

2 Spis teści. Wtość ezwzględ liczy.... Potęgi i piewistki.... Logytmy Sili. Współczyik dwumiowy Wzó dwumiowy Newto Wzoy skócoego możei iągi Fukcj kwdtow Geometi litycz Plimeti...6. Steeometi.... Tygoometi...4. Komitoyk Rchuek pwdopodoieństw Pmety dych sttystyczych Gic ciągu Pochod fukcji Tlic wtości fukcji tygoometyczych...0 Pulikcj współisow pzez Uię Euopejską w mch Euopejskiego Fuduszu Społeczego. Pulikcj jest dystyuow ezpłtie. Wszw 05

3 . WRTOŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą liczy zeczywistej x deiiujemy wzoem: Licz x jest to odległość osi liczowej puktu x od puktu 0. l dowolej liczy x mmy: x 0 x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x= 0 x = x l dowolych licz x, y mmy: Podto, jeśli y 0, to l dowolych licz oz =. mmy:. POTĘGI I PIERWISTKI Niech ędzie liczą cłkowitą dodtią. l dowolej liczy deiiujemy jej -tą potęgę: =... Piewistkiem ytmetyczym stopi z liczy zywmy liczę tką, że =. W szczególości, dl dowolej liczy zchodzi ówość: =. Jeżeli < 0 oz licz jest iepzyst, to ozcz liczę < 0 Piewistki stopi pzystych z licz ujemych ie istieją. tką, że =. Niech m, ędą liczmi cłkowitymi dodtimi. eiiujemy: m = m Niech, s ędą dowolymi liczmi zeczywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zchodzą ówości: s s + s s = ( ) = = = Jeżeli wykłdiki, s są liczmi cłkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystkich licz 0 i 0. s = s

4 . LOGRYTMY Logytmem log c dodtiej liczy c pzy dodtiej i óżej od podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść, y otzymć c: log Rówowżie: c = wtedy i tylko wtedy, gdy c = log c = c l dowolych licz x > 0, y > 0 oz zchodzą wzoy: x log( xy )= logx+ logy logx = logx log = logx log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz c > 0, to log log = log Logytm log 0 x moż też zpisć jko log x lu lg x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINOWY Silią liczy cłkowitej dodtiej zywmy iloczy kolejych licz cłkowitych od do włączie:! =... Podto pzyjmujemy umowę, że 0! =. l dowolej liczy cłkowitej zchodzi związek: ( + )! = +! l licz cłkowitych, k spełijących wuki (symol Newto): k =! kk!( )! Zchodzą ówości: = k = k ( )( )... ( + k ) k k = 0 deiiujemy współczyik dwumiowy = k 5. WZÓR WUMINOWY NEWTON l dowolej liczy cłkowitej dodtiej oz dl dowolych licz, mmy: k kk ( + ) =

5 6. WZORY SKRÓONEGO MNOŻENI l dowolych licz, : ( + ) = + + ( + ) = ( ) = + ( ) = + l dowolej liczy cłkowitej dodtiej oz dowolych licz, zchodzi wzó: W szczególości: 7. IĄGI = kk = ( + ) = ( ) ( + ) ( ) + + ( ) ++ = + = + iąg ytmetyczy = ( + ) += + ( + + ) = Wzó -ty wyz ciągu ytmetyczego ()o piewszym wyzie i óżicy : = + Wzó sumę S = początkowych wyzów ciągu ytmetyczego: S + + = = Między sąsiedimi wyzmi ciągu ytmetyczego zchodzi związek: + = + dl iąg geometyczy Wzó -ty wyz ciągu geometyczego ()o piewszym wyzie i ilozie q: q = Wzó sumę S = początkowych wyzów ciągu geometyczego: Między sąsiedimi wyzmi ciągu geometyczego zchodzi związek: = + Pocet skłdy Jeżeli kpitł początkowy K złożymy lt w ku, w któym opocetowie lokt wyosi p% w skli oczej i kpitlizcj odsetek stępuje po upływie kżdego oku twi lokty, to kpitł końcowy K wyż się wzoem: KK = + p 00

6 8. FUNKJ KWRTOW Postć ogól fukcji kwdtowej: fx ()= x + x+ c 0 xr. Wzó kżdej fukcji kwdtowej moż dopowdzić do postci koiczej: p= q= 4 Wykesem fukcji kwdtowej jest pol o wiezchołku w pukcie o współzędych ( p,q). Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0 ; do dołu, gdy < 0. Licz miejsc zeowych fukcji kwdtowej fx ()= x + x+ c (licz piewistków tójmiu kwdtowego, licz zeczywistych ozwiązń ówi x + x+ c= 0 ), zleży od wyóżik = 4 : jeżeli <0, to fukcj kwdtow ie m miejsc zeowych (tójmi kwdtowy ie m piewistków zeczywistych, ówie kwdtowe ie m ozwiązń zeczywistych), jeżeli =0, to fukcj kwdtow m dokłdie jedo miejsce zeowe (tójmi kwdtowy m jede piewistek podwójy, ówie kwdtowe m dokłdie jedo ozwiązie zeczywiste): xx = = jeżeli >0, to fukcj kwdtow m dw miejsc zeowe (tójmi kwdtowy m dw óże piewistki zeczywiste, ówie kwdtowe m dw ozwiązi zeczywiste): x= x= + Jeśli 0, to wzó fukcji kwdtowej moż dopowdzić do postci iloczyowej: ()= ( )( ) fx xxxx Wzoy Viéte Jeżeli 0, to c xx + = xx = 9. GEOMETRI NLITYZN Odciek ługość odcik o końcch w puktch = ( xy, ), xy = (, ) jest d wzoem: + ( ) = xx yy y =(x, y ) Współzęde śodk odcik : xxyy + +, O =(x, y ) x 4

7 Wektoy Współzęde wekto : = xxyy, [ ] Jeżeli u=[ uuvvv, ], =[, ] są wektomi, zś jest liczą, to uv += [ uvuv +, + ] u = [ uu, ] Post Rówie ogóle postej: x+ y+ = 0, gdzie + 0 (tj. współczyiki, ie są ówocześie ówe 0). Jeżeli = 0, to post jest ówoległ do osi Ox; jeżeli = 0, to post jest ówoległ do osi Oy; jeżeli = 0, to post pzechodzi pzez początek ukłdu współzędych. y Jeżeli post ie jest ówoległ do osi Oy, to m o ówie y = x + kieukowe: yx = + Licz to współczyik kieukowy postej: = tg O x Współczyik wyzcz osi Oy pukt, w któym d post ją pzeci. = Rówie kieukowe postej o współczyiku kieukowym, któ pzechodzi pzez pukt Pxy, : yxx = ( )+ y 0 0 Rówie postej, któ pzechodzi pzez dw de pukty : Post i pukt ( ) yy xx ( yyxx )( )= 0 = Odległość puktu Pxy, od postej o ówiu x+ y+ = 0 jest d wzoem: x + y P postych wie poste o ówich kieukowych: yx = + yx = + spełiją jede z stępujących wuków: są ówoległe, gdy = są postopdłe, gdy = twozą kąt osty φ i tg φ=

8 wie poste o ówich ogólych: x+ y+ = 0 x+ y+ = 0 są ówoległe, gdy = 0 są postopdłe, gdy + = 0 twozą kąt osty φ i tg φ= Tójkąt + = = = Pole tójkąt o wiezchołkch xy,, xy,, xy,, jest de wzoem: P = x xyy ( y yxx ) Śodek ciężkości tójkąt, czyli pukt pzecięci jego śodkowych, m współzęde: xxxyyy , Pzeksztłcei geometycze =[ ] = pzesuięcie o wekto u, pzeksztłc pukt xy, pukt ' = x+ y, + symeti względem osi Ox pzeksztłc pukt =( xy, ) pukt ' = ( x, y) symeti względem osi Oy pzeksztłc pukt =( xy, ) pukt ' = ( xy, ) symeti względem puktu (, ) pzeksztłc pukt =( xy, ) pukt ' = ( xy, ) jedokłdość o śodku w pukcie O i skli s 0 pzeksztłc pukt pukt ' tki, że O' = so, więc, jeśli O=( x0, y0), to jedokłdość t pzeksztłc pukt =( xy, ) pukt ' = sx+ sxsy, sy ( 0 + 0) Rówie okęgu = Rówie okęgu o śodku w pukcies, i pomieiu >0: lu + ( ) = x y 0. PLNIMETRI echy pzystwi tójkątów F E 6

9 To, że dw tójkąty i EF są pzystjące EF, możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępujących cech pzystwi tójkątów: cech pzystwi ok ok ok : odpowidjące soie oki ou tójkątów mją te sme długości: = E, = F, = EF cech pzystwi ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są ówe odpowidjącym im okom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi okmi jedego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjący mu kąt dugiego tójkąt, p. = E, = F, = EF cech pzystwi kąt ok kąt : jede ok jedego tójkąt m tę smą długość, co odpowidjący mu ok dugiego tójkąt oz miy odpowidjących soie kątów ou tójkątów, pzyległych do oku, są ówe, p. = E, = EF, = EF echy podoieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podoe EF, możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępujących cech podoieństw tójkątów: cech podoieństw ok ok ok : długości oków jedego tójkąt są popocjole do odpowiedich długości oków dugiego tójkąt, p. E = = F EF cech podoieństw ok kąt ok : długości dwóch oków jedego tójkąt są popocjole do odpowiedich długości dwóch oków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi oków są pzystjące, p. cech podoieństw kąt kąt kąt : dw kąty jedego tójkąt są pzystjące do odpowiedich dwóch kątów dugiego tójkąt (więc też i tzecie kąty ou tójkątów są pzystjące): = EF, = EF, = FE 7

10 Pzyjmujemy ozczei w tójkącie : c γ β,, c długości oków, leżących odpowiedio pzeciwko wiezchołków,, p=++c owód tójkąt, β, γ miy kątów pzy wiezchołkch,, h, h, h c wysokości opuszczoe z wiezchołków,, R, pomieie okęgów opisego i wpisego Twiedzeie siusów β γ Twiedzeie cosiusów c = + c cos c = + c cosβ c = + cosγ Wzoy pole tójkąt P = h = h = ch P = siγ = c siβ = c si siβ siγ si siγ P = = = c si siβ P c = P = R si siβ siγ 4R P = p P = ppppc si siβ siγ ( )( ) Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkącie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy + = c. Związki miowe w tójkącie postokątym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówczs: c γ h c β h = c hc = c c = si= c cosβ = tg = tgβ c + R= c = = pc 8

11 Tójkąt ówooczy h długość oku h wysokość tójkąt h= R= h P = = h 4 Twiedzeie Tles (wz z twiedzeiem odwotym do iego) Róże poste i pzeciją się w pukcie P, pzy czym spełioy jest jede z wuków: pukt leży wewątz odcik P oz pukt leży wewątz odcik P lu pukt leży zewątz odcik P oz pukt leży zewątz odcik P. Wówczs poste i są ówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy P = P P P zwookąty h Tpez zwookąt, któy m co jmiej jedą pę oków ówoległych. Wzó pole tpezu: P= + h h φ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległych. Wzoy pole ówoległooku: Ph = = si = siφ 9

12 h Rom zwookąt, któy m wszystkie oki jedkowej długości. Wzoy pole omu: Ph = = si = eltoid zwookąt wypukły, któy m oś symetii zwiejącą jedą z pzekątych. Wzó pole deltoidu: P= Koło Wzó pole koł o pomieiu : P=π O Owód koł o pomieiu : L= π Wyciek koł Wzó pole wycik koł o pomieiu i kącie śodkowym wyżoym w stopich: P= π 60 O ługość łuku wycik koł o pomieiu i kącie śodkowym wyżoym w stopich: l= π 60 Kąty w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. O Miy kątów wpisych w okąg, optych tym smym łuku, są ówe. Miy kątów wpisych w okąg, optych łukch ówych, są ówe. 0

13 Twiedzeie o kącie między styczą i cięciwą O O y jest okąg o śodku w pukcie O i jego cięciw. Post jest stycz do tego okęgu w pukcie. Wtedy O=, pzy czym wyiemy te z kątów śodkowych O, któy jest opty łuku zjdującym się wewątz kąt. Twiedzeie o odcikch styczych Jeżeli stycze do okęgu w puktch i pzeciją się w pukcie P, to P = P P Twiedzeie o odcikch sieczej i styczej e są: post pzecijąc okąg w puktch i oz post stycz do tego okęgu w pukcie. Jeżeli poste te pzeciją się w pukcie P, to P P = P P

14 Okąg opisy czwookącie γ β N czwookącie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeciwległych kątów wewętzych są ówe 80 : +=+=80 γ β δ δ Okąg wpisy w czwookąt c W czwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego pzeciwległych oków są ówe: cd +=+ d. STEREOMETRI Twiedzeie o tzech postych postopdłych k l P m Post k pzeij płszczyzę w pukcie P. Post l jest zutem postokątym postej k tę płszczyzę. Post m leży tej płszczyźie i pzechodzi pzez pukt P. Wówczs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l.

15 Pzyjmujemy ozczei: P pole powiezchi cłkowitej P p pole podstwy P pole powiezchi oczej V ojętość Postopdłości H G E F c P= cc + + V = c gdzie,, c są długościmi kwędzi postopdłościu Gistosłup posty J I H F G h P= ph VPh = p E gdzie p jest owodem podstwy gistosłup Ostosłup S E h O V= Pp h gdzie h jest wysokością ostosłup

16 Wlec h P = πh P= πh + V= πh O gdzie jest pomieiem podstwy, h wysokością wlc Stożek S h l P = πl P= πl + V= πh O gdzie jest pomieiem podstwy, h wysokością, l długością twozącej stożk Kul O P= 4π V= 4 π gdzie jest pomieiem kuli. TRYGONOMETRI eiicje fukcji tygoometyczych kąt ostego w tójkącie postokątym c β si= c siβ= cos = cosβ= c tg = tg β= c c 4

17 eiicje fukcji tygoometyczych y M = (x, y) y x O x si = cos = y tg =, gdy x 0 x gdzie y x x y = + > jest pomieiem wodzącym puktu M 0 Wykesy fukcji tygoometyczych y π 0 π π x π π π y = si x y 4 y π 0 π π π π π x π 0 π π π π π x 4 y = cos x y = tg x Związki między fukcjmi tego smego kąt si + cos = si π tg = dl + k π, k cłkowite cos Niektóe wtości fukcji tygoometyczych π 6 π 4 π π si 0 cos 0 tg 0 ie istieje 5

18 Fukcje sumy i óżicy kątów l dowolych kątów, β zchodzą ówości: si( + β)= si cosβ+ cos siβ si( β)= si cosβ cos siβ cos( + β )= cos cosβ si siβ cos( β ) = cos cosβ + si siβ Podto mmy ówości: tg+ tgβ tg tgβ tg( + β)= tg( β)= tg tgβ + tg tgβ któe zchodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukcje podwojoego kąt si= si cos cos= cos si = cos = si tg tg= tg Sumy, óżice i iloczyy fukcji tygoometyczych + β β si+ siβ = si cos si siβ = ( cos( + β ) cos( β )) + β β si siβ = cos si cos cosβ = ( cos( + β ) + cos( β )) + β β cos+ cosβ = cos cos si cosβ = ( si( + β ) + si( β )) + β β cos cosβ = si si Wye wzoy edukcyje Okesowość fukcji tygoometyczych si( + k 60 )= si cos( + k 60 )= cos tg ( + k 80 )= tg, k cłkowite. KOMINTORYK Wicje z powtózeimi Licz sposoów, któe z óżych elemetów moż utwozyć ciąg, skłdjący się z k iekoieczie óżych wyzów, jest ów k. Wicje ez powtózeń Licz sposoów, któe z óżych elemetów moż utwozyć ciąg, skłdjący się z óżych wyzów, jest ów... ( k + )=! k! 6

19 Pemutcje Licz sposoów, któe ( ) óżych elemetów moż ustwić w ciąg, jest ów!. Komicje Licz sposoów, któe spośód óżych elemetów moż wyć 0 elemetów, jest ów 4. RHUNEK PRWOPOOIEŃSTW k. Włsości pwdopodoieństw Twiedzeie: Klsycz deiicj pwdopodoieństw Niech Ω ędzie skończoym zioem wszystkich zdzeń elemetych. Jeżeli wszystkie zdzei jedoelemetowe są jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zdzei Ω jest ówe P ()= Ω gdzie ozcz liczę elemetów ziou, zś Ω liczę elemetów ziou Ω. Pwdopodoieństwo wukowe Niech, ędą zdzeimi losowymi zwtymi w Ω, pzy czym P ()> 0. Pwdopodoieństwem wukowym P P ( )= zywmy liczę P ( ) P () Twiedzeie o pwdopodoieństwie cłkowitym Jeżeli zdzei losowe,,, zwte w Ω spełiją wuki:.,,, są pmi ozłącze, tz. = dl. = Ω,. P i ()> 0 i, to dl kżdego zdzei losowego zwtego w Ω zchodzi ówość P PP P P PP ()= ()+ ()++ () i j 7

20 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetycz Śedi ytmetycz licz,,..., jest ów: = Śedi wżo Śedi wżo licz,,...,, któym pzypiso dodtie wgi odpowiedio: w, w,..., w jest ów: w + ++ w... w ww w Śedi geometycz Śedi geometycz ieujemych licz,,..., jest ów:... Medi Medią upoządkowego w kolejości iemlejącej ziou dych liczowych jest:... dl iepzystych: + (śodkowy wyz ciągu) dl pzystych: + (śedi ytmetycz śodkowych wyzów ciągu) + Wicj i odchyleie stddowe Wicją dych liczowych,,..., o śediej ytmetyczej jest licz: ( )+ σ = ( ) = Odchyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wicji. 6. GRNI IĄGU Gic sumy, óżicy, iloczyu i ilozu ciągów e są ciągi i, okeśloe dl. ()() Jeżeli lim = oz lim =, to lim( + )=+ lim( )= lim( )= Jeżeli podto 0 dl oz 0, to lim = 8

21 Sum wyzów ieskończoego ciągu geometyczego y jest ieskończoy ciąg geometyczy (), okeśloy dl, o ilozie q. () ozcz ciąg sum początkowych wyzów ciągu Niech S (), to zczy ciąg okeśloy wzoem S = dl. Jeżeli q <, to ciąg () S m gicę S= lims = q Tę gicę zywmy sumą wszystkich wyzów ciągu (). 7. POHON FUNKJI Pochod sumy, óżicy, iloczyu i ilozu fukcji () c x = ( cfx) cr fx ()+ gx () = fxgx ()+ fx gx () = fxgx () () fxgx = fxgx () ()+ fxgx () fx gx () () () () fxgx fxgx = () () () gdy gx 0 gx () Pochode iektóych fukcji Niech,, c ędą dowolymi liczmi zeczywistymi, dowolą liczą cłkowitą. fukcj fx ()= c fx = 0 fx ()= x+ fx = fx ()= x + x+ c f x x pochod fukcji = + fx x ()=, x 0 f ( x)= fx x ()= = x fx x Rówie styczej ( 0, () 0) Jeżeli fukcj f m pochodą w pukcie x 0, to ówie styczej do wykesu fukcji f w pukcie xfx de jest wzoem yx = +, gdzie współczyik kieukowy styczej jest ówy wtości pochodej fukcji f w pukcie x 0, to zczy fx = ( 0 ), tomist = fx () 0 f ( xx 0) 0. Rówie styczej możemy zpisć w postci + () yfx = x x f x

22 8. TLI WRTOŚI FUNKJI TRYGONOMETRYZNYH s cosβ tg β 0 0,0000 0, ,075 0, ,049 0, ,05 0, ,0698 0, ,087 0, ,045 0, ,9 0, ,9 0, ,564 0, ,76 0, ,908 0, ,079 0,6 78 0,50 0, ,49 0, ,588 0, ,756 0, ,94 0, ,090 0, ,56 0, ,40 0, ,584 0, ,746 0, ,907 0, ,4067 0, ,46 0, ,484 0, ,4540 0, ,4695 0, ,4848 0, ,5000 0, ,550 0, ,599 0, ,5446 0, ,559 0, ,576 0, ,5878 0, ,608 0, ,657 0, ,69 0, ,648 0, ,656 0, ,669 0, ,680 0, ,6947 0, ,707, cosβ tg β 46 0,79, ,74, ,74, ,7547, ,7660, ,777, ,7880, ,7986, ,8090, ,89, ,890, ,887, ,8480, ,857, ,8660, ,8746, ,889, ,890, ,8988, ,906, ,95, ,905, ,97, ,96, ,997, ,9455, ,95, ,956, ,96, ,9659, ,970 4, ,9744 4,5 78 0,978 4, ,986 5, ,9848 5, ,9877 6, ,990 7, ,995 8, ,9945 9, ,996, ,9976 4, ,9986 9, ,9994 8, , ,900 90,

23

24 etl Komisj Egzmicyj ul. Józef Lewtowskiego 6, Wszw tel. () , fx () e-mil: Okęgow Komisj Egzmicyj w Gdńsku ul. N Stoku 49, Gdńsk tel. (58) , fx (58) e-mil: komisj@oke.gd.pl Okęgow Komisj Egzmicyj w Łodzi ul. Puss 4, 94-0 Łódź tel. (4) 6-49-, fx (4) e-mil: komisj@komisj.pl Okęgow Komisj Egzmicyj w Jwozie ul. dm Mickiewicz 4, Jwozo tel. () , fx () e-mil: oke@oke.jw.pl Okęgow Komisj Egzmicyj w Poziu ul. Goow, Pozń tel. (6) , fx (6) e-mil: seketit@oke.poz.pl Okęgow Komisj Egzmicyj w Kkowie os. Szkole 7, -978 Kków tel. () 68--0, fx () e-mil: oke@oke.kkow.pl Okęgow Komisj Egzmicyj w Wszwie Plc Euopejski, Wszw tel. () , fx () e-mil: ifo@oke.ww.pl Okęgow Komisj Egzmicyj w Łomży l. Legioów 9, Łomż tel. (86) , fx (86) e-mil: seketit@oke.lomz.pl Okęgow Komisj Egzmicyj we Wocłwiu ul. Zielińskiego 57, 5-5 Wocłw tel. (7) , fx (7) e-mil: seketit@oke.woc.pl Pulikcj współisow pzez Uię Euopejską w mch Euopejskiego Fuduszu Społeczego. Pulikcj jest dystyuow ezpłtie. ISN