CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Transkrypt

1 Politecnika Rzeszowska Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Kateda Samolotów i Silników Lotniczyc Pomoce dydaktyczne Wytzymałość Mateiałów CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH Łukasz Święc Rzeszów, 18 Ewentualne uwagi, sugestie lub błędy w tekście poszę kieować na ades: lukasz.swiec@pz.edu.pl

2 1. Podstawy teoetyczne Rozpatzmy dowolną figuę płaską o polu leżącą w płaszczyźnie okeślonej w układzie współzędnyc YZ (ys. 1.1). Figuę podzielono na nieskończenie wiele pól elementanyc d odległyc odpowiednio o y i z od osi Z i Y. Figua taka cecuje się właściwościami, nazywanymi caakteystykami geometycznymi, z któyc podstawowe zdefiniowano poniżej. Pole figuy Rys.1.1 Pole figuy definiujemy, jako sumę pól elementanyc d. = d (1) Momenty statyczne pola figuy względem osi Momentem statycznym pola figuy względem osi nazywamy sumę iloczynów pól elementanyc d pzez ic odległości od tej osi. S y = z d, S z = y d () UWG Moment statyczny pola figuy płaskiej względem osi pzecodzącej pzez śodek ciężkości figuy jest ówny zeo, oś taką nazywamy osią centalną. KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st.

3 Śodek ciężkości figuy y sc = S z = y d, z sc = S y = z d W pzypadku figu złożonyc z wielu figu podstawowyc (np. postokątów, tójkątów) sumy ciągłe we wzoac (3) zastąpić można sumowaniem iloczynów współzędnej śodka ciężkości i pola poszczególnyc figu. Pzykładowo dla figuy z ysunku 1. położenie osi centalnyc wyznacza się, jako: y sc = y y + y , z sc = z z + z Ogólnie, kiedy figua składa się n składowyc, zależności powyższe pzyjmą postać: (3) y sc = y i i i, z sc = z i i i. i = 1,,, n (4) Rys.1.. UWG W figuac symetycznyc śodek ciężkości leży na osi symetii figuy. KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 3

4 Moment bezwładności figuy względem osi (osiowy moment bezwładności) Osiowym momentem bezwładności figuy nazywamy sumę iloczynów pól elementanyc d pzez kwadaty ic odległości od tej osi. I y = z d, I z = y d (5) Biegunowy moment bezwładności Biegunowym momentem bezwładności figuy nazywamy sumę iloczynów pól elementanyc d pzez kwadaty ic odległości od bieguna. I = d (6) UWG Na podstawie ysunku 1.1 łatwo zauważyć, że: = y + z Po podstawieniu tej ówności do zależności (6) otzymamy: I = d = (y + z ) d = y d + z d = I z + I y Biegunowy moment bezwładności jest sumą momentów osiowyc względem postopadłyc osi pzecodzącyc pzez ten biegun. Moment dewiacji względem układu osi (moment odśodkowy) Momentem dewiacji figuy względem układu osi nazywamy sumę iloczynów pól elementanyc d pzez ic odległości od każdej z dwóc osi. I yz = yz d (7) UWG Moment dewiacji względem osi, z któyc minimum jedna pokywa się z osią symetii (osią centalną) figuy wynosi zeo. Osie względem, któyc moment odśodkowy jest ówny zeu nazywa się centalnymi osiami głównymi. KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 4

5 TWIERDZENIE STEINER Twiedzenie to umożliwia wyznaczenie watości momentów bezwładności względem układu osi YZ pzesuniętyc względem układu centalnego Y C Z C o watości a i b. y = y 1 + b z = z 1 + a b = y y 1 a = z z 1 Rys Podstawiając do wzou (5) definiującego moment bezwładności względem osi Y wyażenie na odległość z będącą miaą oddalenia elementanego pola d od tej osi otzymamy: I y = z d = (z 1 + a) d = (z 1 + z 1 a + a ) d = z 1 d + a z 1 d + a d = I yc + a I yc S yc = = W wyażeniu powyższym piewszy człon (I yc ) ozumieć należy, jako moment bezwładności figuy o polu względem jej osi centalnej Y c. Człon dugi epezentuje moment statyczny pola tej figuy względem tej samej osi, toteż watość ta musi wynosić zeo. Człon ostatni natomiast jest iloczynem odległości pomiędzy dowolną osią Y, a osią centalną Y c pzez pole tej figuy. nalogiczny tok ozumowania zastosować można dla dugiego z momentów osiowyc oaz dla momentu odśodkowego. W efekcie otzymuje się zależności umożliwiające wyznaczanie momentów bezwładności względem układu osi pzesuniętyc: I y = I yc + a I z = I zc + b (8) I yz = I yc z C + ab KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 5

6 Momenty bezwładności względem układu osi obóconyc W celu okeślenia watości momentów bezwładności względem układu osi UV obóconego względem układu YZ o kąt α należy skozystać z następującyc wzoów tansfomacyjnyc: I u = I y cos α + I z sin α + I yz sin α I v = I y sin α + I z cos α I yz sin α (9) I uv = I yz cos α I y I z sinα Rys Wzoy (9) są słuszne pod waunkiem pzyjęcia za obót dodatni, kieunku tygonometycznego (patz ys.1.4). Główne momenty i kieunki bezwładności Ze zbiou nieskończenie wielu możliwyc położeń osi UV znaleźć można szczególny układ względem, któego osiowe momenty bezwładności pzyjmą watości maksymalną i minimalną. Układ taki nazywa się układem głównym, a jeżeli pzecodzi ównież pzez śodek ciężkości figuy nosi nazwę głównego centalnego układu osi. Watości głównyc momentów bezwładności wyznacza się, jako: I max = I 1 = I y + I z I min = I = I y + I z + ( I y I z ) + I yz ( I y I z ) + I yz (1) Kąt, o jaki należy obócić dowolny układ osi YZ, aby stał się układem głównym danej figuy oblicza się z zależności: I yz tgα = I y I z Infomację, o jaki kąt należy obócić oś poziomą układu współzędny, aby pokyła się z osią względem, któej moment bezwładności jest maksymalny (α max ) oaz minimalny (α min ), dostaczają wyażenia: (11) tgα max = tgα 1 = I yz I z I 1, tgα min = tgα = I yz I z I (1) KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 6

7 Koło Moa dla momentów bezwładności Gaficzną epezentacją zbiou wszystkic watości momentów bezwładności cecującyc daną figuę stanowi tzw. koło Moa. Koło Moa wykeśla się w układzie współzędnyc, w któym na osi poziomej odmiezamy watości osiowyc momentów bezwładności (I y, I z ), na osi pionowej natomiast watości odśodkowego momentu bezwładności (I yz ). Położenie śodka koła Moa wyznacza długość odcinka OC. Punkty pzecięcia obwodu koła z osią poziomą (1, ) wskazują watości głównyc momentów bezwładności (I 1, I ). Punkty K i L epezentują watości momentów bezwładności względem układu osi obóconyc, o kąt α w stosunku do układu głównego. Śodek koła: OC = I y + I z Pomień koła: Rys = ( I y I z ) + I yz KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 7

8 Tablica 1. Momenty bezwładności figu podstawowyc Figua Momenty bezwładności względem osi centalnyc Odśodkowy moment bezwładności względem układu osi centalnyc = b y SC = b z SC = I yc = b3 1 I zc = b3 1 I yzc = = 1 b y SC = b 3 z SC = 3 I yc = b3 36 I zc = b3 36 I yzc = ± b 7 = 1 b y SC = b z SC = 3 I yc = b3 36 I zc = b3 48 I yc z C = = π I yc = I zc = π 4 4 I yc z C = = π y SC = z SC = 4 3 π I yc = 4 ( π 8 8 9π ),11 4 I zc = π 4 8 I yc z C = = π 4 y SC = 4 3 π z SC = 4 3 π I yc = I zc = = 4 ( π π ),55 4 I yc z C = ± ( π ) ±,165 4 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 8

9 . PRZYKŁDY zastosowanie teoii.1. Znaleźć współzędną z sc śodka ciężkości tójkąta Pole tójkąta oaz pole elementanego wycinka pola: = 1 b, d = s dz Z podobieństwa tójkątów wyznaczyć można długość s: s b = z s = b ( z) Współzędną z sc wyznacza się, zatem jako: z sc = S y Rys..1 z sc = z b ( z) dz = 1 b (z z ) dz z sc = 3 = { z } z3 3 = {3 3 3 }.. Znaleźć współzędną z sc śodka ciężkości ćwiatki koła Zadanie ozwiązane zostanie w biegunowym układzie współzędnyc, dla któego zacodzi zależność: z = ρ sinφ, y = ρ cosφ d = ρ dρ dφ Moment statyczny pola figuy względem osi y wynosi: S y = z d = ( ρ3 3 ) π = ρ sinφ ρ dρ dφ = π sinφ dφ = 3 3 ( cosφ) π 3 = 3 Współzędna śodka ciężkości pzyjmuje zatem watość: 4 z sc = 3 π Rys.. KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 9

10 .3. Znaleźć współzędną z sc śodka ciężkości ćwiatki koła (dugi sposób) Pole figuy oaz pole elementanego wycinka pola: gdzie: d = s dz, s = z = π 4 Moment statyczny pola figuy względem osi y wynosi: S y = z d = z z dz t = z dt = zdz 1 S y = { zdz = 1 } = t dt dt Rys..3 S y = ( ( t)3 3 ) = ( 3 3 ) = 3 3 z sc = S y z sc = 4 3π.4. Wyznaczyć moment bezwładoności postokąta względem osi ównoległej do podstawy i pzecodzącej pzez jego śodek ciężkości (ys..4a) oaz osi pzecodzącej pzez kawędź podstawy (ys..4b) Rys..4a Rys..4b I y = z b dz = b [ z3 3 ] = b3 1 I y1 = z b dz = b [ z3 3 ] = b3 3 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 1

11 .5. Wyznaczyć moment bezwładności ćwiatki koła względem osi y pzecodzącej pzez kawędź figuy Zadanie ozwiązane zostanie w biegunowym układzie współzędnyc, dla któego zacodzi zależność: z = ρ sinφ, y = ρ cosφ d = ρ dρ dφ Moment bezwładności wyazi się jako: I y = z d I y = ρ 3 dρ I y = ρ4 4 π = (ρ sinφ) ρ dρ dφ π sin φdφ π sin φ dφ Rys..5 Całkę sin φ obliczyć można stosując zasadę całkowania pzez części: sin φ dφ = sinφ sinφ dφ = sinφ ( cosφ) dφ sin φ dφ = sinφ cosφ cosφ ( cosφ) dφ = sinφ cosφ + cos φ dφ sin φ dφ = sinφ cosφ + (1 sin φ ) dφ = sinφ cosφ + dφ sin φ dφ sin φ dφ = sinφ cosφ + φ sin φ dφ = φ 1 sinφ cosφ Wykozystując powyższe: I y = ρ4 4 ( φ 1 sinφ cosφ) π I y = 4 4 (π 4 1 sin π cos π ) 4 4 ( 1 4 sin cos) = 4 π 4 Ostatecznie: I y = π4 16 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 11

12 .6. Wyznaczyć moment bezwładności tójkąta względem osi y pzecodzącej pzez jego podstawę. Następnie kozystając z twiedzenia Steinea znaleźć moment bezwładności względem centalnej osi y C. Elementane pole figuy wyznacza się jako: d = s dz gdzie: s b = z s = b ( z) Moment bezwładności względem osi Y: I y = z d = b (z z3 ) dz = z b ( z) dz = = b ( z3 3 z4 4 ) Rys..6a I y = b3 1 Wiedząc, że odległość pomiędzy osiami y i y C wynosi: pole tójkąta: z sc = 3 = b Moment bezwładności względem osi y C wyazić można, jako: I yc = I y z sc 3 Rys..6b I yc = b3 1 ( b 3 ) = b3 1 b3 18 = b3 36 I yc = b3 36 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 1

13 .7. Wyznaczyć moment bezwładności tójkąta ównoamiennego względem osi pionowej pokywającej się z osią symetii figuy Elementane pole figuy wyznacza się jako: gdzie: d = s dy s = b y b s = b (b y) Moment bezwładności względem osi Z, ze względu na symetię, ówny będzie podwojonemu momentowi połówki tójkąta: I z = y d = y b (b y) dy = I z = 4 b (b y 3 b 3 3 y4 4 ) 4 = b (b ( b ) 6 b b 4 (b ) 4 ) b Rys..7 (b y y 3 ) dy I z = b Wyznaczyć moment odśodkowy postokąta względem układu osi pzecinającego się w naożu figuy Metoda obliczeń pzy wyboze pola elementanego w postaci d = dy dz (ys..8a): I yz = yz d = ( y dy) z dz = ( y ) z dz = = b (z ) b I yz = b 4 b Rys..8a Metoda obliczeń pzy wyboze pola elementanego w postaci d = b dz (ys..8b): I yz = yz d = z y sc b dz z b b b dz = (z ) I yz = b 4 Rys..8b KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 13

14 .9. Wyznaczyć moment odśodkowy ćwiatki koła względem układu osi pzecinającego się w naożu figuy. Następnie kozystając z twiedzenia Steinea znaleźć odśodkowy moment bezwładności względem osi centalnyc figuy Elementane pole figuy wyznacza się jako: d = s dz gdzie: s = z Śodek ciężkości pola elementanego: y c (z) = 1 z Moment odśodkowy: I yz = yz d = y c (z) z d = y c (z) z s dz I yz = 1 z z z dz 1 I yz z ( z )dz I yz = 1 ( z z4 4 1 ) = (4 4 4 ) I yz = 4 8 Rys..9a Rys..9b Zgodnie z ysunkiem.9b odległości pomiędzy osiami yz, a osiami centalnymi wynoszą: y sc = z sc = 4 ( patz zadanie.3 lub tablica 1) 3 π Odśodkowy moment bezwładności wyazić można jako: I yc z C = I yz y sc z sc I yc zc = 4 8 (4 π 3 π ) 4 Ostatecznie: I yc z C, KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 14

15 .1. Wyznaczyć moment bezwładności koła względem bieguna pokywającego się z jego śodkiem Biegunowy moment bezwładności okeślany jest, jako: I = d Jako pole elementane d pzyjąć można pole pieścienia o szeokości dρ i obwodzie πρ: d = πρ dρ Moment bezwładności obliczamy wtedy, jako: I = ρ πρ dρ = π ρ 3 dρ = π ( ρ4 4 ) Rys..1 I = π4 lub I = πd4 3 Pomiędzy momentami osiowymi, a momentem biegunowym zacodzi zależność: I = I z + I y Watości osiowyc momentów bezwładności I y i I z okeślić można wykozystując wynik zadania.5 lub kozystając z infomacji zawatyc w tablicy 1: I yc = I zc = π4 4 Biegunowy moment bezwładności pzyjmie, zatem watość: I = I yc + I zc = π4 4 I = π4 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 15

16 3. Pzykłady wyznaczania caakteystyk geometycznyc figu złożonyc 3.1. Wyznaczyć centalne momenty bezwładności pzekoju podanego na ys.3.1 Rys. 3.1 Rozpatywana figua posiada oś symetii z c pokywającą się z osią z. Do wyznaczenia pozostaje położenie osi y c. W celu tym podzielić można jej pole na dwie części (ys. 3.1) w postaci postokątów o polac pzekoju odpowiednio 1 i. Współzędną z sc okeślającą położenie osi y c wyznacza się, według wzou 4, jako: z sc = z z 1 + = =, 5 [cm] Moment bezwładności względem osi z z c wyznacza się jako sumę momentów bezwładności pól figu składowyc względem tej osi. Kozystając z ozwiązania zadania.4a lub z tablicy 1: I zc = ( ) + ( 1 1 ) I z c = 17, 67 [cm 4 ] Okeślenie watości momentu bezwładności pola figuy względem osi centalnej y c wymaga wykozystania twiedzenia Steinea. Moment ten wynosi: I yc = [I yc1 + (z 1 z sc ) 1 ] + [I yc + (z z sc ) ] I yc = [ (5 1 3,5) 1] + [ 1 + (1,5) ] = 111, + 51,67 I yc = 16, 67 [cm 4 ] KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 16

17 3.. Wyznaczyć odśodkowy moment bezwładności dążonego pzekoju kołowego (ys.3.) Pole pzekoju ozpatywanej figuy wyznaczyć można jako óżnicę pola koła o śednicy d z koła o śednicy d w. Moment bezwładności wyznacza się dla pola figuy, zatem poszukiwana wielkość będzie óżnicą momentów bezwładności kół o śednicy d z i d w. Wykozystując wynik zadania.1 otzymamy: I = πd z 4 3 πd 4 w 3 I = π(d z 4 d w 4 ) 3 Rys Wyznaczyć odśodkowy moment bezwładności dążonego pzekoju kołowego (ys.3.3) Moment odśodkowy pola ozpatywnaej ozpatywanej figuy obliczyć można wykozystując twiedzenie Steinea w postaci: I = I C + ρ c gdzie pzez I C ozumieć należy odśodkowy moment bezławdności figuy względem jej śodka ciężkości C, a pzez ρ c odległość między początkiem układu, a tymże punktem C. W ozważanym pzypadku odśodkowy moment bezwładności figuy złożonej wynosi: I = π4 4 3 (π 1 + π 1 ) Rys. 3.3 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 17

18 3.4. Wyznaczyć główne momenty bezwładności kątownika pzedstawionego na ysunku 3.4.1a. Pocedua ozwiązania: 1. Podział na figuy poste Rys Kątownik dzielimy na dwa postokąty pokazane na ysunku 3.4.1b Dla każdej z tyc figu należy okeślić położenie śodka ciężkości względem układu osi YZ oaz ic pole pzekoju popzecznego. Figua 1: y 1 = 1 [mm] z 1 = 5 [mm] 1 = 1 = [mm ] Figua : y = + 6 = + 3 = 5 [mm] z = 1 [mm] = 6 = 1 [mm ]. Wyznaczenie współzędnyc śodka ciężkości figuy złożonej z sc = z z 1 + = = 3, 5 [mm] y sc = y y = =,5 [mm] KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 18

19 3. Okeślenie watości momentów bezwładności względem osi centalnyc Rozpatywany kątownik składa się z dwóc figu postyc. W celu wyznaczenia momentów bezwładności względem osi centalnyc kątownika należy posłużyć się twiedzeniem Steinea. I yc = (I yc1 + a 1 1 ) + (I yc + a ) I zc = (I zc1 + b 1 1 ) + (I zc + b ) I yc z c = (I yc1 z c1 + a 1 b 1 1 ) + (I yc z c + a b ) Watości I y sc1, I z sc1, itd. wyznaczamy z pomocą infomacji zawatyc w tablicy 1. Odległości pomiędzy osiami, w ozważanym pzypadku, wynoszą: a 1 = z1 z sc = 5 3,5 = 1,5 [mm] b 1 = y1 y sc = 1,5 = 1,5 [mm] a = z z sc = 1 3,5 =,5 [mm] b = y y sc = 5,5 =,5 [mm] Momenty bezwładności względem osi centalnyc pzyjmują watości: I yc = ( ,5 ) + ( (,5) 1) = 11, , I yc = 9, 67 [mm 4 ] 1 3 I zc = ( 1 + ( 1,5) ) + ( ,5 1) = 51, , I zc = 16, 67 [mm 4 ] I yc z c = [ + 1,5 ( 1,5) ] + [ + (,5),5 1] = 45, 75, I yc z c = 1, [mm 4 ] 4. Okeślenie głównyc momentów bezwładności I max I min } = I 1 I } = I y c + I zc ± ( I y c I zc ) + I yc z c KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 19

20 I max I min } = I 1 I } = 9, ,67 + ( 9,67 16,67 ) I max I min } = I 1 I } = 6,67 ± 136, + ( 1,) I max = I 1 = 36, 67 [mm 4 ] I min = I = 9, 67 [mm 4 ] 5. Okeślenie kieunków głównyc momentów bezwładności tgα = I y c z c I yc I zc α = 1 actg ( I y c z c ) I yc I zc α = 1 actg ( ( 1,) 9,67 16,67 ) = 1 actg( 1,875) α 31 Kąt, o jaki należałoby obócić oś Y sc, aby pokyła się z osią 1 względem, któej moment bezwładności figuy ma największą watość wynosi: tgα max = I y c z c α I zc I max = α Kąt o jaki należałoby obócić oś Y sc, aby pokyła się z osią względem, któej moment bezwładności figuy ma najmniejszą watość wynosi: tgα min = I y c z c α I zc I min = α Wykeślenie koła Moa Rys KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st.

21 3.5. ltenatywny sposób ozwiązania zadania 3.4 Ponieważ wynik obliczeń nie zależy od sposobu podziału figuy złożonej na postsze elementy, identyczny wynik zadania 3.4. uzyskamy stosując podział z ysunku 3.5b. Różnice w acunkac oganiczą się jedynie do sposobu wyznaczenia współzędnyc śodka ciężkości figuy oaz momentów bezwładności względem osi centalnyc. Dalsze obliczenia pozostają identyczne w stosunku do pzykładu 3.4. Rys.3.5 Współzędnyc śodka ciężkości figuy złożonej: y sc = y 1 1 y = =,5 [mm] z sc = z 1 1 z = = 3,5 [mm] Momenty bezwładności względem osi centalnyc: I yc = [ (5 3,5) 8] [ (6 3,5) 48] = 846,67 556, I yc = 9, 67 [mm 4 ] 1 83 I zc = [ 1 + (4,5) 8] [ (5,5) 48] = 66,67 444, I zc = 16, 67 [mm 4 ] I yc z c = [ + (5 3,5) (4,5) 8] [ + (6 3,5) (5,5) 48] I yc z c = 1, [mm 4 ] KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 1

22 3.6. Wyznaczyć główne momenty bezwładności figuy pzedstawionej na ysunku 3.6.1a. Rys Podział na figuy poste y 1 = 1 [mm] z 1 = [mm] 1 = = 6 [mm ] y = 4 1 =,44 [mm] 3 π z =,5 [mm] π 1 = = 1,571 [mm ]. Wyznaczenie współzędnyc śodka ciężkości figuy złożonej y sc = y 1 1 y 1 6,44 1,571 = = 1,4 [mm] 1 6 1,571 z sc = z 1 1 z 1 = 6, 5 1, , Momenty bezwładności względem osi centalnyc a 1 = z 1 z sc = 1, 8 =, 177 [mm] b 1 = y 1 y sc = 1 1, =, 4 [mm] a = z z sc =,5 1,8 =,677 [mm] b = y y sc =,44 1, =,78 [mm] = 1, 83 [mm] I yc = [ π 14,177 6] [ 8 +,677 1,571] = 4,189 1,113 I yc = 3, 75 [mm 4 ] KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st.

23 I zc = [ (,4) 6] [, (,78) 1,571] = 3,5 1,65 I zc =, 185 [mm 4 ] I yc z c = [ +,177 (,4) 6] [ +,677 (,78) 1,571] = =,17 (,83) I yc z c =, 61 [mm 4 ] 4. Okeślenie głównyc momentów bezwładności: I max I min } = I 1 I } = 3,75 +,185 + ( 3,75,185 ) + (,61) =,63 ±,757 I max = I 1 = 3, 387 [mm 4 ], I min = I 1 = 1, 873 [mm 4 ] 5. Koło Moa α = 1 actg (,61 3,75,185 ) = 1 actg(1,375) α 7 tgα max = tgα min = I y c z c I zc I 1 α max = α 1 7 I y c z c I zc I α min = α 63 Rys KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 3

24 LITERTUR 1. Bodna.: Wytzymałość mateiałów : podęcznik dla studentów wyższyc szkół tecnicznyc, Wydawnictwo Politecniki Kakowskiej, 4. Bzoska Z.: Wytzymałość Mateiałów, PWN, Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Wytzymałość Mateiałów, PWN Niezgodziński M., Niezgodziński T.: Zadania z wytzymałości mateiałów, PWN 13 KSiSL, WBMiL, Politecnika Rzeszowska opacował: Łukasz Święc st. 4