Mechanika ogólna. Łuki, sklepienia. Zalety łuków (1) Zalety łuków (2) Geometria łuku (2) Geometria łuku (1) Kształt osi łuku (1) Kształt osi łuku (2)

Transkrypt

1 Łuki, skepienia Mechanika ogóna Wykład n Pęty o osi zakzywionej. Łuki. Łuk: pęt o osi zakzywionej (w stanie nieodkształconym) w płaszczyźnie działania sił i podpaty na końcach w taki sposó, że podpoy nie mogą się wzgędem sieie pzemieszczać. Skepienie: łuk, któego szeokość w stosunku do ozpiętości jest znaczna. Zaety łuków () Jeżei podpoy nie mogą się wzgędem sieie pouszać, to pzy ociążeniu wyłącznie pionowym, w łuku występuje znaczna edukcja momentów zginających. Poziome siły na podpoach nazywane są ozpoem łuku. Zaety łuków () W pzeciwieństwie do eek i am, któe wykonuje się z mateiałów spężystych, pzy zapewnieniu niepzesuwności podpó wzgędem sieie, łuki nawet o dużej ozpiętości mogą yć wykonywane z mateiałów kuchych (np. mu cegany u kamienny, eton niezojony). 3 Geometia łuku () Geometia łuku () Wezgłowia punkty podpacia łuku; Kucz (zwonik) najwyższy punkt łuku; Stzałka łuku: Rozpiętość łuku: Wyniosłość stosunek stzałki łuku do ozpiętości: ξ ( ) wezgłowia kucz Podział ze wzgędu na wymiay łuku: Stzeiste (wyniosłe, podwyższone); Płaskie (oniżone); Wspięte (podpoy na óżnych poziomach). Podział ze wzgędu na wymiay pzekoju: O stałym u zmiennym pzekoju. Kształt osi łuku: Kołowe, paaoiczne, sinusoidane, eiptyczne. Kształt osi łuku () Kształt osi łuku () Łuki paaoiczne: Równanie łuku: y ( ) y Pochodna: dy tg ϕ ( ) ( ) d Funkcje tygonometyczne: cos ϕ tg tgϕ sin ϕ tg ϕ ϕ y ' Łuki kołowe: Równanie łuku: y dy Pochodna: tg ϕ d Funkcje y tygonometyczne: cos ϕ tg ϕ tgϕ sin ϕ tg ϕ / O / 7 8

2 9 pętowych zakzywionych () eki zakzywione (stosowane np. jako układy podstawowe pzy ozwiązywaniu metodą sił): eka swoodnie podpata: pętowych zakzywionych () Łuki statycznie wyznaczane: Łuk tójpzeguowy: eka wsponikowa: pętowych zakzywionych () Łuk ze ściągiem siła ozpou pzejmowana jest pzez postoiniowy ozciągany pęt: pętowych zakzywionych (3) Łuki statycznie niewyznaczane: Łuk z jednym Łuk pzeguem: ezpzeguowy: W ceu zapewnienia odpowiedniej pzestzeni pod łukiem wykonuje się także łuki o ściągach w kształcie inii łamanej. Łuk dwupzeguowy: Łuk ze ściągiem: Rozwiązywanie łuków Waunki óżniczkowe () Wyznaczanie eakcji: Z ównań ównowagi z ewentuanym wykozystaniem pzeguów. Siły wewnętzne: Na podstawie sił wewnętznych ekowych z N następujących wzoów: T N N Ncosϕsin T ϕ T T cosϕ N N N N cosϕ T cosϕ T T 3 Waunki ównowagi zapisywane w odniesieniu do zmiennej s odmiezanej wzdłuż osi łuku: qn qs ρ O s 3 sin K cos K sin cos qn T M N ds qs ds ρ M dm N dn T dt O Waunki óżniczkowe () Waunki óżniczkowe (3) S N ( N dn) cos qs dssin ( T dt) sin qn ds cos dn T qn ds ds N T ( T dt) cos qs dscos ( N dn) sin qn dssin dt N qs ds ds M M ( M dm) ( T dt) cos ds cos ( T dt) sin ds sin ( N dn) sin ds cos ( N dn) cos ds sin ds ds qs dssin sin qs dscos cos ds ds qn dssin sin qn ds cos cos dm T ( s ) ds ρ dn T q s n ds ρ ( ) dt N qs s ds ρ dm T ( s ) ds kstemum momentu zginającego występuje w punkcie, w któym ównanie siły tnącej ma miejsce zeowe. ( ) ds

3 7 Pzykład Pzykład eakcje podpoowe Wyznaczyć siły wewnętzne w tójpzeguowym łuku paaoicznym: /m m 3m m m 3m 3 ξ /m V m 3m m m X 3m m Y V V 3m V 3m M V m 8m 3m m p M V m 3m 3m V V,7, 9,8,333 8 Pzykład geometia łuku Pzykład pzekój a /m 3m tg_i() ( ) cos_i() tg_i() /m V m 3m m m 3m V ;m N N cosϕ T T cosϕ N ϕ( ) deg V m 3m m m V sin_i() tg_i() tg_i() ϕ () atan( tg_i() ) 3 y( ) m N () m y () cos_i() V N ( m) 3.7 N ( m).333 T () V m y () sin_i() () V y () m y () y () T ( m).8 T ( m). ( m) m ( m) 3 m 9 Pzykład pzekój a Pzykład pzekój a 3 /m 3m m;8m N N cosϕ /m 3m 8 m;m N N cosϕ V m 3m m m V T T cosϕ N V m 3m m m V T T cosϕ N N () m cos_i() V N 3 () m cos_i() V sin_i () N ( m).333 N ( 8m).3 N 3 ( 8m).8 N 3 ( m).83 T () V m sin_i() T 3 () V m sin_i() T ( m). T ( 8m) 3.83 M () V y () m y () M ( m) 3 m M ( 8m) 7. m T 3 ( 8m).3 T 3 ( m).9 M 3 () V y () m y () ( 8m) M 3 ( 8m) 7. m M 3 ( m) m Pzykład zestawienie wyników Pzykład siły nomane [m] y [m] tg_i() cos_i() sin_i() j() [ad] j() [deg] N() [] T() [] M() [m] L P N( ) N( )

4 Pzykład siły tnące, miejsca zeowe Pzykład momenty zginające, ekstema T( ) dm ( ) 3 T( ).,73 7, 7 3 d m m m T( ),3m,88m M( ) M( ) m M( ),m,9 M( ).9 Pzykład Pzykład eakcje podpoowe Wyznaczyć siły wewnętzne w tójpzeguowym łuku kołowym ze ściągiem: /m,m,m m,m m m m ξ /m,m V X,m m,m m m R Y V R,m m,m M R m m,m m m V R,7, 7 8 Pzykład Równanie łuku Pzykład siła w ściągu ( ) 8 ( m) m m m 8 m,m y y y /,m 3,m /,m m m /m,m V m m,m m,m m R y y y( ),797m y y y y,8m,83m X M m R,m ( y,m) p, 9 3 Pzykład geometia łuku Pzykład pzekój a /m,m V ,m m,m m. m m R tg_i() cos_i() sin_i() tg_i() tg_i() tg_i() /m,m V,m m,m m m N () V m sin_i () T () V m m R N N cosϕ T T cosϕ N ;,8m N ( m).73 N ( ).37 ϕ( ) deg ϕ () atan( tg_i() ) () V y () m T ( m). T ( ).7 ( m) m ( ).98 m 3 3

5 Pzykład pzekój a Pzykład pzekój a 3 /m m,8 m;,m /m m, m;3,m m N N cosϕ m N N cosϕ,m,m m,m T T cosϕ N,m,m m,m T T cosϕ N V m R V m R N () V m sin_i () N 3 () V m.msin_i() N ( ).38 N (.m). N 3 (.m). N 3 ( 3.m). T () V m T 3 () V m.mcos_i () T ( ). T.m M () V y () m ( y ().m) ( ).98 m ( ). M M (.m). m 33 T 3 (.m). T 3 ( 3.m).9 M 3 () V y () m.m.m ( y ().m ) M 3 (.m). m M 3 ( 3.m).7 m 3 Pzykład pzekój a Pzykład pzekój a /m m 3, m;,83m /m m,83 m;m m N N cosϕ m N N cosϕ,m,m m,m T T cosϕ N,m,m m,m T T cosϕ N V m R V m R N () V m.msin_i () N () V m.msin_i () N ( 3.m). N ( ). ( ) 3.87 N N ( m). T () V m.mcos_i () T () V m.mcos_i () ( ) 7.8 T ( 3.m).9 T M () V y () m.m.m ( y ().m ) m M ( 3.m) m M ( ).7 m 3 ( ).7 T T ( m).933 M () V y () m.m.m ( y ().m ) m ( y ().m ) M ( ).7m M ( m) m 3 Pzykład zestawienie wyników Pzykład siły nomane [m] y [m] tg_i() cos_i() sin_i() j() [ad] j() [deg] N() [] T() [] M() [m] L P L P L P N( ) N( ) 38 Pzykład siły tnące, miejsce zeowe Pzykład momenty zginające, ekstemum T( ).8 3. T( ) M( ) 7.3 M( ) T( ),9m ( ) M ( ) 7,3m 39

6 Racjonana oś łuku () Oś łuku, któa umożiwia uzyskanie minimanych wymiaów pzekoju popzecznego pęta łuku pzy zadanym ociążeniu nazywana jest acjonaną osią łuku. Waunek jest spełniony w pzypadku osiowego stanu ociążenia, tj. M we wszystkich punktach łuku. Racjonana oś łuku () Osią acjonaną łuku tójpzeguowego ociążonego ównomienie na całej długości w pionie jest paaoa dugiego stopnia. V q q q M V q y y 8 q y y q V q V V V q q q q 8 y ( ) Racjonana oś łuku (3) Osią acjonaną łuku ociążonego ównomienie na całej długości w kieunku postopadłym do osi łuku jest koło. q V V 3