Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu naprężenia.

Transkrypt

1 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. 4. TEORIA STANU NAPRĘŻENIA 4.1. Definicja narężenia W oredni rodiae definiowaiś siłę wewnętrną w dan unkcie i rekroju. Stwierdiiś też, że dokonując odiału brł na dwie cęści oże anaiować achowanie się tko jednej cęści od warunkie, że do każdego unktu rekroju rłoż siłę wewnętrnch jaką oddiałują na niego wsstkie unkt odruconej cęści. Sił te tworą w rekroju nieskońcon układ sił wewnętrnch, któr jest bardo ważn w anaiie achowania się konstrukcji i będie rediote scegółowch roważań w toku dasch wkładów. Ab óc dokonwać anai układu sił wewnętrnch naeż recjnie definiować ich iarę którą nawie narężenie. r P A Rs. 4.1 W t ceu roważ dowon, okaan na rs. 4.1, rekrój brł łascną o wersore noran rechodącą re dowon unkt o wektore wodąc r. Do każdego unktu łascn rekroju rłożona jest siła wewnętrna. Wdie wokół unktu eeent owierchni A. Niech P onaca suę sił wewnętrnch rłożonch do unktów owierchni A. Prjie definicję: narężenie w unkcie o wektore wodąc r na owierchni rekroju o noranej nawa wektor P i. A A (4.1) Ficnie narężenie jest gęstością sił wewnętrnch i jak widać e woru (4.1) w ogóności, odobnie jak siła wewnętrna, w bre (konstrukcji) jest funkcją wektorową dwóch wektorów, wektora wodącego unktu r i wersora noranego łascn rekroju. Rs. 4. W ogóności kierunek wektora narężenia jest dowon w odniesieniu do łascn na której wstęuje. Może go rołożć, jak okauje rs. 4., na dwie składowe którch kierunki są norane i stcne do rekroju nawając je odowiednio narężenie noran i stcn. Tak więc narężenie norane to składowa narężenia rostoadła do łascn rekroju a narężenie stcne to składowa narężenia stcna do łascn rekroju. 8

2 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. 4.. Stan narężenia w unkcie Stan narężenia w unkcie to nieskońcon biór wektorów narężeń rorądkowanch wsstki łascno recięcia brł, rechodącch re ten unkt. Mówi, że na stan narężenia w bre jeśi na stan narężenia w każd jej unkcie. Roróżnia tr rodaje stanów narężenia w unkcie: jednoosiow, łaski i restrenn. Jednoosiow stan narężenia wstęuje wówcas, gd wektor narężeń rorądkowane dowon łascno cięcia brł w dan unkcie ają ten sa kierunek. Płaski stan narężenia wstęuje wówcas, gd wektor narężeń rorądkowane dowon łascno cięcia brł w dan unkcie eżą w jednej łascźnie (łascźnie stanu narężenia). Prestrenn stan narężenia wstęuje wówcas, gd wektor narężeń rorądkowne dowon łascno cięcia brł w dan unkcie są w ogóności różne (ają różne długości, kierunki i wrot). Każd tch charakterstcnch stanów narężenia w unkcie, w całej bre oże bć jednorodn ub niejednorodn. Jednorodn jest wówcas gd nie aeż od wboru unktu. definicji stanu narężenia w unkcie jest rouiałe, że jego najoość jest nieodowna r anaiie tego co się dieje w dan unkcie ciała oddanego diałaniu układu sił ewnętrnch. To onaca, że usi nać wektor narężeń na każdej dowonej łascźnie cięcia brł w dan unkcie a r anaiie achowania się konstrukcji w każd jej unkcie Macier narężeń. Graficn obra acier narężeń Dokonaj rekroju roważanej brł w dowonie wbran unkcie trea łascnai rostoadłi do osi układu (,, ). Wektor narężeń rorądkowane t łascno cięcia onac, odowiednio, re,, (rs. 4.3). Rs. 4.3 Każd tch wektorów narężeń oże rołożć na tr składowe równoegłe do osi układu. Jak łatwo auważć, awse jedna tch składowch będie norana do łascn recięcia a dwie oostałe będą do niej stcne. godnie rs. 4.3 oże aisać: (4.) 9

3 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. Wsółrędne wektorów narężeń,, onacać będie odobnie jak ich składowe, ouscając jednie nadkreśenie i aise je w forie acier T nawanej acierą narężeń: T. (4.3) Może więc owiedieć, że: acier narężeń w unkcie to uorądkowan biór wsółrędnch trech wektorów narężeń na łascnach rostoadłch do osi układu wsółrędnch. Uorądkowan w ten sosób, że wierse redstawiają koejne wsółrędne, koejnch wektorów narężeń. W wniku takiego uorądkowania na rekątnej acier najdują się narężenia norane a oa rekątną narężenia stcne. Jasna jest też wowa indeksów r narężeniach. Indeks r narężeniu noran okauje łascnę na której ono wstęuje i do której jest ono rostoadłe, ci oś układu do której to narężenie jest równoegłe. Indeks r narężeniu stcn okaują: ierws łascnę na której ono wstęuje, a drugi oś układu do której to narężenie jest równoegłe. ate n. to narężenie norane na łascźnie rostoadłej do osi, a to narężenie stcne na łascźnie rostoadłej do osi i równoegłe do osi. Powsechnie jest stosowana i co ważniejse jest wgodna scegóna uowa nakowania eeentów acier narężeń (ci wsółrędnch wektorów narężeń na łascnach rostoadłch do osi układu). a dodatnie, w acier narężeń, uważa wsółrędne takich składowch, które ają: wrot godn e wrote osi do której są równoegłe i wrot noranej ewnętrnej łascn na której one wstęują także godn e wrote osi układu do której ta norana jest równoegła ub jeśi arówno składowa jak i norana ają wrot reciwne do odowiednich osi, do którch są równoegłe. Jest tw. reguła odwójnej godności. W każd inn radku wsółrędna jest ujena. godnie rjętą uową narężenie norane jest dodatnie jeśi jest rociągające, a ujene jeśi jest ściskające. Naeż owiedieć, że acier narężeń w unkcie to biór icb. Gdbś roseri to ojęcie na całą objętość brł to iejsce icb ają funkcje wsółrędnch wektora wodącego dowonego unktu obsaru brł. Jak się wkrótce rekona acier narężeń w unkcie będie odstawą okreśenia w ni stanu narężenia. Da esego rouienia ora utrwaenia rjętch definicji i uów nakowania eeentów acier narężeń redstawi jej graficną interretację. Weź obciążone, oostające w równowade ciało i wbier w ni dowon unkt aterian (rs. 4.4). Będie go odeować a oocą dowonie ałego seścianu, którego ścianki są równoegłe do łascn układu odniesienia. 3

4 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. r d d d Rs. 4.4 Ten unkt aterian oże wjąc roważanej brł od warunkie, że rłoż do niego wsstkie sił jakii oostałe unkt ciała diałają na niego. Wiekości tch sił otra nożąc eeent acier narężeń okaane na rs. 4.4 re owierchnie odowiednich ścianek seścianu. Tak więc okaan na rs. 4.4 seścian okauje graficn obra acier narężeń (wsstkie narsowane na ni składowe acier narężeń są dodatnie) i równoceśnie sił jakii wsstkie unkt brł diałają na unkt. ałożenia o równowade roważnej brł wnika równowaga sił wewnętrnch diałającch na unkt. Roisując warunki równowagi tch sił otra aeżności: warunków erowania się oentów sił wgęde osi układu warunków erowania się rutów sił na osie układu (4.4) P P P gdie: P, P, P wsółrędne sił asowej. (4.5) Równania (4.4) dowodą, że acier narężeń jest setrcna, a równania różnickowe (4.5) stanowią warunki koniecne które winn sełniać funkcje trech iennch ab óc bć eeentai acier narężeń. Równania różnickowe (4.5) nosą nawę równań równowagi wewnętrnej ub równań Naiera i usą bć stowarsone e statcni 31

5 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. warunkai bregowi wiążąci obciążenie bregu brł eeentai acier narężeń Wsółrędne wektora narężenia na dowonej łascźnie. Tensor narężeń Wtnij wnętra brł, będącej w równowade, nieskońcenie ał cworościan wokół dowonego unktu, którego tr ścian będą równoegłe do łascn układu odniesienia a cwarta będie równoegła do dowonej łascn o wersore noran (,, n). akładając, że na acier narężeń w t unkcie będie chciei wnacć wektor,, na tej cwartej dowonej łascźnie (rs. 4.5). narężenia ( ) ( ~, ~, ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ (, n), ~ ~ ~ ~ ~ Rs. 4.5 Onac oa ścianek cworościanu odowiednio rostoadłch do osi układu odniesienia re: A A, A, a oe cwartej re A. Ponieważ wsółrędne wersora, noranego cwartej dowonie nachonej ścianki cworościanu cos (, ), cos (, ), n cos (, ) to ięd oai owierchni ścianek cworościanu achodą aeżności: A A, A A, A An. Tida nad narężeniai na rs. 4.5 onaca średnią wartość narężeń na owierchni ścianki cworościanu. Warunki równowagi sił diałającch na wcięt cworościan dają równania: ~ A ~ A ~ A ~ A ~ ~ ~ ~ ~ A ~ A ~ A ~ A ~ ~ ~ ~ ~ A ~ A ~ A ~ A ~ ~ ~ ~ n Po wkonaniu rejścia granicnego bokai cworościanu do era achowanie nachenia cwartej ścianki w owżsch równaniach w iejsce średnich wartości wsółrędnch narężeń otruje wartości w roważan unkcie i o wkorstaniu setrii acier narężeń otruje aeżności wiążące jej wsółrędne e wsółrędni wektora narężenia: n n 3

6 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. n n (4.6) n Równania (4.6) dowodą, że: acier narężeń w dan unkcie okreśa w ni stan narężenia gdż najoość jej eeentów owaa na wnacenie wsółrędnch wektora narężenia na dowonej łascźnie rechodącej re ten unkt. Równania (4.6) oże aisać jesce w innej wartej acierowej forie: T n (4.7) Powżse równania okaują, że w wniku nożenia acier narężeń T re wektor otruje wektor narężenia. Może też to sforułować bardiej foranie, że acier narężeń w unkcie jest wiekością, która dowoneu kierunkowi - norana do łascn recięcia brł w t unkcie, rorądkowuje wektor - wektor narężenia na tej łascźnie (rs. 4.6). r Rs. 4.6 To wżej owiediane stanowi dowód na to, że acier narężeń jest tensore drugiego rędu co onaca, że jej eeent transforują się r ianie układu odniesienia w ewien ściśe okreśon sosób wan rawe transforacji tensora. Mając wsółrędne wektora narężenia, na,, dowonej łascźnie, ( ) okreśone w wjściow układie wsółrędnch, łatwo oże wnacć jego wsółrędne odniesione do układu wiąanego tą łascną, wnaconego re ortonoraną trójkę wersorów (,, n), ξ ( 1,1, n1 ), η (,, n ). Pierws tch wersorów jest noran do łascn a dwa oostałe są do niej stcne (rs.4.7). ξ η Rs.4.7 ξ η 33

7 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. acnie od rołożenia wektora ξ η na tr składowe (rs.4.7), (4.8) którch to narężenie norane do łascn a dwie oostałe ξ i η są do niej stcne i równoegłe do wersorów ξ i η, a ich sua redstawia całkowite narężenie stcne:. ξ η Wsółrędne wektora w układie odniesienia wnacon re trójkę wersorów (,ξ,η ), onac tak jak jego składowe ouscając jednie nadkreśenie. Otra je nożąc skaarnie re odowiednie wersor (bo to rut wektora na oś) i tak:, ξ ξ, η η. (4.9) Uwgędniając w ( 4.9 ) wiąki ( 4.7) otruje aeżności: (,, n), (4.1) n ξ ( 1, 1, n 1 ), (4.11) n (4.1) n (,, n ) η które są konsekwencją tego, że acier narężeń jest tensore. Macierow ais tch owżsch aeżności jest bardo wgodn w obiceniach własca gd korsta ogónie dostęnch rofesjonanch kakuacjnch rograów kouterowch n. tu Ece c Madcad Statcne warunki bregowe roważanej na rs. 4.5 brł w równowade wtnij r jej bregu eeentarn cworościan którego tr ścian będą równoegłe do łascn układu odniesienia a cwarta będie awierała eeent owierchni ewnętrnej S o wersore noran ewnętrn ( n),,. 34

8 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. ( ~, ~, ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ (, n), ~ ~ ~ ~ ~ Rs. 4.8 Anaiując, anaogicnie jak w unkcie oredni, warunki równowagi tak wciętego cworościanu otruje aeżności wiążące wsółrędne obciążenia brł,, w roważan unkcie bregow e wsółrędni acier narężeń w ( ) t unkcie: n n (4.13) n Równania (4.13) nosą nawę statcnch warunków bregowch i jak już wsoniano są niebędne r rowiąwaniu równań różnickowch Naiera. Statcne warunki bregowe (4.13) choć bardo odobne do równań (4.6), ertorcnie różnią się asadnico. Prede wsstki ewe stron (4.13) są nane (bo to adane obciążenie bregu brł) w reciwieństwie do równań (4.6) w którch ewe stron to osukiwane wsółrędne narężenia na adanej dowonej łascźnie Prkład Prkład Narsować graficne obra danch acier narężeń i okreśić jaki stan narężenia rereentują. Rowiąanie 3 4 T MPa

9 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. 4 4 T 3 4 MPa T 5 MPa Równania (4.6) rostrgają o t, że ierwsa acier rereentuje restrenn stan narężenia, druga łaski stan, którego łascną narężenia jest łascna (, ), a stan narężenia okreśon trecią acierą jest jednoosiow. Prkład W unkcie w któr anuje stan narężenia okreśon acierą narężenia T 5 MPa 6 1 wnacć: a/ wsółrędne wektora narężenia na łascźnie o wersore noran ( 1, 1, 1 ), b/ długość wektora narężenia noranego i stcnego na tej łascźnie, c/ wsółrędne wektora narężenia noranego stcnego na tej łascźnie. Rowiąanie Wsółrędne wektora narężenia wnaca aeżności: T n n 1 * 5* 6* MPa 36

10 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia n 5 * * * MPa n 6 * * 1* MPa Narężenie norane n * * * MPa Długość wektora narężenia stcnego (MPa), (MPa) MPa Ponieważ, to wsółrędne wektora narężenia noranego (,, ) są równe: MPa, MPa, n MPa. aeżności, wnika, że wsółrędne wektora narężenia stcnego ( ),, ają wartości: MPa MPa, MPa. Prkład Breg tarc kołowej o roieniu R obciążon jest na cał sw obwodie obciążenie noran o stałej gęstości. Naisać statcne warunki bregowe da tej tarc. ( ), Równanie bregu tarc: f (, ) R Rowiąanie Wsółrędne wersora noranego do bregu: f f f ( ) ( ) ( ) ( ) R 37

11 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. 38 ( ) ( ) ( ) ( ) R f f f Statcne warunki bregowe T i ostatecnie gdie,, są eeentai tensora narężeń na bregu tarc, są więc funkcjai jednej iennej. Prkład Wnacć obciążenie okaanej tarc sełniające warunki równowagi i statcne warunki bregowe, jeśi stan narężenia w jej unktach okreśają aeżności 1, 6, 1 T 6, 1 1, 1 Rowiąanie Obciążenie tarc stanowią sił asowe i sił rłożone na jej bregach. Sił asowe wnac równań Naiera (są to równania równowagi wewnętrnej ae i warunki koniecne na to ab odane funkcje narężeń bł wsółrędni tensora narężeń). 1 1 P P P P P P. Obciążenia bregów tarc wnac e statcnch warunków bregowch

12 Ada Bodnar: Wtrałość Materiałów. Teoria stanu narężenia. Breg -1; Równanie bregu :, 1 1*( 1) 1 6*( 1) 6 Breg -; Równanie bregu : 1, 1 *( 1) 1*( 1) 1 Breg 1-; Równanie bregu :.75 3 cos(, ). 6, cos(, ). 8 1 *.6 1 * *.6 6 * Srawdenie równowagi obiconch sił diałającch na tarcę. 4 ; 1 d ( 1 ) ( K ) ds P da ( ) A ds ( 1 ) d d 4 ; 6 d 3 ( K ) ds 1 d ( 1 ) A P da ( ) ds M O ; ( ) ds ( P P ) da ( K ) A 39