Lista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x

Transkrypt

1 Lista - Logika. Każde z poniższych twierdzeń wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. B. Dla wykładnika naturalnego n 3 równanie x n + y n = z n nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. C. Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Uwaga: Czasem twierdzenie w postaci p = q jest dużo mniej czytelne.. Rozważmy zdanie: Jeżeli dzieli jakąś liczbę, to także 3 dzieli tę liczbę. a) Pokaż, ze wynikanie odwrotne nie jest prawdziwe. b) Czy podzielność przez jest warunkiem koniecznym podzielności przez 3? c) Czy podzielność przez 3 jest warunkiem koniecznym podzielnosci przez? d) Czy podzielność przez jest warunkiem dostatecznym podzielności przez 3? e) Podaj warunek konieczny i dostateczny podzielności przez Rozważmy zdania: p - dostałem co najmniej czwórkę, q - dostałem mniej niz trójkę, r - nie dostałem jedynki. Przyjmując, że nie ma ocen połówkowych wyraź możliwie prosto zdania: a) negację r; b) negację p; c) koniunkcję q i r; d) alternatywę p oraz q; e) negację alternatywy zdań p oraz q; f) koniunkcję negacji p i negacji q. 4. Jedna strona każdej z kart pokazuje kolor (czerwony albo niebieski), druga figurę (kółko albo trójkąt). Na stole leżą cztery karty: pierwsza z nich jest niebieska, druga czerwona, trzecia ma kółko, czwarta trójkąt. Placek twierdzi, że karty niebieskie mają na odwrocie kółko. Które karty trzeba odwrócić, aby sprawdzić, czy ma rację. 5. Załóżmy, że gdy Jacek chrapie, to Agatka śni. Czy wynika stąd, że: a) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni. b) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie. c) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie. d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni. 6. Które z poniższych równoważności są prawdziwe? a) n jest wielokrotnością 5 5 jest dzielnikiem n; b) a < b b > a c) A jest o % szybszy od B B jest o % wolniejszy od A. 7. Udowodnij, że istnieją liczby niewymierne a, b takie, że a b wymierna. Wsk.: Rozważ a = b =. Jeżeli a b jest wymierna, to koniec dowodu. A jeśli niewymierna? 8. Dokończ poniższy dowód niewprost: Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Niech p, p,..., p k będą wszystkimi liczbami pierwszymi. Rozważmy liczbę N = p p...p k +. Wówczas... Jakie twierdzenie udowodniłeś?

2 . Oblicz granice ciągów: Lista - Granica a) a n = (n+3)(n+); b) b n = n + n 3 +n+ ; c) c n = 3n +4 n 5 n ; d) d n = n ; n e) e n = n + n; f) f n = n +n n g) g n = sinn n ; h) h n = n n +3 n.. Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją. a) a n = (n +)/(n+); b) b n = n n 3 ; c) c n = 3 n n ; d) d n = 3 n ( ) n. 3. Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g f(n) lim n g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = mówimy, że są asymptotycznie równe. a) Pokaż, że n jest rzędu n. b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4. O dodatniej funkcji f mówimy, że jest "O duże od g (symb. f = O(g)), jeżeli dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność g(n) cg(n), gdzie c stała. Uzasadnij, że: a) n = O(n ); b) n = O( n ); c)* n = O( n ). 5. Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) n+ n; n d) dn = ( ) n n. 6. Oblicz granice funkcji: a) lim x x 3 x ; x b) lim ; x x c) lim x +x x x +x 3 ; d) lim x x 3; sinx e) lim x x. 7. Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: a) y = (x )/ x w punkcie ; b) y = (sgnx)/x; w zerze; c) y = ( x x)/x w zerze. 8. Znajdź asymptoty funkcji: a) y = x3 x ; b) y = x3 +8 +x (x 4) c) y =. x 9. Dla podanej funkcji wskaż punkty nieciągłości (o ile istnieją) i określ ich rodzaj: { { { a)y = x, gdy x ; cos b)y = x gdy x > ; x c)y = x, gdy x ; w p.p.; x<; w p.p.;. Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n obwód tego wielokąta. a) Znajdź granice obu ciągów, b) Wywnioskuj stąd granicę ciągu a n = nsin(π/n). c) Znajdź lim(sinx)/x wiedząc, że ta granica istnieje. x. Rozważmy ciąg a =, a n+ = a n + a n. a) Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę. Oblicz kilka początkowych wyrazów i porównaj z wynikiem dokładnym. b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: a) 3; b) 3.. Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a +r a+r/a. Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a) 9/6; b) 5 3/8; c) 99/7.

3 Lista 3 - Ważniejsze funkcje elementarne. Naszkicuj wykresy funkcji potęgowej y = x α dla α =,, 3,,, / oraz /.. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = e x ; b) y = ln(x+); c) y = ln x ; d) y = e x ; e) y = e x ; f) y = e x. 3. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: a) y = e x ; b) y = e x ; c) y = x, x ; d)* y = e x +e x, x. 4. Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu: a) log; b) log log5; c) log3 ; d) log 3 log ; 5. Naszkicuj wykres funkcji: log e) ln. a) y = sinx; b) y = cos(x+π/4); c) y = cosx; d) y = sinx +sinx e) y = sinx+ 3cosx. 6. Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz: a) sin 5 3 π b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin π 5 +sin 4π 5 +sin 6π 5 +sin 8π Wykaż tożsamosci: a) +tg x = cos x ; b) cos x = +cosx 8. Oblicz wartości: funkcji cyklometrycznych ; c) sin x = cosx a) arctg; b) arcsin( /; c) arctg( 3) d) arcsin( /). 9. Za pomocą połowienia przedziału znajdź przybliżoną wartość: ; d) sinxcosx = sin3x+sinx. a) jedynego pierwiastka równania: x 3 +x = 3; b) wszystkich pierwiastków x 4 = x +x+.. Czy funkcję y = sin(/x) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = xsin(/x)?. Wyraź cztery podstawowe funkcje trygonometryczne argumentu x jako wymierną kombinację funkcji tg(x/).. Udowodnij, że dla dodatnich x zachodzi równość arctg x+arctg(/x) = π/. Jak wygląda analogiczna równośc dla ujemnych x? 3. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = tg(arctgx); b) y = arctg(tgx) c)* y = cos(arcsinx). 4. Krzywą, którą można otrzymać odpowiednio przesuwając wykres funkcji y = a sin(bx + c) dla ustalonych parametrów a, b, c nazywamy sinusoidą. Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: a) y = cosx; b) y = sin x c) y = sinxcosx d) y = sinx+cosx; e) y = (sinx+cosx) ; f)* sin 4 x+cos 4 x. 5. Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja. a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p%. b) Uzasadnij, że okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p. c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy?

4 . Korzystając z definicji oblicz pochodne: a) y = x+ ; b) y = x; c) y = e x. Lista 4 - Pochodna. Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: a) y = x 4 x+; b) y = x x; c) y = xe x ; d) y = x lnx e) y = sinxcosx; f) y = x3 + x + ; lnx g) y = x ; sinx h) y = x ; i) y = sinx ; x+sinx j) y = x+cosx ; k) y = e x ; l) y = sin 3 x; m) y = sinsinx; n) y = +x ; o) y = lnsinx. 3. Naszkicuj wykres wielomianu: a) y = x 3 3x+; b) y = x 4 4x +8x. 4. Znajdź równanie stycznej w punkcie P = (x,f(x )): a) y = sinx, x = ; b) y = cosx, x = π; c) y = x, x = ; d) y = x, x =. 5. Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności dla funkcji: a) y = x+ x ; b) y = xe x ; c) y = x 4 x ; d) y = lnx x. 6. Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie x funkcji: a) y = x, x = : b) y = x, x = ; c) y = arcsinx, x =. Jaką informację o wykresie odpowiedniej funkcji możesz stąd wywnioskować? 7. Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: a) y = xlnx; b) y = xe x. 8. Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: a) e x +x; b) ln(+x) x: c) sin x < x dla dodatnich x. Rozwiązanie uzupełnij ilustracją graficzną. 9. Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: a) lim x lnx x e) lim x +xln x; arctgx sinlnx b) lim ; c) lim x ( x x lnx ; f) lim x sinx ) ; g) lim x x x/x ;. Naszkicuj wykres funkcji y = x ln x. x n d) lim x e x ; h) lim x (+sinx) /x.. Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f(x) = m dla funkcji: a) y = x +x+ x x+ ; b) y = x + x + x 3.. Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością. Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π /. 3. Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4. Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnejf zachodzi równośćf (x) = [lnf(x)] f(x). Naszkicuj wykres funkcji y = x x. 5. Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f () = oraz dla dowolnych a, b zachodzi f(a+b) = f(a)f(b), to f = f. Korzystając z tw. Lagrange a wywnioskuj stąd, że f(x) = e x. 6. Czy funkcja f(x) = x sin(/x) dla x, f() = jest różniczkowalna w punkcie zero?

5 Lista 5 - Aproksymacje. Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: a) 3,9: b) ln,; c) sin3; d) tg. Porównaj z wartościami dokładnymi.. Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f(x) = x 3 +x +3x+4: a) wokół a = ; b) wokół a =. 3. Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e x. Oszacuj błąd przyblizenia. 4. Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sinx x x3 3! + x5 5!. Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że x < π/.

6 Lista 6 - Całka oznaczona. Techniki całkowania I. Oblicz podaną całę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: a) x; b) x : c)* x. Wsk.: b) zachodzi równość n = (n(n+)(n+)/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny.. Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: 4 4 a) x; b) (+ x ); c) x ; d) x x. 3. Oblicz za pomocą całek pole obszaru ograniczonego krzywymi: a) y = x x, x+y = ; b) yx =, y = x, y =, x = ; c) x =, y = arcsinx, y = π/. 4. Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: a) (x+) 7 ; b) e x +e x c) x 4 x d) xsinx ; e e) xlnx ; f) x e x ; g) x +e x x h) +x. 5. Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: a) xsinx; b) xe x ; c) x lnx; d) arctg x ; e) x e x ; f) e x sinx. x 6. Znajdź całkę nieoznaczoną za pomocą podstawienia x = sint. Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła x +y jest równe π. 7. Znajdź średnią wartość funkcji: a) x na przedziale [,a]; b) sinx na [,π]; c) cosx na [,π]. 8. Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz π sin x. 9. Udowodnij, że k + k +...+n k jest asymptotycznie równe n k+ /(k +).. Oblicz a) lim n ( n n + + n n ) ( n n +n ; b) lim n n+ + n ). n. Aproksymując pole pod wykresem y = /x za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od lnn o mniej niż n. Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami coshx = (e x +e x )/, sinhx = (e x e x )/. a) Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi. b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? 3. Oblicz π sinx bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sinα+sinα+...+sinnα = sin nα sin α sin (n+)α.

7 Lista 7 - Techniki całkowania II. Całka niewłaściwa i zastosowania. Oblicz poniższe całki nieoznaczone: a) x+ : b) x +4 ; c) (x+3) 5; d) x (+x ) 3.. Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: a) x(x ) ; b) x (x 4 ; c) (x+) x(x+)(x+) : d) x +x+x +x 3; x (x+3) (x+) e) x +4 ; f) x ; g) + x +x+ ; h) x 4x + ; i) x +x+ ; j) x x +6x+ ; k) x 3 +4x ; l) x x Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: a) tg x; b) cos x; c) sin 3 x; d) sin3xsinx; e) sinx. 5. Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin x, x π wokół osi Ox. 6. Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół osi Oy: a) odcinka y = x, x a; b) odcinka paraboli y = x, x a. Jak rozwiązać b) korzystając z wzorów na obrót wokół osi Ox? 7. Korzystając ze wzoru na długość łuku: a) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e x +e x )/, x ; b) sprawdź, że obwód okręgu x +y = jest równy π. 8. Oblicz całki niewłaściwe lub uzasadnij, że są rozbieżne: a) ; b) +x x x ; c) + x ; d) xlnx ; e) lnx. 9. Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /x, x wokół osi Ox. a) Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona. b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby. Wyjaśnij ten paradoks.. Oblicz całkę /(+x ) kontynuując obliczenia: (+x ) =. Wiadomo, że e x = π Rozważmy funkcję Znajdź zbiór wartości tej funkcji. +x x (+x ) x (+x ) =... erfx = x e t dt. π. Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu x +(y R) = r (R > r) wokół osi Ox. Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek. 4. Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery x + y + z = płaszczyzną z = a, gdzie < a <. Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery.