6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

Transkrypt

1 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) (x n ) n N X takiego, że x n x 0 dla n N oraz lim n x n = x 0 zachodzi lim n f(x n ) = a. Fakt ten zapisujemy lim x x0 f(x) = a Sformułować definicję w sensie Cauchy ego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) a < ε) Fakt ten zapisujemy lim x x0 f(x) = a lub f(x) a, gdy x x 0.

2 6.3. Sformułować definicję w sensie Heinego i Cauchy ego granicy właściwej w punkcie niewłaściwym, niewłaściwej w punkcie właściwym i niewłaściwej w punkcie niewłaściwym. Granica właściwa w punkcie niewłaściwym (Cauchy ego). Niech f : X R, X R, oraz niech a R. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (b) ε > 0 δ R x X, ( x > δ f(x) a < ε ). Fakt ten zapisujemy lim x + f(x) = a. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w -, gdy zachodzą dwa warunki: (b) ε > 0 δ R x X, ( x < δ f(x) a < ε ). Fakt ten zapisujemy lim x - f(x) = a. Granica właściwa w punkcie niewłaściwym (Heinego) Niech f : X R, X R, oraz niech a R. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (b) (x n ) n N X takiego, że lim n-> x n = + zachodzi lim n-> f(x n ) = a. Fakt ten zapisujemy lim x + f(x) = a. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w -, gdy zachodzą dwa warunki: (b) (x n ) n N X takiego, że lim n-> x n = - zachodzi lim n-> f(x n ) = a. Fakt ten zapisujemy lim x - f(x) = a.

3 Granica niewłaściwa w punkcie właściwym (Cauchy ego). Niech f : X R, gdzie X R, oraz niech x 0 R. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) A δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) > A) Fakt ten zapisujemy lim x x0 f(x) = +. Mówimy, że - jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) A δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) < A) Fakt ten zapisujemy lim x x0 f(x) = -. Granica niewłaściwa w punkcie właściwym (Heinego). Niech f : X R, gdzie X R, niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a {, + }. Mówimy, że a jest granicą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy lim x x0 f(x) = a wtedy i tylko wtedy, gdy (x n ) n N X takiego, że x n x 0 n N oraz lim n x n = x 0 zachodzi lim n f(x n ) = a. Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (Cauchy ego). Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (b) A R δ R x X, x > δ f(x) > A. Fakt ten zapisujemy lim x + f(x) = +. Mówimy, że - jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (b) A R δ R x X, x > δ f(x) < A. Fakt ten zapisujemy lim x + f(x) = -. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (b) A R δ R x X x < δ f(x) > A. Fakt ten zapisujemy lim x f(x) = +. Mówimy, że - jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki:

4 (b) A R δ R x X x < δ f(x) < A. Fakt ten zapisujemy lim x f(x) = -. Granica niewłaściwa w punkcie niewłaściwym (Heinego) Niech f : X R, gdzie X R, a {, + }. Mówimy, że a jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (b) (x n ) n N X takiego, że lim n-> x n = zachodzi lim n-> f(x n ) =a. Fakt ten zapisujemy: lim x + f(x) = a. Mówimy, że a jest granicą funkcji f w -, gdy zachodzą dwa warunki: (b) (x n ) n N X takiego, że lim n-> x n =- zachodzi lim n-> f(x n ) =a. Fakt ten zapisujemy: lim x - f(x) = a Jak zmodyfikować odpowiednie definicje granic, aby otrzymać definicję granicy jednostronnej? Jaki jest związek pomiędzy granicami jednostronnymi i obustronną? Omówić ten związek również na przykładach. Definicja. Dla zbioru X R oraz liczby x0 R określamy zbiory X - X0= {x X : x < x0}, X + x0 = {x X : x > x0}. Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech X R, f : X R, x 0 R, oraz niech a R {, + }. Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą funkcji f X - x0 w punkcie x 0. Fakt ten zapisujemy a = lim x x0 f(x). Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0. Fakt ten zapisujemy a = lim x x+0 f(x). Uwaga. Niech f : X R będzie funkcją oraz x 0 R. Wprost z powyższej definicji dostajemy:

5 (a) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X - x0, to fakt, że liczba a R jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0 można zapisać w notacji Cauchy ego: ε>0 δ>0 x X (x < x 0 x x 0 < δ f(x) a < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: (xn)n N X x0 ( lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = a). (b) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X + x0, to fakt, że liczba a R jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0 można zapisać w notacji Cauchy ego: ε>0 δ>0 x X (x 0 < x x x 0 < δ f(x) a < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: + (xn)n N X x0 (lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = a). Związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi Niech f : X R, gdzie X R, będzie funkcją, x 0 R będzie punktem skupienia zbiorów X - x0 i X + x0 oraz a R {, + }. Wówczas: lim x x0f(x) = a lim x x 0 f(x) = a oraz lim x x+0f(x) = a Sformułować definicję Heinego i Cauchy ego funkcji ciągłej w punkcie. Co to jest funkcja ciągła? Definicja funkcji ciągłej. (Cauchy ego) Niech f : X R, gdzie X R oraz x 0 X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy: ε>0 δ>0 x X ( x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε). Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Definicja Heinego ciągłości funkcji w punkcie) Niech f : X R, X R, oraz x 0 X. Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie x 0, kiedy (x n ) n N X ( lim n x n = x 0 => lim n f(x n ) = f(x 0 ) ) Mówimy, że funkcja f jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Ciągłe są wszystkie funkcje elementarne, np. logarytmiczne, wykładnicze, wielomiany, funkcje potęgowe, trygonometryczne, itd.

6 6.6. Sformułować i zilustrować graficznie własność Darboux. Własność Darboux: Niech :[,] będzie funkcją ciągłą oraz c R. (a) Jeśli f(a) < c < f(b), to istnieje [,] taki, że a < x < b oraz f(x) = c. (b) Jeśli f(b) < c < f(a), to istnieje [,] taki, że a < x < b oraz f(x) = c Podać definicję funkcji jednostajnie ciągłej. Jaka jest intuicyjna charakteryzacja funkcji jednostajnie ciągłej? Definicja funkcji jednostajnie ciągłej. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, kiedy ε>0 δ>0 x1,x2 X ( x 1 x 2 < δ => f(x 1 ) f(x 2 ) < ε). Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła. Definicja Heinego ciągłości jednostajnej. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła, kiedy (x n ) X, (x n ) X (lim n (x n x n ) = 0 => lim n (f(x n ) f(x n )) = 0). Z definicji Heinego wynika następująca charakteryzacja funkcji jednostajnie ciągłej: jest to taka funkcja dla której dla coraz bliższych sobie argumentów wartości również są coraz bliższe. Zauważmy, że funkcja =, tej własności nie posiada. Np. dla =+ oraz = dla mamy, że = 0, gdy, ale ="#+ $ "=2+ &. Twierdzenie Każda funkcja ciągła na [,] jest jednostajnie ciągła na [,].