4. Granica i ciągłość funkcji

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "4. Granica i ciągłość funkcji"

Transkrypt

1 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale a, b) lub na zbiorze a, b) \ { 0 }, gdzie 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 granicę właściwą równą g, jeśli dla każdego ciągu 0 n a, b) zbieżnego do 0 zachodzi n f n ) = g. Piszemy wówczas 0 f) = g. Ta definicja pochodzi od Heinego Przykład. Tytułem przykładu, zauważmy, że 4.2) 0 sin = 0, gdyż jeśli 0 n n 0, to również n n 0, a skoro sin n n, to także n sin n 0. Wynika stąd natychmiast, że cos = 1. 0 Rzeczywiście, jeśli 0 n 0, to od pewnego miejsca n < π 2 i wtedy cos n = 1 sin 2 n ) Przykład. Następny przykład ilustruje sytuację, gdy punkt 0, w którym obliczamy granicę, nie leży w dziedzinie funkcji. Niech f) = sin, 0. Obliczymy granicę tej funkcji w punkcie 0 = 0. W tym celu zauważmy, że dla dowolnego 0 < 1 mamy sin sin < < cos, a zatem cos < sin < 1 Weźmy teraz dowolny ciąg 0 n 0. Ponieważ dla dużych n cos n < sin n < 1 n oraz 0 cos = 1, więc sin 0 = Przykład. Rozważmy jeszcze funkcję f) = sin1/), R \ {0}. Zauważmy, że f) = sin1/) = 0, 0 0 gdyż dla dowolnego ciągu 0 n 0 mamy n sin1/ n ) = n sin1/ n ) n 0.

2 Przykład. Kolejny przykład to funkcja f : R [0, 1) zadana wzorem f) = m). Nie ma ona granicy w żadnym punkcie 0 = c Z, gdyż na przykład dla ciągów n = c 1 2n c, y n = c + 1 2n c otrzymujemy f n ) = m c 1 ) = 1 1 2n 2n 1, fy n ) = m c + 1 ) = 1 2n 2n 0. W podobny sposób pokażemy, że funkcja f) = sin 1, R \ {0}, nie ma granicy w punkcie 0 = 0. Rozważmy bowiem ciągi Otrzymujemy oraz a zatem n = π 2 + 2πn ) 1 0, yn = 2πn) 1 0. π ) f n ) = sin 2 + 2πn = 1, fy n ) = sin2πn) = 0, f n) = 1 0 = fy n). n n 4.6. Przykład. Sprawdzimy jeszcze, że dla a > 0 a 1 = log a. 0 Mamy bowiem a 1 = e log a 1 = log a + r 2 log a), gdzie dla dostatecznie bliskich zera r 2 log a) 2 log 2 a, co pokazuje, że drugi składnik sumy dąży do zera Przykład. Niech 0 < a b. Wtedy dla każdego 0 a + b ) 1/ a b, 2 więc wyrażenie stojące w środku, oznaczmy je przez S a, b), można uważać za rodzaj średniej liczb a, b. I rzeczywiście, a 1 + b 1 ) 1 S 1 a, b) =, S 1 a, b) = a + b 2 2 są odpowiednio średnią harmoniczną i arytmetyczną tych liczb. Pokażemy, że S a, b) = ab. 0 W tym celu zauważmy najpierw, że ) 1 + c 1/ S a, b) = a = af ), 2

3 3 gdzie c = b/a. Mamy więc gdzie wykładnik spełnia nierówności 1 F ) = ep 1 + ) c log, 2 c 1 c + 1) < c log < c Na mocy poprzedniego przykładu obie skrajne funkcje dążą do log c 2, więc F ) = e log c 2 = b c = 0 a, a stąd natychmiast wynika nasza teza. Podamy teraz inną definicję granicy funkcji w punkcie, która, jak pokażemy za chwilę, okaże się równoważna. Definicję tę sformułował Cauchy. Niech 0 a, b) i f : a, b) R lub f : a, b) \ { 0 } R. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 granicę właściwą równą g, jeśli ) ε > 0 δ > 0 a, b) 0 < 0 < δ f) g < ε. Mówiąc obrazowo, funkcja f ma w punkcie 0 granicę równą g, jeżeli wartości funkcji są dowolnie bliskie liczbie g, pod warunkiem, że argumenty są dostatecznie bliskie Funkcja f ma w punkcie 0 granicę równą g R w sensie Heinego dokładnie wtedy, gdy ma ją w sensie Cauchy ego. Dowód. Przypuśćmy, że funkcja f ma granicę g w sensie Cauchy ego równą g. Weźmy dowolny ciąg n 0 elementów dziedziny D funkcji f zbieżny do punktu 0. Chcemy pokazać, że f n ) g. Ustalmy w tym celu dowolnie liczbę ε > 0. Na mocy definicji Cauchy ego istnieje taka liczba δ > 0, że 0 < δ f) g < ε, natomiast ze zbieżności ciągu { n } wynika, że istnieje taka liczba N N, że dla n > N. Wobec tego dla takich n n 0 < δ f n ) g < ε. Przypuśćmy teraz, że funkcja nie ma granicy w sensie Cauchy ego równej g. Wtedy istnieje takie ε > 0, że dla każdego δ n = 1 n możemy znaleźć 0 n D, takie że n 0 < 1 n oraz f n) g > ε. Pierwsza nierówność mówi, że ciąg { n } jest, zbieżny do 0, a druga, że ciąg wartości {f n )} nie jest zbieżny do g, co oznacza, że warunki granicy w sensie Heinego równej g też nie są spełnione.

4 Przykład. Zilustrujemy obie definicje na przykładzie granicy w punkcie 0 = 0 funkcji f) = sin 2. Weźmy dowolny ciąg liczb niezerowych { n } zbieżny do zera. Wtedy również 2 n 0, a stąd, na mocy równości 4.2), sin 2 n 0, co oznacza, że sin 0 2 = 0 zgodnie z definicją Heinego. Niech ε > 0. Ponieważ dla każdego więc jeżeli < δ = ε, to co oznacza, że zgodnie z definicją Cauchy ego. sin 2 < 2, sin 2 < 2 < δ 2 = ε, sin 0 2 = Arytmetyka granic). Jeśli funkcje f i g mają granice w punkcie 0, to także funkcje f + g oraz f g mają w tym punkcie granice i f + g)) = f) + g), f g)) = f) g) Ponadto, jeśli 0 g) 0, to funkcja 1/g jest określona w bliskości punktu 0 i 1 0 g ) = 1 0 g). Dowód tego faktu pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie, przy którym warto pamiętać o analogicznej arytmetyce granic ciągów. Zauważmy jeszcze, że w dowolnym punkcie granica funkcji stałej określonej na całej prostej jest równa jej wartości. Stąd natychmiast otrzymujemy następujące wnioski Wniosek. Jeśli funkcje f i g mają granice w punkcie 0, to o ile 0 g) 0. α f) = α f), α R, 0 0 f) 0 g) = 0 f) 0 g), Przykład. Dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 n = n. Wynika to z faktu, że dla 1 n 1 1 = n 1 + n , gdzie każdy ze składników po prawej dąży do 1, gdy 1.

5 Przykład. Poprzedni przykład można przy pewnym nakładzie pracy uogólnić. Niech α, β R i niech β 0. Wtedy α 1 1 β 1 = α β. Rzeczywiście, na mocy własności funkcji wykładniczej gdzie r 2 y) y 2 dla y 1, więc α 1 β 1 = eα log 1 e β log 1 = α log + r 2α log ) β log + r 2 β log ), α 1 β 1 = α + β + r 2α log ) log r2β log ) log gdzie r 2 γ log ) log γ log dąży do zera, gdy dąży do 1, dla γ = α i γ = β, co dowodzi naszej tezy Przykład. Granica w punkcie 0 = 0 funkcji f : R \ {0} cos 1 R istnieje i wynosi zero. Mamy bowiem f) = cos 1 = 2 sin2 /2), = sin/2) /2 sin/2) i ponieważ pierwszy czynnik dąży do 1, a drugi do 0, to wobec 4.10) otrzymujemy cos 1 f) = = Zdefiniujmy teraz granice jednostronne funkcji. Niech f : a, b) R i niech 0 a, b]. Mówimy, że f ma granicę właściwą lewostronną w punkcie 0 równą α, jeśli dla każdego ciągu n a, 0 ) f n ) α wersja Heinego) lub równoważnie ) ε > 0 δ > 0 a, 0 ) 0 < δ f) g < ε. Piszemy wtedy f) = α. 0 Zauważmy, że to, czy funkcja jest określona w [ 0, b), nie ma żadnego znaczenia. Tak więc granica lewostronna jest dobrze zdefiniowana dla 0 a, b]. W analogiczny sposób definiujemy granicę prawostronną funkcji w punkcie 0 [a, b), którą oznaczamy przez 0+ f) Przykład. Obliczmy obie granice jednostronne części ułamkowej w punkcie 0 = 0. Ponieważ dla dowolnego ciągu liczb ujemnych { n } zbieżnego do zera n > 1, dla n większych od pewnego N, więc dla takich n m n ) = n [ n ] = n + 1,

6 6 skąd m n ) 1, czyli m) = 1. 0 Podobnie, w dowolnym ciągu liczb dodatnich { n } zbieżnym do zera, od pewnego miejsca wyrazy są mniejsze od 1, więc ich część całkowita wynosi 0. Oznacza to, że dla dostatecznie dużych n m n ) = n, czyli m) = Jeśli funkcja f ma w pewnym punkcie 0 obie granice jednostronne oraz f) = f) = α, 0 0+ to funkcja f ma w punkcie 0 granicę równą α. Dowód. Posłużymy się definicją Cauchy ego. Niech będzie dany ε > 0. Z założenia wynika, że istnieją δ 1 > 0 i δ 2 >, takie że f) α < ε, fy) α < ε, o ile 0 δ 1 < < 0 i 0 < y < 0 + δ 2. Niech δ = min{δ 1, δ 2 }. Z powyższego widać natychmiast, że jeśli 0 < z 0 < δ, to fz) α < ε Przykład. Pokażemy, że funkcja { sin dla < 0, f) = sinh dla 0, ma granicę w zerze. Istotnie, skoro dla dowolnego ciągu { n } zbieżnego do zera n e n = e 0 = 1, więc 0 e = 1, a stąd Ponadto a zatem Przykład. Sprawdzimy, że e e f) = sinh = e e = = f) = sin = sin = 0, f) = 0. 0 log = Rzeczywiście, niech 0, 1) n 0. Korzystając z nierówności log1 + z) < 1 α zα, z > 0, 0 < α 1,

7 7 dla α = 1/2, widzimy, że n log n = n log1/ n ) 2n 1/n 2 n n = 2 n, skąd natychmiast wynika nasza teza. Mówimy, że funkcja f określona na przedziale [a, b] jest ciągła w punkcie 0 [a, b], jeżeli dla każdego ciągu { n } [a, b] n 0 implikuje f n ) f 0 ). Mówimy, że funkcja f określona na zbiorze D jest ciągła w przedziale I D, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału Przykład. W rozdziale 3 pokazaliśmy, że Oznacza to, że funkcja wykładnicza jest ciągła w każdym punkcie R. Z 4.10) wynika natychmiast n implikuje ep n ) ep). R ep) Jeżeli funkcje f, g są ciągłe w pewnym punkcie 0 należącym do dziedzin obu funkcji, to funkcje f + g oraz f g także są ciągłe w tym punkcie Przykład. Wielomian jest funkcją ciągłą na R. Istotnie, każdy wielomian jest funkcją postaci n f) = a k k, wystarczy zatem sprawdzić, że dla dowolnych liczb α R oraz n N funkcja k=0 R α n jest ciągła. Jeszcze raz korzystając z powyższego faktu, widzimy, że cała rzecz sprowadza się więc do ciągłości funkcji stałej i tożsamościowej, a to jest oczywiste Przykład. Jak wiemy, funkcja logarytmiczna log : 0, ) R jest funkcją odwrotną do wykładniczej, która jest ciągła. To pozwala wnioskować o ciągłości funkcji log. Rzeczywiście, niech n wraz z n, gdzie, n > 0. Ciąg y n = log n jest ograniczony. Wystarczy zatem, że pokażemy, iż dla każdego zbieżnego do y podciągu {y nk } k N jest y = log. Istotnie, na mocy naszych założeń nk = e yn k, gdzie ciąg po lewej jest zbieżny do, a ten po prawej do e y. Zatem = e y, czyli y = log. W dowodzie Twierdzenia 4.39 poniżej jeszcze raz skorzystamy z tego rozumowania, aby uogólnić powyższy fakt. Tam też Czytelnik znajdzie więcej szczegółów Lemat. Niech będą dane ciągłe funkcje f, g : [a, b] R. Jeśli fw) = gw) dla wymiernych w [a, b], to f = g.

8 8 Dowód. Niech [a, b]. Niech w n [a, b] będzie ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do. Wtedy f) = fw n) = gw n) = g), n n więc f = g Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, tzn. jeśli f : I J, g : J K oraz f jest ciągła w punkcie I a g w punkcie y = f), to funkcja g f : I K jest ciągła w. Dowód. Dla dowolnego ciągu { n } I zbieżnego do, z ciągłości funkcji f w punkcie wynika, że f n ) f) = y, a stąd wobec ciągłości funkcji g w punkcie y gf n )) gy) = gf)). Pokazaliśmy więc, że dla każdego ciągu { n } I n implikuje g f n ) g f), co zgodnie definicją Heinego oznacza ciągłość funkcji g f w punkcie Przykład. Na mocy powyższego faktu, funkcja f : 0, ) = ep log ) jest ciągła jako złożenie ciągłej funkcji wykładniczej z funkcją log, która jest iloczynem dwu funkcji ciągłych; jest więc także ciągła. Ponadto, możemy położyć w zerze taką wartość, aby przedłużenie f 1 funkcji f było nadal funkcją ciągłą. Mianowicie, z ciągłości funkcji wykładniczej wynika, że a stąd jest ciągła na [0, ). 0+ = 0+ e log = 1, f 1 ) = {, > 0, 1, = 0, Przykład. Funkcje trygonometryczne są ciągłe na swoich dziedzinach. Oczywiście wystarczy sprawdzić ciągłość funkcji sinus i cosinus. Ustalmy zatem dowolnie punkt 0 R i weźmy dowolny ciąg { n } zbieżny do niego. Wtedy skąd na mocy 4.10)) i analogicznie sin n = sinh n + 0 ) h n = n 0 0, = sin h n cos 0 + cos h n sin 0 sin 0 cos n = cosh n + 0 ) = cos h n cos 0 sin h n sin 0 cos Przykład. Ciekawym przykładem funkcji, która ma wiele punktów ciągłości, jak i nieciągłości, jest funkcja Riemanna.

9 Przykład. Niech f będzie funkcją określoną na całej prostej wzorem { 0 gdy / Q, f) = 1 q gdy = p q, gdzie p, q) = 1. Pokażemy, że f jest ciągła dokładnie w punktach niewymiernych. Istotnie, jeśli n / Q, to wartości f n ) są równe 0, gdy n są niewymierne, i równe mianownikom n, gdy n są wymierne. Ponieważ wartość graniczna jest niewymierna, mianowniki te dążą do nieskończoności, co pokazuje, że f n) = 0 = f). n Jeśli natomiast Q, to f) 0, i istnieje ciąg liczb niewymiernych, np. n = + e n zbieżny do. Mamy więc n f n) = 0 f). Pamiętamy, że kresy górny i dolny zostały zdefiniowane dla podzbiorów E R ograniczonych odpowiednio z góry i z dołu. Wygodnie będzie rozszerzyć związaną z tym notację, tak aby objąć nią także zbiory nieograniczone. W związku z tym przyjmiemy następującą definicję: Jeśli R E jest nieograniczony z góry, to będziemy mówić, że E ma kres górny niewłaściwy i pisać sup E =. Analogicznie, jeśli R E jest nieograniczony z dołu, to będziemy mówić, że E ma kres dolny niewłaściwy i pisać inf E =. Definicja ta pozwoli nam na przykład na pisanie sup E <, co jest oczywiście równoważne powiedzeniu, że zbiór E jest ograniczony od góry. Podobnie fakt, że zbiór E jest ograniczony od dołu możemy wyrazić krótko, pisząc inf E >. Mówimy, że funkcja f : = D R jest ograniczona z góry z dołu), jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry z dołu), tzn. sup fd) = sup f) < inf fd) = inf f) > ). D D Twierdzenie. Funkcja ciągła na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy. Dowód. Przypuśćmy, że f : [a, b] R jest ciągła i nieograniczona. Wtedy istnieje ciąg { n } [a, b] taki, że 4.30) f n ). Ponieważ { n } ograniczony, więc na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa istnieje podciąg { nk } k N zbieżny do pewnego 0. Skoro a nk b, n N, to również a 0 b, tzn. 0 należy do dziedziny f, i wobec ciągłości f f nk ) f 0 ), co przeczy 4.30). Pozostaje dowieść, że f przyjmuje wartość największą i najmniejszą. Niech α = inf f). [a,b]

10 a z ciągłości funkcji f w punkcie 0 f nk ) f 0), 10 Z definicji kresu wynika, że istnieje ciąg { n } [a, b], taki że f n ) α. Podobnie jak poprzednio wybieramy podciąg { nk } zbieżny do pewnego 0 Wtedy f nk ) α, [a, b]. skąd α = f 0 ). Analogicznie pokazujemy, że istnieje 1 [a, b] takie, że co kończy dowód. f 1 ) = sup f), [a,b] Twierdzenie Darbou). Jeśli f : [a, b] R jest ciągła oraz to istnieje c a, b), takie że fc) = y. Dowód. Niech fa) < y < fb), E = { [a, b]: f) < y}. Skoro a E i b / E, więc E [a, b). Jeśli przyjmiemy, że to a c b i istnieje ciąg n E, taki że Z ciągłości funkcji f a ponieważ więc c = sup E, n c. f n ) fc), f n ) < y, n N, 4.32) fc) y, c < b. Wybierzmy z odcinka [a, b] ciąg zbieżny do c od góry, np. Wtedy więc wobec 4.32) co dowodzi tezy. z n = c + b c)/n, n N. fz n ) fc) oraz fz n ) y, n N, fc) y, Remark. Oczywiście twierdzenie Darbou pozostaje prawdziwe, gdy fb) < y < fa). Niech bowiem g = f i z = y. Wtedy ga) < z < gb) i istnieje a < c < b, takie że gc) = z, czyli fc) = y.

11 Wniosek. Obrazem odcinka domkniętego przez funkcję ciągłą jest odcinek domknięty. Dokładniej, jeśli f : [a, b] R jest ciągła, to f [a, b] ) = [ min f), ma f) ]. [a,b] [a,b] Dowód. Na mocy Twierdzenia 4.29 funkcja f jest ograniczona i osiąga swoje kresy, czyli oraz dla pewnych 1, 2 [a, b]. Oczywiście inf f) = min f) = f 1) [a,b] [a,b] sup f) = ma f) = f 2) [a,b] [a,b] 4.35) f [a, b] ) [ f 1 ), f 2 ) ]. Na mocy twierdzenia Darbou dla każdego ) y f 1 ), f 2 ) istnieje c 1, 2 ), takie że fc) = y, więc [ f1 ), f 2 ) ] f [a, b] ), co wobec 4.35) daje tezę Wniosek. Jeśli f : a, b) R jest ciągła i różnowartościowa, to jest ściśle monotoniczna. Dowód. Załóżmy nie wprost, że f nie jest monotoniczna, tzn. istnieją 4.37) a < 1 < 2 < 3 < b, takie że albo f 1 ) < f 2 ) i f 2 ) > f 3 ), f 1 ) > f 2 ) i f 2 ) < f 3 ). Bez zmniejszania ogólności załóżmy, że zachodzi pierwsza z koniunkcji. Wtedy istnieje y f 1 ), f 2 ) ) f 3 ), f 2 ) ), skąd na mocy twierdzenia Darbou istnieją c 1 1, 2 ), c 2 3, 4 ), takie że fc 1 ) = y = fc 2 ), co wobec 4.37) oznacza, że c 1 c 2 i tym samym jest sprzeczne z założeniem różnowartościowości funkcji f. I jeszcze jeden wniosek z twierdzenia Darbou Wniosek o punkcie stałym). Niech f : [a, b] [a, b] będzie ciągła. Istnieje c [a, b], takie że fc) = c.

12 12 Dowód. Rozważmy funkcję g : [a, b] R zadaną wzorem g) = f). Chcemy pokazać, że g ma miejsce zerowe. Oczywiście, ga) 0 gb), więc albo któryś z punktów a, b jest miejscem zerowym, albo ga) < 0 < gb) i wtedy na mocy własności Darbou istnieje c a, b), takie że gc) = 0, bo przecież g jest funkcją ciągłą. Ale skoro tak, to fc) = c, a o to nam przecież chodziło Twierdzenie. Jeśli jest ciągłą bijekcją, to jest również ciągła. f : [a, b] [c, d] f 1 : [c, d] [a, b] Dowód. Weźmy dowolny ciąg {y n } [c, d] zbieżny do pewnego y [c, d]. Skoro {f 1 y n )} [ a, b ], to na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa możemy wybrać podciąg zbieżny Z ciągłości funkcji f a ponieważ f 1 y nk ). f f 1 y nk ) ) f), f f 1 y nk ) ) = y nk y, więc y = f), czyli = f 1 y). Skoro, jak pokazaliśmy, dowolny podciąg zbieżny ciągu ograniczonego {f 1 y n )} jest zbieżny do tej samej liczby f 1 y), to co oznacza, że funkcja f 1 jest ciągła. f 1 y n ) f 1 y), Podaliśmy już w obu wersjach, Heinego i Cauchy ego, precyzyjne definicje granicy liczbowej w punkcie oraz granic jednostronnych liczbowych w punkcie. W podobny sposób formułuje się definicję granicy liczbowej w + i w. I tak, dla funkcji f o dziedzinie D, a), gdzie a R, mamy f) = α { n } D n f n ) α ) ε > 0 K < a < K f) α < ε. Obok granic liczbowych czyli właściwych) mamy jeszcze odpowiadające im granice niewłaściwe. I tak, mówimy, że funkcja f : a, b) R ma granicę niewłaściwą w punkcie 0 równą ±, jeśli dla każdego ciągu 0 a, b) n 0 implikuje f n ) ±. Są jeszcze granice właściwe i niewłaściwe w nieskończoności, gdzie zbieżność 0 zastępuje się zbieżnością ±. Ponadto trzeba jeszcze wspomnieć granice jednostronne właściwe i niewłaściwe w nieskończoności. Czytelnik zechce sam sformułować

13 13 odpowiednie definicje w wersji Heinego i Cauchy ego. Dla przykładu oraz f) = 0 { n } K < 0 δ > 0 n 0 f n ) ) 0 < δ f) < K ) f) = { n } n f n ) ) K < 0 M > 0 > M f) < K.

14 Zadania sin a 1. Oblicz granice 0, 0 sin2 sin sin 2), Oblicz granice ) 1 log, a a a, a a a a. 3. Oblicz granice , 1 n 1 m 1, 1 4. Oblicz granicę α 1 1 dla α, β R, β 0. β 1 5. Oblicz granice 0 [ 1 ], 0+ []. 6. Oblicz granice 0 e 1, m 1 n 1, gdzie n, m N. 0 log1+), 0 log 1 )log. 7. Oblicz granice 0 sin ) sin, 0 sin ) log1+). 8. Oblicz granice: , 1 1, , 1 1) 2 2 1, , / , ) , , , Oblicz granice a b a b 2 a 2, gdzie a > b, Oblicz granice 0+ 1, 0 log, , π/2 tg, 1/, e Oblicz loge+1/), 1+1/). 1+1/), 1+ ) 1/. 12. Znajdź granice jednostronne funkcji f) = / w punkcie = Pokaż, że dla każdego niestałego wielomianu f jest f) =. 14. Udowodnij, że każdy wielomian ϕ stopnia 3 przyjmuje wartości różnych znaków. Korzystając z własności Darbou, wywnioskuj, że ϕ ma pierwiastek. 15. Podaj przykład wielomianu stopnia 4, który nie ma pierwiastka. A co powiesz o wielomianach stopnia 5? 16. Niech log1+) sinsin a) dla < 0; f) = b dla = 0; + c dla > 0. Dla jakich a, b, c funkcja ta jest ciągła w 0? 17. Pokaż, że log 2 < 3 1 oraz log 3 < Znajdź granice 7/ /2 1, α 1 1 β 1, α β 1 γ 1, e 1 α 1 α log 0 2, 1 1) 2, gdzie α, β, γ > 0. Pamiętaj, że e z = 1 + z + z 2 /2 + r 3 z), gdzie r 3 z) 1 4 z 3 dla z Oblicz n n ϕ) = n n, > 0, + n i rozstrzygnij, czy ϕ jest funkcją ciągłą. Narysuj jej wykres. ) 20. Pokaż, że funkcje f) = sin m)π i g) = [] sin π są ciągłe. 21. Pokaż, że funkcje F ) = ma{f), g)} i G) = min{f), g)} są ciągłe w każdym punkcie, w którym zarówno f, jak i g jest ciągła.

15 Pokaż, że równanie 2 = sin + 1 ma w przedziale 0 < < 1 przynajmniej jedno rozwiązanie. 23. Dana jest funkcja ciągła f : R R, taka że f) = 0 dla Q. Znajdź jej wartości dla argumentów niewymiernych. 24. Korzystając z twierdzenia Darbou pokaż, że równanie 2 = 1 ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale 0, 1). 25. Dane jest równanie kwadratowe a 2 + b + c = 0, w którym b > 0 i c są ustalone. Pokaż, że dla dostatecznie małych a > 0 równanie to ma dwa pierwiastki 1 a) < 2 a). Znajdź a 0 1 a) i a 0 2 a). 26. Udowodnij, że funkcja 1 1 jest ściśle rosnąca na 0, 1). W tym celu zauważ, że = 1 + 1) i zastosuj nierówność Bernoulliego. 27. Pokaż, że funkcja przyjmuje na odcinku 0, 1] wartość minimalną dla = 1/e. W tym celu zauważ, że funkcja 1/) 1/ na [1, ) ma ten sam zbiór wartości i skorzystaj z nierówności 1/ e 1/e. 28. Znajdź wszystkie, y R spełniające równanie n n n + y n = 1. ) 29. Znajdź wszystkie punkty nieciągłości funkcji m 1) [] i naszkicuj jej wykres. 30. Udowodnij, że jedyną funkcją ciągłą f : R 0, ) spełniającą warunki jest funkcja f) = e. f + y) = f)fy), f1) = e 31. Niech będą dane liczby dodatnie a i b. Niech f0) = ab oraz a + b ) 1/. f) = 0, 2 Pokaż, że f jest funkcją ciągłą. Zinterpretuj wartości f 1), f0), f1). 1+) 32. Pokaż, że α 1 0 = α dla α R. 1 cos 33. Pokaż, że 0 = Udowodnij, że funkcja F ) = m) m) jest ciągła. 35. Znajdź granicę ) log 1 + sin ). 0 sin log1 + ) 36. Wykaż, że a) równanie e = 3 ma rozwiązanie 0 < 1 < 1 i rozwiązanie 1 < 2 < 2, b) równanie nie ma rozwiązań na R. e = 2

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności).

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Ciągi rozbieżne do Def. Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do, jeśli Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Można obrazowo powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę

Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę ZESTAW I Liczby rzeczywiste Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności, rozwiązując zadania, w których: a) planuje i wykonuje obliczenia na

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14 Wzory skróconego mnożenia, procenty, postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Szacowanie wyrażeń. W dniu 23/24 października

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR 1 A. B. C. D.

SPRAWDZIAN NR 1 A. B. C. D. SPRAWDZIAN NR 1 TERESA ZIEGLER IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Rozwiąż równanie. log 2 x = log 4 5 2. Zaznacz takie dokończenie zdania, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Liczbę w notacji wykładniczej można

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek 6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Marzec 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 2 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Marzec 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 2 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Marzec 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron.

Bardziej szczegółowo

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu) Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem

Bardziej szczegółowo