Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa

Transkrypt

1 Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207

2 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor: Tomasz Zabawa Pocodną funkcji można obliczyć, korzystając z twierdzeń opisującyc własności pocodnyc funkcji - twierdzenia o pocodnej operacji algebraicznyc i twierdzenia o pocodnej funkcji złożonej - oraz wzorów na pocodne podstawowyc funkcji. Poniżej przedstawimy te twierdzenia oraz przykłady obliczania pocodnej funkcji wykorzystujące te własności. TWIERDZENIE Twierdzenie : Wzory na pocodne podstawowyc funkcji Pocodne funkcji względem zmiennej x wyrażają się wzorami: Pocodna funkcji stałej: (c) 0, gdzie c R jest stałą Pocodna funkcji potęgowej: ( x a ) ax a, gdzie a R jest stałą Pocodna funkcji wykładniczej i logarytmicznej: ( a x ) a x ln a, gdzie a (0, ) (, ) jest stałą ( e x ) e x ( log a x ), gdzie a (0, ) (, ) jest stałą x ln a (ln x ) x Pocodna funkcji trygonometrycznyc: (sin x ) cos x (cos x ) sin x (tg x ) cos 2 x (ctg x ) sin 2 x Pocodna funkcji cyklometrycznyc: (arcsin x ) x 2 (arccos x ) x 2 (arctg x ) x 2 + (arcctg x ) x 2 + Jako zakres zmiennej x dla powyższyc wzorów przyjmujemy część wspólną dziedziny funkcji pod znakiem pocodnej i dziedziny funkcji po prawej stronie znaku równości. Uwaga : Wszystkie powyższe wzory są wyprowadzone z definicji pocodnej funkcji w dowolnym punkcie x lub przy użyciu twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej.

3 PRZYKŁAD Przykład : Obliczymy pocodną funkcji f(x) sin x z definicji. f f(x + ) f(x) sin(x + ) sin(x) (x) lim lim 0 0 sin x cos + cos x sin sin x lim 0 sin x( 2 sin 2 ) + cos x sin sin x 2 lim 0 2 sin x sin 2 + cos x sin 2 lim 0 sin 2 2 sin lim ( 2 sin x + cos x ) 0 sin 2 sin lim ( sin x sin + cos x ) sin x 0 + cos x cos x. Pocodną funkcji można obliczyć z definicji, jednak często jest to żmudne zadanie. Dlatego zazwyczaj obliczamy pocodną funkcji, wykorzystując twierdzenie o pocodnej operacji algebraicznyc i twierdzenie o pocodnej funkcji złożonej oraz powyższe wzory na pocodne podstawowyc funkcji. TWIERDZENIE Twierdzenie 2: o pocodnej operacji algebraicznyc Jeżeli funkcje f i g mają pocodne właściwe w punkcie x 0, to (k f ) ( x 0 ) k f ( x 0 ), gdzie k jest stałą, (f + g ) ( x 0 ) f ( x 0 ) + g ( x 0 ), (f g ) ( x 0 ) f ( x 0 ) g ( x 0 ), (f g ) ( x 0 ) f ( x 0 )g( x 0 ) + f( x 0 ) g ( x 0 ), ( f f ( x )g( ) f( ) ( ) ) ( x ) 0 x 0 x 0 g x 0 g 0. [g( x 0 )] 2 Uwaga 2: Powyższe wzory są również prawdziwe dla pocodnyc jednostronnyc.

4 PRZYKŁAD Przykład 2: Obliczmy pocodną funkcji: f(x) 2 x 2 + 4x 5 3. Wykorzystując wzory na pocodną sumy i różnicy otrzymujemy: f (x) (2 x 2 ) + (4x 5 ) (3) Ze wzorów na pocodną iloczynu stałej i funkcji: 2( x 2 ) + 4( x 5 ) (3) Teraz pod znakiem pocodnej mamy jedynie funkcje potęgowe i funkcję stałą, któryc pocodne znamy, zatem: 2 2x + 4 5x 4 0 4x + 20 x 4. PRZYKŁAD Przykład 3: Wykorzystując powyższe twierdzenie, obliczmy pocodne funkcji: g(x) x 3 sin x, (x) ln x. ctg x g (x) ( x 3 sin x ) ( x 3 ) sin x + x 3 (sin x ) 3x 2 sin x + x 3 cos x (x) ln x (ln x) ctg x ln x(ctg x) ctg x ln x( ) sin2 x ctg x ctg 2 x ctg 2 x Pocodna funkcji została policzona, ale uprośćmy jeszcze ten przepis: ctg x sin 2 x+x ln x sin x cos x+x ln x. x sin 2 x ctg 2 x x cos 2 x x Przy liczeniu pocodnej funkcji elementarnej będziemy często potrzebować jeszcze wzoru na pocodną złożenia funkcji. TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o pocodnej funkcji złożonej Jeżeli funkcja f ma pocodną właściwą w punkcie x 0 i funkcja g ma pocodną właściwą w punkcie f( x 0 ), to (g f ) ( x 0 ) g ( y 0 ) y f( ) ( ). 0 x 0 f x 0 Uwaga 3: Powyższy wzór jest prawdziwy dla funkcji będącej złożeniem dowolnej skończonej liczby funkcji, a także dla pocodnyc jednostronnyc.

5 Uwaga 4: Wyrażenie g (y) yf(x) w powyższym wzorze oznacza, że najpierw liczymy pocodną funkcji zewnętrznej g, a dopiero następnie w miejsce zmiennej y wstawiamy funkcję wewnętrzną f(x). PRZYKŁAD Przykład 4: Obliczmy pocodne funkcji: f (x) sin 4x, f 2 (x) sin 4 x. Funkcja f jest złożeniem dwóc funkcji. Funkcją wewnętrzną jest funkcja 4x, natomiast funkcją zewnętrzną jest sin y. f (x) (sin 4x ) (sin y) y4x (4x) (cos y) y4x 4 cos 4x 4 4 cos 4x. Zauważmy, że sin 4 x (sin x) 4, czyli tym razem funkcja sinus jest funkcją wewnętrzną. f (x) ((sin x ) ( (sin x (4 ) cos x 4 x cos x. 2 4 ) y 4 ) ysin x ) y 3 ysin x sin 3 PRZYKŁAD Przykład 5: Funkcja, której liczymy pocodną, może być złożeniem większej ilości funkcji, tak jak: f 3 (x) sin 5 3x. Jest to złożenie trzec funkcji. Wtedy f 3 (x) ( sin 5 3x ) ((sin 3x ) 5 ) ( y 5 ) ysin 3x (sin 3x ) 5(sin 3x) 4 (sin 3x ) 5(sin 3x) 4 (sin y) y3x (3x) 5(sin 3x) 4 cos 3x 3 5 sin 4 3x cos 3x. Uwaga 5: Zauważmy, że licząc pocodną funkcji złożonej, wygodnie jest liczyć pocodną rozpoczynając od pocodnej funkcji najbardziej zewnętrznej. Podobnie jeżeli funkcja ma rozbudowany wzór, to wygodnie jest rozpocząć liczenie pocodnej od operacji najbardziej zewnętrznej, niezależnie czy jest to operacja złożenia funkcji, czy operacja będąca działaniem arytmetycznym na funkcjac. Jeżeli mamy problem z określeniem, która operacja jest najbardziej zewnętrzna, to przyjrzyjmy się kolejności wykonywanyc operacji, gdy za x podstawimy dowolną liczbę z dziedziny. Operacja, którą wykonujemy jako ostatnią, będzie operacją najbardziej zewnętrzną.

6 PRZYKŁAD Przykład 6: Obliczmy pocodne funkcji: w ic dziedzinac. g (x) ln( 3 5x+4x3 + 4 x 7 log cos x ), g 2 (x) 4 5 x x 5 Dla dowolnego x należącego do dziedziny funkcji g : g (x) (ln( 3 5x+4x3 + 4 x 7 )) ( 3 5x+4x3 + 4 x 7 ) (( 3 5x+4x3 ) + (4 x 7 ) ) ( 3 5x+4x3 ln 3 (5x + 4 x 3 ) + 28 x 6 ) ( 3 5x+4x3 ln 3 (5 + 2 x 2 ) + 28 x 6 ) 3 5x+4x3 (5 + 2 x 2 ) ln x 6. Dla dowolnego x należącego do dziedziny funkcji g 2 : g 2 (x) log 4 cos x ( log 4 cos x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)( 5 x x 5 ) ( ) 5 x x 5 (5 x x 5 ) 2 4 log 3 cos x(log cos x) 5 x x 5 ( log 4 cos x) (( 5 x ) x x ( x 5 ) ) 25 x x 0 4 log 3 cos x (cos x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)( 5 x ln 5 x x 5 x 4 ) cos x ln 0 25 x x 0 4 log 3 cos x cos x ln 0 4tg x log 3 cos x ln 0 ( sin x) 5 x x 5 ( log 4 cos x)( 5 x ln 5 x x 5 x 4 ) 25 x x 0 5 x x 5 ( log 4 cos x)( x 5 5 x ln x 4 5 x ) 25 x x 0.

7 Uwaga 6: Do obliczania pocodnyc funkcji złożonyc postaci (f(x)) g(x) oraz log f(x) g(x) wykorzystujemy przekształcenia: (f(x)) g(x) e g(x) ln f(x) ln g(x) oraz log f(x) g(x). ln f(x) Zauważmy, że przed przekształceniem funkcji (f(x)) g(x) nie możemy zastosować ani wzoru na pocodną funkcji potęgowej, ani na pocodną funkcji wykładniczej, bo zmienna występuje i w wykładniku, i w podstawie potęgi. Również wzór na pocodną funkcji logarytmicznej wymaga, aby podstawa logarytmu była liczbą. Aby móc zastosować znane wzory na pocodne, przekształcamy przepisy tyc funkcji tak, aby w podstawie potęgi i w podstawie logarytmu były liczby. Wykorzystując złożenie funkcji odwrotnyc do siebie (funkcja y ln x jest funkcją odwrotną do funkcji y e x ), otrzymujemy: Natomiast ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy: (f(x)) g(x) ( eln f(x) g(x) ) e g(x) ln f(x). log f(x) ln g(x) ln f(x) g(x). PRZYKŁAD Przykład 7: Zobaczmy zastosowanie tyc wzorów do obliczenia pocodnej następującyc funkcji: f (x) x x dla x (0, + ) oraz f 2 (x) log x sin x dla x (0, ). Wykorzystując przekształcenie (f(x)) g(x) e g(x) ln f(x), możemy obliczyć pocodną funkcji f : f (x) ( x x ) ( e x ln x ) e x ln x (x ln x ) e x ln x ( ln x + x ) x x ( + ln x). x ln g(x) W przypadku pocodnej funkcji f 2 wykorzystamy wzór log f(x) g(x) : ln f(x) f 2 (x) ( log x sin x ) ln sin x (ln sin x) ln x ln sin x(ln x) ( ) ln x ln 2 x cos x ln x ln sin x ln sin x sin x x ctg x ln x x. ln 2 x ln 2 x Uwaga 7: Jeżeli ccemy obliczyć pocodną funkcji w zadanym punkcie, np. w x 0 2, wykorzystując wzory, to najpierw liczymy pocodną dla dowolnego x z dziedziny, a następnie dopiero wartość obliczonej pocodnej dla zadanego argumentu x 0.

8 PRZYKŁAD Przykład 8: Obliczymy f (2), jeżeli f(x) (3x) x2. Najpierw obliczamy pocodną funkcji f dla dowolnego x > 0 (w sposób podobny jak w poprzednim przykładzie): f (x) ((3x) x2 ) ( e ln(3x) x2 ) e x2 ln(3x) ( x 2 ln(3x)) a następnie e x2 ln(3x) (2x ln(3x) + x 2 3 ) (3x) x2 (x + 2x ln(3x)), 3x f (2) (3 2 ) 22 ( ln(3 2)) 6 4 (2 + 4 ln 6) 296(2 + 4 ln 6). Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tyc samyc warunkac 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie ttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: :38:22 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: ttps://epodreczniki.open.ag.edu.pl/openag-permalink.pp? linkfb5704ba06d3e608d9afb9ca243b3db2 Autor: Tomasz Zabawa