10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,

Transkrypt

1 . Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg ctg, 3. ln ln ln 6, 4. log 4 sin log 4, 5. arccos 4, 6. tg 3 cos 5 +, 7. 34, 8. e arctg arctg e, 9. cos arccos 4, 0. arcsin( ) arcsin,. sin,. ln 3 + ln 3, 3. tg arcctg sin, 4. ln 3 sin, 5. 4 sin 4 sin 4, 6. cos cos cos, 7. sin cos tg ctg, 8. arcsin , 9. tg 4 sin 4, 30. log 3 ln, 3. arctg sin 3 8, 3. cos sin, 33. cos 4 ln + 3, 34. log, 35. +, 36. arccos 3( + ) arcsin +, 37. tg sin 3 +, 38. cos cos cos, 39. sin 4 tg 6, 40. 3, 4. 3 arctg , 4. log4 3 log 3 4, 43. arcctg arctg, sin 4 arccos, arcsin, log 5, 47. sin arcsin, 48. ln 4 3 +, 49. tg 3 ctg, 50. cos + 3 +, 5. arccos cos arccos, sin + sin 4, 53. ln ln, 54. arcctg cos3 5, 55. ctg 3 arcsin 4, 56. sin 4 cos, 57. tg 4 + arcsin, 58. cos ln sin, 59. ln ln 3 4, 60. arcsin sin 6 3.

2 Odpowiedzi - Nawiasy. sin(),. ln(3)+, 3. tg(ctg()), 4. (sin()), 5. log 3 (4), 6. arcsin(sin()), 7. (tg( 3 )) 4, 8. (log ()), 9. cos()+3, 0. arccos(3) + 4,. tg(sin(cos())),. (arcctg()) (ctg()), 3. ln(ln(ln(6))), 4. log 4 (sin()) log (4), 5. (arccos( 4 )), 6. (tg(cos())5 ) 3 +, 7. (34), 8. e (arctg()) arctg(e ), 9. cos(arccos()) 4, 0. arcsin( ) arcsin(),. (sin( )),. (ln( )) 3 + (ln( )) 3, 3. tg(arcctg(sin())), 4. (ln(3)) (sin()), 5. 4( sin(4) ) sin(4 ), 6. cos( cos( ) (cos()) ), 7. sin(cos(tg(ctg()))), 8. (arcsin( )) 3, 9. (tg(4)) ((sin()) 4 ), 30. log 3 ((ln()) ), 3. arctg((sin(8)) 3 ), 3. (cos()) (sin()), 33. (cos(ln( ))) 4 + 3, 34. log(), 35. +, 36. (arccos(3)) (+) arcsin()+ 38. cos(cos(cos())), 39. (sin((tg()) 6 )) 4, (), 4. arctg( 3 +3 ) arcctg(arctg()), 44. arccos( +sin(4), 37. tg(sin( 3 + )), 3, 4. (log (3)) 4 log (3 4 ), + ), 45. (arcsin()), 46. 5log 5 (), 47. sin((arcsin()) ), 48. (ln( 4 )) 3 +, 49. (tg( ctg())) 3, 50. (cos( +3 + )) +5, 5. arccos(cos(arccos())), 5. 4sin() + (sin()) 4, 53. ln( ) (ln( )), 54. arcctg((cos(5)) 3 ), 55. (ctg(arcsin(4))) 3, 56. (sin(cos())), tg( 4 ) + arcsin(), 58. cos(ln(sin())), 59. (ln((ln(4)) 3 )), 60. arcsin((sin(3)) 6 ).

3 . Wzory skróconego mno»enia Przeksztaª wyra»enia u»ywaj c przynajmniej raz wzoru skróconego mno»enia. ( )( + ),. ( 3 ), , 4. (5 + b), 5. (a )(a a + ), 6. ( )( ), 7. ( y) 3, 8. (c + )(c ), 9. (30 )( ), d d,. (a + 4) (a 4),. a + b ab, , 5. a b ( )( ), , a + b a b, 7. ( a + b a b), 8. ( a b)( a + b), a + b a b, 0. (c + d)(c cd + d ) c 3 + d 3,. ( 3 a 3 b)( 3 a + 3 a 3 b + 3 b ),. a 3 b 3, 3. ( 3 3 3) 3, , , , 7. ( a b)(a + b)( a + b), 8. a 3 + b 3, 9. (a + b) (a b ), , (a + b)(a b) , 3. ln ln +, 33. (sin π 3 cos π 3 )(sin π 3 + sin π 3 cos π 3 + cos π 3 ), 34. y + y, 35. a + ab + b + a b, , 37. (ln z + ) 3, 38. (cos π 6 )(cos π 6 + ), 39. ( log 3 log )( log 3 + log ), 40. ( 3) 3, 4. (b 0) b 0b + 00, 4. (( 5) ( 3) )( 5 + 3), 43. (4 ) 3, 44. (log )( + log ), , 46. 8, , 48. (( 3 5) ( 3 5) )( ), 49. a b a + b, 50. (a + ba + b )(a b) a 3 b 3, 5. (sin π 4 + cos π 4 )(sin π 4 cos π 4 ), , a a, 56. ( 9 + 8)( 9 8), (( 3 5) ( 3 5) )( ), +, ( )( ), , ,

4 Odpowiedzi - Wzory skróconego mno»enia. 4,. 5 6, 3. 4, b + b, 5. (a )(a ) = (a ) 3, 6. ( 3 3) 3 + ( 3 ) 3 = 5, y+3y y 3, 8. c, 9. 30, d+d,. ((a+4)+(a 4))((a+4) (a 4)) = 6a,., 3. a b, 4. (0 5 ) b, , 6. a b, 7. a a b, 8. a b, 9. (a+b) ab a b, 0.,. a b,. (a b)(a + ab + b ), , 4. (89 88) =, 5. 00, 6. (3 5 ), 7. a b, 8. (a + b)(a ab + b ), 9. (a + b), 30., 3. (3 + ), 3. (ln ), 33. sin 3 π 3 cos3 π 3, 34. y, 35. a b+a +ab+b a 3 b, 36., 37. ln 3 z +6 ln z + ln z +8, 38. cos π 3 6 = 3 4, 39. log 3 log = log 3, , 4., , , 44. log, , 46. (9 )(9 + ), 47. (0 + ) 3 = 3, 48. ( 3 5) 3 ( 3 5) 3 = 0, 49. a b, 50., 5. sin π 4 cos π 4 = 0, 5. (0 + 8)( ), , 54. ( ) ( ), 55. (a )(a+ ) a, = 3, 57. ( 3 + )( 3 ), 58. (98+979) , = 788, 60. ( )( )

5 3. Pot gi i pierwiastki Przeksztaª u»ywaj c wzorów na pot gi lub pierwiastki. a 3 b ,. 4 3, , a, 3, 5. a + b, (c 4 ) 6, 8. 53, ,. ( 3) 3,. 3 a4, 3, y , , b 4 b + b, , , 8. (a 3 bc 3 )(ab c 3 ), 9. a 3 a 3, ,. 3 ( + ), , 3. ( ) 4 + ( 3) 3, , 5., , , 8. ( 4) ( ) 8 4 6, 9. ag ah, ( 3) 4, , 33. 9,, a5 + 6 b 6, ( 4) 5, , , , a 4 3 b 4 c a3 b 4 c, 39. a 3 b 4 c 5 d e 6 f, a b 3 c b 4 c, 4. ( 5) , , 44. ( 9 ), 45. (y) 8 + z 8, , (8 5 ) 3, 48. 5, 49. (ab) c (ab) c, , , , 8 5 ( 6) 5 5 3, ( ), 3 7, 56. aa a a, ( a), ( 3 5), ,

6 Odpowiedzi - Pot gi i pierwiastki. (ab) 3,. 7 4, 3., 4. 6, 5. nie ma wzoru, 6. 6 a, 7. c 4, 8. 5, 9. a 4 3, 0. = ( 5 )5,. 7,. 3 y, 3. 7, = 9 8, 5. b 7 + b, , 7. nie ma wzoru, 8. a 4 b, 9. a 0 3, 0. 0,. ( + ) 3,. 0 =, 3., 4. 0, 5., 6. 3, 7. 3, 8. 8, 9. agh, 30. nie istnieje, 3. 0, 3. 4, 33. 8, 34. a + b, , , , 38. a 3 4 c, 39. de6 f a 3 b 4 c, 40. 5, 4. a bc 5 4, , 43., 44. 9, y 8 + z 8, 46., , 48., 49. (ab) c +c, 50. 0, , 5. 3, , 54., = ( 3 )7, 56. a a, , 58. a, ,

7 Narysuj wykresy funkcji 4. Wykresy. y = +,. y =, 3. y = ln, + 4. y = ( ), 5. y = sin, 6. y = tg, 7. y = cos, 8. y = log( ), 9. y = 4, 0. y = sin,. y = ctg,. y = tg, 3. y = e +, 4. y =, 5. y = ctg( + π ), 6. y = sin, 7. y = arcsin 3, 8. y =, 9. y = 3, 0. y =,. y = ln,. y = ( 3 ), 3. y = ctg, 4. y = tg( ), 5. y = e +, 6. y = arctg, 7. y = ln( ), 8. y = arcsin, 9. y = sin( π ), 30. y = arcctg, 3. y = sin +, 3. y = arccos( ), 33. y = ln, 34. y = 4, 35. y = e, 36. y = 3 +, 37. y = ln, 38. y = 3 +, 39. y = cos, 40. y = e, 4. y = arctg, 4. y = ( 3 ), 43. y =, 44. y =, 45. y = arctg, y = log, 47. y = ( ), 48. y = ctg, 49. y = arctg( + 3), 50. y = , 5. y =, 5. y = ctg( ), 53. y = cos, 54. y =, 55. y = log, 56. y = 3, 57. y = e, 58. y = arcsin( ), 59. y = arcctg, 60. y = log 3.

8 Odpowiedzi - Wykresy.,., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 0.,.,., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 0.,.,., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 30., 3., 3., 33., 34., 35., 36., 37., 38., 39., 40.,

9 4., 4., 43., 44., 45., 46., 47., 48., 49., 50., 5., 5., 53., 54., 55., 56., 57., 58., 59., 60..

10 Wypisz zaªo»enia 5. Dziedzina funkcji. y = + 3,. y = 5, 3. y = log 3 ( 4), 4. y = sin tg, 5. y = 4, 6. y = arcsin 8 3 +, 7. y = +, 8. y = tg 3 ctg, 9. y = 3 4 +, 0. y = ln cos,. y = 3 +,. y = arccos +, 3. y = cos log, 4. y = + + 3, 5. y = 3 +, 6. y = sin cos, 7. y =, 8. y = , 9. y = sin tg, 0. y = tg(log ),. y = arccos( + 3 ),. y = ln ln, 3. y = arctg, 4. y = 3 +, 5. y = ln 3 ln( 3), 6. y = 4 ln(4 ), 7. y = , y = 5, 9. y = ln(cos ), 30. y = arcsin, 3. y = 0, 3. y = cos(ln(tg )), 33. y = 5 +, 34. y = tg 5, 35. y = e 3 ctg( arcsin( + 3) sin + 5 ), 36. y =, arccos( ) 37. y = log + ( + ), 38. y = arccos(ln( )), 39. y = log( ) + log( + 4), 40. y = log(4 + e ), 4. y = arcctg 3 6, 4. y = + + arcsin, 43. y = +, 44. y = ln +, 45. y = + log 3, 46. y = 4 tg ctg +, 47. y = arcsin 3 4, 48. y = sin, 49. y = log (arctg ( ), 50. y = ln arcsin 4 5. y = arcctg, 53. y = 55. y = ln(log(log 3 )), 56. y = ), 5. y = , + + cos, 54. y = tg e, 57. y = ( + 3)( + 4), ln( + 4 ), 58. y = sin(cos 3) + 5 +, 59. y = cos 4, 60. y = 9 ln + arctg(cos ).

11 Odpowiedzi - Dziedzina funkcji ,. 5 0, 3. 4 > 0, 4. π + kπ, > 0, R, 8. 3 π + kπ, kπ, , 0. cos > 0,. R,. +, + 0,, 0, 3. > 0, , , 0, 6. cos 0, 7. 0, 0, , 9. π + kπ, 0. log π + kπ, > 0,. arccos( + 3 ) 0, + 3,. ln > 0, > 0, 3. 0, 4. 0, 3 + 0, > 0, 4 0, 6. 3 > 0, 4 > 0, ln(4 ) 0, 7. 0, 8. 0, 9. ln(cos ) 0, cos > 0, 30., 0, 3. R, 3. tg > 0, π + kπ, 33. 0, + 0, 34. π + kπ, sin + 5 0, sin + 5 0, kπ, 0, , arccos( ) 0,, > 0, +, + > 0, 38. ln( ), > 0, 39. > 0, log( + 4) 0, + 4 > 0, e > 0, , ,, 0, 43. 0, 0, , + > 0, + 0, 45. 0, 3 > 0, 3 0, 46. tg ctg 0, π +kπ, kπ, , sin 0, + 0, sin 0, 49. arctg > 0, 0, 50. arcsin + > 0, +, + 0, , 5. 0, 0, , cos 0, 8 0, 8 0, 54. π + kπ, ( + 3)( + 4) 0, 55. log(log 3 ) > 0, log 3 > 0, 56. 0, > 0, + 4 > 0, 58. R, , 60. ln 0, > 0.

12 6. Wielomiany i funkcje wymierne Podziel wielomiany. ( 3 + ) : ( + ),. ( 4 + ) : ( ), 3. ( ) : ( ), 4. ( 3 ) : ( + + ), 5. ( 4 + ) : ( ), 6. 4 : ( + ), 7. ( 3 ) : ( ), 8. 5 : ( + ), 9. ( 4 + ) :, 0. ( 4 ) : ( 3),. ( ) : ( + ),. ( ) : ( + ), 3. ( + ) :, 4. ( ) : ( 3 + ), 5. ( + ) : ( + ), 6. ( 5 ) : ( ), 7. ( 3 + ) : ( + ), 8. ( ) : ( 4 + ), 9. ( 3 + 5) : ( ), 0. ( 3 + ) : ( + ),. ( ) : ( + 3 ),. ( 4 ) : ( + ), 3. ( ) : ( + ), 4. ( ) : ( + ). Rozwi» nierówno±ci wielomianowe 5. ( )( )( + 3) 0, 6. ( )( ) ( + 3) 3 < 0, 7. ( + ) 3 ( + ) 3 > 0, 8. 4 ( + 5) 0, 9. ( )(3 ) 0, 30. ( + )( + 3) 3 < 0, 3. ( )( ) > 0, 3. 3 ( + )( 4) > 0, 33. ( + )( + ) 3 0, 34. ( )( + ) 3 0, 35. (4 ) ( + ) 0, 36. ( ) 0, 37. ( )( )( 3) > 0, 38. ( ) 0 ( + 3) 0 0, 39. ( + ) < 0, 40. ( ) 5 (3 ) > 0, 4. ( ) > 0, 4. ( + ) 3 > 0, , < 0, 45. > 0. Rozwi» równania i nierówno±ci wymierne = 0, 47. ( + ) = 0, 48. = 0, ( + )( ) + 3 0, , 5. + < 0, 4 ( )( ) 0, 53. ( + 4) 3 > 0, 54. ( ) 0, + 3 < 0, 56. ( + 3)( ) ( )( + 3) > 0, ( + 3) 0, 5 + > 0, 59. ( + 4)( + 3) 0, > 0.

13 Odpowiedzi - Wielomiany i funkcje wymierne. + 6, reszta 3,. +, reszta +, , reszta 5, 4., reszta, , reszta 7, , reszta 6, 7. +, reszta, , reszta, 9. 3, reszta, , reszta 6,., reszta 6,., reszta 3 + 3, 3., reszta, 4. nie dzielimy, 5., reszta 0, , reszta 0, 7., reszta 5, 8. nie dzielimy, 9. +, reszta 4, 0. +, reszta 0, , reszta 3 +, , reszta 4, 3. +, reszta + 4, , reszta 5, 5. [ 3, ] [, ), 6. ( 3, ) (, ), 7. (, ), 8. (, 5] {0}, 9. [0, ] {3}, 30. (, 3) (, 0), 3. (0, ) (, ), 3. (, ) (0, 4) (4, ), 33. [, ] [0, ), 34. (, ] {0} [, ), 35. [, ), 36. R, 37. (, ) (3, ), 38. R, 39. (, ) (0, ), 40. (0, 3 ) (, ), 4. (, ), 4. (, 0) (0, ), 43. (, 3 ], 44. (, 0), 45. R \ {0}, 46. zaª. 3, rozw. =, 47. zaª., rozw. = 0, 48. zaª.,, rozw. sprzeczno±, 49. zaª. 3, rozw. ( 3, ] [, ), 50. zaª., rozw. (, ), 5. (, ), 5. zaª.,, rozw. [0, ) (, ), 53. zaª., rozw. (, 4) (, ), 54. zaª. 0, rozw. (, 0) (0, ], 55. zaª., rozw. ( 3, ), 56. zaª., 3, rozw., 57. zaª. 3, rozw. (, 3), 58. zaª., rozw. (, ), 59. zaª. 4, 3, rozw. (, 4) ( 3, ], 60. zaª., rozw. (, ) (0, ).

14 7. Logarytmy i funkcje wykªadnicze Upro± wyra»enia korzystaj c ze wzorów na logarytmy. log log 4,. log 6 log 9, 3. log log 3 5, 4. log 8, 5. 3 log 4 9 log 4 8, 6. log log 3, 7. log 5 log 5 3, 8. log 00 ln e, 9. (log 3 6 log 3 ) ln e, 0. 4 log 9,. log 4 5,. log 3 3 log4 4, 3. log 3 log, 4. log 4 4 log, 5. log(log 000), 6. (ln e 3 + log 0) 3, 7. log 4 0, 8. log 3 6(log 6 0 log 6 5), 9.. log 5 6 log 5 3, 0. log 6 5 log 3 5,. log log 4, log 6 5 log 6 3, 3. log 4, 4. (log 3 7 log 3 6) log 3, 5. (ln(ln e e )), 6. 9 log 3 6, 7. (log 3 7 log 3 6) log 3, 8. 4 log 3, 9. ln + log, 30. log 3 3 log, 3. ln(log(ln e 0 )), 3. ln e 0 log 0 e, 33. log 3, 34. log 6 3, 35. log 3 log 3, 36. ln e log 0, 37. log 3 ( + log 4), 38. ln e log 0 log, 39. log log 3 6, log , 4. (ln e + log 00) log 4, 4. log. Rozwi» równania i nierówno±ci 43. = 4, 44. log 4 = 6, 45. log 4 = 3, 46. ( 3 ) = 9, 47. =, 48. ( ) = 0, 49. ( 3 ) =, 50. = 6, 5. ( ) =, 5. log 3 =, 53. log = 4, 54. log 3 = 0, > 4, 56. log log 3, 57. log > log 4, 58. log 4 0, 59. ( 3 ) < ( 3 )5, 60. ln >.

15 .,. log Odpowiedzi - Logarytmy i funkcje wykªadnicze 6 9, 3. log 3 00, 4. 8, 5. log 4 9, 6., 7. log 3, 8. 0, 9., 0. 8,. 5,. 0, 3. log 3, 4., 5. log 3, , 7. nie istnieje, 8. log 3 4, 9. log 3 6, 0. log 5 3 log 5 6 = log 6 3,.,. log 3 5, 3. 4, 4., 5., 6. 36, 7. log 3 log 3 = log 3, 8. 9, 9. 0, 30., 3. 0, 3. 0e, 33. 3, = 4 3, 35. log 3 log 3 =, 36. 0, 37., 38., 39. log 3 30, 40. 0, =, 4., 43., 44. zaª. > 0, rozw. = ( 4 )6 = 4 6, 45. zaª. > 0, rozw. = 4 3 = 64, 46. =, 47. = 0, 48. sprzeczno±,, 49. sprzeczno±,, 50. = 4, 5. sprzeczno±,, 5. = 9, 53. zaª. > 0, rozw. = ( ) 4 = 4 = 6, 54. zaª. > 0, rozw. =, 55. (, ), 56. zaª. > 0, rozw. (0, 3], 57. zaª. > 0, rozw. (0, 4), 58. zaª. > 0, rozw. [, ), 59. (5, ), 60. zaª. > 0, rozw. (e, ).

16 Oblicz 8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne. (cos π 4 sin π 4 ),. (sin π 3 cos π 6 )4, 3. (tg π 3 ctg π 3 )3, 4. (ctg π 4 tg π 4 )5, 5. sin π + sin π + sin 3 π, 6. tg 0 + tg π + tg π, 7. sin π cos π + ctg 3 π, 8. ctg π + tg π, 9. sin 0 + cos π + tg 0 + ctg π, 0. cos( 3 π),. sin( 4 3 π),. cos( π 6 ) + sin( π 3 ), 3. tg( π 4 ) ctg( π 6 ), 4. tg( 7 6 π) + sin( 3 π), 5. sin( 7 6 π) + cos( 3 π), 6. tg 5 6 π, 7. ctg 000 3π, 8. cos 3 π, 9. tg π, 0. sin( 3 π),. sin( 3 π),. arctg, 3. arcsin, 4. arccos 3, 5. arcsin( 3 ), 6. arcctg( ), 7. arctg( 3 3 ), 8. sin(arcsin( )), 9. tg(arctg 3), 30. cos(arcctg 3 3 ), 3. sin 7 6 π cos 9 4 π, 3. (cos π 3 sin π 3 )9, 33. sin 3 π cos π, 34. ctg(4π + π ), 35. arcsin 3, 36. arccos( ), 37. cos π, 38. tg( 8 π), 39. arctg( 3), 40. arcsin 0, 4. arccos, 4. tg( 3 4 π) + ctg( 5 4 π), 43. arccos( ), 44. sin 3 4 π + cos 3 π, 45. arccos(cos 5 3 π), 46. arcctg( 3), 47. tg 3 π cos π, 48. sin 3π + cos π, 49. arcctg 0, 50. (tg π 6 + ctg( π 3 ))6, 5. ctg( 3 π) + cos π 3, 5. arccos, 53. tg( 7 6 π) + cos 4 3 π, 54. sin 5 3 π + sin 7 3 π, 55. cos π 5 + sin π 5, 56. cos π 8 sin π 8, 57. cos π sin 5 π + sin π cos 5 π, 58. cos π sin π, 59. cos 3 π + sin( 4 3 π), 60. cos π cos 5 π + sin π sin 5 π.

17 Odpowiedzi - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne. 0 = 0,. 0 4 = 0, 3. ( 3 3) 3 = 9 8 3, = 0, 5. 0, 6. 0, 7., 8. nie istnieje ( razy), 9. 0, 0.,. 3,. 0, , , 5. 0, , , 8. cos(33π π) = cos 4 3 π =, 9. tg(333π + π 6 ) = tg π 6 = 3 3, 0. sin( 33π π 3 ) = 3,. sin( 33π 4 3 π) = 3,. π 4, 3. π 6, 4. π 6, 5. π 3, 6. π π 4 = 3 4 π, 7. π 6, 8. sin( π 6 ) =, 9. tg π 3 = 3, 30. cos π 3 =, 3. )9 = ( 3) 9 3. ( 3 5, 33. 0, 34. 0, 35. π 3, π, 37. cos(60π π) =, 38. tg( 30π 3 4π) =, 39. π 3, 40. 0, 4. π 3, 4. 0, 43. π 0 = π, 44. +, 45. arccos = π 3, π, 47., 48., 49. π, = 0, , 5. 0, , 54. 0, 55., 56. sin π 4 =, 57. sin( 5 π + π ) =, 58. cos π 6 = 3, , 60. cos( 5 π π ) =.,

18 Wyznacz granice korzystaj c z wykresów funkcji 9. Granice. lim,. lim ln, 3. lim , 4. lim e, 5. lim 0 3, 6. lim 0 + log 4, 7. lim cos, 8. lim + 3, 9. lim, 0. lim 3,. lim arcsin,. lim arcctg, 0 3. lim log 0, 4. lim e, 5. lim ctg, π 4 6. lim π + tg, 7. lim 0, 8. lim arcsin, 3 π 9. lim arccos, 0. lim ( + ),. lim π sin,. lim, 3. lim e, 4. lim arctg. 0 Wyznacz symbole i ich warto± (je±li si da) jak w przykªadzie: lim ( + ln ) [ + ] = 5. lim 0 +( 3 ), 6. lim ln, 7. lim (e + 4 ), 8. lim ( ln ), 9. lim e log, 30. lim ( + arctg ), sin 3. lim, 3. lim 0 0 +(cos )ctg, 33. lim (sin ) cos, π lim 3 cos lim, 35. lim arcctg, 36. lim sin ln, 0 + 4, 38. lim (cos tg ), 39. lim π 4 π tg ctg, 40. lim 3 ( 3 3 ), 4. lim, 4. lim (log + arccos ), 43. lim (ln ), 44. lim e ( + ), 45. lim +( +3 ), 46. lim, 47. lim 4 ( ( ) ), 48. lim (arcsin ) tg, lim ( + 3 ), 50. lim ctg 0 + ln Wyznacz granice zªo»e«funkcji jak w przykªadzie:, 5. lim 0 + tg ln. lim cos [cos 0] =, bo lim = 0, lim cos = 0 5. lim ln, 53. lim e, 54. lim arctg( + ), 55. lim e, 56. lim e 3, 57. lim cos(sin ), lim log (log 3 ), 59. lim ctg, 60. lim cos(arcctg ). 0

19 Odpowiedzi - Granice.,., 3., 4., 5. 0, 6., 7. nie istnieje, 8., 9. 0, 0.,. π,. π, 3. nie istnieje, 4. 0, 5., 6., 7., 8. nie istnieje, 9. π, 0. 0,.,., 3., 4. π, 5. [ 0] =, 6. [ ] =, 7. [0 + ] =, 8. [ ], nieoznaczony, 9. [ ( )] =, 30. [ + π ] =, 3. [ 0 0 ], nieoznaczony, 3. [ ], nieoznaczony, 33. [ 0 0 ] =, 34. [ cos 3 ] = 0, 35. [ π] =, 36. [0 ], nieoznaczony, 37. [ 4 0 ] =, 38. [ + ] =, 39. [ 0 ] =, 40. [( ) ] =, + 4. [ ], nieoznaczony, 4. [0 + 0] = 0, 43. [ 0 ], nieoznaczony, 44. [ ] =, 45. [ 4 ] =, 46. [ 4 ] =, 47. [ ] =, 48. [00 ], nieoznaczony, 49. [ ] =, 50. [ ], nieoznaczony, 5. [0 ( )] = [ 0 ], nieoznaczony, 5. [ln 0 + ] =, 53. [e 0 ] =, 54. [arctg ] = π, 55. [e ] =, 56. [e ] = 0, 57. nie istnieje, 58. [log ] =, 59. [ ] = 0, 60. [cos 0] =.

20 Oblicz pochodne funkcji 0. Pochodne. y = 3 + 4,. y = , 3. y = 3, 4. y = log, 5. y = 3, 6. y =, 7. y = cos, 8. y = ctg, 9. y = arcsin, 0. y = sin,. y = e,. y = ln, 3. y = sin, 4. y = 4 +, 5. y = e + sin, 6. y = cos, 7. y = e 5, 8. y = arctg 3, 9. y = ln, 0. y = sin,. y = arctg,. y = ( + ) 6, 3. y = cos 5, 4. y = sin, 5. y =, 6. y = ln 3, 7. y = arccos, 8. y =, 9. y =, 30. y = ctg 4, 3 3. y = ln, 3. y = ( 4 ), 33. y = log, 34. y = arcctg, 35. y =, 36. y = sin, 37. y =, 38. y =, 39. y =, 40. y = ln(cos ), 4. y = sin(8 + ), 4. y = arcsin, 43. y = e + π, 44. y = 4, 45. y = arctg, 46. y = ln 4 + ln 3, 47. y = cos 4, 48. y = sin, 49. y = arccos, 50. y = 3 cos, 5. y = e ln, 5. y = , 53. y = tg, 54. y = ln, 55. y = ( + 3) ln, 56. y = sin ctg, 57. y = ln +, y = cos(ln ), 59. y = e arcsin, 60. y = ln ln.

21 . 3, , sin + cos,. e + e,. Odpowiedzi - Pochodne 3 3, 4. ln, 5. 3 ln 3, 6., 7. sin, 8. sin, 9., ln +, 3. (4+) ( )4 (4+) = cos sin (4+), 4.,, 0. sin cos = sin, 5. e sin (e +) cos, 6. sin, 7. 5e 5 3, 8. sin +9, 9. ( ) =. arctg +,. ( + ) 5, 3. 5 cos 4 sin, 4. cos, 5., 6. 3 ln, , , sin 4, 3. ln +, 3. ( 4 ) ln 4, 33. ln 0, 34., 40. sin cos = tg, 4. 8 cos(8 + ), ( ), 38., , , 45. arctg + 3 +, =, =, 48., +, 35. 0, 36. cos, =, cos, 49. arccos sin, cos 3 sin, 5. e (ln + ), 5. (+5)(3 +) ( +5)(3 ) ( 3 +) = ( 3 +), ln ln., 55. ( + 3) ln + + 3, 56. cos ctg sin, cos tg,, 58. sin(ln ), 59. e arcsin,

22 . Podstawowe caªki Oblicz zapisuj c jak w przykªadzie: 3 cos d = 3 cos d = 3 sin + C, bo (3 sin ) = 3 cos. d,. sin d, 3. d, 4. 3 d, d, 6. d, 7. + cos d, 8. d, d, 0. sin d,. 5 d,. d. 5 5 Oblicz korzystaj c z liniowo±ci caªki d, d, 7. sin + 4 d, d, d, d. Oblicz stosuj c metod podstawiania 5 9. (3 8)4 d, e 3+ d, 4. arctg d, 8. + d,. tg d, 5. ln d, 9. cos 3 d,. d, 6. ln e e d, d, 5 sin 3 cos d, + 4 d. Oblicz stosuj c caªkowanie przez cz ±ci 3. e d, ln d, sin cos d, d, 33. e d, 36. e sin d, cos d, (5 + ) sin d, cos d. Oblicz caªki cos 40. d, d, 44. e d, 47. ctg d, 50. e sin 3 d, cos d, 56. cos 3 d, 59. ( )e d, 4. ln d, 45. ( + ) 3 d, 48. e e d, 5. + ln d, 54. sin d, d, d, ( 4) 7 d, arctg d, 9 d, 3 d, d, + ln d.

23 Odpowiedzi - Podstawowe caªki. + C,. cos + C, 3. + C, 4. ln + C, C, 6. 4 arctg + C, 7. 9 tg + C, arcsin = 3 arccos + C, C, 0. 5 ctg + C,. 6 + C,. 5 arcsin = 5 arccos +C, ln +C, 4. cos C, C, C, C, C, 9. podst. t = 3 8, 7 (3 8) C, 0. podst. t =, ln + C,. podst. t = 3, 3 sin 3 + C,. podst. t = +, 3 ( + ) 3 + C, 3. podst. t = 3 +, 3 e 3+ + C, 4. podst. t = cos, ln cos + C, 5. podst. t = ln, ln ln + C, 6. podst. t = 3 cos, 5 ln 3 cos +C, 7. podst. t = arctg, arctg +C, 8. podst. t = ln, ln + C, 9. podst. t = e +, ln e + + C, 30. podst. t = + 4, C, 3. cz ±ci, e e +C, 3. cz ±ci, ln 3 (3 3 ln 3 )+C, 33. cz ±ci, 3 sin +3 cos +C, 34. cz ±ci, ln +C, 35. cz ±ci, e 4 e + C, 36. cz ±ci, (5 + ) cos + 5 sin + C, 37. cz ±ci i równ, cos + C, 38. cz ±ci i równ, 5 e cos + 5 e sin +C, 39. cz ±ci i równ, + sin cos +C, 40. podst. t =, sin + C, 4. cz ±ci, ( 3)e + C, 4. podst. t = 3, 4 (3 ) C, C, 44. cz ±ci, ln + C, 45. podst. t = 4, 3 ( 4)8 + C, 46. cz ±ci, ( + )e + C, 47. podzieli, ln + C, 48. cz ±ci, arctg ln + + C, 49. podst. t = cos, ln sin + C, 50. podst. t = e, arctg e + C, C, 5. cz ±ci i równ, 3 0 e cos 3 0 e sin 3 + C, 53. cz ±ci, ln 4 +C, = ( )( ++), C, tg +C, 56. cz ±ci i równ, sin cos +C, C, 58. cz ±ci, 3 sin 3+ 9 cos 3 7 sin 3+C, C, 60. podst. t = + ln, 3 ( + ln ) 3 + C.

24 . Caªki wymierne i ró»ne Zapisz funkcje w postaci sumy uªamków prostych (bez oblicze«) ( + 6) ( + 5),. 4 ( )( + )( 4), 3. ( 3) 4, ( + ), 5. ( 8)( ), (3 + 7) 3, 3 + ( + 4), ( )( + 4), ( + 9)( ) 3. Oblicz caªki z funkcji wymiernych 0. d, d, d, d, 0. ( 3). d, 3. + ( )( 3) 5. d, d, 9. 8 ( 3)( ) 3. d, d, d, 5. 3 d, 8. 3 d, d, d, d, d, (4 ) d, 6 ( ) d, ( + 4) d, ( ) d, 5 + ( + + 3)( + ) d, d, 9 d, (3 5) d. Oblicz caªki sin d, 35. e d, 38. d, 4. + d, d, d, 50. ln d, 53. cos d, d, 59. sin d, 36. e d, d, 4. d, d, arcsin d, 5. ln d, 54. cos d, d, 60. sin d, e d, 4 d, d, 8 9 d, arcsin d, ln d, cos 3 d, + d.

25 A B (+6) + C+D A ,. B + + C (+), 6. B +4 + C (+4), 9. A+B +9 + C 3. arctg + C, 4. 3 Odpowiedzi - Caªki wymierne i ró»ne A + B + + C A+B , 3. ( 3), uªamek prosty, 4. A 4 + B + C+D +, 5. C+D E+F (3 +7) + (3 +7), ( +4), uªamek prosty, 8. ( 8)(+) = A + D ( ) + E ( ), 0. ln 3 + C, arctg 4 + C,. 3 + C, ln arctg 3 + C, d = ( 3) d = ln C, C, d = 6 ln + C, d = + ln + C, 8. + d = ln + + D, d = 3 ln ln +4 +D, d = ln ln arctg( + ) + D,. + + d = + ln + + C, d = ln + + arctg + C, d = 3 ln arctg + 3 ln + +C, 5. d = +C, arctg +C, 7. ln C, d = 3 arctg 3 + C, (+) d = ln C, 30. 5(3 5) + C, 3. d = + C, 3. 4 d = C, d = ln arctg + C, 34. cz ±ci, cos + sin + cos + C, 35. podst. t =, cos + C, 36. cz ±ci, cos + 4 sin + C, 37. podst. t =, + C, e 38. cz ±ci, e e + e + C, 39. e d = 3 e3 + C, 40. podst. t = +, ln + + C, 4. + d = + ln + C, d = ln + + C, C, C, 45. ln + C, arctg 3 + C, arcsin 3 + C, ln C, 49. podst. t = 9, C, 50. cz ±ci, arcsin + + C, 5. podst. t = arcsin, arcsin + C, 5. cz ±ci, ln + C, 53. cz ±ci, ln 4 + C, 54. podst. t = ln, ln + C, 55. cz ±ci i równ, + sin cos + C, 56. podst. t =, sin + C, 57. jedynka trygonometryczna, podst. t = sin, 3 sin3 + sin + C, 58. podst. t = +, + C, 59. podst. t =, ln + + C, C.