1 Działania na macierzach

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Działania na macierzach"

Transkrypt

1 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ ] + [ ] = [ ] = [ ] Mnożenie macierzy przez liczbę Jeśli mnożymy macierz przez liczbę, to każdy jej wyraz mnożymy przez tę liczbę: [ ] = [ ] Mnożenie dwóch macierzy Mnożenie macierzy jest trochę bardziej skomplikowane. Można je wykonać tylko wtedy gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn ile druga wierszy (w szczególności więc widać, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, bo iloczyn w odwrotnej kolejności może w ogóle nie istnieć). Obliczając iloczyn dwóch macierzy mnożymy skalarnie każdy wiersz pierwszej macierzy przez każdą kolumnę drugiej macierzy: [ ] [ ] W miejscu kropki znajduje się iloczyn wiersza przy strzałce poziomej i kolumny przy strzałce pionowej, czyli: = Wykonaj działania: a) [ ] 0 0, b) ([ ] + [ ]) [ ] Operacje elementarne W każdej macierzy możemy na jej wierszach i kolumnach wykonywać pewne działania zwane operacjami elementarnymi. Nie jest to sztuka dla sztuki - operacje takie nie zmieniają pewnych własności macierzy, możemy więc w ten sposób przekształcać macierze do wygodniejszej postaci, z której łatwiej odczytać daną własność. Operacje elementarne wykorzystuje się przy: ˆ liczeniu wyznacznika macierzy kwadratowej ˆ liczeniu rzędu macierzy ˆ rozwiązywaniu układów równań liniowych ˆ odwracaniu macierzy (w jednej z metod odwracania) 1

2 Wyróżniamy trzy operacje elementarne: ˆ Dodanie wielokrotności wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny). Przykładowo w macierzy: możemy dodać drugi wiersz dwa razy do pierwszego, otrzymując w wyniku: ( 1) = Zapisujemy to symbolicznie: w 1 +w Dokładnie tak samo moglibyśmy działać na kolumnach: k 4 +k ˆ Mnożenie wiersza lub kolumny przez niezerową liczbę Przykładowo w macierzy: możemy dodać pomnożyć pierwszy wiersz przez, otrzymując: = Zapisujemy to symbolicznie: w Dokładnie tak samo moglibyśmy podzielić pierwszą kolumnę przez (czyli pomnożyć przez 1 ): k

3 ˆ Zamiana miejscami wierszy lub kolumn Przykładowo w macierzy: możemy zamienić miejscami wiersze pierwszy z trzecim, co zapisujemy: w 1 w lub zamienić miejscami kolumny drugą i czwartą: k k Kiedy używać których operacji elementarnych? ˆ Liczenie rzędu macierzy Rzędu macierzy nie zmieniają żadne operacje elementarne, zarówno na wierszach, jak i na kolumnach. W tym wypadku mamy więc całkowitą swobodę działania. ˆ Liczenie wyznacznika macierzy kwadratowej W przypadku wyznacznika sprawa jest bardziej skomplikowana. Wartości wyznacznika nie zmienia wyłącznie dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego lub jednej kolumny do innej. Natomiast pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę a powoduje, że wyznacznik zwiększa się a razy. Jeszcze trudniej kontrolować zachowanie wyznacznika przy zamianie miejscami wierszy (lub kolumn) - wówczas może (ale nie musi) zmienić znak wyznacznika, co zależy od parzystości stosownej permutacji. Z uwagi na powyższe, w przypadku liczenia wyznacznika najlepiej jest ograniczać się do pierwszej z wymienionych operacji. ˆ Rozwiązywanie układów równań liniowych W przypadku rozwiązywania układów równań metodą macierzową możemy działać wyłącznie na wierszach - działanie na kolumnach oznaczałoby bowiem wprowadzenie nowych zmiennych (czego nigdy nie chcemy robić). ˆ Znajdowanie macierzy odwrotnej Gdy odwracamy macierz przy użyciu dopisanej macierzy jednostkowej, możemy działać cały czas na wierszach lub też cały czas na kolumnach - nie wolno nigdy mieszać operacji wierszowych z kolumnowymi. 3

4 3 Wyznacznik Wyznaczniki można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych, tzn. o wymiarach n n. Formalna definicja wyznacznika jest rekurencyjna: det A = n i=1 ( 1) i+1 a 1i det A 1i gdzie A 1i to macierz powstała przez wykreślenie z macierzy A pierwszego wiersza i i-tej kolumny. Dla małych macierzy są wygodne sposoby obliczania wyznaczników: Dla macierzy : a b = ad bc c d Dla macierzy 3 3 używamy tzw. metody Sarrusa: dopisujemy do macierzy z prawej strony dwie pierwsze kolumny (lub z dołu dwa pierwsze wiersze) i następnie iloczyny wzdłuż trzech przekątnych dodajemy, a wzdłuż trzech odejmujemy: = Równość z definicji to szczególny przypadek tzw. rozwinięia Laplace a. W definicji mamy rozwinięcie względem pierwszego wiersza, ale rozwijać można również według dowolnego wiersza: det A = n i=1( 1) i+j a ji det A ji lub kolumny: det A = n j=1( 1) i+j a ji det A ji Widać, że powyższe wzory pozwalają nam sprowadzić liczenie wyznacznika macierzy n n do liczenia n wyznaczników macierzy n 1 n 1. Pamiętamy jednak, że pierwsza operacja elementarna na wierszach macierzy nie zmienia wartości wyznacznika, dlatego najwygodniej jest doprowadzić macierz do postaci w której w jednej kolumnie (lub wierszu) będą same zera i następnie rozwinąć względem tej kolumny (wiersza). Wówczas po rozwinięciu względem tej kolumny (wiersza) pozostaje do policzenia tylko jeden wyznacznik macierzy o wymiarze mniejszym o jeden det w 3 5 w 1 = det = det w 3 + 3w Teraz moglibyśmy użyć już metody Sarrusa, ale ponieważ na oko wychodzą duże liczby, więc wygodniej będzie raz jeszcze użyć operacji elementarnych: det w 5w 1 = det = det [ w 3 w ] = Oblicz wyznaczniki: a) b) c) d)

5 4 Rząd macierzy Podstawowa definicja rzędu macierzy wiąże się z liniową niezależnością wierszy, co intuicyjnie można rozumieć w ten sposób, że rząd macierzy to maksymalna liczba wierszy, których nie da się wyzerować operacjami elementarnymi. Ponieważ jednak potrzebne jest nam bardziej precyzyjne określenie, więc równoważnie definiujemy, że rząd macierzy to wymiar największej podmacierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku. I ta definicja ma jednak pewne wady, ponieważ jeśli chcielibyśmy znaleźć rząd macierzy o wymiarze 5 8 licząc po kolei wszystkie minory (czyli właśnie wyznaczniki podmacierzy kwadratowych), a rząd powinien wyjść 3, to najpierw musielibyśmy policzyć 56 minorów 5 5 (wszystkie równe zero), następnie 350 minorów 4 4 (też wszystkie równe zero), a dopiero potem znaleźć niezerowy minor 3 3. Na szczęście można sobie przyśpieszyć rachunki, używając metody podobnej do liczenia wyznacznika przy użyciu rozwinięcia Laplace a. Mianowicie: doprowadzamy do tego by w pewnej kolumnie (wierszu) były prawie same zera z wyjątkiem jednego miejsca; następnie wykreślamy tę kolumnę (wiersz) oraz wiersz (kolumnę) w której znajdował się niezerowy wyraz i dodajemy do rzędu jedynkę. Proces kończymy w momencie gdy macierz zniknie lub też pojawi się macierz złożona z samych zer. Prześledźmy to na przykładzie: rz w 3 w 1 = rz = w 5 w w = 1 + rz w 1 = w 3 + w w 4 w = 1 + rz = + rz w w 1 = w 3 w = + rz = 3 + rz [ ] = = Znajdź rząd macierzy: a) b)

6 5 Wzory Cramera Jeśli rozwiązujemy układ równań w którym jest tyle samo równań co niewiadomych, możemy skorzystać ze wzorów Cramera. Jeśli A jest macierzą kwadratową n n i mamy n niewiadomych x i, a b jest kolumną wyrazów wolnych, to oznaczamy przez A i macierz która powstaje przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A przez kolumnę b. Wówczas rozwiązując układ [A b] możemy stwierdzić, że: ˆ Jeśli det A 0, to układ jest oznaczony, a jego rozwiązanie to x i = det A i det A. ˆ Jeśli det A = 0 i dla pewnego i jest det A i 0, to układ jest sprzeczny. ˆ Jeśli det A = 0 i dla wszystkich i jest det A i = 0, to układ może być sprzeczny lub nieoznaczony (częściej nieoznaczony). W tej sytuacji możemy radzić sobie metodą Gaussa lub też zmodyfikować metodę Cramera. x + y + z = x y + z = 3 - macierz układu to: 1 3 x + y + z = Mamy: det A = det 1 = 8 i: det A x = det 3 = 8 det A y = det 1 3 = 16, det A z = det 1 3 = więc x = = 1, y = 8 =, z = 8 = 3 x + y + z = x y + z = 3 - macierz układu to: 1 3 4x + y + 5z = Nietrudno sprawdzić, że wszystkie wyznaczniki się zerują. W takiej sytuacji, jeśli nie chcemy używać metody Gaussa, znajdujemy największą podmacierz macierzy głównej układu o niezerowym wyznaczniku - tutaj jest to na przykład [ 1 1 ]. W wyjściowym równaniu wykreślamy te wiersze których nie 1 uwzględniliśmy w podmacierzy, a za zmienne z kolumn których nie uwzględniliśmy w podmacierzy podstawiamy parametr i przenosimy na drugą stronę. U nas z = a oraz: x + y = 6 a - macierz układu to: [ a x y = 3 a 1 3 a ] Tu już możemy skorzystać ze wzorów Cramera i łatwo policzyć, że det A = 3, det A x = 5a 1 i det A y = a 3. Otrzymujemy stąd rozwiązanie: x = 1 5a 3, y = a+3 3, z = a dla dowolnego a R. 5.1 Rozwiąż przy użyciu wzorów Cramera układy równań: x + y = 3 a) x y = 3 x + y + z = 3 b) x y + z = 3 3x + y + z = 4 x + y + z = 3 c) x + y + z = 1 3x + 3y + z = 5 6

7 6 Metoda eliminacji Gaussa Najefektywniejszą metodą rozwiązywania układów równań (tym razem dowolnych) jest metoda eliminacji Gaussa. Polega ona na doprowadzeniu operacjami elementarnymi macierzy układu do takiej postaci, z której łatwo odczytać rozwiązanie. Najwygodniejsza postać to taka, w której jest jak najwięcej kolumn macierzy jednostkowej, tzn. kolumn z jedną jedynką i resztą zer. Warto też pamiętać, że jeśli pojawi się wiersz złożony z samych zer to możemy go wykreślić; podobnie jeśli pojawi się kilka identycznych wierszy to możemy wykreślić wszystkie z wyjątkiem jednego. x + y + z u + 3t = x + 3y + z + u + t = macierz układu to oczywiście: x + 3y + z + 5u t = x + y + z 5u + 6t = Przekształćmy macierz układu: w 1 w w w w + w w 3 w w 4 w w 4 + w Ostatni wiersz się dubluje, a drugi możemy podzielić przez 3: w w Mamy już trzy kolumny macierzy jednostkowej. Odpowiadające im zmienne x, y, z wyznaczymy zależnie od parametrów, a parametry wprowadzamy za pozostałe zmienne, czyli u, t. Niech więc u = a, t = b - wówczas pierwszy wiersz oznacza, że x 7a b = 7 3 skąd x = 7a 19 3 b Analogicznie wyliczamy y i z otrzymując ostatecznie rozwiązanie: x = 7a 19 3 b y = 6a + 5b 1 z = 3a 10 3 b + 1 gdzie a, b R 3 u = a t = b Oczywiście nie jest to jedyna postać rozwiązania, natomiast na pewno w każdej innej postaci też muszą pojawić się dwa parametry. 6.1 Rozwiąż układy równań: x + y + z + t = a) x + y + z t = 0 x + y + 1z + 4t = 6 6x + 4y + 5z + t + 3u = 1 3x + y + 4z + t + u = 3 b) 3x + y z + t = 7 9x + 6y + z + 3t + u = x 1 + x + 3x 3 x 4 + x 5 = 4 x 1 + x + 7x 3 4x 4 + x 5 = 11 c) x 1 + 4x + x 3 3x 4 + 3x 5 = 6 3x 1 + 6x + 5x 3 4x 4 + 3x 5 = 5 7

8 7 Macierz odwrotna Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej macierzy A to taka macierz A 1, że A A 1 = A 1 A = I, gdzie I to macierz jednostkowa. Odwracalne są tylko macierze kwadratowe o niezerowym wyznaczniku. Są dwa sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej: Sposób I A 1 = (AD ) T det A A = Łatwo policzyć, że det A = 1, natomiast macierz dopełnień algebraicznych liczymy zastępując w macierzy A wyraz z i-tego wiersza i j-tej kolumny przez wyznacznik macierzy powstałej po wykreśleniu z macierzy A i-tego wiersza i j-tej kolumny pomnożony przez ( 1) i+j : A D = = czyli (po transpozycji i podzieleniu przez wyznacznik nic się nie zmienia): 0 1 A 1 = (A D ) T = Sposób II Dopisujemy z boku danej macierzy macierz jednostkową i operacjami elementarnymi przekształcamy naszą macierz do macierzy jednostkowej: w w w w w 3 w w w w 3 w Macierz z prawej strony to już macierz odwrotna. Drugi sposób jest efektywniejszy w przypadku macierzy większych rozmiarów. 7.1 Wyznacz macierz odwrotną do macierzy: a)[ ] b) c)

9 8 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [, 3, 1] + [ 1,, 1] = [1, 5, ] [, 3, 1] [ 1,, 1] = [3, 1, 0] a także mnożyć przez skalar (liczbę): 3 [, 3, 1] = [6, 9, 3] Nieco trudniejsze (i nie tak naturalne) jest mnożenie wektora przez wektor. Iloczyn skalarny wektorów Formalna definicja to: a b = a b cos ( a, b), gdzie v to długość wektora, która dla wektora v = [v x, v y, v z ] jest równa v = v x + v y + v z. Natomiast praktyczny sposób liczenia dla wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] to: [v x, v y, v z ] [w x, w y, w z ] = v x w x + v y w y + v z w z ] na przykład: [, 3, 1] [1, 1, ] = ( 1) + 1 = 1 Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy mnożymy dwa wektory prostopadłe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego wektora). Iloczyn wektorowy wektorów Formalna definicja iloczynu wektorowego brzmi: a b to wektor prostopadły do wektorów a i b, o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez dwa wyjściowe wektory, oraz o zwrocie takim, żeby układ a, b, a b był dodatnio zorientowany. W praktyce aby policzyć iloczyn wektorowy wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] liczymy wyznacznik macierzy: i j k v x v y v z w x w y w z gdzie i, j, k są wersorami jednostkowymi. Przykładowy rachunek dla wektorów [, 3, 1] i [1, 1, ] to: i j k [, 3, 1] [1, 1, ] = 3 1 = 6i + j k 3k + i 4j = 7i 3j 5k = [7, 3, 5] 1 1 Aby sprawdzić poprawność rachunku można (przy użyciu iloczynu skalarnego) sprawdzić czy wektor który nam wyszedł jest prostopadły do dwóch wyjściowych wektorów. Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn wektorowy wektorów jest wektorem, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy wyjściowe wektory są równoległe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora). Ponadto, co szczególnie ważne, dzięki iloczynowi wektorowemu zawsze możemy znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych (a to bardzo często przydaje się w geometrii analitycznej). 8.1 Wyznacz iloczyny skalarny i wektorowy dla następujących par wektorów: a) [1, 0, 0] i [0,, 3] b) [1, 1, 1] i [, 1, 4] c) [1, 3, 1] i [, 5, ] 9

10 9 Proste i płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej Równanie ogólne płaszczyzny (najważniejsze) to: Równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 (gdzie A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zero) n = [A, B, C] to wektor normalny płaszczyzny, czyli wektor, który jest do niej prostopadły. Można powiedzieć, że wektor normalny wyznacza kierunek płaszczyzny. Żeby mieć jednoznacznie wyznaczoną płaszczyznę, wystarczy znać jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Warto też wiedzieć, że równanie płaszczyzny o wektorze normalnym [A, B, C] i przechodzącej przez punkt (x 0, y 0, z 0 ) to A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Inne postaci płaszczyzny to: ˆ Postać odcinkowa: x a + y b + z c = 1 - to płaszczyzna przechodząca przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). x = x 0 + a 1 t + a s ˆ Postać parametryczna: y = y 0 + b 1 t + b s, gdzie (x 0, y 0, z 0 ) to dowolny punkt płaszczyzny, a z = z 0 + c 1 t + c s [a 1, b 1, c 1 ] i [a, b, c ] to dwa wektory równoległe do płaszczyzny (ale nierównoległe wzajemnie) ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t v + s w - oznaczenia jak wyżej, tylko wektory zostały nazwane v i w W dwóch ostatnich przypadkach do płaszczyzny należą te i tylko te punkty, których współrzędne są powyższej postaci dla pewnych parametrów t, s. Równanie prostej Prostej w przestrzeni trójwymiarowej nie da się opisać jednym równaniem liniowym, dlatego musimy poradzić sobie inaczej. Postaci w jakiej można przedstawić płaszczyznę to: ˆ Postać kierunkowa: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c x = x 0 + at ˆ Postać parametryczna y = y 0 + bt z = z 0 + ct ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t (a, b, c) W każdej z tych postaci (x 0, y 0, z 0 ) jest dowolnym punktem prostej, a k = [a, b, c] to wektor kierunkowy prostej, czyli (jak sama nazwa wskazuje) wektor, który wyznacza nam kierunek prostej. Jest jeszcze jedna możliwość zadania prostej - z uwagi na to, że dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się zawsze wzdłuż prostej, można powiedzieć o którą prostą nam chodzi wskazując dwie płaszczyzny do których ona należy. Taki sposób przedstawienia prostej nazywa się postacią krawędziową. 10

11 Warto jeszcze znać wzór na odległość punktu (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Ogólne wskazówki przy rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej: ˆ Warto wyobrazić sobie i narysować sytuację z zadania. ˆ Należy uzmysłowić sobie co jest potrzebne do rozwiązania, przykładowo: jeśli szukamy płaszczyzny, potrzebny jest nam wektor normalny i dowolny punkt; jeśli szukamy prostej potrzebny jest nam wektor kierunkowy i dowolny punkt. ˆ Trzeba zastanowić się skąd wziąć szukane wektory (może są do czegoś prostopadłe albo równoległe?) i punkty (może są podane w zadaniu, może są częścią wspólną prostej i płaszczyzny?). ˆ Bardzo często przydaje się fakt, że jeśli mamy dane dwa wektory, to prostopadły do nich jest ich iloczyn wektorowy. ˆ Przed przystąpieniem do rachunków sensownie jest zrobić sobie plan działania, rozpisując sobie czego po kolei szukamy i wyjaśnić jak doprowadzi nas to do celu. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: Zadanie: Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1,, 3), B(1, 1, 0), C(, 1, 1). Rozwiązanie: Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny potrzebujemy znaleźć jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Punkt (a nawet trzy) oczywiście już mamy. Pozostaje więc znaleźć wektor normalny. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny, w szczególności więc jest też prostopadły do każdej prostej należącej do tej płaszczyzny i do każdego odcinka należącego do tej płaszczyzny. Jest więc prostopadły na przykład do odcinków AB i AC, a zatem także do wektorów AB i AC. W takim razie wektorem normalnym (przykładowym) jest iloczyn wektorowy dwóch powyższych wektorów: AB = B A = (1, 1, 0) (1,, 3) = [0, 3, 3] AC = C A = (, 1, 1) (1,, 3) = [ 3, 1, ] n = AB AC = i j k = [3, 9, 9] 3 1 zatem uwzględniając na przykład punkt A otrzymujemy równanie płaszczyzny: 3(x 1) + 9(y ) 9(z 3) = 0 czyli po prostych przekształceniach: x + 3y 3z + = 0. Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy zamiast punktu A wykorzystali na przykład punkt B - wyszłoby dokładnie to samo. Zadanie: Wyznacz równanie kierunkowe prostej prostopadłej do prostych: l 1 x 1 = y 0 = z x + y + z = 1 3 i l 3x y + z = 3 oraz zawierającej punkt P (, 1, 3) 11

12 Rozwiązanie: Szukamy równania prostej, zatem potrzebny jest nam punkt i wektor kierunkowy. Punkt już oczywiście mamy - jest to P, pozostaje więc zastanowić się jak wygląda wektor kierunkowy. Skoro szukana prosta jest prostopadła do prostych l 1 i l, to znaczy, że jej wektor kierunkowy jest prostopadły do wektorów kierunkowych tych prostych, a zatem jest iloczynem wektorowym tych wektorów kierunkowych. Wektor kierunkowy l 1 mamy za darmo - jest to k 1 = [, 0, 3]. Zauważmy teraz, że prosta która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn, jest prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli jej wektor kierunkowy także. Stąd wektor kierunkowy l jest iloczynem wektorowym wektorów [1, 1, 1] i [3,, 1]: i j k k = [1, 1, 1] [3,, 1] = = [3,, 5] 3 1 Tak więc szukany wektor kierunkowy to: k = k 1 k i j k = 0 3 = [ 6, 19, 4] 3 5 i ostatecznie nasza prosta ma postać: x 6 = y 1 19 = z 3 4 Uwaga: jeśli szukamy prostej prostopadłej do dwóch danych, to wystarczy wiedzieć, że wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych. Gdybyśmy natomiast szukali płaszczyzny prostopadłej do dwóch danych, to wystarczyłoby wiedzieć, że wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do wektorów normalnych danych płaszczyzn. Zadanie: Znajdź rzut prostopadły punktu A(4,, 7) na płaszczyznę π x y + 3z 1 = 0. Rozwiązanie: Oznaczmy szukany rzut przez A. Oczywiście A π. Skoro rzut jest prostopadły, to znaczy, że odcinek AA jest prostopadły do płaszczyzny π, a zatem także prosta wyznaczona przez ten odcinek jest prostopadła do π. Ale skoro ta prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to znaczy, że wektor normalny płaszczyzny jest zarazem wektorem kierunkowym tej prostej. Tak więc nasza prosta ma równanie kierunkowe: x 4 = z 7 3, lub w postaci parametrycznej: x = 4 + t y = t z = 7 + 3t Inaczej mówiąc - każdy punkt prostej AA jest postaci (4+t, t, 7+3t) dla pewnego t rzeczywistego. My natomiast szukamy punktu A, który nie dość, że należy do tej prostej (czyli jest tej postaci), to jeszcze należy do płaszczyzny π, a to oznacza, że jego współrzędne spełniają równanie tej płaszczyzny. Wystarczy zatem podstawić te współrzędne do równania: (4 + t) ( t) + 3(7 + 3t) 1 = 0 14t + 8 = 0 t = Tak więc współrzędne punktu A to: (4 + ( ), ( ), ( )) = (,, 1) i to jest właśnie szukany rzut. 1 = y+ Uwaga: gdybyśmy rzutowali punkt na prostą, to musielibyśmy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej i zawierającej wyjściowy punkt. Szukany rzut jest wtedy częścią wspólną tej płaszczyzny i wyjściowej prostej. 1

13 9.1 Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1,, ) i B( 1, 3, 1). 9. Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1,, ), B( 1, 3, 1) i C(3,, ). 9.3 Wyznacz rzut prostopadły punktu P (4, 3, 4) na płaszczyznę π x + y x + 3 = Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej punkt (0, 0, 0) i prostopadłej do płaszczyzn: x + y + 4z = 3 oraz x + 3y + z = Wyznacz równanie prostej zawierającej punkt A(, 1, ) i przecinającej prostopadle prostą: l: x 1 = y 3 = z Wyznacz punkt symetryczny do punktu P (,, ) względem płaszczyzny π x + y z + 1 = Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1,, 0) i prostopadłej do płaszczyzny x + y 3z 1 = 0 oraz do płaszczyzny x y + z = Znajdź równanie rzutu prostopadłego prostej x 1 = y 0 = z+1 3 na płaszczyznę x + 3y z = 0. 13

14 10 Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Takie określenie działań zapewnia nam porządne zachowanie całej struktury, co ściśle rzecz biorąc oznacza, że zbiór punktów na płaszczyźnie z tymi dwoma działaniami jest ciałem, czyli czymś o podobnych własnościach do zbioru liczb rzeczywistych. Wygodniej ze względów rachunkowych będzie jednak używać postaci algebraicznej liczb zespolonych: (a, b) = a + bi W szczególności więc (1, 0) = 1 i (0, 1) = i oraz i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Dzięki temu ułatwieniu można dodawać i mnożyć liczby zespolone jak normalne wyrażenia algebraiczne, wystarczy tylko pamiętać, że i = 1. Dla wygody definiujemy jeszcze dla z = a + bi: Re z = a (część rzeczywista) Im z = b (część urojona) z = a bi (sprzężenie) z = r = a + b (moduł) Nietrudno zauważyć, że z z = z. Dzięki temu łatwo dzielić liczby zespolone: (+i) 3 i = 4+4i+i 3 i = 3+4i 3 i = (3+4i)(3+i) (3 i)(3+i) = 9+1i+3i+4i 10 = 5+15i 10 = i Proste równania zespolone z z + 5 = 0 Takie równanie rozwiązujemy tak samo jak zwykłe równanie kwadratowe, z tą różnicą, że nie przeszkadza nam ujemna delta: = 4 0 = 16 Pierwiastki kwadratowe z 16 są dwa: 4i oraz 4i (łatwo widać, że kwadrat tych liczb to właśnie 16). Możemy wybrać którykolwiek z nich i zapisać (umownie!): = 4i skąd ostatecznie: z 1 = +4i = 1 + i z = 4i = 1 i 14

15 Nie zawsze jednak pierwiastek z delty można po prostu odgadnąć, czasem koniecznie będzie jego policzenie: z + (1 i)z i = 0 = (1 i) 4(1 + 5i) = 1 4i 4 4 0i = 7 4i Nie widać od razu ile wynosi pierwiastek z tej liczby, wiemy jednak, że na pewno jest postaci a + bi dla pewnych a, b rzeczywistych. Mamy więc: (a + bi) = 7 4i a b + abi = 7 4i czyli a b = 7 oraz abi = 4i. Wyznaczamy z drugiego równania b = 1 a, wstawiamy do pierwszego: a 144 a = 7 (a ) + 7a 144 = 0 a to już łatwo sprowadzić podstawieniem t = a do równania kwadratowego (tym razem już w liczbach rzeczywistych). Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania t +7t 144 = 0 są t 1 = 9 i t = 16, czyli a = 0 lub a = 16. Oczywiście rzeczywiste rozwiązania ma tylko to pierwsze równanie, mamy więc a = 3 i b = 4 lub a = 3 i b = 4. Wybieramy dowolną z dwóch możliwości otrzymując ostatecznie: = 3 4i z 1 = 1+i+3 4i = 1 + i z = 1+i 3+4i = + 3i Jeśli natomiast równanie nie jest kwadratowe, bo występuje w nim moduł lub sprzężenie, wówczas radzimy sobie podstawieniem z = a + bi. z iz = 1 Podstawiamy z = a + bi: (a + bi) i(a bi) = 1 a b + abi ai b = 1 a b b + (ab a)i = 1 Musi być więc a b b = 1 oraz ab b = 0. Z drugiego równania wynika, że a = 0 lub b = 1. Jeśli a = 0, to z pierwszego wynika, że b = 1, a jeśli b = 1, to z pierwszego wynika, że a = lub a =. Ostatecznie otrzymujemy trzy rozwiązania: i, + i, + i Postać trygonometryczna Oprócz postaci algebraicznej liczb zespolonych jest jeszcze postać trygonometryczna, w której korzystamy ze współrzędnych biegunowych punktu na płaszczyźnie, czyli kąta φ między półprostą dodatnią OX, a półprostą OZ (gdzie Z to nasza liczba zespolona; oraz promienia r (czyli długości odcinka OZ). Łatwo sprawdzić, że wówczas: cos φ = a z skąd dostajemy: sin φ = b z a + bi = z (cos φ + i sin φ) Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej wystarczy wyłączyć przed nawias moduł tej liczby, a następnie znaleźć w tablicach wartość kąta dla którego cosinus i sinus przyjmują odpowiednie wartości. 15

16 Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę 3 + i. Jej moduł to oczywiście ( 3) + 1 =, mamy zatem: 3 + i = ( i) Szukamy więc takiego kąta, którego cosinus jest równy 3, a sinus jest równy 1. Nietrudno sprawdzić w tablicach, że takim kątem jest φ = 5 6π, mamy więc ostatecznie: 3 + i = (cos 5π 6 + i sin 5π) 6 Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna z uwagi na wzór de Moivre a, który przydaje się do potęgowania i pierwiastkowania liczb zespolonych: ( z (cosφ + i sin φ)) n = z n (cos nφ + i sin nφ) Zobaczmy jak wygląda potęgowanie liczby z poprzedniego przykładu: ( 3 + i) 11 = ( (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ))11 = 11 (cos 11 5π 6 + i sin 11 5π 6 ) = = 11 (cos 55π 6 + i sin 55π 6 ) = 11 (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = 048 ( 3 1 i) Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy dowolne rozwiązanie równania z n = w. Zasadnicze Twierdzenie Algebry mówi, że każdy wielomian (niezerowego stopnia) ma zespolone miejsce zerowe. Łatwo stąd wywnioskować, że każdy wielomian zespolony n-tego stopnia ma dokładnie n miejsc zerowych (licząc z krotnościami). W szczególności więc również pierwiastków n-tego stopnia z w musi być dokładnie n. Wystarczy zatem wskazać n rozwiązań powyższego równania, żeby znaleźć wszystkie pierwiastki z w. Jeśli w = w (cos α + i sin α), to te rozwiązania są postaci: z k = n w (cos α+kπ n + i sin α+kπ n ) dla k = 0, 1,..., n 1 W szczególności jeśli w = 1, to pierwiastki n-tego stopnia z jedynki są postaci: z k = cos kπ kπ n + i sin n dla k = 0, 1,..., n 1 Warto zwrócić uwagę, że pierwiastki n-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej na płaszczyźnie są wierzchołkami n-kąta foremnego. Policzmy dla przykładu pierwiastki czwartego stopnia z 1 czyli rozwiązania równania z 4 = 1. Mamy: 1 = cos π + i sin π, czyli α = π i n = 4. Tak więc szukane pierwiastki to: z 0 = cos π 4 + i sin π 4 = + i z 1 = cos π+π 4 + i sin π+π 4 = + i z = cos π+4π 4 + i sin π+4π 4 = i z 3 = cos π+6π 4 + i sin π+6π 4 = i 16

17 10.1 Przedstaw liczbę zespoloną w najprostszej postaci: a) (1 + 3i)( i) b) (1 i)( i) ( + i)(3 i) c) i 1+i d) (1+i) (1 i)( i) (1+i)(3+i) 10. Rozwiąż równania: a) z + 6z + 13 = 0 b) 4z + 4z + 17 = 0 c) z z + i + 1 = 0 d) z (i + 1)z + i = 0 e) z + (i 5)z + 8 i = 0 f) z 3iz 3 + i = 0 g) z + z = 1 + i h) z z = Oblicz: a) (1 + i) 013 b) (1 + i 3) 44 c) ( 6 i ) Znajdź: a) pierwiastki zespolone ósmego stopnia z 1 b) pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z i 17

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D

KMO2D. Kolizje między-obiektowe w 2D KMO2D Kolizje między-obiektowe w 2D I. Wstęp 3 lata temu na temat kolizji nie miałem żadnego pojęcia. Przyszedł jednak czas, gdy postanowiłem napisać pierwszą porządną grę i pojawił się, wtedy problem.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2 Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo