Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Transkrypt

1 /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n<6 b) a n =(-) n+ dla n 6 c) a n = n dla n<5 d) a n =n+ dla n 5 Zbadaj monotoniczność ciągu (a n ) gdy: a) a n =n+7 b) a n = c) a n = d) a n =7-n Ciąg (a n ) dany jest wzorem a n n n a) Oblicz a, a, a 0 b) Oblicz a 5 -a 4, a +, a 9 Sprawdź, czy liczba b jest wyrazem ciągu (a n ), gdy 7 n a) b an n b) b=0, a n n 6 Wyznacz największy wyraz i najmniejszy wyraz ciągu a) a n n 0n 9, n{,,,..., 0} b) a n n 5n, n{,,,..., 0} Zbadaj, które wyrazy podanych ciągów są większe od danej liczby M: a) a n =n - M=00 n 5 b) a n = M n Podaj, dla jakich wartości n wyrazy ciągu (a n ) są mniejsze od liczby b, gdy: a) a n =4n-5, b=40 n b) a n, n b 0.. Pojęcie ciągu arytmetycznego. Który z podanych ciągów jest ciągiem arytmetycznym: a) ( a n ) (,7,,...) b) ( b n ) (,,,...) c) ( c n ) ( 5,5, 5,5,...) Zbadaj, który z podanych ciągów jest arytmetyczny. Narysuj jego wykres dla n6. 5 n 6 5n a) a n b) b n 4n c) c n d) d n 4 n n e) e n n 8 Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym: a) a n = n 5 b) a n =-7n+ Ile wyrazów ciągu (a n ), w którym a n 7n, jest mniejszych od 5?

2 /9 Które wyrazy ciągu (a n ), jeżeli a n = n 5, należą do przedziału (;4>? Wyznacz ciąg arytmetyczny (oblicz a, r oraz wyznacz wzór na a n ), oraz oblicz sumę jego 56 początkowych wyrazów wiedząc, że: a) a = i a 7 = b) a 7 =-, a =4 c) a +a =9 i a 5 +a 6 =89 d) a 4 =6, S 5 =0. Wyznacz liczbę n wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane: a) S n =0 i a = i a n =-6 b) S n =660 i r=6 i a n =86 Zad.8. Wyznacz różnicę r ciągu arytmetycznego, wiedząc, że: a) S n =0 i a =-7 i n=0 b) S n =-940 i n=0 i a n =-04 Zad.9. Liczby x-, 4 i 8 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz liczbę x. Zad.0. W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 4, a jedenasty 4. Wyznacz różnicę tego ciągu. Zad.. W ciągu arytmetycznym drugi wyraz jest równy, a trzeci 5. Wyznacz wzór na ogólny wyraz tego ciągu. Zad.. Ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz wyraz: a) dziewiąty, gdy a =6 i a 5 = b) jedenasty, gdy a =-5 i a 8 =5 c) szósty, gdy a 7 = i a =7. Zad.. Wyznacz dla ciągu arytmetycznego (a n ): a) liczbę n wyrazów, gdy S n =04, r=6, a n =49 b) różnicę r, gdy S n =58, a =50, n=4 c) sumę a 5 +a 6 + +a 0, gdy a n =5n-. Pojęcie ciągu geometrycznego. Który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym: a) a n = 5n- b) ( b n) (5, 0,0, 40,...) c) c n n Wyznacz n-ty wyraz oraz sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego mając dane: a) a, q, n 4 b) a,, 4 q n Wyznacz ciąg geometryczny (a n ) mając dane: a =, a 5 =6 b) a, a4

3 /9 Wyznacz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego, wiedząc, że: a) a, q, an b) a, q, an 9 Oblicz iloraz ciągu geometrycznego q, wiedząc, że: a) a, a6 65 b) a, a4 Liczby -8, 4 i x+ w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wyznacz liczbę x. W ciągu geometrycznym (a n ) dane są a = i a 4 =4. Wyznacz iloraz tego ciągu. Zad.8. Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu. Zad.9. Liczby, 0 7, 4 4 w podanej kolejności są trzecim, czwartym i piątym wyrazem ciągu geometrycznego (a n ). Oblicz: a) iloraz q tego ciągu, b) wyraz pierwszy ciągu, c) różnicę wyrazów siódmego i piątego. Zad.0. W ciągu geometrycznym o ilorazie q= - suma pięciu początkowych wyrazów jest równa. Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz miary kątów oznaczonych literami: II. ELEMENTY GEOMETRII PŁASZCZYZNY. Podstawowe pojęcia planimetrii. a) b) Oblicz miarę kąta :

4 4/9 a) Kąt ma miarę 70, oblicz miary kątów: 4, 6, 7, 8. b) Oblicz miary kątów i 0 0. Odległość na płaszczyźnie. Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, którego dwa boki mają długości: a) 4cm i 6cm b) cm i 8cm c) cm i 7cm Zbadaj, czy trójkąty o podanych bokach są prostokątne: a) 6, 6, 65 b), 5, 0 c), 56, 65 Wykaż, że trójkąty o podanych bokach są ostrokątne: a) 5,6,7 b) 0,,4 Wykaż, że trójkąty o podanych bokach są rozwartokątne: a), 6, b) 7, 4, 0 Oblicz długość boku rombu o przekątnych 8 i 80.

5 5/9 Oblicz długość boku kwadratu o przekątnej 6. Oblicz długości odcinków x i y: Znajdź pole koła, którego obwód wynosi 6.. Okrąg i koło. Cięciwa i średnica pewnego okręgu przecinają się pod katem 0. Punkt przecięcia dzieli średnicę na odcinki o długościach równych i. Znajdź odległość cięciwy od środka okręgu. Oblicz kąty trójkąta ABC: a) b) c) Oblicz miary kątów i : a) b) c) d) e)

6 6/9 Prosta DB jest styczna do okręgu w punkcie B. Oblicz miarę zaznaczonego kąta ABD jeśli ACB=. Kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 50. Jaka jest miara kąta wpisanego i środkowego. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB wpisany jest w okrąg o środku S. Kąt ASB ma miarę 00. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Zad.8. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB wpisany jest w okrąg o środku S. Kąt SAB ma miarę 40. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Zad.9. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB wpisany jest w okrąg o środku S. Kąt ASB ma miarę 00. Oblicz miary kątów tego trójkąta. 4. Twierdzenie Talesa, figury podobne Na jednym ramieniu kąta o wierzchołku W obrano punkty A i B, a na drugim punkty C i D takie, że WA=,6, WB=,, WC=, i WD=,4. Sprawdź, czy proste AD i BC są równoległe. Dany jest prostokąt o bokach długości cm i 4 cm. Oblicz długości boków prostokąta do niego podobnego, wiedząc że jego pole jest równe 7cm. Trójkąty ABC i DEF są podobne. Oblicz długości boków trójkąta ABC, jeśli jego obwód wynosi 85, a DE=4, EF=5 i FD=8. Długości boków prostokąta wynoszą 4 i 7. Oblicz pole prostokąta podobnego do tego prostokąta, jeśli jego obwód wynosi. a) Oblicz długość odcinka a. b) Oblicz długości odcinków p i q.

7 7/9 W samo południe cień Jacka ma długość 0 centymetrów, zaś cień drzewa ma 4 metry. Jaka jest wysokość drzewa jeśli Jacek mierzy aktualnie 50 centymetrów? Stojące na brzegu rzeki drzewo o wysokości metrów rzuca cień równy szerokości rzeki. W tym samym czasie patyk o wysokości 0 cm rzuca cień o długości 5 cm. Jaka jest szerokość rzeki? 5. Trójkąty, czworokąty a) Najmniejszy z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę stopni. Oblicz miarę średniego kąta. b) Kąt ostry równoległoboku ma miarę 5 stopni. Oblicz miarę kąta rozwartego. c) Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę 0 stopni. Oblicz miarę kąta między ramionami tego trójkąta. d) W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma miarę razy większą niż kąt ostry. Oblicz miary kątów tego trapezu. Oblicz pola figur, przyjmując, że: a = 5, b = 4, h = 8, d = 0, d = a) Oblicz wysokość trójkąta o podstawie 4 cm, jeżeli jego pole wynosi cm. b) Oblicz jedną z podstaw trapezu, jeżeli jego wysokość wynosi 5 cm, druga z podstaw cm, a jego pole wynosi cm. c) Jedna z przekątnych rombu ma miarę 8cm. Jaką miarę ma druga przekątna, jeżeli jego pole wynosi 40cm. III. GEOMETRIA ANALITYCZNA. Równanie prostej na płaszczyźnie, odległość punktów. Wskaż pary prostych równoległych, prostopadłych i przecinających się, które nie są prostopadłymi: k: x-y+=0, l: -4x+y+7=0, m: -,5x+0,5y=0, n: x+y+5=0, p: 8 x- y-4 =0 Punkty a) A=(, -), B=(,), C=(-, 5) b) A=(-, -), B=(6, ), C=(, 5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Napisz: a) równania prostych zawierających wysokość trójkąta b) równania środkowych boków trójkąta, c) równania symetralnych boków trójkąta. Wyznacz prostą równoległą oraz prostą prostopadłą do prostej k, przechodzącą przez punkt P: a) k: x-y+=0, P=(-,5) b) k: -4x+y+7=0, P=(4,) c) k: y= -5x+7, P=(-,-) Wyznacz równanie prostej k, przechodzącej przez punkty A i B: a) A=(-,-5), B=(,6) b) A=(4,), B=(-,8)

8 8/9 Wyznacz równanie prostej k prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez środek odcinka AB: a) A=(-,-4), B=(,5) b) A=(,-), B=(-,4) c) A=(4,), B=(-5,-) Oblicz odległość punktu P od prostej k: a) P=(-,-4), k: -4x+5y-=0 b) P=(4,5), k: y= -5x+ c) P=(,-6), k: y+4x=7 Oblicz długość odcinka AB jeśli: a) A=(,4), B=(8,) b) A=(-4,-), B=(-,) c) A=(5,-), B=(7,-6) Zad.8. Wykaż, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, że trójkąt ABC jest prostokątny, jeżeli: A=(-4,-), B=(,-), C=(0,). Zad.9. Oblicz odległość prostych równoległych l i k jeśli a) l: x-y+5=0 i k: x-y-=0 b) l: x-y+6=0 i k: x-y+=0 Zad.0. Wyznacz pole kwadratu, jeżeli: a) dane są jego sąsiednie wierzchołki o współrzędnych (-,) i (,) b) dane są jego przeciwległe wierzchołki o współrzędnych (-,) i (,) Zad.. Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A=(-,0), B=(,), C=(-,4). a) Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C b) Oblicz pole trójkąta ABC. Równanie okręgu Podaj środek i promień okręgu o równaniu: a) (x-4) + (y-) = 49 b) (x+) + (y-5) = c) x + (y+7) = 5 Podaj równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r: a) S=(0,0), r = 4 b) S=(-,), r = 6 c) S=(5,-), r = Sprawdź, które z punktów A=(,-), B=(,), C=(-4,5), D=(-6,-), należą do okręgu o równaniu (x+) + (y-) = 5. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach a) A=(,5), B=(0,-) b) A=(-,4), B=(-6,). Zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach: a) (x-) + (y-5) = i (x+) + (y-) = 8 b) (x-) + (y-) = 8 i (x-4) + (y+) = c) (x-) + (y-) = 5 i (x-4) + (y-) = 8

9 9/9 Ile punktów wspólnych ma okrąg o środku S i promieniu r z prostą l? a) S=(0,), r =, l: x+=0 b) S=(0,0), r = 0, l: y+=0 c) S=(-,), r = 5, l: x-y+=0 Prosta o równaniu x+y-7=0 jest styczna do okręgu o środku w punkcie S=(-,-4). a) Oblicz współrzędne punktu styczności danej prostej z tym okręgiem. b) Oblicz długość promienia tego okręgu. UWAGA: KAŻDY UCZEŃ ZOBOWIĄZANY JEST PRZYNIEŚĆ NA EGZAMIN ZESZYT Z ROZWIĄZYWANYMI ZADANIAMI.